2025年高考一轮复习系列（新高考新题型）1.4基本不等式-1含解析答案

这是一份2025年高考一轮复习系列（新高考新题型）1.4基本不等式-1含解析答案，共15页。试卷主要包含了已知，则的最大值为，已知正实数、满足，则的最小值是，当时，的最大值为，若，，且，则的最大值是，已知两个正数满足，则的最小值为，若正数a，b满足，则的最小值为，已知正实数x，则的最大值是，函数的最大值为等内容，欢迎下载使用。

1．已知，则的最大值为（ ）
A．B．1C．D．3
2．已知正实数、满足，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
3．当时，的最大值为（ ）
A．B．C．D．
4．若，，且，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．1
5．已知两个正数满足，则的最小值为（ ）
A．3B．6C．D．
6．若正数a，b满足，则的最小值为（ ）
A．2B．4C．8D．16
7．已知正实数x，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
8．函数的最大值为（ ）
A．3B．2C．1D．-1
9．设，为正数，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
10．已知正实数，满足，则的最小值为（ ）
A．9B．8C．3D．
11．已知实数，，满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
12．已知a，b为正实数，且，则的最小值为（ ）
A．1B．6C．7D．
13．已知，，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
14．已知a，b为正数，，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．4D．8
15．已知a，b为正实数，且，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．4D．6
16．已知，，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
17．已知x为正实数，y为非负实数，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
18．设 ,则的最小值为（ ）
A．0B．1C．2D．4
19．已知正实数满足，则的最小值为（ ）
A．8B．9C．10D．11
20．若两个正实数满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
21．已知正实数a，b满足，则的可能取值为（ ）
A．2B．
C．D．4
22．若，则的最小值是 .
23．函数 的最大值为 .
24．函数在上的最大值为 ．
25．已知，且，则的最小值为 ．
26．已知实数，且，则的最小值是 ．
27．已知正数x，y满足，若不等式恒成立，则实数a的取值范围是 ．
28．在中，为上的一点，满足.若为上的一点，满足，则与的关系为 ；的最小值为 .
29．已知，，直线与曲线相切，则的最小值是 ．
30．近日，随着新冠肺炎疫情在多地零星散发，为最大程度减少人员流动，减少疫情发生的可能性，高邮政府积极制定政策，决定政企联动，鼓励企业在国庆期间留住员工在本市过节并加班追产，为此，高邮政府决定为波司登制衣有限公司在国庆期间加班追产提供（万元）的专项补贴．波司登制衣有限公司在收到高邮政府（万元）补贴后，产量将增加到（万件）．同时波司登制衣有限公司生产（万件）产品需要投入成本为（万元），并以每件元的价格将其生产的产品全部售出．注：收益=销售金额政府专项补贴成本．
(1)求波司登制衣有限公司国庆期间，加班追产所获收益（万元）关于政府补贴（万元）的表达式；
(2)高邮政府的专项补贴为多少万元时，波司登制衣有限公司国庆期间加班追产所获收益（万元）最大？
评卷人
得分
一、单选题
评卷人
得分
二、多选题
评卷人
得分
三、填空题
评卷人
得分
四、解答题
参考答案：
1．D
【分析】利用基本不等式直接求出最大值.
【详解】当时，，当且仅当，即时取等号，
所以的最大值为3.
故选：D
2．B
【分析】利用基本不等式可求得结果.
【详解】由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立.
因此，的最小值是.
故选：B.
3．B
【分析】利用基本不等式直接求解.
【详解】，，又
，当且仅当，即时等号成立，
所以的最大值为
故选：B
4．B
【分析】直接由基本不等式即可求解.
【详解】由题意，解得，等号成立当且仅当.
故选：B.
5．B
【分析】直接由基本不等式可得．
【详解】，当且仅当时取等号，所以的最小值为6，故选：
6．C
【分析】根据给定条件，利用基本不等式求解即得.
【详解】正数a，b满足，则，
当且仅当时取等号，
所以当时，取得最小值8.
故选：C
7．D
【分析】利用基本不等式可求，当且仅当时等号成立，化简已知即可求解.
【详解】解：因为，
又因为，所以，
所以，当且仅当时，即时等号成立，
所以，
即y的最大值是.
故选：D.
8．D
【解析】将函数的解析式进行变形，再利用基本不等式，即可得答案；
【详解】
，
当且仅当,即等号成立.
故选：D.
【点睛】本题考查基本不等式求最值，考查运算求解能力，求解时注意等号成立的条件.
9．B
【分析】将拼凑为，利用“1”的妙用及其基本不等式求解即可.
【详解】∵，
∴，即，
∴
，当且仅当，且时，即
，时等号成立.
故选：.
10．C
【分析】利用“”的代换，结合基本不等式进行求解即可.
【详解】，
当且仅当时取等号．
故选:C．
11．B
【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求解即得.
【详解】实数，，由，得，
因此，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为.
故选：B
12．B
【分析】利用已知条件 将原式化为可以使用基本不等式的形式即可.
【详解】由已知条件得，，
当且仅当，即，时取等号，
∴ 的最小值为6；
故选：B.
13．A
【分析】由题意得，，再根据基本不等式乘“”法即可得最小值.
【详解】由题可知，乘“”得，当且仅当时，取等号，则的最小值为.
故选：A
14．C
【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求解即得.
【详解】正数a，b满足，则，
当且仅当，即时取等号，
所以当时，取得最小值4.
故选：C
15．D
【分析】利用基本不等式“1”的妙用求最值.
【详解】因为a，b为正实数，且，
所以.
当且仅当，即时取等号.
故选：D
16．A
【分析】由已知可得，将展开利用基本不等式即可求得最小值.
【详解】由可得，所以，
因为，，
则，
当且仅当 即时等号成立，所以的最小值为，
故选：A.
17．B
【分析】变形式子，再利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.
【详解】由x为正实数，y为非负实数，得，由，得，
于是
，当且仅当，即时取等号，
所以当时，取得最小值.
故选：B
18．A
【分析】首先由等式把转化为，再应用常数分离得到，最后应用基本不等式得到最小值.
【详解】由题意，所以，
得到，
当且仅当，即时， 等号成立，则的最小值为．
故选：A.
19．B
【分析】利用条件转化得，将问题式化简结合基本不等式求最值.
【详解】由，且，可得.所以.
又因为，
当且仅当，即时取等号，所以.
故选：B.
20．C
【分析】由题意可得，化简后利用基本不等式可求出的最小值，然后将问题转化为大于的最小值，从而可求出实数的取值范围
【详解】因为两个正实数满足，
所以，
当且仅当，即时取等号，
因为不等式有解，
所以大于的最小值，即，
解得或，
即实数的取值范围是，
故选：C
21．BD
【分析】根据变量代换将代入可得，进而利用换元法将可得，结合对勾函数的单调性即可求解.
【详解】由题意可得，
令，由于，则，，
由于对勾函数在单调递减，在单调递增，所以，
，故，所以．
故选：BD．
22．/
【分析】由可将表达式整合再利用基本不等式即可求得最小值是.
【详解】因为，则，
，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值是.
故答案为：
23．/
【分析】首先化简可得，由则可以利用基本不等式求最值即可.
【详解】因为，则，
所以
≤，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最大值为.
故答案为：.
24．
【分析】令，则，则，利用基本不等式计算可得.
【详解】解：因为，，令，则，
则，
当且仅当，即时，等号成立．
故的最大值为．
故答案为：
25．/
【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.
【详解】由，，
得
，
当且仅当，即时取等号，
所以当时，取得最小值.
故答案为：
26．24
【分析】变形后，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值
【详解】因为，且，
所以，
所以
，
当且仅当，即，时等号成立，
故答案为：
27．
【分析】将变形为，利用均值不等式求的最小值即可求解.
【详解】因为，
所以
，
所以
，等号成立当且仅当，
所以，，
故实数a的取值范围是.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：解题关键是先得到，再进一步结合乘“1”法即可顺利得解.
28．
【分析】根据平面向量共线定理的推论得到，再由乘“1”法及基本不等式计算可得.
【详解】如图所示，
由得，即，
又，
所以，又为上的一点，
所以，
因为，，
所以，
当且仅当即时等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：；.
29．
【分析】设直线与曲线的切点为，求得，，将切点坐标代入切线方程可得出，将所求代数式变形为，将该代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得结果.
【详解】设直线与曲线的切点为，
对求导得，所以，即，
所以，所以切点为，
由切点在切线上，可得，
所以
，
当且仅当，即时，等号成立．
所以的最小值是．
故答案为：．
30．(1)
(2)6万元
【分析】（1）依题意求解即可；
（2）由结合基本不等式求解即可.
【详解】（1） ．
因为，所以
（2）因为 ．
又因为，所以，
所以（当且仅当时取“”）
所以
即当万元时，取最大值30万元．