必修 第二册10.2 二倍角的三角函数精品综合训练题

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分层练习
基础篇
一、单选题
1．若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题知，
解得，
故选：C.
2．化简得（ ）
A．B．
C．D．以上都不是
【答案】C
【解析】解：
.
故选：C.
3．（2023秋·重庆南岸·高一重庆市第十一中学校校考期末）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
.
故选：A.
4．（2019秋·天津宁河·高一天津市宁河区芦台第一中学校考阶段练习）若则大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
在单调递减，
故选：C
5．“”是“函数的最小正周期为”的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分又非必要条件
【答案】A
【解析】解：函数，
所以，解得，故必要性不成立，
当时，函数的最小正周期为，故充分性成立，
所以“”是“函数的最小正周期为”的充分不必要条件.
故选：A．
6．（2022秋·湖南常德·高一临澧县第一中学校考阶段练习）已知，则a的值为（ ）
A．B．C．D．0
【答案】B
【解析】，两边同平方得，
故，解得或，
，，，
故选：B.
7．（2022秋·湖南长沙·高一湖南师大附中校考期末）已知是第三象限角，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由已知得，，则原式
.
故选：D
8．（2022秋·湖北武汉·高一期末）已知，则（ ）
A．B．C．D．2
【答案】C
【解析】依题意，
，
，
，
，
，
.
故选：C
二、多选题
9．（2023秋·重庆沙坪坝·高一重庆南开中学校考期末）下列各式中值为1的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【解析】解：对于A：，故A正确；
对于B：
，故B正确；
对于C：，故C正确；
对于D：，故D错误；
故选：ABC
10．（2023秋·广东佛山·高一统考期末）在直角坐标系中，角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】AB
【解析】对A，由终边经过点得，A对；
对BC，由得，，B对C错；
对D，，解得，D错.
故选：AB
11．（2022春·甘肃兰州·高一统考期末）下列各式的值是的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【解析】对于A，，A正确；
对于B，，B正确；
对于C，，C正确；
对于D，，D错误.
故选：ABC.
12．（2021春·广东潮州·高一饶平县第二中学校考阶段练习）下列各式中，值为的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【解析】对于A，，A符合；
对于B，，B不符合；
对于C，，C符合；
对于D，，D不符合.
故选：AC
三、填空题
13．已知，若，则______．
【答案】
【解析】由得，所以，
又因为，所以，
又因为，所以，
所以，
故答案为: .
14．设，则______．
【答案】
【解析】解：，则，又
所以当时，可得.
故答案为：.
15．已知，则______．
【答案】
【解析】由题知，，
所以，
所以，即
解得，
所以，
故答案为：
16．若，则______．
【答案】
【解析】∵，原式
故答案为：.
四、解答题
17．化简．
【答案】
【解析】由于，所以，
所以，
.
18．（2022秋·天津南开·高一天津市第九中学校考期末）已知，并且是第二象限角，求：
(1)和的值；
(2)求的值.
【答案】(1)，；(2)
【解析】（1）解：因为是第二象限角，则，
所以，，.
（2）解：.
19．（2023秋·重庆沙坪坝·高一重庆南开中学校考期末）在单位圆中，角的终边与单位圆的交点为，其中.
(1)求的值；
(2)求的值.
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）由A在单位圆上，则，又，
则，则，，则；
（2），又，
则.
20．（2022秋·天津南开·高一校考期末）已知：，．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）依题意，，
所以.
（2）由（1）知，，，
所以，
，
所以.
提升篇
一、单选题
1．下列命题中真命题为（ ）
A．小于的角一定是锐角
B．函数是奇函数
C．若，则
D．在中，若，则是锐角三角形
【答案】C
【解析】对于A，小于，但不是锐角，故A错误；
对于B，因为的定义域为，关于原点对称，
又，
所以函数是偶函数，故B错误；
对于C，由，可得，
则，解得，
所以，故C正确；
对于D，令，则，
满足，但是直角三角形，故D错误.
故选：C.
2．（2023秋·重庆沙坪坝·高一重庆市第七中学校校考期末）函数的单调减区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
令，解得
所以的单调减区间为.
故选：A
3．（2022秋·湖南岳阳·高一统考期末）已知，则的值为（ ）
A．B．C．0D．
【答案】B
【解析】解：因为，所以，所以，
所以
.
故选：B
4．（2022秋·湖北武汉·高一华中师大一附中校考期末）已知函数在区间上的最小值为，则a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】解：，
因为函数在区间上的最小值为，
所以在区间上有解，
当时，由，得，
则有，解得，
当时，，与题意矛盾，
当时，由，得，
则有或，解得，
综上a的取值范围为.
故选：A.
5．（2023秋·天津河西·高一天津实验中学校考期末）已知函数，现给出下列四个结论，其中正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数的最大值为2
C．函数在上单调递增
D．将函数的图象向右平移个单位长度；所得图象对应的解析式为
【答案】C
【解析】对于A和B，，
所以的最小正周期为，的最大值为1，故A错误，B错误，
对于C，当时，，
因为在上单调递增，所以函数在上单调递增，故C正确；
对于D，将函数的图像向右平移个单位长度，所得图像对应的函数解析式为，故D不正确，故选：C
6．（2022秋·湖北武汉·高一期末）已知角，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】，因为角，即和，.
因此可得，，，解得或2（舍去），因此．故选：B
7．（2022春·陕西汉中·高一统考期末）古希腊数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割率，黄金分割率的值也可以用2sin表示．若实数n满足，则的值为（ ）
A．4B．C．2D．
【答案】D
【解析】由题意知，，则，
又，则.
故选：D.
8．（2022春·山东青岛·高一统考期末）要得到的图像，只需要将的图像（ ）
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
【答案】B
【解析】
又
所以将的图像向右平移个单位长度，的图像
故选：B
二、多选题
9．（2023秋·广东广州·高一广州市海珠中学校考期末）下列各式中，值为1的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AB
【解析】解：对于A选项，，故正确；
对于B选项，，故正确；
对于C选项，，故错误；
对于D选项，，故错误.
故选：AB
10．（2022春·江苏宿迁·高一统考期末）下列各式中值为的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【解析】解：因为，故选项A正确；
因为，故选项B错误；
因为，故选项C正确；
因为，整理得，，故选项D错误；
故选：AC.
11．（2022春·辽宁·高一东港市第二中学校联考阶段练习）函数，则（ ）
A．的值域为
B．在上单调递增
C．有无数个零点
D．在定义域内存在递减区间
【答案】AC
【解析】()，值域是，A正确；
在上，不存在，B错；
显然，零点为有无数个，C正确；
在定义域内每一个区间，上，函数都是增函数，无减区间，D错．
故选：AC．
12．（2022春·江苏南京·高一南京外国语学校校考期中）已知函数，则（ ）
A．时，在上的最小值为－1
B．时，的最小正周期为
C．时，在R上的最大值为1
D．对任意的正整数n，的图像都关于直线对称
【答案】ACD
【解析】A：时，，
因为，所以，因此当时，函数有最小值，最小值为，所以本选项正确；
B：时，，
即，
的最小正周期为，因此本选项不正确；
C：时，，因为，所以，
因此本选项正确；
D：
，所以对任意的正整数n，的图像都关于直线对称，因此本选项说法正确，故选：ACD
三、填空题
13．已知，则的值为______．
【答案】
【解析】解：
又∵，
∴原式.
故答案为：
14．已知为第二象限角，，则的值为______．
【答案】
【解析】因为，故或，
因为为第二象限角，故，故，且，
所以，
由为第二象限角可得，
故，所以为第一象限角或第三象限角，
故，
故答案为：
15．（2015·辽宁沈阳·高一东北育才学校校考阶段练习）已知，则______.
【答案】
【解析】因为，两边平方，可得，
所以，又由
则，
故答案为：．
16．已知是方程的一根，则_____.
【答案】
【解析】解：是方程的一根，
，则，
可得，可得，
，
．
故答案为：
四、解答题
17．（1）求证：；
（2）若，求．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）证明：
.
（2）
所以.
18．（2023秋·重庆北碚·高一统考期末）函数的部分图象如图所示.
(1)求函数的解析式，并求的单调递增区间；
(2)若关于的方程有解，求实数的取值范围.
【答案】(1)，的单调递增区间为，
(2)
【解析】（1）解：由题设图象知，周期，
因为，所以，
而由图知，所以，
因为函数的图象过点，
所以，则，．所以
又因为，所以．
故函数的解析式为，
则函数在上的单调增区间满足：，
解得：，，
故的单调递增区间为，.
（2）解：关于的方程，即，
令，由于，所以，又，
则方程转化为：在上有解，
又二次函数，在上单调递增，在上单调递减；
所以，，所以，则，
所以实数的取值范围为.
19．（2023秋·重庆沙坪坝·高一重庆南开中学校考期末）已知函数.
(1)将函数化为的形式，其中，，，并求的值域；
(2)若，，求的值.
【答案】(1)，
(2)
【解析】（1）
，
∵，∴；
（2）由，可知，
∵，∴，∴，
∴.
20．（2022秋·河南郑州·高一郑州四中校考期末）已知．
(1)求的值；
(2)已知，，，求的值．
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）因为，易知，
所以，
所以
.
（2）因为，
所以，解得或，
因为，所以，
又因为，，所以，故，
因为，
所以.