苏教版 (2019)必修 第二册13.2 基本图形位置关系精品ppt课件

这是一份苏教版 (2019)必修 第二册13.2 基本图形位置关系精品ppt课件，共60页。PPT课件主要包含了平面的基本性质，平行直线，异面直线，直线与平面的位置关系，直线与平面平行，一般地我们可以证明，用符号表示为，直线与平面垂直，平面与平面的位置关系，两平面平行等内容，欢迎下载使用。

1.了解平面的表示方法，点、直线与平面的位置关系，掌握关于平面基本性质的三个基本事实，会用符号表示点、直线、平面之间的位置关系；了解空间两直线间的位置关系，理解空间直线与平面的位置关系，掌握空间平面与平面的位置关系。2.会判断空间两直线的位置关系，能用基本事实4和等角定理解决一些简单的相关问题；掌握直线与平面平行的判定定理，并能初步利用定理解决问题，掌握直线与平面平行的性质定理，明确由线面平行可推出线线平行。
3.理解并掌握平面与平面平行的判定定理，理解并掌握平面与平面平行的性质定理。4.理解并掌握异面直线所成的角，会求任意两条直线所成的角，了解直线与平面垂直的定义；了解直线与平面所成角的概念，掌握直线与平面垂直的判定定理，并会用定理判定线面垂直；掌握直线与平面垂直的性质定理，并会用定理证明相关问题；理解二面角及其平面角的概念并掌握二面角的平面角的一般作法，会求简单的二面角的平面角；掌握两个平面互相垂直的概念，能用定义和定理判定面面垂直；掌握面面垂直的性质定理，并能利用面面垂直的性质定理证明一些简单的问题
在上一节，我们已经对空间基本图形有了直观的认识。空间基本图形是由空间的点、线、面所构成的。而且，其中的点、线、面之间还具有一定的位置关系。例如，在如图所示的长方体中，有些线就具有平行关系，有些线就具有垂直关系。
思考：如何研究空间的点、直线和平面的位置关系？
思考：用两个合页和一把锁就可以将一扇门固定，将一把直尺置于桌面上，通过是否漏光就能检查桌面是否平整，为什么？椅子放不稳，是地面不平还是椅子本身有问题？
上面的问题都和平面的基本性质有关，那么平面有哪些基本性质？
平静的湖面给我们以平面的形象。和点、直线一样，平面也是从现实世界中抽象出来的几何概念。平面通常用平行四边形来表示，当平面水平放置的时候，一般用水平放置的正方形的直观图作为平面的直观图。
平面通常用希腊字母α，β，γ，…表示，也可以用平行四边形的两个相对顶点的字母表示，如图中的平面α、平面AC等。
基本事实1 ：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面。
“用两个合页和一把锁就可以将一扇门固定”“照相机支架只需三条腿就够了”都是基于这个基本事实。基本事实1也可简单地说：不共线的三点确定一个平面。确定一个平面的含义是有且只有一个平面。
过不共线三点A，B，C的平面（如图）通常记作“平面ABC”。
基本事实2： 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内。
将一把直尺置于桌面上，通过是否漏光就能检查桌面是否平整”，就是基于这个基本事实。
空间中点、直线和平面的位置关系，可以借用集合中的符号来表示.例如，在长方体ABCD-A'B'C'D'中。
基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
若两个平面有一条公共直线，则称这两个平面相交，这条公共直线叫作这两个平面的交线。教室里相邻的墙面在地面的墙角处有一个公共点，那么它们就相交于过该点的一条直线。
推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。
根据前面的基本事实，可以得出下面的推论：
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。
已知：直线a//b。求证：过直线a，b有且只有一个平面。分析 ：先根据平行线的定义，说明直线a，b必在同一个平面内；再根据推论1，证明经过a和b的平面只有一个。证明：根据平行线的定义（同一平面内没有公共点的两条直线）可知，直线a和直线b一定在同一个平面内。在直线a上任取一点A。因为a//b，所以点A不在直线b上，由推论1可知，经过点A和直线b的平面只有一个。因为经过直线a和直线b的平面一定经过点A和直线b，故经过直线a和直线b的平面只有一个。
例1：如图，已知a⊂α，b⊂α，a∩b＝A，P∈b，PQ∥a，求证：PQ⊂α。
证明：因为PQ∥a，所以PQ与a确定一个平面β，所以直线a⊂β，点P∈β。因为P∈b，b⊂α，所以P∈α。又因为a⊂α，P∉a，所以α与β重合，所以PQ⊂α。
证明点、线共面问题的常用方法(1)先由部分点、线确定一个面，再证其余的点、线都在这个平面内，即用“纳入法”。(2)先由其中一部分点、线确定一个平面α，其余点、线确定另一个平面β，再证平面α与β重合，即用“同一法”。
在平面内，两条直线的位置关系只有平行和相交两种。在空间，情况就不同了.例如，教室中日光灯管所在直线与黑板左侧所在直线，如下图中的机械部件蜗杆和蜗轮的轴线a和b，它们既不相交也不平行。
空间两条直线的位置关系
思考：空间两条直线的位置关系有哪些呢？
观察如图所示的长方体ABCD-ABCD，可以看出，空间两条直线除了相交、平行两种位置关系外，还有第三种位置关系。例如，直线A1B1与BC、直线A1B1与CC1等既不相交又不平行，即不同在任何一个平面内。我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫作异面直线。
空间两条直线的位置关系有以下三种：
如图，在长方体ABCD-A'B'C'D'中，AA'//BB'，CC'//BB'，通过观察可以看出AA'//CC'。
思考：在平面几何中，同一平面内的三条直线a，b，c，如果a//b，b//c，那么a//c。这个性质在空间是否成立呢？
又如图，在圆柱OO1中，AA1//OO1，BB1//OO1，通过观察也可以看出AA1//BB1。
基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行。
例1:如图1，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知E，F分别是AB，BC的中点。求证：EF//A1C1。
定理 如果空间中一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。
证明 连接AC。在△ABC中，因为E，F分别是AB，BC的中点，所以EF//AC. 又因为AA1//BB1，AA1=BB1，BB1//CC1，BB1=CC1，所以AA1//CC1,AA1=CC1,从而四边形AA1CC1是平行四边形，所以AC//A1C1。从而EF//AC。
例1:如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知E，F分别是AB，BC的中点。求证：EF//A1C1。
例2　已知正方体ABCD－A1B1C1D1，E，F分别为AA1，CC1的中点，求证：BFD1E是平行四边形。
证明　如图所示，取BB1的中点G，连接GC1，GE.因为F为CC1的中点，所以BG∥FC1，且BG＝FC1.所以四边形BFC1G是平行四边形.
所以BF∥GC1，BF＝GC1，又因为EG∥A1B1，EG＝A1B1，A1B1∥C1D1，A1B1＝C1D1，所以EG∥C1D1，EG＝C1D1.所以四边形EGC1D1是平行四边形.所以ED1∥GC1，ED1＝GC1，所以BF∥ED1，BF＝ED1，所以四边形BFD1E是平行四边形
基本事实4表述的性质通常叫做空间直线平行的传递性，解题时首先找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行。
如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中可以直观地看出，直线AB与AC既不相交又不平行（即异面）。那么，如何说明AB 与A1C不同在任何一个平面内？
假设AB与A1C共面，由于经过点C和直线AB的平面只能有一个，所以直线A1C和AB都应在平面ABCD内，于是点A1在平面ABCD内，这与“点A1在平面ABCD外”矛盾。因此，直线AB与A1C 是异面直线。
定理 ：过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线。
如图，a与b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a'//a，b'//b，我们把直线a'和b'所成的锐角（或直角）叫作异面直线a，b所成的角或夹角。
例3　如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是________；(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是________；(3)直线D1D与直线D1C的位置关系是________；(4)直线AB与直线B1C的位置关系是________。
解：(1)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，A1D1∥BC，A1D1＝BC，∴四边形A1BCD1为平行四边形，∴A1B∥D1C.(2)直线A1B与直线B1C不同在任何一个平面内.(3)直线D1D与直线D1C相交于点D1.(4)直线AB与直线B1C不同在任何一个平面内。
判断空间两条直线位置关系的决窍(1)建立空间观念全面考虑两条直线平行、相交和异面三种位置关系，特别关注异面直线.(2)重视长方体、正方体等常见几何体模型的应用，会举例说明两条直线的位置关系。
在如图所示的长方体中，棱AB所在的直线与平面AC没有公共点，体对角线AC所在直线与平面AC有且只有一个公共点，棱AD所在的直线与平面AC有无数个公共点。
如果一条直线a和一个平面a没有公共点，那么称直线a与平面平行；如果直线a与平面α有且只有一个公共点，那么称直线a与相交；如果直线a与平面a有无数个公共点，那么称直线a在平面α平面a内。
一条直线和一个平面的位置关系有且只有以下三种：
在如图所示的长方体中，A1B1//AB，当直线AB沿直线BC平移时，就形成了平面AC，直线AB在平移过程中的每一个位置都与A1B1平行，因此直线A1B1与平面AC没有公共点。也就是说，直线A1B1与平面AC是平行的。
直线与平面平行的判定定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行。
例1：如图，已知E，F分别是三棱锥A-BCD的侧棱AB，AD的中点，求证：EF//平面BCD。
分析：设法在平面BCD内找一条直线与EF平行。
从上例可以看出，通过“线线平行”可推得“线面平行”。将空间直线与平面的平行关系转化为直线与直线的平行关系，这是处理空间位置关系的常用思路。
如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线是否与这个平面内的任意一条直线都平行？
直线与平面平行的性质定理一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行。
由直线l与平面a平行可知，直线l与平面a内的任意一条直线都没有公共点，所以它们只能平行或异面。那么，在什么条件下平面a 内的直线与直线L平行呢？
例4　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是BC，CC1，BB1的中点，求证：EF∥平面AD1G。
证明：连接BC1，在△BCC1中，∵E，F分别为BC，CC1的中点，∴EF∥BC1，又∵AB∥A1B1∥D1C1，且AB＝A1B1＝D1C1，∴四边形ABC1D1是平行四边形，∴BC1∥AD1，∴EF∥AD1，又EF⊄平面AD1G，AD1⊂平面AD1G，∴EF∥平面AD1G
例4　如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AC与BD交于点O，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH。
证明：连接MO.∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点.又∵M是PC的中点，∴AP∥OM.又∵AP⊄平面BDM，OM⊂平面BDM，∴AP∥平面BDM.又∵AP⊂平面APGH，平面APGH∩平面BDM＝GH，∴AP∥GH
1.利用直线和平面平行的判定定理证明线面平行的关键是在平面内找一条直线与已知直线平行，常利用平行四边形、三角形中位线、基本事实4等。2.线面平行的性质和判定经常交替使用，也就是通过线线平行得到线面平行，再通过线面平行得线线平行。
观察圆锥SO，可以直观地看出，轴SO垂直于圆锥的底面。那么，轴 SO与底面内的哪些直线垂直呢？
由于圆锥SO是由Rt△SOC绕直角边SO旋转一周形成的，因此SO与底面内的每一条半径都垂直，从而SO垂直于底面内的所有直线。
分析:只要证明b与平面a内任意一条直线都垂直。证明：设m是a内的任意一条直线。
思考：上述例子利用定义证明了直线与平面垂直，那么除了定义外，还有判断直线与平面垂直的其他方法吗？
如图左图，将一张矩形纸片对折后略为展开，竖立在桌面上，我们可以观察到折痕与桌面垂直，如图右图，从两个不同的方向观察，若旗杆都与水平线垂直，则可判断旗杆与地面垂直。
一般地，我们有：直线与平面垂直的判定定理如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直。
直线与平面垂直的判定定理体现了“线面垂直”向“线线垂直”转化的思想。
两根旗杆垂直于地面，给我们以旗杆平行的形象。在如图所示的长方体ABCD-A1B1C1D1中，棱AA1，BB1，CC1，DD 1所在直线都垂直于平面AC，它们彼此平行。
一般地，我们有:垂直于同一个平面的两条直直线与平面垂直的性质定理线平行。
直线与平面垂直的性质定理揭示了平行与垂直之间的内在联系。
过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，过一点有且只有一个平面与已知直线垂直。
从平面外一点引平面的垂线，这个点和垂足间的距离，叫作这个点到这个平面的距离。
一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫作这条直线和这个平面的距离。
观察如图所示的长方体ABCD-A1B1C1D1，可以发现A1B，A1C，A1D虽然都和平面ABCD相交，但都不与这个平面垂直。
一条直线与一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫作这个平面的斜线，斜线与平面的交点叫作斜足，斜线上一点与斜足间的线段叫作这个点到平面的斜线段。
如果一条直线垂直于平面，那么称它们所成的角是直角；如果一条直线与平面平行或在平面内，那么称它们所成的角是0°角。
例6　如图，在三棱锥S－ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，且SA＝SB＝SC。(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC
证明：(1)因为SA＝SC，D是AC的中点，所以SD⊥AC.在Rt△ABC中，AD＝BD，由已知SA＝SB，所以△ADS≌△BDS，所以SD⊥BD。又AC∩BD＝D，AC，BD⊂平面ABC，所以SD⊥平面ABC。(2)因为AB＝BC，D为AC的中点，所以BD⊥AC。由(1)知SD⊥BD。又因为SD∩AC＝D，SD，AC⊂平面SAC，所以BD⊥平面SAC。
利用线面垂直的判定定理证明线面垂直的步骤(1)在这个平面内找两条直线，使它们和这条直线垂直。(2)确定这个平面内的两条直线是相交的直线。(3)根据判定定理得出结论。
例7　如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC。证明：AE∥MN。
证明：∵AB⊥平面PAD，AE⊂平面PAD，∴AE⊥AB，又AB∥CD，∴AE⊥CD。∵AD＝AP，E是PD的中点，∴AE⊥PD。又CD∩PD＝D，CD，PD⊂平面PCD，∴AE⊥平面PCD。∵MN⊥AB，AB∥CD，∴MN⊥CD。又∵MN⊥PC，PC∩CD＝C，PC，CD⊂平面PCD，∴MN⊥平面PCD，∴AE∥MN。
证明线线平行的常用方法(1)利用线线平行定义：证共面且无公共点。(2)利用基本事实4：证两线同时平行于第三条直线。(3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行。(4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直。(5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行。
将两本书作为平面，通过移动或翻转，观察它们之间的位置关系，再观察教室前后墙面、左右墙面、天花板及地面这六个面中两两之间的位置关系。
思考：一般地，平面与平面有哪几种位置关系？
观察长方体ABCD-A1B1C1D1，它的上、下底面无论怎样延展都没有公共点，而它的下底面与平面ABCD则有一条交线AB。
如果两个平面没有公共点，那么称这两个平面互相平行。
如果两个平面有一个公共点，那么由基本事实3可知，它们相交于经过这个点的一条直线，此时称这两个平面相交。
两个平面的位置关系有：
思考：怎样使用水平仪来检测桌面是否水平？
工人师傅将水平仪（如图）在桌面上交叉放置两次，如果水平仪的气泡两次都在中央，就能判断桌面是水平的。
两个平面平行的判定定理 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行。
上述判定定理说明，由“线面平行”可推得“面面平行”。将平面与平面的平行关系转化为直线与平面的平行关系，这是常见的转化思路。
如图，在长方体ABCD-A'B'C'D'中，求证：平面C'DB//平面AB'D'。
分析：只要证明一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行。
如果两个平面平行，那么，
（1）一个平面内的直线是否平行于另一个平面？
（2）分别在两个平行平面内的两条直线是否平行？
对于问题（1），根据两个平面平行及直线和平面平行的定义可知，两个平面平行，其中一个平面内的直线必定平行于另一个平面。
对于问题（2），分别在两个平行平面内的两条直线必定没有公共点，所以只能判定它们平行或异面。那么，在什么条件下，分别在两个平行平面内的直线平行呢？
两个平面平行的性质定理：两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行。
与两个平行平面都垂直的直线，叫作这两个平行平面的公垂线，它夹在这两个平行平面间的线段，叫作这两个平行平面的公垂线段。
由此我们得到，两个平行平面的公垂线段都相等。我们把公垂线段的长度叫作两个平行平面间的距离。
发射人造地球卫星时，要使卫星的轨道平面与地球的赤道平面成一定的角度。
使用笔记本电脑时，为便于操作，需将显示屏打开一定的角度。
平面内的一条直线把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫作半平面，当其中一个半平面绕着这条直线旋转时，两个半平面就形成了一定的“角度”。
那么，如何刻画两个平面所形成的这种“角”呢？
如图，棱为AB、面为α，β的二面角，记作二面角α-AB-β，也可以记作M-AB-N。
一般地，一条直线和由这条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角，这条直线叫作二面角的棱，每个半平面叫作二面角的面。
笔记本电脑打开时，我们感到两个面板构成的二面角在逐渐变大。如何来刻画这个二面角的大小呢？
一般地，以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角。
我们约定，二面角α的大小范围是0°≤a≤180°。
二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度？
平面角是直角的二面角叫作直二面角。
木工用活动角尺测量工件的两个面所成的角时，实际上就是测量这两个面所成二面角的平面角。
1970年4月24日，我国用自制"长征1号"运载火箭，在酒泉卫星发射中心成功发射了中国第一颗人造地球卫星——“东方红1号”，这标志着我国在征服太空的道路上迈出了巨大的一步，跻身世界航天先进国家之列。"东方红1 号”轨道平面的倾斜角是68.5°，就是说卫星轨道平面与地球赤道平面所成的二面角是68.5°。
如图，在正方体ABCD-A'B'C'D'中：（1）求二面角D'-AB-D的大小；（2）求二面角A'-AB-D的大小。
一般地，如果两个平面所成的二面角是直二面角，那么就说这两个平面互相垂直。除了根据定义外，还有其他方法判断两个平面互相垂直吗？
一般地，我们可以证明：
平面与平面垂直的判定定理：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直。
一般地，要证明"面面垂直"，只要证明"线面垂直"，即将平面与平面垂直的问题转化为直线与平面垂直的问题。
平面与平面垂直的性质定理：两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直。
例8　如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点。求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG。
证明：(1)∵GH是△A1B1C1的中位线，∴GH∥B1C1。又B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四点共面.(2)∵E，F分别为AB，AC的中点，∴EF∥BC。∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.∵A1G∥EB且A1G＝EB，∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB。∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.∵A1E∩EF＝E，A1E，EF⊂平面EFA1，∴平面EFA1∥平面BCHG。
例9　如图，在三棱锥P－ABC中，D，E，F分别是PA，PB，PC的中点，M是AB上一点，连接MC，N是PM与DE的交点，连接NF，求证：NF∥CM。
证明：因为D，E分别是PA，PB的中点，所以DE∥AB.又DE⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以DE∥平面ABC，同理DF∥平面ABC，且DE∩DF＝D，DE，DF⊂平面DEF，所以平面DEF∥平面ABC.又平面PCM∩平面DEF＝NF，平面PCM∩平面ABC＝CM，所以NF∥CM。
1.两个平面平行的判定定理是确定面面平行的重要方法.解答问题时一定要寻求好判定定理所需要的条件，特别是相交的条件，即与已知平面平行的两条直线必须相交，才能确定面面平行。2.利用面面平行的性质定理判断两直线平行的步骤(1)先找两个平面，使这两个平面分别经过这两条直线中的一条.(2)判定这两个平面平行(此条件有时题目会直接给出).(3)再找一个平面，使这两条直线都在这个平面上.(4)由定理得出结论。
例10　如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上的一点，且PA＝AC，求二面角P－BC－A的大小。
证明：由已知PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC.∵AB是⊙O的直径，且点C在圆周上，∴AC⊥BC.又∵PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，∴BC⊥平面PAC.又PC⊂平面PAC，∴PC⊥BC.又∵BC是二面角P－BC－A的棱，∴∠PCA是二面角P－BC－A的平面角.由PA＝AC知△PAC是等腰直角三角形，∴∠PCA＝45°，即二面角P－BC－A的大小是45°。
例11　在边长为a的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABCD，求证：平面PDB⊥平面PAC。
证明：∵PC⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PC⊥BD。∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，又PC∩AC＝C，PC，AC⊂平面PAC，∴BD⊥平面PAC。∵BD⊂平面PBD，∴平面PDB⊥平面PAC
1.在二面角棱上找一特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，即两射线夹角为所求二面角的平面角。2.证明平面与平面垂直的方法(1)利用定义：证明二面角的平面角为直角.(2)利用面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直。