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2024届广东省普通高中学业水平合格性考试数学模拟卷3
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这是一份2024届广东省普通高中学业水平合格性考试数学模拟卷3，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
全卷满分150分，时间90分钟．
一、选择题：本大题共12小题，每小题6分，共72分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设集合U=1,2,3,4,5,A=1,3,5,B=2,3,5，则∁UA∪B=（ ）
A．1,2,4 B．4
C．3,5 D．∅
2．不等式x2-3x+2<0的解集为（ ）
A．x|x>2 B．x|x>1
C．x|12}
3．下列函数中，在上单调递减的是（ ）
A． B．
C． D．
4．设角θ的终边与单位圆的交点为P-45,35，则csθ=（ ）
A．-35B．45C．35D．-45
5．将函数y=sinx+π3的图象向右平移π6个单位长度后，所得图象对应的函数为（ ）
A．y=sinx+π6B．y=sinx-π6
C．y=csxD．y=-csx
6．已知向量a=(-1,1)，b=(2,x)，若a//b，则a⋅b= （ ）
A．3B．-3C．4D．-4
7．函数fx=2x-1+x-3的零点所在的区间是（ ）
A．-1,0 B．0,1
C．1,2 D．2,3
8．函数fx=lg2x+1,x>212x-1,x≤2，则ff3=（ ）
A．lg23B．12C．1D．14
9．一个学习小组有3名同学，其中2名男生，1名女生．从这个小组中任意选出2名同学，则选出的同学中既有男生又有女生的概率为（ ）
A．13B．25C．35D．23
10．三个数 a=0.32,b=lg20.3,c=20.3 之间的大小关系是（ ）
A．aC．a11．在空间中有3条不同的直线l,a,b，满足l⊥a，则“b⊥l”是“b//a”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
12．袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是（ ）
A．至少有一个白球；都是白球
B．至少有一个白球；至少有一个红球
C．至少有一个白球；红､黑球各一个
D．恰有一个白球；一个白球一个黑球
二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分.
13．已知复数z=1+i（其中i为虚数单位），则z= .
14．已知一组数据3,4,5,5,6,7，则该组数据的方差是 .
15．已知两球体积之比为27：1，它们的半径之比为
16．已知sinα=-13，则cs2α的值为 .
17．已知函数y=fx是定义在R上的奇函数，当x>0时，fx=x2+2x，则f-3= ．
18．已知a，b是两两垂直的单位向量，则a-2b= ．
三、解答题：本大题共4小题，第19~21题各10分，第22题12分，共42分.解答需写出文字说明，证明过程和演算步骤.
19．在△ABC中，角A，B，C的对应边分别为a，b，c，a=7，c=3且sinCsinB=35.
(1)求边b的长；
(2)求角A大小及△ABC的面积.
20．为了减少碳排放，某企业采用新工艺，将生产中产生的二氧化碳转化为一种化工产品.已知该企业每月的处理量最少为30吨，最多为400吨.月处理成本fx（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系近似地表示为fx=12x2-300x+64800.
(1)该企业每月处理量为多少吨时，才能使月处理成本最低?月处理成本最低是多少元?
(2)该企业每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低?每吨的平均处理成本最低是多少元?
21．在某市的一次数学测试中，为了解学生的测试情况，从中随机抽取100名学生的测试成绩，被抽取成绩全部介于40分到100分之间（满分100分），将统计结果按如下方式分成六组：第一组40,50，第二组50,60，⋯，第六组90,100，画出频率分布直方图如图所示.
(1)求第三组60,70的频率；
(2)估计该市学生这次测试成绩的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）和第25百分位数.
22．如图，在四棱锥中，四边形是边长为2的正方形，与交于点，面，且.
(1)求证平面.；
(2)求与平面所成角的大小．
广东省普通高中学业水平合格性考试（数学）模拟卷3
参考答案：
1．B【详解】因为集合A=1,3,5,B=2,3,5，所以A∪B=1,2,3,5，
又U=1,2,3,4,5，所以∁UA∪B= 4.
2．C【详解】因为x2-3x+2<0，即x-2x-1<0，解得1所以x2-3x+2<0的解集为x|13．B【详解】A.在上单调递增，所以不正确；
B.在上单调递减，所以正确；
C.是开口向上的抛物线，对称轴是，所以在单调递增，故不正确；
D.中，，所以函数在上单调递增，故不正确.
4．D【详解】因为角θ的终边与单位圆的交点为P-45,35，所以csθ=-45.
5．A【详解】将函数y=sinx+π3的图象向右平移π6个单位长度后，
所得图象对应的函数为y=sinx-π6+π3，即y=sinx+π6.
6．D【详解】因为a//b，所以-x=2,即x=-2，所以b=(2,-2)，
所以a⋅b=-2-2=-4，
7．C【详解】易知函数fx=2x-1+x-3在R上单调递增，
又f1=1+1-3<0，f2=2+2-3>0，
由函数的零点存在定理可知，函数fx的零点所在的一个区间是1,2．
8．B【详解】f3=lg23+1=lg24=2，ff3=f2=122-1=12.
9．D【详解】设1名女生为X，2名男生分别为Y1，Y2，
则任意选出2名同学，共有：XY1，XY2，Y1Y2，3个基本事件，
其中选出的同学中既有男生又有女生共有XY1，XY2，2个基本事件，
所以其概率为P=23．
10．B【详解】解：∵0<0.32<0.30=1，则0∵lg20.3∵20.3>20=1，则c>1，所以b11．B【详解】当b⊥l时，因为垂直于同一条直线的两条直线可以共面也可以异面，所以b可以平行a，也可以与a异面或者相交，故b⊥l⇏b//a，即不是充分条件；
当b//a时，因为a⊥l，所以b⊥l，故b//a⇒b⊥l，即是必要条件，
故“b⊥l”是“b//a”的必要不充分条件，
12．C【详解】对于A，至少有一个白球和都是白球的两个事件能同时发生，不是互斥事件，A不是；
对于B，至少有一个白球和至少有一个红球的两个事件能同时发生，不是互斥事件，B不是；
对于C，至少有一个白球和红、黑球各一个的两个事件不能同时发生但能同时不发生，是互斥而不对立的两个事件，C是；
对于D，恰有一个白球和一个白球一个黑球的两个事件能同时发生，不是互斥事件，D不是.
13．1-i【详解】∵z=1+i，∴z=1-i.
14．53【详解】∵该组数据的平均数为3+4+5+5+6+76=5，
∴方差为16×3-52+4-52+5-52+5-52+6-52+7-52=53.
15．3:1【详解】设两个球的体积为V1,V2，半径分别是R,r，由题意得，V1V2=4πR334πr33=R3r3=27，解得Rr=3:1.
16．79【详解】由cs2α=1-2sin2α=1-2×19=79.
17．-15【详解】依题中条件知，f-3=-f(3)=-(32+2×3)=-15，
18．5【详解】因为a，b是两两垂直的单位向量，
所以a-2b2=a-2b2=a2-4a⋅b+4b2=1-0+4=5，则a-2b=5.
19．解：（1）由正弦定理bsinB=csinc，得b=csinBsinC=3×53=5
（2）由余弦定理csA=b2+c2-a22bc=25+9-492×5×3=-12,
又∵A∈0,π，所以A=120°
S△=12bcsinA=12×5×3×32=1534
20．解：（1）该企业的月处理成本fx=12x2-300x+64800=12(x-300)2+19800，
因为30≤x≤400，fx在30,300上单调递减，在300,400上单调递增，
所以该企业每月处理量为300吨时，才能使月处理成本最低，月处理成本最低是19800元.
（2）因为fx=12x2-300x+6480030≤x≤400，
所以每吨的平均处理成本gx=fxx=12x-300+64800x.
因为x2+64800x≥2x2⋅64800x=360，当且仅当x=360时，等号成立，
所以gx≥60，
即该企业每月处理量为360吨时，每吨的平均处理成本最低，为60元.
21．解：（1）由频率分布直方图知，第三组的频率为0.020×10=0.2.
（2）平均值x=45×0.004×10+55×0.012×10+65×0.020×10+75×0.030×10+85×0.024×10 +95×0.010×10=73.8，
因为0.004+0.012×10=0.16，0.004+0.012+0.020×10=0.36，
所以第25百分位数为60+0.25-0.160.2×10=64.5.
22．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由，因为平面，得到，结合直线与平面垂直的判定定理，即可证得平面；
（2）连接，得到为与平面所成的角，在直角中，即可求得与平面所成的角.
【详解】（1）解：因为是正方形，所以，
又因为平面，平面，所以，
因为，平面，平面，
所以平面.
（2）解：连接，因为平面，所以为与平面所成的角，
因为，所以，
在直角中，，
所以，即与平面所成的角为.
全卷满分150分，时间90分钟．
一、选择题：本大题共12小题，每小题6分，共72分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设集合U=1,2,3,4,5,A=1,3,5,B=2,3,5，则∁UA∪B=（ ）
A．1,2,4 B．4
C．3,5 D．∅
2．不等式x2-3x+2<0的解集为（ ）
A．x|x>2 B．x|x>1
C．x|1
3．下列函数中，在上单调递减的是（ ）
A． B．
C． D．
4．设角θ的终边与单位圆的交点为P-45,35，则csθ=（ ）
A．-35B．45C．35D．-45
5．将函数y=sinx+π3的图象向右平移π6个单位长度后，所得图象对应的函数为（ ）
A．y=sinx+π6B．y=sinx-π6
C．y=csxD．y=-csx
6．已知向量a=(-1,1)，b=(2,x)，若a//b，则a⋅b= （ ）
A．3B．-3C．4D．-4
7．函数fx=2x-1+x-3的零点所在的区间是（ ）
A．-1,0 B．0,1
C．1,2 D．2,3
8．函数fx=lg2x+1,x>212x-1,x≤2，则ff3=（ ）
A．lg23B．12C．1D．14
9．一个学习小组有3名同学，其中2名男生，1名女生．从这个小组中任意选出2名同学，则选出的同学中既有男生又有女生的概率为（ ）
A．13B．25C．35D．23
10．三个数 a=0.32,b=lg20.3,c=20.3 之间的大小关系是（ ）
A．a
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
12．袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是（ ）
A．至少有一个白球；都是白球
B．至少有一个白球；至少有一个红球
C．至少有一个白球；红､黑球各一个
D．恰有一个白球；一个白球一个黑球
二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分.
13．已知复数z=1+i（其中i为虚数单位），则z= .
14．已知一组数据3,4,5,5,6,7，则该组数据的方差是 .
15．已知两球体积之比为27：1，它们的半径之比为
16．已知sinα=-13，则cs2α的值为 .
17．已知函数y=fx是定义在R上的奇函数，当x>0时，fx=x2+2x，则f-3= ．
18．已知a，b是两两垂直的单位向量，则a-2b= ．
三、解答题：本大题共4小题，第19~21题各10分，第22题12分，共42分.解答需写出文字说明，证明过程和演算步骤.
19．在△ABC中，角A，B，C的对应边分别为a，b，c，a=7，c=3且sinCsinB=35.
(1)求边b的长；
(2)求角A大小及△ABC的面积.
20．为了减少碳排放，某企业采用新工艺，将生产中产生的二氧化碳转化为一种化工产品.已知该企业每月的处理量最少为30吨，最多为400吨.月处理成本fx（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系近似地表示为fx=12x2-300x+64800.
(1)该企业每月处理量为多少吨时，才能使月处理成本最低?月处理成本最低是多少元?
(2)该企业每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低?每吨的平均处理成本最低是多少元?
21．在某市的一次数学测试中，为了解学生的测试情况，从中随机抽取100名学生的测试成绩，被抽取成绩全部介于40分到100分之间（满分100分），将统计结果按如下方式分成六组：第一组40,50，第二组50,60，⋯，第六组90,100，画出频率分布直方图如图所示.
(1)求第三组60,70的频率；
(2)估计该市学生这次测试成绩的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）和第25百分位数.
22．如图，在四棱锥中，四边形是边长为2的正方形，与交于点，面，且.
(1)求证平面.；
(2)求与平面所成角的大小．
广东省普通高中学业水平合格性考试（数学）模拟卷3
参考答案：
1．B【详解】因为集合A=1,3,5,B=2,3,5，所以A∪B=1,2,3,5，
又U=1,2,3,4,5，所以∁UA∪B= 4.
2．C【详解】因为x2-3x+2<0，即x-2x-1<0，解得1
B.在上单调递减，所以正确；
C.是开口向上的抛物线，对称轴是，所以在单调递增，故不正确；
D.中，，所以函数在上单调递增，故不正确.
4．D【详解】因为角θ的终边与单位圆的交点为P-45,35，所以csθ=-45.
5．A【详解】将函数y=sinx+π3的图象向右平移π6个单位长度后，
所得图象对应的函数为y=sinx-π6+π3，即y=sinx+π6.
6．D【详解】因为a//b，所以-x=2,即x=-2，所以b=(2,-2)，
所以a⋅b=-2-2=-4，
7．C【详解】易知函数fx=2x-1+x-3在R上单调递增，
又f1=1+1-3<0，f2=2+2-3>0，
由函数的零点存在定理可知，函数fx的零点所在的一个区间是1,2．
8．B【详解】f3=lg23+1=lg24=2，ff3=f2=122-1=12.
9．D【详解】设1名女生为X，2名男生分别为Y1，Y2，
则任意选出2名同学，共有：XY1，XY2，Y1Y2，3个基本事件，
其中选出的同学中既有男生又有女生共有XY1，XY2，2个基本事件，
所以其概率为P=23．
10．B【详解】解：∵0<0.32<0.30=1，则0
当b//a时，因为a⊥l，所以b⊥l，故b//a⇒b⊥l，即是必要条件，
故“b⊥l”是“b//a”的必要不充分条件，
12．C【详解】对于A，至少有一个白球和都是白球的两个事件能同时发生，不是互斥事件，A不是；
对于B，至少有一个白球和至少有一个红球的两个事件能同时发生，不是互斥事件，B不是；
对于C，至少有一个白球和红、黑球各一个的两个事件不能同时发生但能同时不发生，是互斥而不对立的两个事件，C是；
对于D，恰有一个白球和一个白球一个黑球的两个事件能同时发生，不是互斥事件，D不是.
13．1-i【详解】∵z=1+i，∴z=1-i.
14．53【详解】∵该组数据的平均数为3+4+5+5+6+76=5，
∴方差为16×3-52+4-52+5-52+5-52+6-52+7-52=53.
15．3:1【详解】设两个球的体积为V1,V2，半径分别是R,r，由题意得，V1V2=4πR334πr33=R3r3=27，解得Rr=3:1.
16．79【详解】由cs2α=1-2sin2α=1-2×19=79.
17．-15【详解】依题中条件知，f-3=-f(3)=-(32+2×3)=-15，
18．5【详解】因为a，b是两两垂直的单位向量，
所以a-2b2=a-2b2=a2-4a⋅b+4b2=1-0+4=5，则a-2b=5.
19．解：（1）由正弦定理bsinB=csinc，得b=csinBsinC=3×53=5
（2）由余弦定理csA=b2+c2-a22bc=25+9-492×5×3=-12,
又∵A∈0,π，所以A=120°
S△=12bcsinA=12×5×3×32=1534
20．解：（1）该企业的月处理成本fx=12x2-300x+64800=12(x-300)2+19800，
因为30≤x≤400，fx在30,300上单调递减，在300,400上单调递增，
所以该企业每月处理量为300吨时，才能使月处理成本最低，月处理成本最低是19800元.
（2）因为fx=12x2-300x+6480030≤x≤400，
所以每吨的平均处理成本gx=fxx=12x-300+64800x.
因为x2+64800x≥2x2⋅64800x=360，当且仅当x=360时，等号成立，
所以gx≥60，
即该企业每月处理量为360吨时，每吨的平均处理成本最低，为60元.
21．解：（1）由频率分布直方图知，第三组的频率为0.020×10=0.2.
（2）平均值x=45×0.004×10+55×0.012×10+65×0.020×10+75×0.030×10+85×0.024×10 +95×0.010×10=73.8，
因为0.004+0.012×10=0.16，0.004+0.012+0.020×10=0.36，
所以第25百分位数为60+0.25-0.160.2×10=64.5.
22．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由，因为平面，得到，结合直线与平面垂直的判定定理，即可证得平面；
（2）连接，得到为与平面所成的角，在直角中，即可求得与平面所成的角.
【详解】（1）解：因为是正方形，所以，
又因为平面，平面，所以，
因为，平面，平面，
所以平面.
（2）解：连接，因为平面，所以为与平面所成的角，
因为，所以，
在直角中，，
所以，即与平面所成的角为.
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