山东省日照市2023-2024学年高一下学期期中校际联合考试数学试题

这是一份山东省日照市2023-2024学年高一下学期期中校际联合考试数学试题，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）在0°～360°的范围内，与﹣520°终边相同的角是（ ）
A．310°B．200°C．140°D．20°
2．（5分）半径为2的圆中，弧长为的圆弧所对的圆心角的大小为（ ）
A．B．C．D．
3．（5分）函数的最小正周期是（ ）
A．πB．2πC．1D．2
4．（5分）已知向量和不共线，向量＝+m，＝5+3，＝﹣3+3，若A、B、D三点共线，则m＝（ ）
A．3B．2C．1D．﹣2
5．（5分）函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
6．（5分）已知平面向量＝（10sinθ，1），，若，则tanθ＝（ ）
A．或﹣3B．或﹣3C．或3D．或3
7．（5分）△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，，且，则向量在向量方向上的投影的数量为（ ）
A．B．C．D．
8．（5分）已知函数f（x）＝2sinx，若存在x1，x2，…，xn，满足0≤x1＜x2＜…＜xn≤nπ，n∈N+，且|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（xm﹣1）﹣f（xm）|＝2024，（m≥2，m∈N+），则满足条件的实数m的最小值为（ ）
A．506B．507C．508D．509
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）已知向量，，则下列命题正确的是（ ）
A．
B．可以作为平面向量的一组基底
C．
D．
（多选）10．（6分）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．ω＝2
B．函数f（x）的图象关于直线对称
C．函数是偶函数
D．将函数f（x）图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象
（多选）11．（6分）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．f（x）是以π为周期的函数
B．函数f（x）存在无穷多个零点
C．
D．至少存在三个不同的实数a∈（﹣1，4），使得f（x+a）为偶函数
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）若角α的终边与单位圆相交于点，则sinα＝ ．
13．（5分）如图，在△ABC中，，，P为CD上一点，且，若，，则＝ ．
14．（5分）已知平面向量对任意实数x，y都有，成立．若，则的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知向量，．
（1）若，求实数λ的值；
（2）求向量与夹角的正弦值．
16．（15分）已知向量，，函数．
（1）求函数f（x）在区间上的最值；
（2）求函数f（x）在区间[0，π]上的单调递增区间．
17．（15分）将函数f（x）＝sin（2x+φ）+1（其中|φ|＜）的图象向左平移个单位，得到函数g（x）的图象，且g（x）为偶函数．
（1）求函数g（x）的解析式和对称中心；
（2）若对∀a，b∈[0，m]，当a＜b时，都有f（b）﹣f（a）＞g（a）﹣g（b）成立，求实数m的取值范围．
18．（17分）如图，已知O是△ABC的外心，，，，，．
（1）判断△ABC的形状，且求n＝3时的值；
（2）当n＝8时，
①求的值（用含i，j，k的式子表示）；
②若，求集合P中的最小元素．
19．（17分）已知函数f（x）＝﹣2sin2x+2csx+3t，其中t为常数．
（1）当t＝，时，若f（x）＝0，求x的值；
（2）设函数f（x）在上有两个零点m，n，
①求t的取值范围；
②证明：m+n＞﹣．
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）在0°～360°的范围内，与﹣520°终边相同的角是（ ）
A．310°B．200°C．140°D．20°
【解答】解：与﹣520°终边相同的角可以表示为360°k﹣520°（k∈Z），
由题意可知，
因为k∈Z，所以k＝2，
于是有360°×2﹣520°＝200°．
故选：B．
2．（5分）半径为2的圆中，弧长为的圆弧所对的圆心角的大小为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：由弧长公式l＝α•r，
得α＝＝＝．
故选：B．
3．（5分）函数的最小正周期是（ ）
A．πB．2πC．1D．2
【解答】解：的最小正周期为T＝＝2．
故选：D．
4．（5分）已知向量和不共线，向量＝+m，＝5+3，＝﹣3+3，若A、B、D三点共线，则m＝（ ）
A．3B．2C．1D．﹣2
【解答】解：∵向量和不共线，向量＝+m，＝5+3，＝﹣3+3，
A、B、D三点共线，
∴＝＝＝λ（），
解得m＝3．
故选：A．
5．（5分）函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：由题意得2sinx﹣1≥0，即sinx，
因为0≤x≤2π，
所以．
故选：C．
6．（5分）已知平面向量＝（10sinθ，1），，若，则tanθ＝（ ）
A．或﹣3B．或﹣3C．或3D．或3
【解答】解：平面向量＝（10sinθ，1），，，
则10sinθcsθ+3＝0，即10sinθcsθ+3sin2θ+3cs2θ＝0，即10tanθ+3tan2θ+3＝0，解得tanθ＝或﹣3．
故选：A．
7．（5分）△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，，且，则向量在向量方向上的投影的数量为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：由题意可得：，即：，
即外接圆的圆心O为边BC的中点，则△ABC是以BC为斜边的直角三角形，
结合有：，
则向量在向量方向上的投影为．
故选：D．
8．（5分）已知函数f（x）＝2sinx，若存在x1，x2，…，xn，满足0≤x1＜x2＜…＜xn≤nπ，n∈N+，且|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（xm﹣1）﹣f（xm）|＝2024，（m≥2，m∈N+），则满足条件的实数m的最小值为（ ）
A．506B．507C．508D．509
【解答】解：∵函数f（x）＝2sinx，对∀m≥2，m∈N*，都有|f（xm﹣1）﹣f（xm）|≤f（x）max﹣f（x）min≤2﹣（﹣2）＝4，
∴要使实数m的值最小，应尽可能多让xi（i＝1，2，…，m）取得最值点，
∵0≤x1＜x2＜…＜xn≤nπ，n∈N*，且|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（xm﹣1）﹣f（xm）|＝2024，
在一个周期2π上|f（xm﹣1）﹣f（xm）|的最大值为4，且2024＝506×4，
∴x1取一个零点，xm取最后一个零点时，m才能最小，
∴x1＝0，x2＝，x3＝，x4＝，x5＝，…，x507＝．
∴m的最小值为507．
故选：B．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）已知向量，，则下列命题正确的是（ ）
A．
B．可以作为平面向量的一组基底
C．
D．
【解答】解：对于A，由、，可得＝（1，1）﹣（0，2）＝（1，﹣1），故A项正确；
对于B，因为不共线，所以可以用表示坐标平面内的任意向量，
因此可以作为平面向量的一组基底，故B项正确；
对于C，由、，得＝（1，2），所以||＝＝，故C项不正确；
对于D，由、，得＝1×0+1×1＝1，||＝，||＝1，
所以cs＜，＞＝＝＝，故D项不正确．
故选：AB．
（多选）10．（6分）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．ω＝2
B．函数f（x）的图象关于直线对称
C．函数是偶函数
D．将函数f（x）图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象
【解答】解：由题意可得，A＝2，T＝4（）＝π，
故ω＝2，f（x）＝2sin（2x+φ），选项A正确；
又2×＝+2kπ，k∈Z，|φ|＜，
所以φ＝，f（x）＝2sin（2x+），
因为2×+＝﹣，此时函数取得最小值，即x＝﹣为函数的一条对称轴，B正确；
＝2sin（2x﹣π）＝﹣2sin2x为奇函数，C错误；
将函数f（x）图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，D正确．
故选：ABD．
（多选）11．（6分）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．f（x）是以π为周期的函数
B．函数f（x）存在无穷多个零点
C．
D．至少存在三个不同的实数a∈（﹣1，4），使得f（x+a）为偶函数
【解答】解：对于A，f（x+π）＝|sin（x+π）﹣cs（x+π）|+sin[2（x+π）]
＝|﹣sinx+csx|+sin（2x+2π）＝|sinx﹣csx|+sin2x＝f（x），可知f（x）是以π为周期的函数，故A项正确．
对于B，因为f（x）的周期为π，所以研究f（x）在区间[0，π]上的正负，
当x∈[0，）时，f（x）＝csx﹣sinx+sin2x
因为csx﹣sinx＞0且sin2x≥0，所以f（x）＞0在[0，）上恒成立；
当x∈[，π]时，f（x）＝sinx﹣csx+sin2x，
设t＝sinx﹣csx，0≤t≤，则f（x）＝t+（1﹣t2）＝﹣t2+t+，当t＝1时，f（x）有最大值1，
当t＝0时，f（x）＝，且t＝时，f（x）＝，可知f（x）的最小值为＞0．
综上所述，f（x）在[0，π]上的取值均大于0，f（x）＝0没有实数根，
结合f（x）的周期为π，可知f（x）＝0在R上没有实数根，即f（x）在R上没有零点，故B项不正确；
对于C，f（+x）＝|sin（x+）﹣cs（x+）|+sin[2（x+）]＝|sinx|+cs2x，
f（﹣x）＝|sin（﹣x）﹣cs（﹣x）|+sin[2（﹣x）]＝|sinx|+cs2x，
所以f（+x）＝f（﹣x）对任意的x∈R成立，故C项正确；
对于D，由C的结论可知f（x）的图象关于直线x＝对称，
当a＝时，f（x+a）＝f（x+），图象关于y轴对称，此时f（x+a）为偶函数，
结合f（x）的周期为π，可知a＝时，f（x+a）为偶函数，
又因为f（﹣+x）＝f（﹣﹣x）＝|csx|﹣cs2x，
所以f（x）的图象关于直线x＝﹣对称，可知a＝时，f（x+a）为偶函数，
综上所述，当a∈（﹣1，4）时，至少存在a＝、、三个值，使f（x+a）为偶函数，故D项正确．
故选：ACD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）若角α的终边与单位圆相交于点，则sinα＝ ．
【解答】解：∵角α的终边与单位圆相交于点，
∴sinα＝．
故答案为：．
13．（5分）如图，在△ABC中，，，P为CD上一点，且，若，，则＝ 3 ．
【解答】解：根据题意，可得•＝||•||cs＝4，
由，得＝﹣＝﹣，
设＝λ，则＝λ（﹣）＝﹣λ，＝＝+（1﹣λ），
结合，得＝，解得λ＝，所以＝+，
可得＝（+）•＝•+||2＝＝3．
故答案为：3．
14．（5分）已知平面向量对任意实数x，y都有，成立．若，则的取值范围是 ．
【解答】解：如图，
设，，，
若对任意实数x，y都有，成立，
则由向量减法的几何意义可知：AB⊥MB，AC⊥MC，
则B，C在以MA为直径的圆上运动，
过O作OD∥AC，交MC于E，交圆于D，
则在OD上的射影最长为|ED|，＝，
设∠AMC＝θ，则|AC|＝2sinθ，OE|＝sinθ，DE|＝1﹣|OE|＝1﹣sinθ，
∴，
则当sin时，的最大值是．
故答案为：．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知向量，．
（1）若，求实数λ的值；
（2）求向量与夹角的正弦值．
【解答】解：（1）因为，，
所以λ＝（3λ﹣2，4λ﹣1），＝（7，6），
若，
则（λ）•（）＝21λ﹣14+24λ﹣6＝0，
解得λ＝；
（2）设向量与夹角为α，则0≤α≤π，
所以csα＝＝＝，
则sinα＝．
16．（15分）已知向量，，函数．
（1）求函数f（x）在区间上的最值；
（2）求函数f（x）在区间[0，π]上的单调递增区间．
【解答】解：（1）由，，得f（x）＝＝sin2x﹣cs2x
＝2（sin2xcs﹣cs2xsin）＝2sin（2x﹣），
当x∈时，2x﹣∈[，]，可得sin（2x﹣）∈[﹣1，]，
所以当x＝时，f（x）有最小值﹣2，当x＝时，f（x）有最大值1，
综上所述，f（x）的最大值为1，最小值为﹣2；
（2）由（1）得f（x）＝2sin（2x﹣），
令+2kπ≤2x﹣≤+2kπ（k∈Z），解得+kπ≤x≤+kπ（k∈Z），
所以f（x）在R上的增区间为[+kπ，+kπ]（k∈Z），
与区间[0，π]求交集，得f（x）在区间[0，π]上的单调递增区间为[0，]与[，π]．
17．（15分）将函数f（x）＝sin（2x+φ）+1（其中|φ|＜）的图象向左平移个单位，得到函数g（x）的图象，且g（x）为偶函数．
（1）求函数g（x）的解析式和对称中心；
（2）若对∀a，b∈[0，m]，当a＜b时，都有f（b）﹣f（a）＞g（a）﹣g（b）成立，求实数m的取值范围．
【解答】解：（1）将f（x）向左平移后得，
∵g（x）是偶函数，
∴（k∈Z），又，
∴，即，
由余弦函数的性质可知，g（x）的对称中心为（，1），（k∈Z）；
（2）由f（b）﹣f（a）＞g（a）﹣g（b）得f（b）+g（b）＞f（a）+g（a），
即，
令，
则显然当x∈[0，m]时，由b＞a得h（x）是增函数，
，
当x∈[0，m]时，，
∴，
则，即．
18．（17分）如图，已知O是△ABC的外心，，，，，．
（1）判断△ABC的形状，且求n＝3时的值；
（2）当n＝8时，
①求的值（用含i，j，k的式子表示）；
②若，求集合P中的最小元素．
【解答】解：（1），
得，，∴△ABC为等边三角形；
由题意知BC的中点为D2，
且，，，
故＝5|AD2|＝5．
（2）①∵△ABC为等边三角形，O为外接圆的圆心，
所以＝，，，，
，，，
，，
又n＝8，∴D1，E3，Fk分别为BC，CA，AB的9等分点，
＝＝．
同理，
•＝．
②令S＝9i+9j﹣ij﹣jk＝（9﹣j）i+9j﹣jk，∵3≤i，j，k≤6，∴9﹣j＞0，
S可以看为自变量为i的一次函数，在i＝3时取得最小值Smin＝27+6j﹣jk＝（6﹣k）j+27，
同理，∵6﹣k≥0，S在j＝3时取得最小值，
Smin＝45﹣3k，S在k＝6时取得最小值Smin＝45﹣3×6＝27，
∴的最小值为集合P中最小元素为．
19．（17分）已知函数f（x）＝﹣2sin2x+2csx+3t，其中t为常数．
（1）当t＝，时，若f（x）＝0，求x的值；
（2）设函数f（x）在上有两个零点m，n，
①求t的取值范围；
②证明：m+n＞﹣．
【解答】解：（1）因为，f（x）＝﹣2sin2x+2csx+2＝﹣2（1﹣cs2x）+2csx+2＝2cs2x+2csx，
当时，csx∈[﹣1，0），而f（x）＝2csx（csx+1）＝0，
∴csx＝﹣1或csx＝0（舍），∴x＝π，
所以，x的取值为π．
（2）①令k＝csx，因为，所以csx∈（﹣1，0），则k∈（﹣1，0），
则2cs2x+2csx+3t﹣2＝2k2+2k+3t﹣2，k∈（﹣1，0），
因为y＝csx在上单调递增，
所以关于k的方程2k2+2k+3t﹣2＝0在（﹣1，0）上有两个不相等实数根，
所以，
解得，即t的取值范围为．
②证明：令k1＝csm＜0，k2＝csn＜0，则k1，k2为关于k的方程2k2+2k+3t﹣2＝0的两根，
所以k1+k2＝﹣1，，
所以，
所以（csm+csn）2＝（﹣1）2，即，
∴cs2m﹣sin2n＝2﹣3t，由①得，
∴cs2m＜sin2n，又∵，∴csm＞sinn，
由于，∴，
∴，
又y＝csx在上单调递增，所以，
即．