吉林省长春市南关区2022-2023学年七年级下学期期末数学试卷

这是一份吉林省长春市南关区2022-2023学年七年级下学期期末数学试卷，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）方程x+2＝1的解是（ ）
A．x＝﹣1B．x＝1C．x＝2D．x＝3
2．（3分）解方程时，去分母正确的是（ ）
A．3x﹣1＝2（x﹣1）B．3x﹣6＝2（x﹣1）
C．3x﹣6＝2x﹣1D．3x﹣3＝2x﹣1
3．（3分）由方程组可得出x与y的关系式为（ ）
A．x+y＝1B．x+y＝5C．x﹣y＝1D．x﹣y＝5
4．（3分）由4＞3，得4x＜3x，则x的值可能是（ ）
A．﹣1B．0C．1.5D．2
5．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（3分）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ）
A．1cm、2cm、4cmB．4cm、6cm、9cm
C．2cm、3cm、5cmD．5cm、7cm、13cm
7．（3分）（n+1）边形的内角和比n边形的内角和大（ ）
A．180°B．360°C．n×180°D．n×360°
8．（3分）如图，在平面内将五角星绕其中心旋转180°后所得到的图案是（ ）
A．B．
C．D．
9．（3分）如图，△DEF是△ABC沿BC方向平移后得到的，则平移的距离是（ ）
A．线段BC的长度B．线段BE的长度
C．线段EC的长度D．线段EF的长度
10．（3分）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方一九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，则m与n的和是（ ）
A．13B．14C．15D．16
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）若a＝b，则a﹣c＝ ．
12．（3分）已知二元一次方程2x+5y＝1，用含y的代数式表示x为 ．
13．（3分）x的5倍与3的和不小于12，用不等式表示为 ．
14．（3分）正八边形一个外角的大小为 度．
15．（3分）如图，等边△ABC的边长为8cm，点D、E分别在边AB、AC上，点A落在点A1处，且点A1在△ABC外部，则阴影部分图形的周长为 cm．
16．（3分）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转110°，得到△ADE，则∠BED＝ ．
三、解答题（本大题共11小题，共72分）
17．（5分）解方程：3（x﹣2）+1＝﹣x﹣1．
18．（6分）解方程组：．
19．（6分）解不等式组：．
20．（6分）在等式y＝kx+b中，当x＝2时，y＝﹣1，y＝5．求k、b的值．
21．（6分）当x取何正整数值时，代数式与的值的差大于1？
22．（6分）如图，四边形ABCD是正方形，E是CD上一点
（1）旋转中心是哪一点？
（2）旋转了多少度？
（3）如果点M是AD的中点，那么经过上述旋转后，点M转到了什么位置？
23．（7分）图①、图②、图③均是3×3的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，在图①、图②、图③中画出不同的△DEF，使△ABC和△DEF关于某条直线成轴对称．
24．（7分）如图，在△ABC中，D是BC边上一点，∠ADC＝110°，∠BAC＝80°．
求：（1）∠B的度数；
（2）∠C的度数．
对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）．
解：（1）∵∠ADC是△ABD的外角（已知），
∴ + ＝∠ADC＝110°（ ）．
又∵∠B＝∠BAD（已知），
∴∠B＝ （等量代换）．
（2）∵∠B+∠BAC+ ＝180°（ ），
∴∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠B（等式的性质），
＝180°﹣80°﹣∠B，
＝ ．
25．（7分）某班计划购买甲、乙两种毕业纪念册，已知购买3本甲纪念册和2本乙纪念册共需145元，购买4本甲纪念册和3本乙纪念册共需205元．
（1）求每本甲纪念册和每本乙纪念册的价格分别为多少元？
（2）该班计划购买甲、乙两种纪念册共50本，总费用不超过1400元，求至少购买甲纪念册多少本？
26．（8分）某大学计划组织本校全体志愿者统一乘车去会场参与服务工作，若单独调配36座客车若干辆，则有2人没有座位，则用车数量将增加5辆，并空出10个座位．
（1）求单独调配36座客车多少辆？该大学参与服务工作的志愿者共有多少人？
（2）若同时调配36座和22座两种车型，既保证每人有座位，又保证每车没有空座
27．（8分）如图，在△ABC中，∠B＝50°，点P是BC边上一点（不与点C重合），连结AP，连结DC．设∠BCD＝α，∠BAD＝β．
（1）当点P与点B重合时，β的大小为 度．
（2）当点D落在AB边上时，求α的度数．
（3）当点D不在AB边上时，直接写出α与β满足的数量关系．
2022-2023学年吉林省长春市南关区七年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）方程x+2＝1的解是（ ）
A．x＝﹣1B．x＝1C．x＝2D．x＝3
【分析】根据解一元一次方程的方法，求出方程x+2＝1的解即可．
【解答】解：∵x+2＝1，
∴x＝﹣2．
故选：A．
【点评】此题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
2．（3分）解方程时，去分母正确的是（ ）
A．3x﹣1＝2（x﹣1）B．3x﹣6＝2（x﹣1）
C．3x﹣6＝2x﹣1D．3x﹣3＝2x﹣1
【分析】方程去分母，去括号，移项合并，将x系数化为1，即可求出解．
【解答】解：去分母得：3x﹣6＝4（x﹣1），
故选：B．
【点评】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，将未知数系数化为1，即可求出解．
3．（3分）由方程组可得出x与y的关系式为（ ）
A．x+y＝1B．x+y＝5C．x﹣y＝1D．x﹣y＝5
【分析】方程组两式相加即可得出关系式．
【解答】解：方程组，
①﹣②，得x﹣y﹣m﹣3＝3﹣m，
整理得x﹣y＝5．
故选：D．
【点评】本题考查解二元一次方程组．熟练掌握解方程组是关键．
4．（3分）由4＞3，得4x＜3x，则x的值可能是（ ）
A．﹣1B．0C．1.5D．2
【分析】利用不等式的性质即可求得答案．
【解答】解：由4＞3，得3x＜3x，
则x＜0，
则﹣4符合题意，0，1.2，
故选：A．
【点评】本题考查不等式的性质，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
5．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】先解不等式组中的每一个不等式，再把不等式的解集表示在数轴上即可．
【解答】解：解不等式组得：．在数轴上表示为：
故选：C．
【点评】不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
6．（3分）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ）
A．1cm、2cm、4cmB．4cm、6cm、9cm
C．2cm、3cm、5cmD．5cm、7cm、13cm
【分析】判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段长度即可．
【解答】解：A、1+2＜6，2cm，故A不符合题意；
B、4+2＞9，6cm，故B符合题意；
C、7+3＝5，5cm，故C不符合题意；
D、5+7＜13，2cm，故D不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查三角形的三边关系，关键是掌握三角形的三边关系定理．
7．（3分）（n+1）边形的内角和比n边形的内角和大（ ）
A．180°B．360°C．n×180°D．n×360°
【分析】根据多边形内角和定理：（n﹣2）．180 （n≥3）且n为整数）分别表示出内角和即可．
【解答】解：（n+1）边形的内角和：180°×（n+1﹣4）＝180°（n﹣1），
n边形的内角和180°×（n﹣2），
（n+3）边形的内角和比n边形的内角和大180°（n﹣1）﹣180°×（n﹣2）＝180°，
故选：A．
【点评】此题主要考查了多边形的内角和，关键是掌握多边形内角和定理：（n﹣2）．180．
8．（3分）如图，在平面内将五角星绕其中心旋转180°后所得到的图案是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据旋转的性质，旋转前后，各点的相对位置不变，得到的图形全等，找到关键点，分析选项可得答案．
【解答】解：根据旋转的性质，旋转前后，得到的图形全等，阴影部分的等腰三角形的顶点向下．
故选：C．
【点评】本题考查了利用旋转设计图案的知识，图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕某个固定点旋转固定角度的位置移动，其中对应点到旋转中心的距离相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变．
9．（3分）如图，△DEF是△ABC沿BC方向平移后得到的，则平移的距离是（ ）
A．线段BC的长度B．线段BE的长度
C．线段EC的长度D．线段EF的长度
【分析】根据平移的性质，结合图形可直接求解．
【解答】解：观察图形可知：△DEF是由△ABC沿BC向右移动BE的长度后得到的，
∴平移距离就是线段BE的长度．
故选：B．
【点评】本题主要考查了平移的性质，解答本题的关键要明确：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．
10．（3分）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方一九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，则m与n的和是（ ）
A．13B．14C．15D．16
【分析】由每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，表示出最中间的数和最右下角的数，列出二元一次方程组，解方程组即可．
【解答】解：∵每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，
∴左下角的数为：8+22﹣24＝6，
∴最中间的数为：m+8﹣6＝m+7或m+8+22﹣24﹣n＝m﹣n+6，
右下角的数为：8+22﹣（m+2）＝28﹣m或m+8﹣n＝m﹣n+4，
∴，
解得：，
∴m+n＝16，
故选：D．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）若a＝b，则a﹣c＝ b﹣c ．
【分析】根据等式的性质解答即可．
【解答】解：若a＝b，则a﹣c＝b﹣c，
故答案为：b﹣c．
【点评】此题考查等式的性质，关键是根据等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式解答．
12．（3分）已知二元一次方程2x+5y＝1，用含y的代数式表示x为 x＝ ．
【分析】直接把y看作已知，求出x即可得到答案．
【解答】解：∵2x+5y＝6，
∴x＝，
故答案为：x＝．
【点评】本题主要考查了解二元一次方程，正确记忆相关知识点是解题关键．
13．（3分）x的5倍与3的和不小于12，用不等式表示为 5x+3≥12 ．
【分析】根据x的5倍与3的和不小于12，列出不等式即可．
【解答】解：由题意可得：5x+3≥12．
故答案为：6x+3≥12．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，正确理解题意是解题关键．
14．（3分）正八边形一个外角的大小为 45 度．
【分析】利用正八边形的外角和等于360度即可求出答案．
【解答】解：∵多边形的外角和等于360°．
∴360°÷8＝45°，
故答案为：45．
【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理，任何一个多边形的外角和都是360°．
15．（3分）如图，等边△ABC的边长为8cm，点D、E分别在边AB、AC上，点A落在点A1处，且点A1在△ABC外部，则阴影部分图形的周长为 24 cm．
【分析】由题意得AE＝A′E，AD＝A′D，故阴影部分的周长可以转化为三角形ABC的周长．
【解答】解：将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A′处，
所以AD＝A′D，AE＝A′E．
则阴影部分图形的周长为：
BC+BD+CE+A′D+A′E
＝BC+BD+CE+AD+AE
＝BC+AB+AC
＝8+8+4
＝24（cm）．
故答案为：24．
【点评】本题主要考查了翻折变换（折叠问题），等边三角形的性质，解题关键是找出经轴对称变换所得的等量关系．
16．（3分）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转110°，得到△ADE，则∠BED＝ 70° ．
【分析】由旋转的性质可知，∠BAD＝110°，∠ABC＝∠ADE，由点E恰好在CB的延长线上，可得∠ABC+∠ABE＝180°，则∠ADE+∠ABE＝180°，根据∠BED＝360°﹣∠BAD﹣（∠ADE+∠ABE），计算求解即可．
【解答】解：由旋转的性质可知，∠BAD＝110°，
∵点E恰好在CB的延长线上，
∴∠ABC+∠ABE＝180°，
∴∠ADE+∠ABE＝180°，
∴∠BED＝360°﹣∠BAD﹣（∠ADE+∠ABE）＝70°，
故答案为：70°．
【点评】本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
三、解答题（本大题共11小题，共72分）
17．（5分）解方程：3（x﹣2）+1＝﹣x﹣1．
【分析】通过去括号、移项、合并同类项、系数化为1等过程，求得x的值．
【解答】解：3（x﹣2）+4＝﹣x﹣1，
去括号，得3x﹣7+1＝﹣x﹣1，
移项，得7x+x＝﹣1+6﹣8，
合并同类项，得4x＝4，
系数化为4，得x＝1．
【点评】本题考查解一元一次方程，解一元一次方程常见的过程有去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等．
18．（6分）解方程组：．
【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：，
①×2﹣②得：﹣11y＝11，即y＝﹣8，
把y＝﹣1代入①得：x＝﹣7，
则方程组的解为．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
19．（6分）解不等式组：．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：，
解不等式①得x＜7，
解不等式②得x≥﹣9，
所以不等式组的解集为﹣9≤x＜8．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
20．（6分）在等式y＝kx+b中，当x＝2时，y＝﹣1，y＝5．求k、b的值．
【分析】把x、y的值代入y＝kx+b得出方程组，再求出方程组的解即可．
【解答】解：根据题意得：，
①﹣②，得﹣6＝3k，
解得：k＝﹣7，
把k＝﹣2代入②，得5＝6+b，
解得：b＝3，
即k＝﹣2，b＝7．
【点评】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键．
21．（6分）当x取何正整数值时，代数式与的值的差大于1？
【分析】根据题意列出关于x的一元一次不等式﹣＞1，先去分母，然后通过移项、合并同类项、化系数为1进行解答即可．
【解答】解：依题意得：﹣＞6，
去分母，得：3（x+3）﹣6（2x﹣1）＞4，
去括号，得：3x+9﹣8x+2＞6，
移项，得：3x﹣4x＞6﹣4﹣9，
合并同类项，得：﹣x＞﹣5，
系数化为5，得：x＜5．
∵x为正整数，
∴x取1，5，3，4．
【点评】本题考查了解一元一次不等式．根据不等式的性质解一元一次不等式，基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．
22．（6分）如图，四边形ABCD是正方形，E是CD上一点
（1）旋转中心是哪一点？
（2）旋转了多少度？
（3）如果点M是AD的中点，那么经过上述旋转后，点M转到了什么位置？
【分析】（1）根据旋转的定义和已知条件可以确定旋转中心；
（2）根据旋转的定义可以确定旋转角；
（3）根据旋转的中心和旋转角可以确定将点M的对应点M'．
【解答】解：（1）由图得知点旋转中心是点A；
（2）如图，AB的对应边是AD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，
∴旋转角是90°；
（3）如图，∵AD的对应边是AB，
∴点M旋转到AB的中点M′处．
【点评】此题主要考查了旋转的性质、正方形的性质，其中解题的关键是首先掌握旋转的性质：旋转前后对应角相等，对应边相等，对应的图形全等．
23．（7分）图①、图②、图③均是3×3的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，在图①、图②、图③中画出不同的△DEF，使△ABC和△DEF关于某条直线成轴对称．
【分析】根据轴对称的性质作图即可．
【解答】解：如图所示．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
24．（7分）如图，在△ABC中，D是BC边上一点，∠ADC＝110°，∠BAC＝80°．
求：（1）∠B的度数；
（2）∠C的度数．
对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）．
解：（1）∵∠ADC是△ABD的外角（已知），
∴ ∠B + ∠BAD ＝∠ADC＝110°（ 三角形外角性质 ）．
又∵∠B＝∠BAD（已知），
∴∠B＝ 55° （等量代换）．
（2）∵∠B+∠BAC+ ∠C ＝180°（ 三角形内角和定理 ），
∴∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠B（等式的性质），
＝180°﹣80°﹣∠B，
＝ 45° ．
【分析】（1）根据三角形外角性质得∠B+∠BAD＝∠ADC＝110°，再根据∠B＝∠BAD，得2∠B＝110°，据此可得∠B的度数；
（2）根据三角形内角和定理得∠B+∠BAC+∠C＝180°，再根据∠BAC＝80°，∠B＝55°可得出∠C的度数．
【解答】解：（1）∵∠ADC是△ABD的外角（已知），
∴∠B+∠BAD＝∠ADC＝110°（三角形外角性质）．
又∵∠B＝∠BAD（已知），
∴∠B＝55°（等量代换）．
故答案为：∠B；∠BAD；55°．
（2）∵∠B+∠BAC+∠C＝180°（三角形内角和定理），
∴∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠B（等式的性质），
＝180°﹣80°﹣∠B，
＝45°．
故答案为：∠C；三角形内角和定理．
【点评】此题主要考查了三角形的内角和定理，三角形的外角性质，准确识图，熟练掌握三角形的内角和定理，三角形的外角性质是解决问题的关键．
25．（7分）某班计划购买甲、乙两种毕业纪念册，已知购买3本甲纪念册和2本乙纪念册共需145元，购买4本甲纪念册和3本乙纪念册共需205元．
（1）求每本甲纪念册和每本乙纪念册的价格分别为多少元？
（2）该班计划购买甲、乙两种纪念册共50本，总费用不超过1400元，求至少购买甲纪念册多少本？
【分析】（1）设每本甲纪念册的价格为x元，每本乙纪念册的价格为y元，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设可以购买甲纪念册m本，则购买图片纪念册（50﹣m）本，根据总价＝单价×数量，结合总价不超过1400元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
【解答】解：（1）设每本甲纪念册的价格为x元，每本乙纪念册的价格为y元，
依题意得：，
解得：．
答：每本甲纪念册的价格为25元，每本乙纪念册的价格为35元．
（2）设可以购买甲纪念册m本，则购买乙纪念册（50﹣m）本，
依题意得：25m+35（50﹣m）≤1400，
解得：m≥35．
答：最少能购买甲纪念册35本．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
26．（8分）某大学计划组织本校全体志愿者统一乘车去会场参与服务工作，若单独调配36座客车若干辆，则有2人没有座位，则用车数量将增加5辆，并空出10个座位．
（1）求单独调配36座客车多少辆？该大学参与服务工作的志愿者共有多少人？
（2）若同时调配36座和22座两种车型，既保证每人有座位，又保证每车没有空座
【分析】（1）设单独调配36座客车x辆，该大学参与服务工作的志愿者共有y人，则单独调配22座客车（x+5）辆，根据若单独调配36座客车若干辆，则有2人没有座位；若单独调配22座客车，则用车数量将增加5辆，并空出10个座位．列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设36座客车需m辆，22座客车需n辆，根据同时调配36座和22座两种车型，既保证每人有座位，又保证每车没有空座，列出二元一次方程，求出正整数解即可．
【解答】解：（1）设单独调配36座客车x辆，该大学参与服务工作的志愿者共有y人，
依题意得：，
解得：，
答：单独调配36座客车7辆，该大学参与服务工作的志愿者共有254人；
（2）设36座客车需m辆，22座客车需n辆，
依题意得：36m+22n＝254，
整理得：n＝，
又∵m、n均为正整数，
∴，
答：36座客车需4辆，22座客车需5辆．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程．
27．（8分）如图，在△ABC中，∠B＝50°，点P是BC边上一点（不与点C重合），连结AP，连结DC．设∠BCD＝α，∠BAD＝β．
（1）当点P与点B重合时，β的大小为 40 度．
（2）当点D落在AB边上时，求α的度数．
（3）当点D不在AB边上时，直接写出α与β满足的数量关系．
【分析】（1）当点P与点B重合时，由翻折的性质得∠BAD＝∠BAC＝40°，由此可得β的大小；
（2）当点D落在AB边上时，由翻折的性质得AC＝AD，进而得∠ADC＝∠ACD＝70°，由此得∠BCD＝20°，据此可得α的度数；
（3）作∠BAC的平分线AE，点E在BC上，根据翻折的性质得当点P与点E重合时，点D落在AB上，因此当点D不在AB边上时，有以下两种种情况：①当点P在线段CE上时，则∠DAC＝40°﹣β，AD＝AC，进而得∠ADC＝∠ACD＝70°+β，再根据∠ACD+∠BCD＝∠ACB＝90°即可得出α与β满足的数量关系；②当点P在线段EB上时，则∠DAC＝40°+β，AD＝AC，进而得∠ADC＝∠ACD＝70°﹣β，再根据∠ACD+∠BCD＝∠ACB＝90°即可得出α与β满足的数量关系，综上所述即可得出答案．
【解答】解：（1）当点P与点B重合时，如图1所示：
在△ABC中，∠B＝50°，
∴∠BAC＝90°﹣∠B＝40°，
由翻折的性质得：∠BAD＝∠BAC＝40°，
∴β的大小为40度，
故答案为：40．
（2）当点D落在AB边上时，如图2所示：
由翻折的性质得：AC＝AD，
∴∠ADC＝∠ACD，
∵∠ACB＝90°，∠BAC＝40°，
∴∠ADC＝∠ACD＝（180°﹣∠BAC）＝70°，
∴∠BCD＝∠BAC﹣∠ACD＝90°﹣20°＝20°，
∴α＝20°；
（3）作∠BAC的平分线AE，点E在BC上，点D落在AB上，
因此当点D不在AB边上时，有以下两种种情况：
①当点P在线段CE上时，如图3所示：
∵∠BAD＝β，∠BAC＝40°，
∴∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝40°﹣β，
由翻折的性质得：AD＝AC，
∴∠ADC＝∠ACD＝（180°﹣∠DAC）＝β，
∵∠ACB＝90°，∠BCD＝α，
又∵∠ACD+∠BCD＝∠ACB＝90°，
∴70°+β+α＝90°，
整理得：2α+β＝40°；
②当点P在线段EB上时，如图7所示：
∵∠BAD＝β，∠BAC＝40°，
∴∠DAC＝∠BAD+∠BAC＝40°+β，
由翻折的性质得：AD＝AC，
∠ADC＝∠ACD＝（180°﹣∠DAC）＝β，
∵∠ACB＝90°，∠BCD＝α，
又∵∠ACD+∠BCD＝∠ACB＝90°，
∴70°﹣β+α＝90°，
整理得：5α﹣β＝40°，
综上所述：当点D不在AB边上时，α与β满足的数量关系是：2α+β＝40°或2α﹣β＝40°．
【点评】此题主要考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质，理解图形的翻折及其性质是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点．
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