北师大版数学高二选择性必修第二册 综合检测卷

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综合检测卷（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知数列的通项公式，则123是该数列的（    ）A．第9项 B．第10项 C．第11项 D．第12项【答案】C【分析】根据通项公式可直接求出.【详解】由，解得（舍去），故选：C．2．若函数，则（    ）A．0 B． C． D．【答案】A【分析】求导，再令即可得解.【详解】，所以.故选：A.3．在数列中，，，则（    ）A．2 B． C． D．【答案】A【分析】逐项计算，再根据数列的周期性求解即可.【详解】由题意，，，，，故数列满足，故.故选：A4．如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的和除以与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做“和差等比数列”．已知是“和差等比数列”，，则满足使不等式的的最小值是（    ）A．8 B．7 C．6 D．5【答案】C【分析】根据“和差等比数列”的定义，依次求得，，，的值，从而求得正确答案.【详解】法一：由题可得：，则，解得，由，，由，解得，由，解得.法二：依题意，，得，则数列是首项为1，公比为3的等比数列，所以，检验知，当时，成立，所以的最小值是6.故选：C.5．函数的单调递增区间是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】求出函数的定义域与导函数，再令，解得即可.【详解】函数的定义域为，且，令，解得，所以的单调递增区间为.故选：D6．已知数列满足，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据递推关系可证明为等差数列，即可求解.【详解】，所以，，所以为等差数列，且公差为1，首项为1，故，即，故选：B7．已知函数，则不等式的解集是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用导数及导函数的单调性判断极小值点在，再由函数的单调性及可得不等式的解集.【详解】因为单调递增，且，，所以存在唯一，使得，所以当时，，当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，又，且，所以由可得，故选：A8．已知，则（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】构造函数，对求导可得在上单调递减，可得，即，再由作差法比较的大小，即可得出答案.【详解】令,,当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，因为，所以，即，所以可得，故，因为，所以，故.故选：D.选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得部分分，有选错的得09．小苏向小州买售价为S元的商品A．由于商品A的珍贵，只有小州自己知道S的值．因此，小苏只能不断花钱购买．若当小苏支付了x元时，有，则小苏可获得商品A；否则小苏支付了x元但一无所获．此外，小苏也可以向小州提出一个问题来帮他获得商品A．例如：小苏依次支付1元、2元、、S元，则小苏用了元获得商品A．若x、S均为正整数，下列说法正确的是（    ）A．不问问题的情况下，3S元一定能使小苏获得商品AB．不问问题的情况下，4S元一定能使小苏获得商品AC．若在问出恰当的问题的情况下，3S元一定能使小苏获得商品AD．若在问出恰当的问题的情况下，元一定能使小苏获得商品A【答案】CD【分析】本题的意思是小苏采用逐步递增加价的方式购买A商品，当所付款 时才可得到A，据此逐项分析.【详解】对于A，必须是最后一次付款 ，即 ， ，即当A的价格 时，才能买到，A错误；对于B，与A同理，只有当 时才成立，B错误；对于C，D，只要问清楚小洲具体的价格，采用一次性付清就一定可以，所以CD正确；故选：CD.10．已知函数的导函数的图象如图所示，下列说法正确的是（    ）  A．函数在上单调递增 B．函数在上单调递减C．函数在处取得极大值 D．函数有最大值【答案】BC【分析】根据导数符号与原函数单调性之间的关系可得的单调性，进而逐项分析判断.【详解】由题意可知：当时，（不恒为0）；当时，；所以在上单调递减，在上单调递增.可知：A错误；B正确；且函数在处取得极大值，故C正确；虽然确定的单调性，但没有的解析式，故无法确定的最值，故D错误；故选：BC.11．（多选题）数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，是意大利数学家莱昂纳多斐波那契在他写的算盘全数中提出的，所以它常被称作斐波那契数列该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它的前面两个数的和．记斐波那契数列为，其前n项和为，则下列结论正确的有（    ）A．不一定是偶数 B．C． D．【答案】BCD【分析】对于A，先由特殊值进行归纳、猜想，可得答案；对于B，由题意，根据求和定义和数列特点，直接求和；对于C，先求前面几个式子成立，可得规律，解得答案；对于D，由题意，根据裂项相消的原理，可得答案.【详解】对于A选项，为奇数，，为偶数，则为奇数，为奇数，为偶数，…，以此类推，观察分析发现，这个数列的数字是按照奇数、奇数、偶数这三个一组循环排列的，故A不正确；对于B选项，又，，故B正确；对于C 选项，，，以此类推，故C正确；对于D选项，，所以，故D正确．故选：BCD.三．填空题 本题共3小题，每小题5分，共15分12．如图，某校园有一块半径为20 m的半圆形绿化区域（以为圆心，为直径），现对其进行改建，在的延长线上取点D，，在半圆上选定一点C，改建后绿化区域由扇形区域和三角形区域组成，设.若改建后绿化区域的面积为，则为 rad时，改建后的绿化区域面积取得最大值.【答案】【分析】先求出绿化区域面积的表达式，结合导数求解最值.【详解】，，由，当时，，为增函数；当，，为减函数，所以当时，取得最大值.故答案为：.13．已知数列是递减数列，且，则实数t的取值范围为 ．【答案】【分析】由题可得，后分，，三种情况讨论即可得答案.【详解】∵数列是递减数列，∴，即，化简得．当时，的值有正有负，∴不恒成立；当时，，，∴不成立；当时，，由题意得，.注意到函数在上单调递增，故当时，取得最小值，即有，解得，∴实数t的取值范围为．故答案为：.14．已知定义在上的函数关于轴对称，其导函数为，当时，不等式．若对，不等式恒成立，则的取值范围是 .【答案】【分析】构造函数，判断单调性及奇偶性，去掉函数符号，转化为恒成立,分离参数求最值即可求解.【详解】定义在上的函数关于轴对称，函数为上的偶函数．令，则,为奇函数．．当时，不等式．，在单调递增．函数在上单调递增．对，不等式恒成立，,即．当时，，则，则；；故在单调递减，在单调递增；可得时，函数取得极小值即最小值，．当时，，则，则则的取值范围是.故答案为：.四．解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步15．（13分）已知函数的图象过点，且在点P处的切线恰好与直线垂直．(1)求函数的解析式；(2)若函数在区间上单调递增，求实数m的取值范围．【答案】(1)(2)或【分析】(1)将点坐标代入函数解析式得到关于的方程，再根据函数在切点处的导数等于切线的斜率再建立关于的另一个方程，即可求出，即可确定函数的解析式; (2)求出函数的单调区间，利用可求解.【详解】（1）因为函数的图象过点,所以,又因为,且点P处的切线恰好与直线垂直,所以,由解得,所以.（2）由(1)知，令，即，解得或，令，即，解得，所以在单调递增，单调递减，单调递增，根据函数在区间上单调递增，则有或，解得或.16．（15分）已知数列中，，且满足．设，.(1)求数列的通项公式；(2)求数列的通项公式；【答案】(1)；(2)【分析】（1）依题意可得，即，从而得到数列是以为首项，为公比的等比数列，即可求出其通项公式；（2）利用累加法及等比数列求和公式计算可得.【详解】（1）∵，，∴，∵，∴，又，∴数列是以为首项，为公比的等比数列，∴，.（2）∵，∴，所以.17．（15分）已知函数，.(1)求函数图象在处的切线方程．(2)若对于函数图象上任意一点处的切线，在函数图象上总存在一点处的切线，使得，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）计算出，的值，由此即可得解；（2）首先，由题意得出总存在，即的值域包含，由此即可列出不等式组求解.【详解】（1），，，所以函数图象在处的切线方程为，即.（2）由（1）可得，，若对于函数图象上任意一点处的切线，在函数图象上总存在一点处的切线，使得，即对任意的，总存在使得，即，又，从而的值域包含，当时，的值域为，所以，解得，当时，的值域为，所以，解得，即实数的取值范围为.18．（17分）记等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，且.(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和.【答案】(1)，(2)【分析】（1）根据得到和的关系式，同理得到和的关系式，根据是等比数列和是等比数列求出和的通项；（2）令，对分偶数和奇数讨论即可.【详解】（1）得：，或，同理：或，是等差数列，，是等比数列；（2）令，其前项和为，当为偶数时，当为奇数时，.综上所述，.19．（17分）固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线．1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程为，其中为参数．当时，就是双曲余弦函数，类似地我们可以定义双曲正弦函数．它们与正、余弦函数有许多类似的性质．(1)类比正、余弦函数导数之间的关系，，，请写出，具有的类似的性质（不需要证明）；(2)当时，恒成立，求实数的取值范围；(3)求的最小值．【答案】(1),(2)(3)0【分析】（1）求导即可得结论;（2）构造函数,求导,并结合分类讨论确定函数的最小值即可求解;（3）多次求导最终判断函数单调在内单调递增,且函数为偶函数从而确定最小值.【详解】（1）求导易知,.（2）构造函数，，由（1）可知，①当时，由,可知，，故单调递增，此时，故对任意，恒成立，满足题意；②当时，令，，则，可知单调递增，由与可知，存在唯一，使得，故当时，，则在内单调递减，故对任意，，即，矛盾；综上所述，实数的取值范围为．（3），，令，则；令，则，当时，由（2）可知，，则，令，则，故在内单调递增，则，故在内单调递增，则，故在内单调递增，则，故在内单调递增，因为，即为偶函数，故在内单调递减，则，故当且仅当时，取得最小值0．