北师大版 (2019)选择性必修 第二册第二章 导数及其应用3 导数的计算优质ppt课件

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1.解析几何中,过曲线某点的切线的斜率的精确描述与求值;物理学中,物体运动过程中,在某时刻的瞬时速度的精确描述与求值等,都是极限思想得到本质相同的数学表达式,将它们抽象归纳为一个统一的概念和公式——导数,导数源于实践,又服务于实践.
2.求函数的导数的方法是:
说明:上面的方法中把x换x0即为求函数在点x0处的 导数.
4.函数 y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲线y=f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线的斜率.
5.求切线方程的步骤：
例1 已知一个运动物体走过的路程s(单位:m)与时间t(单位:s)的函数关系为s= s(t) = 2t2.求s'(5)，并解释它的实际意义.
由导数的定义可知, 求函数 y = f (x)的导数的一般方法:
口诀：一差、二化、三极限
（3）取极限：
这就是说，常数的导数等于零
一般地，如果一个函数y=f(x)在区间（a,b）的每一点x处都有导数
那么f′(x)是关于x的函数，称f′(x)为y=f(x)的导函数，也简称为导数，有时也将导数记作y′.
解：△y=f（x+△x）-f（x）=3（x+△x）2-（x+△x）-（3x2-x ）=3（△x）2-6x△x-△x.
例3：求y=f(x)=3x2-x 的导数f′(x)，并利用f′(x)求f′(1),f′(-2),f′(0).
当Δx趋于0时，得到导数
所以f′(1)=6×1-1=5,f′(-2)=6×(-2)-1=-13,f′(0)=6×0-1=-1.
1．曲线y＝ex在点A(0，1)处的切线方程是(　　)A．x＋y＋1＝0 B．x－y－2＝0C．x－y＋1＝0 D．x＋y－2＝0
解析：y′|x＝0＝ex|x＝0＝1，即切线斜率为1，又切点为A(0，1)，故切线方程为y＝x＋1，即x－y＋1＝0.故选C.
2．(多选题)下列导数运算正确的是(　　)A．(ln x)′＝x B．(ax)′＝xax－1C．(sin x)′＝cs x D．(x－5)′＝－5x－6
解析：由导数公式得C、D正确．故选CD.
4．函数f(x)＝sin x，则f′(6π)＝________．
解析：f′(x)＝cs x，所以f′(6π)＝1.
跟踪训练3　已知直线y＝kx是y＝ln x的一条切线，求k的值．
易错辨析　求切线方程时忽略“过”与“在”的差异致误例4　经过点P(2，8)作曲线y＝x3的切线，求切线方程．
变式：求曲线 y=x3+3x2-5 过点 M(1, -1) 的切线方程.
解: 由 y=x3+3x2-5 知 y=3x2+6x,
设切点为 P(x0, y0), 则
y | x=x0=3x02+6x0,
曲线在点 P 处的切线方程为
y-y0=(3x02+6x0)(x-x0).
又切线过点 M(1, -1),
∴-1-y0=(3x02+6x0)(1-x0),
即 y0=3x03+3x02-6x0-1.
而点 P(x0, y0)在曲线上, 满足 y0=x03+3x02-5,
∴x03+3x02-5=3x03+3x02-6x0-1.
整理得 x03-3x0+2=0.
解得 x0=1 或 x0=2.
∴切点为 P(1, -1) 或 P(-2, -1).
故所求的切线方程为 9x-y-10=0 或 y=-1.
变式：已知函数 f(x)=2x3+ax 与 g(x)=bx2+c 的图象都过点 P(2, 0), 且在点 P 处有公共切线, 求 f(x)、g(x) 的表达式.
解: ∵f(x)=2x3+ax 的图象过点 P(2, 0),
∴f(x)=2x3-8x.
∴f(x)=6x2-8.
∵g(x)=bx2+c 的图象也过点 P(2, 0),
又g(x)=2bx,
4b=g(2)=f(2)=16,
∴g(x)=4x2-16.
综上所述, f(x)=2x3-8x, g(x)=4x2-16.
基本初等函数的导数公式