2024年中考数学真题完全解读（福建卷）

这是一份2024年中考数学真题完全解读（福建卷），共23页。试卷主要包含了错题整理，速度训练等内容，欢迎下载使用。

2024年福建省中考较2023年、2022年难度上有所提升,整体难度适中,知识点考查指向明确,层次分
明,试题更具有区分度。该卷注重代数能力考查,同时也对几何辅助线及模型提出更高的要求。此外,本卷
高度重视数学的应用意识导向,试题多处以生活中的数学为素材,考查学生的应用意识、探究意识。
对比近几年从各地质检及中考来看，都能发现数学考试与其他学科结合变多，材料分析题阅读量增大，直接导致的结果就是很多学生理解上造成困难；有的是因为信息量而漏条件；有的是因为非数学语言的描述导致理解有偏差，考查学生的获取信息的能力，而并非机械式的刷题；题目考法更新颖，不是考纯粹的刷题就可以的解决，重在考查学生的数学基本涵养，也考验学生的耐心
综上而言,本卷更注重对基础知识的活学活用,同时重视数学与生活的联系,对数学思维也提出了更高
的要求。
2024年中考题目有一些明显变化,比如,二次函数虽然依旧考查经典的面积转化问题,但是难度降低,由
原来的25题变为21题。23题考查代数能力,属于数论的知识,尤其第二问题中的数的特征问题。24题的题
目考查空间能力、推理能力等。填空题16题属于跨学科结合的题型。
一、重抓基础，基础是保障；这两年的选填难度都比较低，一定要重视双基，重抓双基。基础决定着下限！
二、错题整理、分析+题型变化；从本次中考来看，考察了材料型阅读的逻辑能力，同今年高考来说，主要的重难点考察方向都是逻辑思考，思维训练。建议多刷刷各类题型，不要定式刷题。
三、速度训练、时间分配训练；很多孩子时间分配不合理，导致做题做不完，或者没办法静下心来思考，这也是导致丢分很重要的一个因素，平时一定要做定时训练，严格把控时间，不会的该放就放，有时候遗憾也是一种美。
2024年福建卷数学试题
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的。
1．下列实数中，无理数是（ ）
A．−3B．0C．23D．5
【答案】D
【分析】无理数就是无限不循环小数，理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数，由此即可判定选择项．
本题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π,2π等；开方开不尽的数；以及像，等数．
【详解】根据无理数的定义可得：无理数是5
故选：D．
2．据《人民日报》3月12日电，世界知识产权组织近日公布数据显示，2023年，全球PCT（《专利合作条约》）国际专利申请总量为27.26万件，中国申请量为69610件，是申请量最大的来源国．数据69610用科学记数法表示为（ ）
A．6961×10B．696.1×102C．6.961×104D．0.6961×105
【答案】C
【分析】根据科学记数法的定义解答，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤∣a∣<10,n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
本题考查了科学记数法，熟悉科学记数法概念是解题的关键．
【详解】69610=6.961×104
故选：C．
3．如图是由长方体和圆柱组成的几何体，其俯视图是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了简单组合体的三视图，根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
【详解】解：这个立体图形的俯视图是一个圆形，圆形内部中间是一个长方形．
故选：C．
4．在同一平面内，将直尺、含30°角的三角尺和木工角尺（CD ⊥ DE）按如图方式摆放，若AB ∥ CD，则∠1的大小为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
【答案】A
【分析】本题考查了平行线的性质，由AB ∥ CD，可得∠CDB=60°，即可求解．
【详解】∵AB ∥ CD，
∴∠CDB=60°，
∵CD ⊥ DE，则∠CDE=90°，
∴∠1=180°−∠CDB−∠CDE=30°，
故选：A．
5．下列运算正确的是（ ）
A．a3⋅a3=a9B．a4÷a2=a2C．a32=a5D．2a2−a2=2
【答案】B
【分析】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项，解题的关键是掌握同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项运算法则．
利用同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项计算后判断正误．
【详解】解：a3⋅a3=a6，A选项错误；
a4÷a2=a2，B选项正确；
a32=a6，C选项错误；
2a2−a2=a2，D选项错误；
故选：B．
6．哥德巴赫提出“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和”的猜想，我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．在质数2，3，5中，随机选取两个不同的数，其和是偶数的概率是（ ）
A．14B．13C．12D．23
【答案】B
【分析】此题考查了树状图或列表法求概率，根据题意画出树状图，求和后利用概率公式计算即可．
【详解】解：画树状图如下：
由树状图可知，共有6种不同情况，和是偶数的共有2种情况，故和是偶数的概率是
26=13，
故选：B
7．如图，已知点A,B在⊙O上，∠AOB=72°，直线MN与⊙O相切，切点为C，且C为AB的中点，则∠ACM等于（ ）
A．18°B．30°C．36°D．72°
【答案】A
【分析】本题考查了切线的性质，三角形内角和以及等腰三角形的性质，根据C为AB⏜的中点，三角形内角和可求出∠OCA=12×(180°−36°)=72°，再根据切线的性质即可求解．
【详解】∵∠AOB=72°，C为AB的中点，
∴∠AOC=36°
∵OA=OC
∴∠OCA=12×(180°−36°)=72°
∵直线MN与⊙O相切，
∴∠OCM=90°，
∴∠ACM=∠OCM−∠OCA=18°
故选：A．
8．今年我国国民经济开局良好，市场销售稳定增长，社会消费增长较快，第一季度社会消费品零售总额120327亿元，比去年第一季度增长4.7%，求去年第一季度社会消费品零售总额．若将去年第一季度社会消费品零售总额设为x亿元，则符合题意的方程是（ ）
A．1+4.7%x=120327B．1−4.7%x=120327
C．x1+4.7%=120327D．x1−4.7%=120327
【答案】A
【分析】本题主要考查了列一元一次方程，解题的关键是理解题意，找出等量关系，根据今年第一季度社会消费品零售总额120327亿元，比去年第一季度增长4.7%，列出方程即可．
【详解】解：将去年第一季度社会消费品零售总额设为x亿元，根据题意得：
1+4.7%x=120327，
故选：A．
9．小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案．如图，其中△OAB与△ODC都是等腰三角形，且它们关于直线l对称，点E，F分别是底边AB，CD的中点，OE⊥OF．下列推断错误的是（ ）
A．OB⊥ODB．∠BOC=∠AOB
C．OE=OFD．∠BOC+∠AOD=180°
【答案】B
【分析】本题考查了对称的性质，等腰三角形的性质等；
A.由对称的性质得∠AOB=∠DOC，由等腰三角形的性质得 ∠BOE=12∠AOB，∠DOF=12∠DOC，即可判断；
B.∠BOC不一定等于∠AOB，即可判断；
C.由对称的性质得△OAB≌△ODC，由全等三角形的性质即可判断；
D. 过O作GM⊥OH，可得 ∠GOD=∠BOH，由对称性质得∠BOH=∠COH同理可证∠AOM=∠BOH，即可判断；
掌握轴对称的性质是解题的关键．
【详解】解：A.∵ OE⊥OF，
∴∠BOE+∠BOF=90°，
由对称得∠AOB=∠DOC，
∵点E，F分别是底边AB，CD的中点，△OAB与△ODC都是等腰三角形，
∴∠BOE=12∠AOB，∠DOF=12∠DOC，
∴∠BOF+∠DOF=90°，
∴OB⊥OD，结论正确，故不符合题意；
B.∠BOC不一定等于∠AOB，结论错误，故符合题意；
C.由对称得△OAB≌△ODC，
∵点 E ，F分别是底边AB，CD的中点，
∴OE=OF，结论正确，故不符合题意；
D.
过O作GM⊥OH，
∴∠GOD+∠DOH=90°，
∵∠BOH+∠DOH=90°，
∴∠GOD=∠BOH，由对称得∠BOH=∠COH，
∴∠GOD=∠COH，
同理可证∠AOM=∠BOH，
∴∠AOD+∠BOC =∠AOD+∠AOM+∠DOG =180°，结论正确，故不符合题意；
故选：B．
10．已知二次函数y=x2−2ax+aa≠0的图象经过Aa2,y1，B3a,y2两点，则下列判断正确的是（ ）
A．可以找到一个实数a，使得y1>aB．无论实数a取什么值，都有y1>a
C．可以找到一个实数a，使得y2<0D．无论实数a取什么值，都有y2<0
【答案】C
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据题意得到二次函数开口向上，且对称轴为x=−−2a2=a，顶点坐标为a,a−a2，再分情况讨论，当a>0时，当a<0时，y1， y2的大小情况，即可解题．
【详解】解：∵二次函数解析式为y=x2−2ax+aa≠0，
∴二次函数开口向上，且对称轴为x=−−2a2=a，顶点坐标为a,a−a2，
当x=a2时，y1=a24−a2+a=a−34a2，
当a>0时，0∴ a>y1>a−a2，
当a<0时，a∴ a−a2故A、B错误，不符合题意；
∵当a>0时，0由二次函数对称性可知，y2>a>0，
当a<0时，3a<2aa，不一定大于0，
故C正确符合题意；D错误，不符合题意；
故选：C．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分
11．因式分解：x2+x= ．
【答案】xx+1
【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，直接提取公因式x即可．
【详解】解：x2+x=xx+1
12．不等式3x−2<1的解集是 ．
【答案】x<1
【分析】本题考查的是解一元一次不等式，通过移项，未知数系数化为1，求解即可解．
【详解】解：3x−2<1，
3x<3，
x<1，
故答案为：x<1．
13．学校为了解学生的安全防范意识，随机抽取了12名学生进行相关知识测试，将测试成绩整理得到如图所示的条形统计图，则这12名学生测试成绩的中位数是 ．（单位：分）
【答案】90
【分析】本题考查了中位数的知识，解题的关键是了解中位数的求法，难度不大．
根据中位数的定义（数据个数为偶数时，排序后，位于中间位置的数为中位数），结合图中的数据进行计算即可；
【详解】解：∵共有12个数，
∴中位数是第6和7个数的平均数，
∴中位数是(90+90)÷2=90；
故答案为：90．
14．如图，正方形ABCD的面积为4，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，AD的中点，则四边形EFGH的面积为 ．

【答案】2
【分析】本题考查正方形性质，线段中点的性质，根据正方形性质和线段中点的性质得到HD=DG=1，进而得到S△DGH，同理可得S△AHE=S△EFB=S△CGF=12，最后利用四边形EFGH的面积=正方形ABCD的面积−4个小三角形面积求解，即可解题．
【详解】解：∵正方形ABCD的面积为4，
∴AB=BC=CD=AD=2，∠D=90°，
∵点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，AD的中点，
∴HD=DG=1，
∴S△DGH=12×1×1=12，
同理可得S△AHE=S△EFB=S△CGF=12，
∴四边形EFGH的面积为4−12−12−12−12=2．
故答案为：2．
15．如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=kx的图象与⊙O交于A,B两点，且点A,B都在第一象限．若A1,2，则点B的坐标为 ．
【答案】2,1
【分析】本题考查了反比例函数的性质以及勾股定理，完全平方公式的应用，先根据A1,2得出k=2，设Bn，m，则nm=k=2，结合完全平方公式的变形与应用得出m+2m=3，m2−3m+2=m−1m−2=0，结合A1,2，则B2，1，即可作答．
【详解】解：如图：连接OA，OB
∵反比例函数y=kx的图象与⊙O交于A,B两点，且A1,2
∴2=k1，k=2
设Bn，m，则nm=k=2
∵OB=OA=22+12=5
∴m2+n2=52=5
则m+n2=m2+n2+2mn=5+4=9
∵点B在第一象限
∴m+n=3
把nm=k=2代入得m+2m=3，m2−3m+2=m−1m−2=0
∴m1=1，m2=2
经检验：m1=1，m2=2都是原方程的解
∵A1,2
∴B2，1
故答案为：2，1
16．无动力帆船是借助风力前行的．下图是帆船借助风力航行的平面示意图，已知帆船航行方向与风向所在直线的夹角∠PDA为70°，帆与航行方向的夹角∠PDQ为30°，风对帆的作用力F为400N．根据物理知识，F可以分解为两个力F1与F2，其中与帆平行的力F1不起作用，与帆垂直的力F2仪可以分解为两个力f1与f2,f1与航行方向垂直，被舵的阻力抵消；f2与航行方向一致，是真正推动帆船前行的动力．在物理学上常用线段的长度表示力的大小，据此，建立数学模型：F=AD=400，则f2=CD= ．（单位：N）（参考数据：sin40°=0.64,cs40°=0.77）
【答案】128
【分析】此题考查了解直角三角形的应用，求出∠ADQ=40°，∠1=∠PDQ=30°，由AB∥QD得到∠BAD=∠ADQ=40°，求出F2=BD=AD⋅sin∠BAD=256，求出∠BDC=90°−∠1=60°在Rt△BCD中，根据f2=CD=BD⋅cs∠BDC即可求出答案．
【详解】解：如图，
∵帆船航行方向与风向所在直线的夹角∠PDA为70°，帆与航行方向的夹角∠PDQ为30°，
∴∠ADQ=∠PDA−∠PDQ=70°−30°=40°，∠1=∠PDQ=30°，
∵AB∥QD，
∴∠BAD=∠ADQ=40°，
在Rt△ABD中，F=AD=400，∠ABD=90°，
∴F2=BD=AD⋅sin∠BAD=400×sin40°=400×0.64=256，
由题意可知， BD⊥DQ，
∴∠BDC+∠1=90°，
∴∠BDC=90°−∠1=60°
在Rt△BCD中，BD=256,∠BCD=90°，
∴f2=CD=BD⋅cs∠BDC=256×cs60°=256×12=128，
故答案为：128
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（8分）计算：(−1)0+−5−4．
【答案】4
【分析】本题考查零指数幂、绝对值、算术平方根等基础知识，熟练掌握运算法则是解题的关键．
根据零指数幂、绝对值、算术平方根分别计算即可；
【详解】解：原式=1+5−2 =4．
18．（8分）如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在BC、CD边上，∠AEB=∠AFD，求证：BE=DF．
【答案】见解析
【分析】本题考查菱形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答的关键．根据菱形的性质证得AB=AD，∠B=∠D，再根据全等三角形的判定证明△ABE≌△ADFAAS即可．
【详解】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，∠B=∠D，
∵∠AEB=∠AFD，
∴△ABE≌△ADFAAS，
∴BE=DF．
19．（8分）解方程：3x+2+1=xx−2．
【答案】x=10．
【分析】本题考查解分式方程,掌握解分式方程的步骤和方法，将分式方程化为整式方程求解，即可解题．
【详解】解：3x+2+1=xx−2，
方程两边都乘x+2x−2，得3x−2+x+2x−2=xx+2．
去括号得：3x−6+x2−4=x2+2x，
解得x=10．
经检验，x=10是原方程的根．
20．（8分）已知A、B两地都只有甲、乙两类普通高中学校．在一次普通高中学业水平考试中，A地甲类学校有考生3000人，数学平均分为90分：乙类学校有考生2000人，数学平均分为80分．
(1)求A地考生的数学平均分；
(2)若B地甲类学校数学平均分为94分，乙类学校数学平均分为82分，据此，能否判断B地考生数学平均分一定比A地考生数学平均分高？若能，请给予证明：若不能，请举例说明．
【答案】(1)86；
(2)不能，举例见解析．
【分析】本小题考查加权平均数等基础知识，
（1）根据平均数的概念求解即可；
（2）根据平均数的意义求解即可．
【详解】（1）由题意，得A地考生的数学平均分为15000×90×3000+80×2000=86．
（2）不能．
举例如下：如B地甲类学校有考生1000人，乙类学校有考生3000人，则B地考生的数学平均分为
14000×94×1000+82×3000=85．
因为85<86，
所以不能判断B地考生数学平均分一定比A地考生数学平均分高．
21．（8分）如图，已知二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C，其中A−2,0,C0,−2．
(1)求二次函数的表达式；
(2)若P是二次函数图象上的一点，且点P在第二象限，线段PC交x轴于点D,△PDB的面积是△CDB的面积的2倍，求点P的坐标．
【答案】(1)y=x2+x−2
(2)−3,4
【分析】本题考查二次函数表达式、二次函数的图象与性质、二元一次方程组、一元二次方程、三角形面积等基础知识，考查运算能力、推理能力、几何直观等.
（1）根据待定系数法求解即可；
（2）设Pm,n，因为点P在第二象限，所以m<0,n>0．依题意，得S△PDBS△CDB=2，即可得出nCO=2，求出n=2CO=4，由m2+m−2=4，求出m，即可求出点P的坐标．
【详解】（1）解：将A−2,0,C0,−2代入y=x2+bx+c，
得4−2b+c=0c=−2，
解得b=1c=−2，
所以，二次函数的表达式为y=x2+x−2．
（2）设Pm,n，因为点P在第二象限，所以m<0,n>0．
依题意，得S△PDBS△CDB=2，即12BD⋅n12BD⋅CO=2，所以nCO=2．
由已知，得CO=2，
所以n=2CO=4．
由m2+m−2=4，
解得m1=−3,m2=2（舍去），
所以点P坐标为−3,4．
22．（10分）如图，已知直线l1 ∥ l2．
(1)在l1,l2所在的平面内求作直线l，使得l ∥ l1 ∥ l2，且l与l1间的距离恰好等于l与l2间的距离；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，若l1与l2间的距离为2，点A,B,C分别在l,l1,l2上，且△ABC为等腰直角三角形，求△ABC的面积．
【答案】(1)见解析；
(2)△ABC的面积为1或52．
【分析】本题主要考查基本作图，平行线的性质，全等三角形的判定，勾股定理以及分类讨论思想：
（1）先作出与l2的垂线，再作出夹在l1,l2间垂线段的垂直平分线即可；
（2）分∠BAC=90°,AB=AC；∠ABC=90°,BA=BC；∠ACB=90°,CA=CB三种情况，结合三角形面积公式求解即可
【详解】（1）解：如图，
直线l就是所求作的直线．
（2）①当∠BAC=90°,AB=AC时，
∵l ∥ l1 ∥ l2，直线l1与l2间的距离为2，且l与l1间的距离等于l与l2间的距离，根据图形的对称性可知：BC=2，
∴AB=AC=2，
∴S△ABC=12AB⋅AC=1．
②当∠ABC=90°,BA=BC时，
分别过点A,C作直线l1的垂线，垂足为M,N，
∴∠AMB=∠BNC=90°．
∵l ∥ l1 ∥ l2，直线l1与l2间的距离为2，且l与l1间的距离等于l与l2间的距离，
∴CN=2,AM=1．
∵∠MAB+∠ABM=90°，∠NBC+∠ABM=90°，
∴∠MAB=∠NBC，∴△AMB≌△BNC，
∴BM=CN=2．
在Rt△ABM中，由勾股定理得AB2=AM2+BM2，
∴AB=5．
∴S△ABC=12AB⋅BC=52．
③当∠ACB=90°,CA=CB时，同理可得，S△ABC=52．
综上所述，△ABC的面积为1或52．
23．（10分）已知实数a,b,c,m,n满足3m+n=ba,mn=ca．
(1)求证：b2−12ac为非负数；
(2)若a,b,c均为奇数，m,n是否可以都为整数？说明你的理由．
【答案】(1)证明见解析；
(2)m,n不可能都为整数，理由见解析．
【分析】本小题考查整式的运算、因式分解、等式的性质等基础知识：考查运算能力、推理能力、创新意识等，以及综合应用所学知识分析、解决问题的能力．
（1）根据题意得出b=a3m+n,c=amn，进而计算b2−12ac，根据非负数的性质，即可求解；
（2）分情况讨论，①m,n都为奇数；②m,n为整数，且其中至少有一个为偶数，根据奇偶数的性质结合已知条件分析即可．
【详解】（1）解：因为3m+n=ba,mn=ca，
所以b=a3m+n,c=amn．
则b2−12ac=[a3m+n]2−12a2mn
=a29m2+6mn+n2−12a2mn
=a29m2−6mn+n2
=a2(3m−n)2．
因为a,m,n是实数，所以a2(3m−n)2≥0，
所以b2−12ac为非负数．
（2）m,n不可能都为整数．
理由如下：若m,n都为整数，其可能情况有：①m,n都为奇数；②m,n为整数，且其中至少有一个为偶数．
①当m,n都为奇数时，则3m+n必为偶数．
又3m+n=ba，所以b=a3m+n．
因为a为奇数，所以a3m+n必为偶数，这与b为奇数矛盾．
②当m,n为整数，且其中至少有一个为偶数时，则mn必为偶数．
又因为mn=ca，所以c=amn．
因为a为奇数，所以amn必为偶数，这与c为奇数矛盾．
综上所述，m,n不可能都为整数．
24．（12分）在手工制作课上，老师提供了如图1所示的矩形卡纸ABCD，要求大家利用它制作一个底面为正方形的礼品盒．小明按照图2的方式裁剪（其中AE=FB），恰好得到纸盒的展开图，并利用该展开图折成一个礼品盒，如图3所示．

图1 图2 图3
(1)直接写出ADAB的值；
(2)如果要求折成的礼品盒的两个相对的面上分别印有“吉祥”和“如意”，如图4所示，那么应选择的纸盒展开图图样是（ ）
图4
A． B．
C． D．
(3)
现以小明设计的纸盒展开图（图2）为基本样式，适当调整AE，EF的比例，制作棱长为10cm的正方体礼品盒，如果要制作27个这样的礼品盒，请你合理选择上述卡纸（包括卡纸的型号及相应型号卡纸的张数），并在卡纸上画出设计示意图（包括一张卡纸可制作几个礼品盒，其展开图在卡纸上的分布情况），给出所用卡纸的总费用．
（要求：①同一型号的卡纸如果需要不止一张，只要在一张卡纸上画出设计方案；②没有用到的卡纸，不要在该型号的卡纸上作任何设计；③所用卡纸的数量及总费用直接填在答题卡的表格上；④本题将综合考虑“利用卡纸的合理性”和“所用卡纸的总费用”给分，总费用最低的才能得满分；⑤试卷上的卡纸仅供作草稿用）
【答案】(1)2；
(2)C；
(3)见解析．
【分析】本题考查了几何体的展开与折叠，空间观念、推理能力、模型观念、创新意识等知识，掌握相关知识是解题的关键．
（1）由折叠和题意可知，GH=AE+FB，AH=DH，四边形EFNM是正方形，得到EM=EF，即AG=EF，即可求解；
（2）根据几何体的展开图即可求解；
（3）由题意可得，每张型号Ⅲ卡纸可制作10个正方体，每张型号Ⅱ卡纸可制作2个正方体，每张型号Ⅰ卡纸可制作1个正方体，即可求解．
【详解】（1）解：如图：
上述图形折叠后变成：
由折叠和题意可知，GH=AE+FB，AH=DH，
∵四边形EFNM是正方形，
∴EM=EF，即AG=EF，
∴GH+AG=AE+FB+EF，即AH=AB，
∵AH=DH，
∴ADAB=AH+DHAB=2，
∴ADAB的值为：2．
（2）解：根据几何体的展开图可知，“吉”和“如”在对应面上，“祥”和“意”在对应面上，而对应面上的字中间相隔一个几何图形，且字体相反，
∴C选项符合题意，
故选：C．
（3）解：
根据（1）和题意可得：卡纸每格的边长为5cm，则要制作一个边长为10cm的正方体的展开图形为：
∴型号Ⅲ卡纸，每张卡纸可制作10个正方体，如图：
型号Ⅱ卡纸，每张这样的卡纸可制作2个正方体，如图：
型号Ⅰ卡纸，每张这样的卡纸可制作1个正方体，如图：
∴可选择型号Ⅲ卡纸2张，型号Ⅱ卡纸3张，型号Ⅰ卡纸1张，则
10×2+2×3+1×1=27（个），
∴所用卡纸总费用为：
20×2+5×3+3×1=58（元）．
25．（14分）如图，在△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，AE⊥OC，垂足为E,BE的延长线交AD于点F．
(1)求OEAE的值；
(2)求证：△AEB∽△BEC；
(3)求证：AD与EF互相平分．
【答案】(1)12
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）先证得AC=2AO，再在Rt△AOC中，tan∠AOC=ACAO=2．在Rt△AOE中，tan∠AOC=AEOE，可得AEOE=2，再证得结果；
（2）过点B作BM∥AE，交EO延长线于点M，先证明△AOE≌△BOM，可得AE=BM,OE=OM，再证得∠BAE=∠CBE，再由相似三角形的判定可得结论；
（3）如图，连接DE,DF，由（2）△AEB∽△BEC，可得AEBE=ABBC=2AO2BD=AOBD,∠EAO=∠EBD，从而得出△AOE∽△BDE，得出∠BED=∠AEO=90°， 得出∠AFB=∠DEF，再由平行线判定得出AF∥DE，AE∥FD，从而得出四边形AEDF是平行四边形，最后由平行四边形的性质可得结果．
【详解】（1）∵AB=AC，且AB是⊙O的直径，
∴AC=2AO．
∵∠BAC=90°，
∴在Rt△AOC中，tan∠AOC=ACAO=2．
∵AE⊥OC，
∴在Rt△AOE中，tan∠AOC=AEOE．
∴AEOE=2，
∴OEAE=12；
（2）过点B作BM∥AE，交EO延长线于点M．
∴∠BAE=∠ABM,∠AEO=∠BMO=90°．
∵AO=BO，
∴△AOE≌△BOM，
∴AE=BM,OE=OM．
∵OEAE=12，
∴BM=2OE=EM，
∴∠MEB=∠MBE=45°，
∴∠AEB=∠AEO+∠MEB=135°，∠BEC=180°−∠MEB=135°，
∴∠AEB=∠BEC．
∵AB=AC,∠BAC=90°，
∴∠ABC=45°，
∴∠ABM=∠CBE，
∴∠BAE=∠CBE，
∴△AEB∽△BEC．
（3）如图，连接DE,DF．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=∠AFB=90°,AB=2AO．
∵AB=AC,∠BAC=90°，
∴BC=2BD,∠DAB=45°．
由（2）知，△AEB∽△BEC，
∴AEBE=ABBC=2AO2BD=AOBD,∠EAO=∠EBD，
∴△AOE∽△BDE，
∴∠BED=∠AEO=90°．
∴∠DEF=90°．
∴∠AFB=∠DEF，
∴AF∥DE．
由（2）知，∠AEB=135°，
∴∠AEF=180°−∠AEB=45°．
∵∠DFB=∠DAB=45°，
∴∠DFB=∠AEF，
∴AE∥FD，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴AD与EF互相平分．
【点睛】本小题考查等腰三角形及直角三角形的判定与性质、锐角三角函数、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、平行四边形的判定与性质、圆的基本性质等基础知识，考查推理能力、几何直观、运算能力、创新意识等，熟练掌握相关图形的性质定理是关键题号
分值
题型
考查内容
考查点
1
4
选择题
实数
无理数的定义
2
4
选择题
实数
科学计数法
3
4
选择题
投影与视图
组合体的三视图
4
4
选择题
平行线
相交线与平行线的性质
5
4
选择题
整式的运算
幂的运算
6
4
选择题
统计与概率
列表法、列树状图求概率
7
4
选择题
圆
圆的切线的性质与圆周角定理
8
4
选择题
一元一次方程
一元一次方程的实际应用
9
4
选择题
等腰三角形+轴对称
等腰三角形的性质与轴对称的性质
10
4
选择题
二次函数
二次函数的图像性质(增减性)
11
4
填空题
因式分解
提公因式分解因式
12
4
填空题
一元一次不等式
求一元一次不等式的解集
13
4
填空题
统计与概率
求中位数
14
4
填空题
特殊平行四边形
正方形的性质与判定+勾股定理解三角形
15
4
填空题
反比例函数
反比例函数的图像与性质（对称性）
16
4
填空题
三角函数
三角函数的实际应用+平行线的性质
17
8
解答题
实数运算
零指数幂、绝对值化简、算术平方根
18
8
解答题
全等三角形+菱形
菱形的性质+全等三角形的判定与性质
19
8
解答题
分式方程
解分式方程
20
8
解答题
统计与概率
求加权平均数
21
8
解答题
二次函数
待定系数法求解析式+面积问题
22
10
解答题
尺规作图
尺规作图（作垂线）
平行线的判定与性质+等腰直角三角形的性质+全等三角形的判定与性质+勾股定理
23
10
解答题
数论
整式的运算+因式分解
等式的性质+反证法
24
12
解答题
投影与视图
几何体的展开图
25
14
解答题
圆的综合
圆的基本性质+相似三角形的判定与性质+平行四边形的判定与性质+全等三角形的判定与性质+解直角三角形的相关计算
卡纸型号
型号Ⅰ
型号Ⅱ
型号Ⅲ
规格（单位：cm）
30×40
20×80
80×80
单价（单位：元）
3
5
20
卡纸型号
型号Ⅰ
型号Ⅱ
型号Ⅲ
需卡纸的数量（单位：张）
1
3
2
所用卡纸总费用（单位：元）
58