数学选择性必修 第二册2.1 导数的概念完美版课件ppt

这是一份数学选择性必修 第二册2.1 导数的概念完美版课件ppt，共34页。PPT课件主要包含了平均变化率，瞬时变化率，答案C，无限趋近于一个确定的，无限趋近于点P0时，割线的斜率，切线的斜率，割线斜率与切线斜率，求切线方程的方法，点斜式等内容，欢迎下载使用。

对于函数y＝f(x)，设自变量x从x0变化到x0＋∆x，相应地，函数值y就从f(x0)变化到f(x0＋∆x). 这时，x的变化量为∆x，y的变化量为 ∆y＝f(x0＋∆x)－f(x0).
叫做函数y＝f(x)从x0到x0＋∆x的平均变化率.
2、 根据导数的定义，求函数 y=f(x) 的导数的三个步骤：
由导数的定义可知, 求函数 y = f (x)的导数的一般方法:
口诀：一差、二化、三极限
1．函数在某一点的导数是(　　)A．在该点的函数的增量与自变量的增量的比B．一个函数C．一个常数，不是变数D．函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率
解析：由导数的定义可知，函数在某点的导数是平均变化率的极限值，是个常数．故选C.
解析：由f(x)在x＝1处的导数的定义知，应选A.故选A.
例1 :一条水管中流过的水量y（单位:m3）与时间x（单位:s）的函数关系为y = f(x)= 3x.求函数y = f(x)在z=2处的导数f＇(2)，并解释它的实际意义.
当x趋于2,即△x趋于0时，平均变化率总是3,所以f'(2)=3 m3/s. 导数f'(2)表示当x=2 s时水量的瞬时变化率，即水流的瞬时速度.也就是说,如果水管中的水保持以x=2 s时的瞬时速度流动的话,每经过1 s,水管中流过的水量为3 m3.
例2 : 一名食品加工厂的工人上班后开始连续工作，生产的食品量y(单位:kg)与其工作时间x(单位:h)的函数关系为y=f(x).假设函数y=f(x)在x=l和x=3处的导数分别为f'(1)=4和f'(3) =3.5,试解释它们的实际意义.
解 :f'(1)=4表示该工人上班后工作1h的时候，其生产速度（即工作效率）为4 kg/h.也就是说，如果保持这一生产速度,那么他每时可以生产4 kg的食品. f'(3) =3.5表示该工人上班后工作3 h的时候，其生产速度为3.5 kg/h.也就是说，如果保持这一生产速度，那么他每时可以生产3. 5 kg的食品.
例3 :服药后，人体血液中药物的质量浓度c(单位:μg/mL)是时间t(单位:min)的函数 c=c(t).假设函数c=c(t)在t=10和t=100处的导数分别为c'(10) = l.5和c'(100) = -0.6,试解释它们的实际意义.
解 :c'(10) = l.5表示服药后10 min时，血液中药物的质量浓度上升的速度为1.5 μg/(mL▪min).也就是说，如果保持这一速度，每经过1 min,血液中药物的质量浓度将上升 1. 5 μg/mL.c'(100)= -0. 6表示服药后100 min时，血液中药物的质量浓度下降的速度为 0. 6 μg/(mL ▪min).也就是说，如果保持这一速度，每经过1 min,血液中药物的质量浓度将下降 0. 6 μg/mL.
练习1:(1)求函数y=x2在x=1处的导数; (2)求函数y=x+1/x在x=2处的导数.
练习4.已知函数f(x)＝ax2＋c，且f′(1)＝2，求a.
我们发现，当点P__________________，割线P0P____________________位置.这个确定位置的直线P0T称为抛物线f(x)＝x2在点P0(1,1)处的切线．
观察 如图，当点P(x, x2)沿着抛物线f(x)=x2趋近于点P0(1, 1)时，割线P0P有什么变化趋势?
请看当点Q沿着曲线逐渐向点P接近时,割线PQ绕着点P逐渐转动的情况.
函数图象在点P0(x0, f(x0))处的斜率
思考：导数f ′(x0)的几何意义是什么？
切线P0T 的斜率k0
函数 y＝f (x) 在x= x0处的导数 f ′(x0)
曲线 y＝f (x)在点P0(x0, f (x0))处切线的斜率k0
导数f ′(x0)的几何意义
例4 已知函数y=x2及自变量x=-2.（1）分别对△x=l,0.5,0.1求y=x2在区间[x,x+△x]上的平均变化率，并画出过点(x,f(x))的相应割线；（2）求函数y=x2在x处的导数，并画岀曲线y=x2在点(x,f(x))处的切线.
例5 ：求函数y=f(x)=2x3在x=l处的切线的方程.
例6 求曲线y＝-2x2+1在点(1,-1)处的切线方程.
解：设f (x)＝-2x2+1
所以所求切线方程为y-(-1)=(-4)(x-1), 即4x+y-3=0.
解决切线问题的关键: 利用导数的几何意义求出切线的斜率k0=f′(x0).
即点P处的切线的斜率等于4.
(2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)导函数f′(x)的定义域与函数f(x)的定义域相同．(　　)(2)在导数的定义中，Δx，Δy都不可能为零．(　　)(3)直线与曲线相切，则直线与已知曲线只有一个公共点．(　　)(4)函数f(x)＝0没有导函数．(　　)
2．函数y＝x2在x＝1处的导数为(　　)A．2x B．2＋ΔxC．2 D．1
3．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线(　　)A．不存在 B．与x轴平行或重合C．与x轴垂直 D．与x轴斜交
解析：∵f′(x0)＝0，∴点(x0，f(x0))处切线的斜率为0.故选B.
4．已知函数y＝f(x)的图象如图，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是(　　)A．0>f′(xA)>f′(xB)B．f′(xA)f′(xB)>0
解析：f′(xA)和f′(xB)分别表示函数图象在点A，B处的切线斜率，故f′(xA)5．已知直线y＝3x＋1与曲线y＝x3＋ax＋3相切于点(1，4)，则a＝________．
解析：∵切点(1，4)在曲线y＝x3＋ax＋3上，∴4＝13＋a＋3，∴a＝0.
5．求曲线f(x)＝x2＋1在点A(1，2)处的切线方程．
6．抛物线y＝x2＋4在点(－2，8)处的切线方程为________．
7. 函数 f (x) 的图象如图所示，下列数值排序正确的是（ ）A. f ´(1) > f ´(2) > f ´(3) > 0 B. f ´(1) < f ´(2) < f ´(3) < 0C. 0 < f ´(1) < f ´(2) < f ´(3)D. f ´(1) > f ´(2) > 0 > f ´(3)
小结：曲线在 x0 点附近倾斜程度 ⇒ x0 点斜率k ⇒ x0 点导数 f ´(x0) .
8. 求曲线 y = – 2x2 + 1 在点 (1，– 1) 处的切线方程.
(2)取极限,得导数:
3.利用导数的几何意义解释实际生活问题,体会“数形结合”,“以直代曲”的数学思想方法.