高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第二册第二章 导数及其应用1 平均变化率与瞬时变化率1.1 平均变化率公开课第1课时教学设计

这是一份高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第二册第二章 导数及其应用1 平均变化率与瞬时变化率1.1 平均变化率公开课第1课时教学设计，共5页。教案主要包含了创设情境，引入课题，抽象概括，形成概念，辨析理解，深化概念，概念应用，巩固内化等内容，欢迎下载使用。
课时教学内容
导数是微积分的核心概念之一,是研究函数增减、变化快慢、最值问题的最一般、最有效的工具。教材按照“平均变化率—瞬时变化率—导数的概念—导数的几何意义”的顺序安排,采用“逼近”的方法,从数形结合的角度定义导数,使导数概念的建立形象、直观而又容易理解,突出了导数概念的本质。
平均变化率是导数概念建立的核心,教材通过研究学生熟悉的 “气球膨胀率”、“高台跳水”这两个生活实例,归纳出它们的共同特征,总结出一般函数平均变化率概念,使学生理解平均变化率刻画了函数在某一区间上的变化情况,并掌握平均变化率解法的一般步骤。
从知识形成的先后顺序来看,平均变化率是本章内容学习的核心概念,是研究瞬时变化率及其导数概念的基础,在整个导数学习中占有极其重要的地位。在概念的形成过程中,将进一步渗透从特殊到一般的化归思想,数形结合思想。
课时教学目标
1.通过大量实例让学生直观感知,自主构建平均变化率的概念,感受平均变化率广泛存在于日常生活中,经历运用数学去描述和刻画现实世界的过程;
2.知道什么是变化率问题,掌握平均变化率概念及其计算步骤,深刻理解平均变化率的实际意义,提高用数形结合解决问题的能力;
3.让学生认识到“数学是有用的,它源于生活,又服务于生活”,提高学生学习数学的热情。
教学重点、难点
教学重点:
（1）理解平均变化率的概念,掌握平均变化率解法的一般步骤；
（2）理解函数在某点处附近的平均变化率
教学难点:
（1）如何从数学的角度描述生活中变量变化的快慢，即如何构建平均变化率的概念；
（2）从数值意义和几何意义两个方面理解平均变化率的内涵。
教学过程设计
环节一 创设情境，引入课题
世界上的变化无处不在,人们经常关心变化的快慢问题.如何刻画事物变化的快慢呢?
实例分析
实例1 物体从某一时刻开始运动,设表示此物体经过时间走过的路程,显然是时间的函数,表示为.
在运动的过程中测得了一些数据,见表2-1.
物体在到和到这两段时间内,哪一段时间运动得快?如何刻画物体运动的快慢?
解 通常用平均速度(即路程相对于时间的平均变化率)来比较运动的快慢.
在到这段时间内,物体的平均速度为;
在到这段时间内,物体的平均速度为.
显然,物体在后一段时间比前一段时间运动得快.
实例2某病人吃完退烧药,他的体温变化如图2-1.
环节二观察分析，感知概念
比较时间从到和从到体温的变化情况,哪段时间体温变化较快?如何刻画体温变化的快慢?
解 根据图象可以看出:
当时间从到时,体温从变为,下降了;
当时间从到时,体温从变为,下降了.
两段时间下降了相同的体温,而后一段时间比前一段短,所以体温从到这段时间下降得比从到这段时间快.
也可以比较在这两段时间内,体温的平均变化率(单位时间内体温的平均变化量),于是当时间从变到时,体温相对于时间的平均变化率为
当时间从变到时,体温相对于时间的平均变化率为
这里出现了负号,它表示体温下降了.显然,绝对值越大,下降得越快.因此,体温从到这段时问下降得比到这段时问要快.
环节三 抽象概括，形成概念
实例1中,用一段时间内物体的平均速度刻画了物体运动的快慢,当时间从变为时,物体所走的路程从变为,这段时间内物体的
实例2中,用一段时间内体温的平均变化率刻画了体温变化的快慢,当时间从变为时,体温从变为,这段时间内体温的
环节四 辨析理解，深化概念
抽象概括
对一般的函数来说,当自变量从变为时,函数值从变为,它在区间的
环节五 概念应用，巩固内化
通常我们把自变量的变化称作自变量的改变量,记作,函数值的变化称作函数值的改变量,记作.这样,函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比,即
用它来刻画函数值在区间上变化的快慢.
环节六归纳总结,反思提升
平均变化率的概念及几何意义;
平均变化率的定义
平均变化率的绝对值反映函数在给定区间上变化的快慢，平均变化率的绝对值越大，函数在区间上的变化越快；平均变化率的绝对值越小，函数在区间上的变化越慢．
2.函数在某点处附近的平均变化率.
3.求函数平均变化率的三个步骤:一作差二求比值
第一步，求自变量的增量
第二步，求函数值的增量
第三步，求平均变化率
求点附近的平均变化率，可用的形式.
环节七目标检测，作业布置
完成教材：教科书练习第1题.
练习
1.某人服药后,吸收药物的情况可以用血液中药物的质量浓度(单位:)来表示,它是时间(单位:)的函数,表示为.下表给出了的一些函数值:
(1)求服药后内,到到这3段时间内,血液中药物质量浓度的平均变化率;
(2)讨论刻画血液中的药物质量浓度变化快慢的方法,并说明上述3段时间中,药物质量浓度变化最块的时间段.