2025年高考一轮复习系列（新高考新题型）1.1集合-2含解析答案

这是一份2025年高考一轮复习系列（新高考新题型）1.1集合-2含解析答案，共24页。试卷主要包含了已知集合，则，已知集合，则集合的子集个数为，已知集合，，则的真子集的个数为，已知集合，，则子集的个数为，已知集合，，则等内容，欢迎下载使用。


1．已知集合满足，那么这样的集合M的个数为（ ）
A．6B．7C．8D．9
2．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．或
3．已知全集U与集合A，B的关系如图，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A．B．C．D．
4．已知集合，，若中有且仅有三个整数，则正数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．已知集合，则集合的子集个数为（ ）
A．3B．4C．6D．8
6．已知集合，，则的真子集的个数为（ ）
A．9B．8C．7D．6
7．已知集合，，则子集的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
8．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
9．定义，若集合，则A中元素的个数为（ ）
A．6B．7C．8D．9
10．德国数学家康托尔在其著作《集合论》中给出正交集合的定义：若集合A和B是全集U的子集，且无公共元素，则称集合互为正交集合，规定空集是任何集合的正交集合．若全集，则集合A关于集合U的正交集合B的个数为（ ）
A．8B．16C．32D．64
11．已知集合，则下列命题正确的是（ ）
A．B．C．D．
12．点集表示的曲线总长度等于（ ）
A．B．C．D．
13．已知集合，则集合的真子集的个数为（ ）
A．B．C．D．
14．已知集合，集合，则集合的真子集个数为（ ）
A．B．C．D．
15．已知，则（ ）
A．0B．2C．D．0或2
16．已知集合，则集合的子集个数为（ ）
A．4B．3C．2D．1
17．若集合，则（ ）
A．B．C．D．
18．定义：若集合满足，存在且，且存在且，则称集合为嵌套集合．已知集合且，，若集合为嵌套集合，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
19．已知是虚数单位，集合（整数集）和的关系韦恩图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有（ ）
A．3个B．2个C．1个D．无穷个
20．已知等差数列的公差为，集合，若，则（ ）
A．－1B．C．0D．
21．已知集合，.若，则实数（ ）
A．-3B．C．D．3
22．已知集合，.若，则实数（ ）
A．3B．C．3或D．或1
23．已知集合，则（ ）
A．B．
C．D．
24．设P是一个数集，且至少含有两个数．若对于任意，都有，且若，则，则称P是一个数域．例如，有理数集Q是数域．下列命题正确的是（ ）
A．数域必含有0，1两个数
B．整数集是数域
C．若有理数集，则数集M一定是数域
D．数域中有无限多个元素
25．非空集合A具有如下性质：①若，则；②若，则下列判断中，正确的有（ ）
A．B．
C．若，则D．若，则
26．已知集合，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值有（ ）
A．-2B．-1C．0D．1
27．已知，集合，，，，则下列结论一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
28．已知集合，，则的子集个数为 .
29．已知集合，，则的所有元素之和为 ．
30．在平面直角坐标系中，点集，则点集所表示的区域的面积为 ．
31．已知，集合，若集合A恰有8个子集，则n的可能值的集合为
32．设表示不超过的正整数集合，表示k个元素的有限集，表示集合A中所有元素的和，集合，则 ；若，则m的最大值为 ．
33．已知函数的部分图象如图所示，将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若集合，集合，则 ．
34．已知集合.
(1)求；
(2)若对任意的恒成立，求的取值范围.
35．已知函数的定义域为集合，又集合，且.
(1)试确定的值；
(2)求参数的取值范围.
36．已知集合，.
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若，求实数的取值范围；
(3)若将题干中的集合改为，是否有可能使命题：“，都有”为真命题，请说明理由.
37．在二维空间即平面上点的坐标可用两个有序数组表示，在三维空间中点的坐标可用三个有序数组表示，一般地在维空间中点A的坐标可用n个有序数组表示，并定义n维空间中两点，间的“距离”．
(1)若，，求；
(2)设集合．元素个数为2的集合M为的子集，且满足对于任意，都存在唯一的使得，则称M为“的优集”．证明：“的优集”M存在，且M中两不同点的“距离”是7．
38．集合，将集合A中的元素按由小到大的顺序排列成数列，即，，数列的前n项和为．
(1)求，，；
(2)判断672，2024是否是中的项；
(3)求，．
评卷人
得分
一、单选题
评卷人
得分
二、多选题
评卷人
得分
三、填空题
评卷人
得分
四、解答题
参考答案：
1．C
【分析】根据集合的包含关系一一列举出来即可.
【详解】因为，
所以集合可以为：，
共8个，
故选：C.
2．C
【分析】解不等式化简集合，再利用集合的交集运算即可得解.
【详解】因为或，
，
所以.
故选：C.
3．A
【分析】利用韦恩图表示的集合运算，直接写出结果即可.
【详解】观察韦恩图知，阴影部分在集合A中，不在集合B中，所以所求集合为.
故选：A
4．B
【分析】由题意化简集合，根据中有且仅有三个整数列不等式求解，可得答案.
【详解】由题意可得，，
若中有且仅有三个整数，则只能是，
故，解得，
故选：B．
5．D
【分析】联立和，求得，即可求得其子集个数.
【详解】由已知集合，
联立和，可得或或，
则，
故集合的子集个数为个，
故选：D
6．C
【分析】解不等式求出集合A，求出集合B的补集，即可确定的元素，根据元素的个数，即可求得的真子集的个数.
【详解】由题意
，
，故，
故，则的真子集的个数为，
故选：C
7．D
【分析】先求得，再求得，从而求得正确答案.
【详解】由，得，解得，
所以，所以，
所以子集的个数为.
故选：D
8．C
【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合，即可根据交集的运算解出．
方法二：将集合中的元素逐个代入不等式验证，即可解出．
【详解】方法一：因为，而，
所以．
故选：C．
方法二：因为，将代入不等式，只有使不等式成立，所以．
故选：C．
9．B
【分析】利用集合的新定义找到符合条件的元素个数即可.
【详解】由题知y的可能取值有，，，0，1，2，3，则集合A中有7个元素.
故选：B.
10．B
【分析】利用一元二次不等式及对数不等式的解法求出集合,再计算正交集合的个数即可.
【详解】结合题意：因为，所以，
解得，即，
所以全集，
由可得，所以，
则集合A关于集合U的正交集合B的个数为.
故选：B.
11．B
【分析】求出集合A，根据集合的运算与集合关系判断.
【详解】因为，所以，
对A：，故错误；
对B：，故正确；
对C：，故错误；
对D：，故错误；
故选：B
12．C
【分析】根据题意整理得，，且，结合直线，圆的方程分析求解.
【详解】由题意可知：，解得，
因为，则或，
若，且，表示以为端点的线段，
此时表示的曲线总长度为；
若，整理得，表示以为圆心，半径为1的上半圆，
此时表示的曲线总长度为；
综上所述：点集表示的曲线总长度等于.
故选：C.
13．A
【分析】先化简集合，得到集合的元素个数，继而可以得到真子集的个数
【详解】解：集合，
所以集合中的元素个数为9，
故其真子集的个数为个，
故选:
14．C
【分析】解方程组可得集合，进而可求得集合的真子集个数.
【详解】联立可得，因为，解得，
所以，方程组的解为或，
所以，，
所以，集合的真子集个数为.
故选：C.
15．B
【分析】根据集合关系及元素与集合的关系列方程求解计算即可.
【详解】当时，由知，，又，所以，不满足集合元素的互异性；
当时，由知，，又，无解；
当时，由知，，又，无解；
当时，由知，，又，所以，所以；
综上，则2.
故选：B
16．A
【分析】集合A代表直线上点的集合，集合B代表圆上的点的集合，判断直线与圆的位置关系确定直线与圆的交点个数，即为集合中元素的个数
【详解】集合B中圆的半径为1，圆心到集合A中直线的距离，
所以直线与圆相交，有两个交点，
所以集合中有两个元素，其子集个数为4.
故选：A.
17．C
【分析】根据集合知识逐项求解，从而可判断求解.
【详解】对A：依题意可得，故A错误；
对B：即为与的交点，即，解得或，即，故B错误；
对C：，故C正确.
对D：，故D错误；
故选：C.
18．A
【分析】作出函数的图象，结合函数图象即可求出集合，分类讨论求出集合，再根据嵌套集合的定义即可得解.
【详解】因为，所有，
由，得，
如图，作出函数的图象，
由图可知，不等式的解集为，
所以且，
由，得，
当，即时，则，不符题意；
当，即时，则，
由，得，
根据嵌套集合得定义可得，解得；
当，即时，则，
由，得，
根据嵌套集合得定义可得，无解，
综上所述，实数的取值范围为.
故选：A.
19．B
【分析】本题首先可以通过复数的相关运算得出以及，然后根据题意即可得出阴影部分所示的集合为，最后根据即可得出结果．
【详解】因为，，所以集合，
因为阴影部分所示的集合为，，
所以，阴影部分所示的集合的元素共有个，故选B．
【点睛】本题考查复数的相关性质以及集合的相关性质，主要考查了复数的运算以及交集的相关性质，考查了推理能力与计算能力，体现了综合性，是中档题．
20．B
【分析】根据给定的等差数列，写出通项公式，再结合余弦型函数的周期及集合只有两个元素分析、推理作答.
【详解】依题意，等差数列中，，
显然函数的周期为3，而，即最多3个不同取值，又，
则在中，或，
于是有，即有，解得，
所以，.
故选：B
21．B
【分析】由题得直线与直线平行，解方程即得解.
【详解】因为，
所以直线与直线平行，
所以
所以. 经检验，当时，两直线平行.
故选：B.
22．A
【分析】将问题转化为“直线与直线互相平行”，由此求解出的取值.
【详解】因为，所以直线与直线没有交点，
所以直线与直线互相平行，
所以，解得或，
当时，两直线为：，，此时两直线重合，不满足，
当时，两直线为：，，此时两直线平行，满足，
所以的值为，
故选：A.
23．BCD
【分析】求出集合，根据集合的运算即可判断A，B；结合，可判断C；由，结合判别式，可求得a的范围，即可判断D.
【详解】由题意得，
故，，A错误，B正确；
由于，故，则，C正确；
若，则能取到所有的正数，
即，则或，
即，D正确，
故选：BCD
24．AD
【分析】根据数域的定义逐项进行分析即可．
【详解】因为P是一个数集，且至少含有两个数，可知P中必有一个非零实数，
对于选项A：当时，、，故A正确；
对于选项B：例如，，但，不满足条件，故B错误；
对于选项C：例如，取，，但，
所以数集M不是一个数域，故C错误；
对于选项D：由选项A可知：数域必含有0，1两个数，
根据数域的性质可知：数域必含有，必为无限集，故可知D正确．
故选：AD.
25．ABC
【分析】根据元素与集合的关系进行分析，从而确定正确答案.
【详解】对于A，假设，则令，则，
令，则，
令，不存在，即，矛盾，
∴，故A对；
对于B，由题，，则
∴，故B对；
对于C，∵，，，
∵故C对；
对于D，∵，，若，则，故D错误．
故选：ABC．
26．BCD
【分析】根据条件可知集合中仅有一个元素，由此分析方程为一元一次方程、一元二次方程的情况，从而求解出的值.
【详解】因为集合仅有个子集，所以集合中仅有一个元素，
当时，，所以，所以，满足要求；
当时，因为集合中仅有一个元素，所以，所以，此时或，满足要求，
故选：BCD.
27．AB
【分析】根据集合代表的含义，结合直线过定点以及直线与圆的关系，圆与圆的关系，即可结合选项逐一求解.
【详解】表示过定点,且斜率为的直线的点构成的集合，
表示过定点且斜率为的直线的点构成的集合，
表示圆心为，半径为的圆上的点构成的集合，
表示圆心为，半径为的圆上的点构成的集合，
对于A，集合中的直线平行，故，故A正确，
对于B，由于，故在圆内，
故经过点的直线与圆相交，，故B正确，
对于C，由于，故在圆外，
故当经过点的直线与圆相离时，此时，故C错误，
对于D，由于，故两圆相交，，D错误，
故选：AB
28．4
【分析】根据直线与圆的位置关系求出集合的元素个数，再求解子集个数即可.
【详解】集合表示直线上点的集合，集合表示圆上点的集合.
圆的圆心坐标为，半径为3，
点到直线的距离为,
所以直线与圆相交，
所以共有2个元素，所以的子集个数为.
故答案为：4.
29．0
【分析】求出集合B，再求，然后可得.
【详解】由题知，，
所以，
所以的所有元素之和为.
故答案为：0
30．
【分析】先根据集合的限制条件表示出集合，结合图形的面积公式可得答案.
【详解】由可得，
因为，所以，
即点集所表示的区域是以为圆心，半径为1的圆及其内部，其面积为.
故答案为：
31．
【分析】根据子集个数可得集合元素个数，再由三角函数的诱导公式即可确定n的取值.
【详解】由题意易知，，均是集合中的元素，
又集合恰有8个子集，故集合有且只有三个元素，则，
又，
当时，，此时集合只有两个元素，不满足题意；
当时，，
此时集合有且只有三个元素，满足题意；
当时，，
此时集合有且只有三个元素，满足题意；
当时，易知集合中不只三个元素，不满足题意；
综上，可取的值是4或5，即n的可能值的集合为.
故答案为：.
【点睛】易错点睛：本题容易出错的点是，没注意到的情况，误以为的取值可以为.
32． 22
【分析】根据定义，结合等差数列的前项和公式进行求解即可.
【详解】当时，表示有2个元素的集合，，
因为，且有2个元素，
所以或或，所以；
由题中定义可知：，
于是由
，
而，
即，又因为，
所以m的最大值为，
故答案为：；
【点睛】关键点睛：本题的关键是理解题中定义，运用等差数列的前项和公式.
33．
【分析】根据图像求出g(x)的解析式，再求出f(x)解析式，求出A集合，根据集合交集运算法则计算即可.
【详解】由图可知周期，∴．
由得，∴，，
∵，∴k取0，，
∴，
∴，
∴．
∴，，
∴，∴．
故答案为：﹒
34．(1)
(2)
【分析】（1）根据指数函数的单调性，对数运算及对数函数的单调性，结合集合运算可得结果.
（2）根据指数函数的单调性，结合不等式恒成立问题解一元二次不等式可得结果.
【详解】（1）因为，
由，得，所以，
即，解得，所以，
所以.
（2）当时，因为单调递减，所以，
因为对任意的恒成立，
所以当时，则恒成立，即，即，
因为，所以解得；
当时，则恒成立，即，
因为，所以解得.
综上，的取值范围是.
35．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，由集合的运算可得或，再由，即可得到结果；
（2）由题意可得，然后分，与讨论，即可得到结果.
【详解】（1）由已知得集合，集合，
因为，，
所以，或，
且，则，
故.
（2）由题可知.
①当时，；
②当时，，
所以，因为，
所以矛盾，不合题意；
③当时，，因此要，
只需，满足题意.
综上所述，可知的取值范围为.
36．(1)
(2)
(3)不可能，理由见解析
【分析】（1）先得到，再根据包含关系列不等式求解；
（2）直接根据列不等式求解；
（3）先得到，再根据包含关系列不等式求解.
【详解】（1）若，则，
又，
所以，
解得；
（2）因为，
所以或或，
解得或或，
所以；
（3）若，，
对，都有，则，
所以，该不等式无解，
故命题：“，都有”为真命题不可能.
37．(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据题，得到，结合裂项法求和，即可求解；
（2）根据新定义得到，，构造有2个元素，由为整数，得到存在为“的优集”，设，，推得，，显然矛盾，即可得证.
【详解】（1）解：因为，，，则，
所以.
（2）证明：定义：对任意，规定，
对任意，，
由于，，，容易得，
所以，得结论：，，
构造有2个元素，由为整数，
当时，则满足M为“的优集”的定义，
当时，则，满足M为“的优集”的定义，
所以存在为“的优集”，
若M中的两个点，有一个位置相同，不妨设为第一个位置，
则设，，
则取，则有，，显然矛盾，
所以M中的两个点每一个位置均不同，即，显然，
即“的优集”M存在，且M中两不同点的“距离”是.
【点睛】方法点睛：对于以集合为背景的新定义问题的求解策略：
1、紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中；
2、用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的集合的性质的一些因素.
3、涉及有交叉集合的元素个数问题往往可采用维恩图法，基于课标要求的，对于集合问题，要熟练基本的概念，数学阅读技能、推理能力，以及数学抽象和逻辑推理能力.
38．(1)，，
(2)672是数列的项，2024不是中的项
(3)，
【分析】（1）直接对a,b,c赋值求值即可；
（2）直接利用集合A中元素的意义验证即可；
（3）先确定集合A中元素个数，再确定中最大项是（），最小项是可求出，再利用求和求得.
【详解】（1），
，
．
（2），
故，则672是数列的项；
．
令，则，故，
故2024不是中的项．
（3）当时在集合A中有个元素，
当时在集合A中有个元素，
……
当时在集合A中有个元素，
则集合A一共有个元素，
故有项，
当时在集合A中的个元素中最小的元素是，
最大元素是（），
故的元素在中最大项是（），最小项是；
令，则共有项，
则恰好是的元素在中的最大项，
则；
令，则一共有项，
记表示集合A中的元素之和，则，
因为集合A中的元素有个，
这些元素中含的个数是，含的个数都是，
故，则：
，
，
，
，
，
故．
故，．
【点睛】关键点点睛：本题考查结数列新定义，关键是利用集合A中元素意义确定数列的项，确定项的个数解决第3问.