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高中数学6.3 函数的最值优秀课时练习
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这是一份高中数学6.3 函数的最值优秀课时练习，文件包含北师大版数学高二选择性必修第二册263函数的最值分层练习原卷版docx、北师大版数学高二选择性必修第二册263函数的最值分层练习解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共26页， 欢迎下载使用。
考点01：函数最值与极值的关系辨析
1．判断正误（正确的写正确，错误的写错误）
（1）函数的最大值不一定是函数的极大值．( )
（2）函数在区间上的最大值与最小值一定在区间端点处取得．( )
（3）有极值的函数一定有最值，有最值的函数不一定有极值．( )
（4）若函数有两个最值，则它们的和大于零．( )
【答案】 正确 错误 错误 错误
【分析】利用极值与最值的关系判断（1）；举反例否定（2）,（3）,（4）.
【详解】（1）函数的最大值不一定是函数的极大值，可能是在区间端点处取得.判断正确；
（2）函数在区间上的最大值与最小值不一定在区间端点处取得，可能函数的极值．判断错误；
（3）函数在区间上有极大值，但没有最小值. 判断错误；
（4）函数在区间上最大值为0，最小值为，二者之和为小于0. 判断错误.
故答案为：正确；错误；错误；错误
2．函数的导函数的图象如图所示，则（ ）
A．是函数的极大值点
B．在区间上单调递增
C．是函数的最小值点
D．在处切线的斜率小于零
【答案】B
【分析】根据导函数图象可判定导函数的符号，从而确定函数的单调性，得到极值点、最值点、切线斜率的正负．
【详解】根据导函数图象可知：当时，，在时，
函数在上单调递减，在上单调递增，是函数的极小值点，故A错误，B正确；
∴在上单调递增，不是函数的最小值点，故C不正确；
∴函数在处的导数大于，切线的斜率大于零，故D不正确.
故选：B
3．（多选）下列关于极值点的说法正确的是（ ）
A．若函数既有极大值又有极小值，则该极大值一定大于极小值
B．在任意给定区间上必存在最小值
C．的最大值就是该函数的极大值
D．定义在上的函数可能没有极值点，也可能存在无数个极值点
【答案】BCD
【分析】A选项可以举出反例，C选项，可以结合函数的单调性，判断出正确；D选项可以举出例子，B选项，从函数的连续性上来进行解决.
【详解】A选项，例如，在处取得极小值，在处取得极大值，而，故极大值不一定大于极小值，A错误，
C选项，，
函数在上单调递增，在上单调递减，
根据极值的定义可知：在处取得极大值，也是最大值，C正确；
对于D，无极值点，有无数个极值点，D正确；
在R上为连续函数，因为连续函数在闭区间上必定存在最值，所以B正确；
故选：BCD．
考点02：由导数求函数的最值(不含参)
4．函数在区间上的（ ）
A．最小值为0，最大值为
B．最小值为0，最大值为
C．最小值为，最大值为
D．最小值为0，最大值为2
【答案】B
【分析】先求得函数的导数，进而得到在区间上单调性，即可求得在区间上最小值和最大值.
【详解】，所以在区间上单调递增，
因此的最小值为，最大值为.
故选：B
5．函数在区间上的最大值为 .
【答案】/
【分析】利用函数的导数判断函数的单调性，然后求解函数的最值即可．
【详解】函数，可得，
可知恒成立，所以函数在区间上是增函数，
所以，时，函数取得最大值：．
故答案为：
6．已知函数．
(1)求的图像在点处的切线方程；
(2)求在上的值域．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）把点代入函数解析式，得切点坐标，通过求导，得到切线的斜率，根据直线的点斜式方程，求切线方程．
（2）解不等式，得函数增区间，解不等式，得函数减区间，结合，确定函数单调性，求得最值，进而得出在上的值域．
【详解】（1）因为，所以，所以，，
故所求切线方程为，即．
（2）由（1）知，．
令，得；令，得．
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以．
又，，
因为，
所以，即在上的值域为．
考点03：已知函数最值求参数
7．已知函数的最小值为0，则实数a的值为 ．
【答案】1
【分析】利用导数研究的单调性和最值，根据最小值求得的值.
【详解】的定义域为，
，
当时，，在区间上递增，没有最小值.
当时，在区间递减；在区间递增.
所以在区间上的最小值为.
故答案为：
8．已知函数在上的最大值为2，则 ．
【答案】1
【分析】先求导可知原函数在上单调递增，求出参数后即可求出.
【详解】解：在上
在上单调递增，且当取得最大值
，可知
故答案为：1
9．已知函数.
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若f(x)≥ 0对定义域内的任意x恒成立，求实数a的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）求导数，然后对进行分类讨论，利用导数的正负，可得函数的单调区间；
（2）利用（1）中函数的单调性，求得函数在处取得最小值，即可求实数的取值范围.
【详解】（1）解：求导可得
①时，令可得，由于知；令，得
∴函数在上单调递减，在上单调递增；
②时，令可得；令，得或，由于知或；
∴函数在上单调递减，在上单调递增；
③时，，函数在上单调递增；
④时，令可得；令，得或，由于知或
∴函数在上单调递减，在上单调递增；
（2）由（1）时，，（不符合，舍去）
当时，在上单调递减，在上单调递增，故函数在处取得最小值，所以函数对定义域内的任意x恒成立时，只需要即可
∴.
综上，.
考点04：函数单调性、极值与最值的综合应用
10．已知实数，则函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】的两边同时取自然对数得到，令，求导得到其单调性，求出的值域，求出答案.
【详解】对的两边同时取自然对数得，，
令
则，令，解得，令，解得，
故在上单调递减，在上单调递增，
故在上取得极小值，也是最小值，
且，
故的值域为，所以的值域为.
故选：D
11．已知函数为实常数）．
(1)若，求证：在上是增函数；
(2)当时，求函数在上的最大值与最小值及相应的值；
(3)若存在，使得成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)见解析
(2)当时，函数有最小值为，
当时，函数有最大值为.
(3)
【分析】(1)利用导数大于零即可证明；(2)利用导数讨论函数的单调性即可求解给定区间内的最值；(3)利用导数讨论单调性与最值，即可解决能成立问题.
【详解】（1）由题可知函数的定义域，
因为,所以，所以，
令解得，
所以在上是增函数.
（2）因为,所以，所以，
令解得，令解得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，函数有最小值为，
因为，
所以当时，函数有最大值为.
（3）由得，即，
因为，所以，所以，
且当时，所以在恒成立，所以，
即存在时，，
令，，
令，
令，解得，
令，解得，
所以在单调递减，单调递增，
所以，
所以时，恒成立，
所以，
所以实数的取值范围是.
12．已知函数在处的切线斜率为2.
(1)求的值；
(2)求函数在上的最值.
【答案】(1)
(2)最小值为，最大值为
【分析】（1）根据切线斜率求参即可；
（2）根据导函数为正得出函数的单调性求出函数最值.
【详解】（1）因为，所以，
由题得，故.
（2）由（1）得，则，
在上单调递增，
故最小值为，最大值为.
考点05：由导数求函数的最值(含参)
13．已知函数，当时的最大值为3，最小值为－6，则＝ .
【答案】
【分析】利用函数导数得到函数的单调区间，进而得到的极小值，联立解方程组解出即可.
【详解】由题可知，
因为，，所以，
令，即，解得，
令，即，解得，
所以在单调递减，单调递增，
所以，
又因为所以，
所以
所以解得所以.
故答案为:.
14．已知函数的最小值为0，则 .
【答案】
【分析】求导，分类讨论函数的单调性即可求解最值.
【详解】因为，所以.
若，则在上单调递减，无最小值.
若，则在上单调递减，在上单调递增，所以，解得.
故答案为：
15．已知函数．
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)当时，求函数的最大值．
【答案】(1)在上为增函数；在上为减函数；
(2)
【分析】（1）直接利用函数的导数确定函数的单调区间．
（2）求导根据函数的单调性即可求解最值．
【详解】（1）的定义域为，
当时，，，
当，解得：，
当，解得：．
在上为增函数；在上为减函数；
（2）的定义域为，
，
当时，令，得，令时，得，
的递增区间为，递减区间为．
.
1．圆柱的轴截面是周长为12的矩形，则满足条件的圆柱的最大体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由条件确定，再将体积转化为关于的三次函数，利用导数求体积的最大值.
【详解】圆柱的底面半径为，高为，则，即，
圆柱的体积，，
，
当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，
所以，当时，函数取得最大值，最大值.
故选：A
2．如图所示，在等腰梯形ABDE中，AE＝ED＝BD＝a，当等腰梯形ABDE的面积最大时，（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】过点D作于点C，继而表示出ABDE的面积，化简得，
求导，根据导数的正负判断单调性，继而根据单调性得解.
【详解】如图，过点D作于点C，
设等腰梯形ABDE的面积为S，则，
因为，，
所以．
则，令，得或，由于，所以，所以，此时．
当时，；当时，．
故当时，S取得极大值，也是最大值．
故选：B．
3．函数，若恒有，则a的取值范围是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题可知的最小值大于等于0，利用导数求函数的最值即得.
【详解】由题可得，
由，可得，此时单调递减，
由，可得，此时单调递增，
∴，
∴.
故选：C.
4．（多选）已知为自然对数的底数，函数，，则下列结论正确的有（ ）
A．若曲线与相切于点，则，
B．若，，则曲线与相切
C．若，则恒成立
D．若，且的最小值为0，则
【答案】ACD
【分析】利用导数的几何意义，以及利用导数求函数的单调性，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
【详解】对，，
对A：当时，，又，故在处的切线方程为，
即，故此时，故A正确；
对B：令，解得，又，故此时在处的切线方程为：，
即，此时，故错误；
对C：令，则，
则当时，，单调递减；当时，，单调递增.
故，故，则正确；
对D：若，则，
，当时，恒成立，故单调递增，不存在最小值，故舍去；
当时，当时，，单调递减；当时，，单调递增.
故，又其最小值为0
故，解得，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】本题考查导数的几何意义，以及利用导数研究函数的单调性和最值，属综合基础题.
5．已知不等式对任意恒成立，则实数的最大值是 .
【答案】
【分析】依题意，恒成立，构造函数，利用导数求最小值.
【详解】不等式对任意恒成立，即对任意恒成立，
设，，
时，在上恒成立，在上单调递增，无最小值，
函数和函数在上都单调递增，，，不恒成立.
时，恒成立，此时，
时，解得，解得，
在上单调递减，在上单调递增，
当时，有最小值，
故，，，
综上可知，实数的最大值为.
故答案为：.
6．已知函数，若在区间上单增且最大值为0，写出一组符合要求的a，b， ， .
【答案】 0（答案不唯一） （答案不唯一）
【分析】，求出当时，或，根据题意可知，取，而，即可求出值.
【详解】，令，解得或，
若在区间上单调递增，则，最大值为，
则，不妨取，则，
故答案为：0；.（答案不唯一）
7．设函数在区间上的导函数为，在区间上的导函数为，若在区间上恒成立，则称函数在区间上为“凸函数”；已知在上为“凸函数”，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】求出和，由题中所给定义，将参数分离，构造函数求解即可.
【详解】∵，
∴，，
若在为“凸函数”，
则，，
即，，
设，则，
∴在区间单调递增，
当时，，
∴实数的取值范围是.
故答案为：[2,+∞)
8．设函数，其中．若的图像与x轴没有公共点，则a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】利用导数求得函数的最小值，由最小值大于0可得参数范围．
【详解】的定义域是，
．
∵，∴．
∴在上，，严格减；在上，，严格增．
∴．
∵的图像与x轴没有公共点，
∴，∴．
故答案为：．
9．已知函数在区间上存在最小值，则实数 ．
【答案】
【分析】求出导函数，在上确定函数的单调性与最小值，由此确定，利用单调性得最小值，从而求得．
【详解】函数定义域是，因此，
，时，，递减，时，，递增，，
所以，此时在上递增，，解得或（舍去），
故答案为：2．
10．已知，为正实数，函数在上的最大值为，则在上的最小值为 ．
【答案】
【详解】试题分析：∵，为正实数，∴，即.
则在上的最小值为.
考点：导函数的应用、最值问题.
11．已知函数．
(1)若是函数的极值点，求在处的切线方程．
(2)若，求在区间上最大值．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）根据函数的导数在极值点出的函数值为零，求得的值，继而可求得点的坐标，及切线的斜率，即可求得切线方程；
（2）根据函数的单调性，分类讨论比较和的大小，即可求得.
【详解】（1），
又是函数的极值点，
∴，即
∴，
∴，
在处的切线方程为，即，
所以在处的切线方程是
（2），令，得，
∴在单调递减，在单调递增
而，
①当，即时，
②当，即时，
综上，当时，；
当时，
12．已知函数.
(1)讨论的最值；
(2)设，若恰有个零点，求实数的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）首先求导得到，再分类讨论求解函数的最值即可.
（2）首先函数恰有个零点，即恰有个不等的实根，从而得到恰有个不等的实根，设，则，得到有两个解，再设令，利用单调性和最值求解即可.
【详解】（1）由题得，，
当时，，在上单调递减，故无最值
当时，令，得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
故在处取得唯一的极小值，即为最小值，
即，
综上所述，当时，无最值
当时，的最小值为，无最大值.
（2），
函数恰有个零点，即恰有个不等的实根，
即恰有个不等的实根，
设，则，
，单调递增，
有两个解，即有两个解.
令，则，
当时，，单调递增
当时，，单调递减，
又时，，且，，
当时，，
当时，仅有一个零点，
的取值范围为.
1．已知函数在上单调递减，且满足，.
(1)求的取值范围；
(2)设，求在上的最大值和最小值.
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）由题设条件可得，求出导数后就、、、分类讨论后可求其范围.
（2）易得，求出其导数后就、、、分类讨论后可得参数的取值范围.
【详解】（1）由，得，
则，，
依题意须对于任意 ，有.
当时，因为二次函数 的图像开口向上，
而 ，所以须 ，即.
当 时，对任意 有 ，符合条件；
当时，对于任意 ，，符合条件；
当 时，因，不符合条件，
故的取值范围为.
（2）因
（i）当时，，
在上取得最小值 ，在上取得最大值，
（ii）当 时，对于任意 有.
在 取得最大值 ，在 取得最小值.
（iii）当时，由 得，
① 若 ，即 时，
在上单调递增，在得最小值；
在 取得最大值.
② 若 ，即 时，
在 取得最大值 ，
在 或 取得最小值，而，，
则当 时，在取得最小值，
当 时，在取得最小值.
2．设函数，其中.
（1）讨论的单调性；
（2）若的图象与轴没有公共点，求a的取值范围.
【答案】（1）的减区间为，增区间为；（2）.
【分析】（1）求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调性.
（2）根据及（1）的单调性性可得，从而可求a的取值范围.
【详解】（1）函数的定义域为，
又，
因为，故，
当时，；当时，；
所以的减区间为，增区间为.
（2）因为且的图与轴没有公共点，
所以的图象在轴的上方，
由（1）中函数的单调性可得，
故即.
【点睛】方法点睛：不等式的恒成立问题，往往可转化为函数的最值的符号来讨论，也可以参变分离后转化不含参数的函数的最值问题，转化中注意等价转化.
3．已知函数，其中，e为自然对数的底数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)求函数在区间上的最大值．
【答案】(1)当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在和上单调递减；在上单调递增；
(2)当时，最大值是；当时，最大值是；
当时，在区间上的最大值是.
【分析】（1）先确定函数的定义域然后求导数，讨论，在函数的定义域内解不等式和即可．
（2）欲求函数在区间上的最大值，先求在区间上的单调性，讨论的值，分别求出最大值．
【详解】（1），函数定义域为，．
当时，令，得．
若，则，从而在上单调递增；
若，则，从而在上单调递减．
当时，令，得，解得或，有．
若，则或，从而在和上单调递减；
若，则，从而在上单调递增；
（2）由（1）中求得单调性可知，
当时，在区间上单调递增，最大值是．
当时，在区间上单调递增，最大值是．
当时，在区间上单调递增，在区间单调递减，最大值是．
考点01：函数最值与极值的关系辨析
1．判断正误（正确的写正确，错误的写错误）
（1）函数的最大值不一定是函数的极大值．( )
（2）函数在区间上的最大值与最小值一定在区间端点处取得．( )
（3）有极值的函数一定有最值，有最值的函数不一定有极值．( )
（4）若函数有两个最值，则它们的和大于零．( )
【答案】 正确 错误 错误 错误
【分析】利用极值与最值的关系判断（1）；举反例否定（2）,（3）,（4）.
【详解】（1）函数的最大值不一定是函数的极大值，可能是在区间端点处取得.判断正确；
（2）函数在区间上的最大值与最小值不一定在区间端点处取得，可能函数的极值．判断错误；
（3）函数在区间上有极大值，但没有最小值. 判断错误；
（4）函数在区间上最大值为0，最小值为，二者之和为小于0. 判断错误.
故答案为：正确；错误；错误；错误
2．函数的导函数的图象如图所示，则（ ）
A．是函数的极大值点
B．在区间上单调递增
C．是函数的最小值点
D．在处切线的斜率小于零
【答案】B
【分析】根据导函数图象可判定导函数的符号，从而确定函数的单调性，得到极值点、最值点、切线斜率的正负．
【详解】根据导函数图象可知：当时，，在时，
函数在上单调递减，在上单调递增，是函数的极小值点，故A错误，B正确；
∴在上单调递增，不是函数的最小值点，故C不正确；
∴函数在处的导数大于，切线的斜率大于零，故D不正确.
故选：B
3．（多选）下列关于极值点的说法正确的是（ ）
A．若函数既有极大值又有极小值，则该极大值一定大于极小值
B．在任意给定区间上必存在最小值
C．的最大值就是该函数的极大值
D．定义在上的函数可能没有极值点，也可能存在无数个极值点
【答案】BCD
【分析】A选项可以举出反例，C选项，可以结合函数的单调性，判断出正确；D选项可以举出例子，B选项，从函数的连续性上来进行解决.
【详解】A选项，例如，在处取得极小值，在处取得极大值，而，故极大值不一定大于极小值，A错误，
C选项，，
函数在上单调递增，在上单调递减，
根据极值的定义可知：在处取得极大值，也是最大值，C正确；
对于D，无极值点，有无数个极值点，D正确；
在R上为连续函数，因为连续函数在闭区间上必定存在最值，所以B正确；
故选：BCD．
考点02：由导数求函数的最值(不含参)
4．函数在区间上的（ ）
A．最小值为0，最大值为
B．最小值为0，最大值为
C．最小值为，最大值为
D．最小值为0，最大值为2
【答案】B
【分析】先求得函数的导数，进而得到在区间上单调性，即可求得在区间上最小值和最大值.
【详解】，所以在区间上单调递增，
因此的最小值为，最大值为.
故选：B
5．函数在区间上的最大值为 .
【答案】/
【分析】利用函数的导数判断函数的单调性，然后求解函数的最值即可．
【详解】函数，可得，
可知恒成立，所以函数在区间上是增函数，
所以，时，函数取得最大值：．
故答案为：
6．已知函数．
(1)求的图像在点处的切线方程；
(2)求在上的值域．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）把点代入函数解析式，得切点坐标，通过求导，得到切线的斜率，根据直线的点斜式方程，求切线方程．
（2）解不等式，得函数增区间，解不等式，得函数减区间，结合，确定函数单调性，求得最值，进而得出在上的值域．
【详解】（1）因为，所以，所以，，
故所求切线方程为，即．
（2）由（1）知，．
令，得；令，得．
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以．
又，，
因为，
所以，即在上的值域为．
考点03：已知函数最值求参数
7．已知函数的最小值为0，则实数a的值为 ．
【答案】1
【分析】利用导数研究的单调性和最值，根据最小值求得的值.
【详解】的定义域为，
，
当时，，在区间上递增，没有最小值.
当时，在区间递减；在区间递增.
所以在区间上的最小值为.
故答案为：
8．已知函数在上的最大值为2，则 ．
【答案】1
【分析】先求导可知原函数在上单调递增，求出参数后即可求出.
【详解】解：在上
在上单调递增，且当取得最大值
，可知
故答案为：1
9．已知函数.
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若f(x)≥ 0对定义域内的任意x恒成立，求实数a的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）求导数，然后对进行分类讨论，利用导数的正负，可得函数的单调区间；
（2）利用（1）中函数的单调性，求得函数在处取得最小值，即可求实数的取值范围.
【详解】（1）解：求导可得
①时，令可得，由于知；令，得
∴函数在上单调递减，在上单调递增；
②时，令可得；令，得或，由于知或；
∴函数在上单调递减，在上单调递增；
③时，，函数在上单调递增；
④时，令可得；令，得或，由于知或
∴函数在上单调递减，在上单调递增；
（2）由（1）时，，（不符合，舍去）
当时，在上单调递减，在上单调递增，故函数在处取得最小值，所以函数对定义域内的任意x恒成立时，只需要即可
∴.
综上，.
考点04：函数单调性、极值与最值的综合应用
10．已知实数，则函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】的两边同时取自然对数得到，令，求导得到其单调性，求出的值域，求出答案.
【详解】对的两边同时取自然对数得，，
令
则，令，解得，令，解得，
故在上单调递减，在上单调递增，
故在上取得极小值，也是最小值，
且，
故的值域为，所以的值域为.
故选：D
11．已知函数为实常数）．
(1)若，求证：在上是增函数；
(2)当时，求函数在上的最大值与最小值及相应的值；
(3)若存在，使得成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)见解析
(2)当时，函数有最小值为，
当时，函数有最大值为.
(3)
【分析】(1)利用导数大于零即可证明；(2)利用导数讨论函数的单调性即可求解给定区间内的最值；(3)利用导数讨论单调性与最值，即可解决能成立问题.
【详解】（1）由题可知函数的定义域，
因为,所以，所以，
令解得，
所以在上是增函数.
（2）因为,所以，所以，
令解得，令解得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，函数有最小值为，
因为，
所以当时，函数有最大值为.
（3）由得，即，
因为，所以，所以，
且当时，所以在恒成立，所以，
即存在时，，
令，，
令，
令，解得，
令，解得，
所以在单调递减，单调递增，
所以，
所以时，恒成立，
所以，
所以实数的取值范围是.
12．已知函数在处的切线斜率为2.
(1)求的值；
(2)求函数在上的最值.
【答案】(1)
(2)最小值为，最大值为
【分析】（1）根据切线斜率求参即可；
（2）根据导函数为正得出函数的单调性求出函数最值.
【详解】（1）因为，所以，
由题得，故.
（2）由（1）得，则，
在上单调递增，
故最小值为，最大值为.
考点05：由导数求函数的最值(含参)
13．已知函数，当时的最大值为3，最小值为－6，则＝ .
【答案】
【分析】利用函数导数得到函数的单调区间，进而得到的极小值，联立解方程组解出即可.
【详解】由题可知，
因为，，所以，
令，即，解得，
令，即，解得，
所以在单调递减，单调递增，
所以，
又因为所以，
所以
所以解得所以.
故答案为:.
14．已知函数的最小值为0，则 .
【答案】
【分析】求导，分类讨论函数的单调性即可求解最值.
【详解】因为，所以.
若，则在上单调递减，无最小值.
若，则在上单调递减，在上单调递增，所以，解得.
故答案为：
15．已知函数．
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)当时，求函数的最大值．
【答案】(1)在上为增函数；在上为减函数；
(2)
【分析】（1）直接利用函数的导数确定函数的单调区间．
（2）求导根据函数的单调性即可求解最值．
【详解】（1）的定义域为，
当时，，，
当，解得：，
当，解得：．
在上为增函数；在上为减函数；
（2）的定义域为，
，
当时，令，得，令时，得，
的递增区间为，递减区间为．
.
1．圆柱的轴截面是周长为12的矩形，则满足条件的圆柱的最大体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由条件确定，再将体积转化为关于的三次函数，利用导数求体积的最大值.
【详解】圆柱的底面半径为，高为，则，即，
圆柱的体积，，
，
当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，
所以，当时，函数取得最大值，最大值.
故选：A
2．如图所示，在等腰梯形ABDE中，AE＝ED＝BD＝a，当等腰梯形ABDE的面积最大时，（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】过点D作于点C，继而表示出ABDE的面积，化简得，
求导，根据导数的正负判断单调性，继而根据单调性得解.
【详解】如图，过点D作于点C，
设等腰梯形ABDE的面积为S，则，
因为，，
所以．
则，令，得或，由于，所以，所以，此时．
当时，；当时，．
故当时，S取得极大值，也是最大值．
故选：B．
3．函数，若恒有，则a的取值范围是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题可知的最小值大于等于0，利用导数求函数的最值即得.
【详解】由题可得，
由，可得，此时单调递减，
由，可得，此时单调递增，
∴，
∴.
故选：C.
4．（多选）已知为自然对数的底数，函数，，则下列结论正确的有（ ）
A．若曲线与相切于点，则，
B．若，，则曲线与相切
C．若，则恒成立
D．若，且的最小值为0，则
【答案】ACD
【分析】利用导数的几何意义，以及利用导数求函数的单调性，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
【详解】对，，
对A：当时，，又，故在处的切线方程为，
即，故此时，故A正确；
对B：令，解得，又，故此时在处的切线方程为：，
即，此时，故错误；
对C：令，则，
则当时，，单调递减；当时，，单调递增.
故，故，则正确；
对D：若，则，
，当时，恒成立，故单调递增，不存在最小值，故舍去；
当时，当时，，单调递减；当时，，单调递增.
故，又其最小值为0
故，解得，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】本题考查导数的几何意义，以及利用导数研究函数的单调性和最值，属综合基础题.
5．已知不等式对任意恒成立，则实数的最大值是 .
【答案】
【分析】依题意，恒成立，构造函数，利用导数求最小值.
【详解】不等式对任意恒成立，即对任意恒成立，
设，，
时，在上恒成立，在上单调递增，无最小值，
函数和函数在上都单调递增，，，不恒成立.
时，恒成立，此时，
时，解得，解得，
在上单调递减，在上单调递增，
当时，有最小值，
故，，，
综上可知，实数的最大值为.
故答案为：.
6．已知函数，若在区间上单增且最大值为0，写出一组符合要求的a，b， ， .
【答案】 0（答案不唯一） （答案不唯一）
【分析】，求出当时，或，根据题意可知，取，而，即可求出值.
【详解】，令，解得或，
若在区间上单调递增，则，最大值为，
则，不妨取，则，
故答案为：0；.（答案不唯一）
7．设函数在区间上的导函数为，在区间上的导函数为，若在区间上恒成立，则称函数在区间上为“凸函数”；已知在上为“凸函数”，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】求出和，由题中所给定义，将参数分离，构造函数求解即可.
【详解】∵，
∴，，
若在为“凸函数”，
则，，
即，，
设，则，
∴在区间单调递增，
当时，，
∴实数的取值范围是.
故答案为：[2,+∞)
8．设函数，其中．若的图像与x轴没有公共点，则a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】利用导数求得函数的最小值，由最小值大于0可得参数范围．
【详解】的定义域是，
．
∵，∴．
∴在上，，严格减；在上，，严格增．
∴．
∵的图像与x轴没有公共点，
∴，∴．
故答案为：．
9．已知函数在区间上存在最小值，则实数 ．
【答案】
【分析】求出导函数，在上确定函数的单调性与最小值，由此确定，利用单调性得最小值，从而求得．
【详解】函数定义域是，因此，
，时，，递减，时，，递增，，
所以，此时在上递增，，解得或（舍去），
故答案为：2．
10．已知，为正实数，函数在上的最大值为，则在上的最小值为 ．
【答案】
【详解】试题分析：∵，为正实数，∴，即.
则在上的最小值为.
考点：导函数的应用、最值问题.
11．已知函数．
(1)若是函数的极值点，求在处的切线方程．
(2)若，求在区间上最大值．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）根据函数的导数在极值点出的函数值为零，求得的值，继而可求得点的坐标，及切线的斜率，即可求得切线方程；
（2）根据函数的单调性，分类讨论比较和的大小，即可求得.
【详解】（1），
又是函数的极值点，
∴，即
∴，
∴，
在处的切线方程为，即，
所以在处的切线方程是
（2），令，得，
∴在单调递减，在单调递增
而，
①当，即时，
②当，即时，
综上，当时，；
当时，
12．已知函数.
(1)讨论的最值；
(2)设，若恰有个零点，求实数的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）首先求导得到，再分类讨论求解函数的最值即可.
（2）首先函数恰有个零点，即恰有个不等的实根，从而得到恰有个不等的实根，设，则，得到有两个解，再设令，利用单调性和最值求解即可.
【详解】（1）由题得，，
当时，，在上单调递减，故无最值
当时，令，得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
故在处取得唯一的极小值，即为最小值，
即，
综上所述，当时，无最值
当时，的最小值为，无最大值.
（2），
函数恰有个零点，即恰有个不等的实根，
即恰有个不等的实根，
设，则，
，单调递增，
有两个解，即有两个解.
令，则，
当时，，单调递增
当时，，单调递减，
又时，，且，，
当时，，
当时，仅有一个零点，
的取值范围为.
1．已知函数在上单调递减，且满足，.
(1)求的取值范围；
(2)设，求在上的最大值和最小值.
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）由题设条件可得，求出导数后就、、、分类讨论后可求其范围.
（2）易得，求出其导数后就、、、分类讨论后可得参数的取值范围.
【详解】（1）由，得，
则，，
依题意须对于任意 ，有.
当时，因为二次函数 的图像开口向上，
而 ，所以须 ，即.
当 时，对任意 有 ，符合条件；
当时，对于任意 ，，符合条件；
当 时，因，不符合条件，
故的取值范围为.
（2）因
（i）当时，，
在上取得最小值 ，在上取得最大值，
（ii）当 时，对于任意 有.
在 取得最大值 ，在 取得最小值.
（iii）当时，由 得，
① 若 ，即 时，
在上单调递增，在得最小值；
在 取得最大值.
② 若 ，即 时，
在 取得最大值 ，
在 或 取得最小值，而，，
则当 时，在取得最小值，
当 时，在取得最小值.
2．设函数，其中.
（1）讨论的单调性；
（2）若的图象与轴没有公共点，求a的取值范围.
【答案】（1）的减区间为，增区间为；（2）.
【分析】（1）求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调性.
（2）根据及（1）的单调性性可得，从而可求a的取值范围.
【详解】（1）函数的定义域为，
又，
因为，故，
当时，；当时，；
所以的减区间为，增区间为.
（2）因为且的图与轴没有公共点，
所以的图象在轴的上方，
由（1）中函数的单调性可得，
故即.
【点睛】方法点睛：不等式的恒成立问题，往往可转化为函数的最值的符号来讨论，也可以参变分离后转化不含参数的函数的最值问题，转化中注意等价转化.
3．已知函数，其中，e为自然对数的底数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)求函数在区间上的最大值．
【答案】(1)当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在和上单调递减；在上单调递增；
(2)当时，最大值是；当时，最大值是；
当时，在区间上的最大值是.
【分析】（1）先确定函数的定义域然后求导数，讨论，在函数的定义域内解不等式和即可．
（2）欲求函数在区间上的最大值，先求在区间上的单调性，讨论的值，分别求出最大值．
【详解】（1），函数定义域为，．
当时，令，得．
若，则，从而在上单调递增；
若，则，从而在上单调递减．
当时，令，得，解得或，有．
若，则或，从而在和上单调递减；
若，则，从而在上单调递增；
（2）由（1）中求得单调性可知，
当时，在区间上单调递增，最大值是．
当时，在区间上单调递增，最大值是．
当时，在区间上单调递增，在区间单调递减，最大值是．
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