2025年高考一轮复习系列（新高考新题型）1.4基本不等式-2含解析答案

这是一份2025年高考一轮复习系列（新高考新题型）1.4基本不等式-2含解析答案，共24页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．设，，，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知，且，则的最大值为（ ）
A．2B．5C．D．
3．已知直线经过点，则的最小值为（ ）
A．4B．8C．9D．
4．设，则 （ ）
A．B．
C．D．
5．若，则的最小值为（ ）
A．4B．3C．2D．1
6．已知不等式对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为（ ）
A．2B．4C．6D．8
7．已知，且，则有（ ）
A．最大值B．最小值C．最大值D．最小值
8．已知正项等比数列中，成等差数列.若数列中存在两项，使得为它们的等比中项，则的最小值为（ ）
A．3B．4C．6D．9
9．设，，，则（ ）
A．有最大值8B．有最小值8
C．有最大值8D．有最小值8
10．若，则（ ）
A．B．
C．D．
11．已知，则以下关于的大小关系正确的是（ ）
A．B．C．D．
12．设，，，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
13．已知，，，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为
B．的最小值为
C．的最小值为
D．的最小值为
14．【多选题】下列命题中，为真命题的有（ ）
A．B．
C．D．
15．已知，，且，下列结论中正确的是（ ）
A．的最大值是B．的最小值是
C．的最小值是8D．的最小值是
16．已知正实数a，b，c满足，则（ ）
A．B．
C．D．
17．已知正实数x，y，z满足，则（ ）
A．B．C．D．
18．设正实数满足，则（ ）
A．B．
C．D．
19．已知a，b，c满足，且，则（ ）
A．B．C．D．
20．已知关于x的不等式（，）的解集为，则下列结论正确的是（ ）
A．B．的最大值为
C．的最小值为4D．的最小值为
21．设正实数，，且满足，则（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
22．若两个正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围为 ．
23．已知函数且的图象过定点A，且点A在直线上，则的最小值是 .
24．已知正实数满足，则的最小值为 .
四、解答题
25．已知函数（m,n为常数）.
（1）若，解不等式；
（2）若，当时，恒成立，求的取值范围.
26．已知，．
(1)若，，不等式恒成立，求实数m的取值范围；
(2)若不等式恒成立，求实数m的最小值；
(3)若．且恒成立，求正实数a的最小值．
27．某工厂生产某种零件的固定成本为20000元，每生产一个零件要增加投入100元，已知总收入（单位：元）关于产量（单位：个）满足函数：.
(1)将利润（单位：元）表示为产量的函数；（总收入=总成本+利润）
(2)当产量为何值时，零件的单位利润最大?最大单位利润是多少元?（单位利润利润产量）
28．若命题：存在，，命题：二次函数在的图像恒在轴上方
(1)若命题，中均为假命题，求的取值范围？
(2)对任意的，使得不等式成立，求的取值范围.
29．《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂：从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法.
阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察：（2）整体设元；（3）整体代入：（4）整体求和等.
例如，，求证：．
证明：原式．
阅读材料二：解决多元变量问题时，其中一种思路是运用消元思想将多元问题转化为一元问题，再结合一元问题处理方法进行研究.
例如，正实数满足，求的最小值．
解：由，得，
，
当且仅当，即时，等号成立．
的最小值为．
波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个蘑菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长”类似问题，我们有更多的式子满足以上特征.
结合阅读材料解答下列问题：
(1)已知，求的值；
(2)若正实数满足，求的最小值．
参考答案：
1．A
【分析】根据换底公式，结合基本不等式与作商法判断即可.
【详解】易得，结合换底公式与基本不等式有，
，
故，，故.
故选：A
2．D
【分析】直接由基本不等式求解即可.
【详解】因为，所以，当且仅当时，等号成立.
所以的最大值为.
故选：D
3．B
【分析】依题意可得，再利用乘“1”法及基本不等式计算可得.
【详解】因为直线经过点，
所以，
所以
，
当且仅当，即、时取等号.
故选：B
4．D
【分析】对变形后，利用基本不等式求解.
【详解】，则，
，
当且仅当时，等号成立，则.
故选：D.
5．D
【分析】利用“乘1法”即得.
【详解】因为，所以，
∴
，
当且仅当时，即时取等号，
所以的最小值为1.
故选：D.
6．B
【解析】由，然后利用基本不等式求最小值，利用最小值大于等于9，建立不等式，解之即可.
【详解】由已知可得若题中不等式恒成立，则只要的最小值大于等于9即可，
，
，
当且仅当即时等号成立，，
或舍去，即
所以正实数a的最小值为4.
故选：B.
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，这时改用勾型函数的单调性求最值.
7．A
【分析】根据题意可得到，从而利用基本不等式即可求出的最大值.
【详解】因为，所以，
所以，
因为，所以，当且仅当，即时等号成立，
所以，当且仅当时等号成立.
故选：A.
8．A
【分析】由已知条件求出等比数列的公比，得到，利用基本不等式求的最小值.
【详解】设正项等比数列的公比为，由，，成等差数列，
有，即，得，由，解得，
若数列中存在两项，，使得为它们的等比中项，
则，即，得，则，
，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为3.
故选：A
9．B
【分析】对于选项A、B，先令，再利用基本不等式得出求解即可判断；对于选项C，先令，再利用基本不等式得出求解即可判断；举出反例可判断选项D.
【详解】因为，，，
设，则，所以.
由基本不等式可得：，当且仅当时等号成立.
所以，即，解得（舍）或，
所以，即时成立，故选项A错误，选项B正确；
设，则，所以，则 .
由基本不等式可得：，当且仅当时等号成立，
所以，即解得或（舍），
所以，即时等号成立，故选项C错误;
对于选项D：当时，满足，此时，故选项D错误.
故选：B
10．D
【分析】应用对数运算性质及基本不等式判断各式的大小关系.
【详解】由，
而，则，所以，即，
由，则，即，
综上，.
故选：D
11．D
【分析】根据零点存在性定理可求解，进而根据指数对数的运算性质结合基本不等式求解的范围，即可比较大小．
【详解】由，令，则在定义域内单调性递增，且，
由零点存在性定理可得，
，
又，因此，
，可得，
，，
，
，，，
．
故选：D
【点睛】方法点睛：比较大小问题，常常根据：
（1）结合函数性质进行比较；
（2）利用特殊值进行估计，再进行间接比较；
（3）根据结构特征构造函数，利用导数分析单调性，进而判断大小.
12．D
【分析】由对数函数性质知，，，然后由基本不等式证明，再用作差法比较大小后可得．
【详解】由对数函数性质知，即，同理，
又，即，
，
所以，即，综上，
故选：D．
13．AD
【分析】由基本不等式公式可直接求出的范围，判断A选项；由基本不等式中“1”的应用，令，展开结合不等式求出最值可判断B选项；根据等式，二元化一元解出，代入所求，求导判断单调性可求出结果，可判断C选项；同理，二元化一元解出代入所求，结合基本不等式可求出最小值，从而判断D选项.
【详解】A选项：，即，解得，当且仅当，即，时等号成立，A选项正确；
B选项：，当且仅当，即，时等号成立，B选项错误；
C选项：由，得，，则，
设函数，，，
令，解得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，C选项错误；
D选项：，当且仅当，即，时等号成立，D选项正确；
故选：AD．
14．AD
【分析】利用基本不等式对选项AC进行判断即可得A正确，C错误；当时，可将不等式化为，再由基本不等式判断可得B错误，取代入可得D正确.
【详解】对于A：利用基本不等式可得，
当且仅当时，等号成立，故A正确；
对于B：对于，，
当且仅当时，等号成立；即命题不成立，故B错误；
对于C：易知对于，，
当且仅当时，等号成立，故C错误；
对于D：易知当时，，即，所以D正确.
故选：AD.
15．ABD
【分析】根据题意，利用题设条件，结合基本不等式，逐项判定，即可求解.
【详解】，且，
对于A，由，解得，当且仅当时等号成立，
则的最大值为，所以A正确；
对于B，由，
当且仅当时等号成立，所以的最小值为，所以B正确；
对于C，，
当且仅当，即时等号成立，所以的最小值是9，所以C错误；
对于D，由，
得，当且仅当时等号成立，
则的最小值是，所以D正确.
故选：ABD.
16．BCD
【分析】选项A，利用不等式的性质可判断；选项B，根据，可判断；选项C和D，利用均值不等式可判断.
【详解】选项A：由，得，
则，所以，A错误．
选项B：因为，
所以，B正确．
选项C：由，得，，
所以，
当且仅当时取等号， C正确．
选项D：因为，
当且仅当时取等号，所以，D正确．
故选：BCD
17．ABC
【分析】首先先把用对数式表示出来，对于ACD直接运用对数的运算公式计算即可，对于B借助选项A的结论以及基本不等式即可，
【详解】设，则，，，且，
由，A正确；
由A可知，，所以，由不等式得，即，所以，即，
当且仅当，即，时取得等号，又时，由可得，
与，矛盾，所以，B正确；
，
所以，，
所以，所以，C正确，D错误．
故选：ABC
18．BCD
【分析】利用基本不等式判断各选项．
【详解】对于A选项，，
当且仅当时取得等号，故A错误；
对于B选项，，故，
当且仅当时取得等号，故B正确；
对于C选项，，
当且仅当时取得等号，故C正确；
对于D选项，
，
当且仅当时取得等号成立，故D正确．
故选：BCD.
19．ABD
【分析】首先利用放缩法证明出，，从而可以判断ABC，对于D则需要使用基本不等式.
【详解】因为，所以，即，，即，
所以，故AB正确C错误；
对于D：，故D正确.
故选：ABD
20．ABD
【分析】利用二次不等式的解集得方程的两根为和，结合韦达定理得，从而判断A，再利用基本不等式计算判断BCD.
【详解】由题意，不等式的解集为，
可得，且方程的两根为和，
所以，所以，，
所以，所以A正确；
因为，，所以，可得，
当且仅当时取等号，所以的最大值为，所以B正确；
由，
当且仅当时，即时取等号，所以的最小值为，所以C错误；
由，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最小值为，所以D正确.
故选：ABD
21．AD
【分析】对于A项，通过题设求出，代入所求式消元，凑项运用基本不等式即得；对于B项，直接运用基本不等式将其转化成关于的不等式求解即得；对于C项，运用完全平方式将其转化成关于的二次函数，通过其图象单调性即得；对于D项，通分后将其化成关于的分式函数，求其值域即得.
【详解】对于A项，由可得：，
因，故，将其代入可得：
当且仅当时等号成立，故A项正确；
对于B项，由可得，
因，故得：，则，
当且仅当时等号成立，故B项错误；
对于C项，由，
设，由上分析知，，
则在上单调递增，故，即C项错误；
对于D项，由，
由上分析知，则，
故，即，故D项正确.
故选：AD.
22．
【分析】根据等式变形，利用常值代换法凑项，运用基本不等式求得即得.
【详解】因为两个正实数 满足，则，
故
，当且仅当时取等号，
因不等式恒成立，则，故.
故答案为：.
23．
【分析】求出函数所过的定点，则有，则，则，化简整理，分离常数再结合基本不等式求解即可.
【详解】函数且的图象过定点，
则，所以，
由，得，
则
令，则，
则
，
当且仅当，即，即时，取等号，
所以的最小值是.
故答案为：.
24．
【分析】变形得到，利用两次基本不等式，求出最小值．
【详解】任意的正实数，，，满足，
所以
，
由于，为正实数，
故由基本不等式得，
当且仅当，即，时，等号成立，
所以
，
当且仅当，即时，等号成立，
综上，的最小值为16．
故答案为：16．
25．（1）答案见解析（2）
【解析】（1）化为后，分类讨论与的大小关系，可解得结果；
（2）转化为对恒成立，利用基本不等式求出右边的最大值即可得解.
【详解】（1）因为，可化为，可化为，
当，即时，得，
当即时，不等式无解；
当即时，得，
综上所述：当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为空集；
当时，不等式的解集为.
（2）若，则可化为，可化为，
当时，恒成立；
当时，化为，即恒成立，
因为，当且仅当时，等号成立，
所以的最大值为，
所以.
【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
①若在上恒成立，则；
②若在上恒成立，则；
③若在上有解，则；
④若在上有解，则；
26．(1)
(2)－4
(3)4
【分析】（1）将恒成立，转化为恒成立，再由，利用基本不等式求得其最小值即可；
（2）将恒成立，转化为恒成立，再由，利用基本不等式求得其最小值即可；
（3）根据，，利用基本不等式求解.
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴恒成立等价于恒成立．
又，
∴，
当且仅当，即，即，时等号成立．
∴，
∴．
故实数m的取值范围是．
（2）∵，，
∴恒成立等价于恒成立．
又，当且仅当，即时取等号，
∴，即．
∴实数的最小值为－4．
（3）∵，，
∴，当且仅当，即时等号成立．
又恒成立，
∴，
∴或（舍去），
∴．
故正实数的最小值为4．
27．(1)
(2)当产量为20个，零件的单位利润最大，最大单位利润是100元.
【分析】（1）根据已知条件，结合利润公式，即可直接求得.
（2）设零件的单位利润为，得到的解析式，再结合基本不等式的公式，即可
【详解】（1）当时，，
当时，，
故.
（2）设零件的单位利润为，
则，
当时，，
当且仅当，即时，等号成立，
当时，，
故当产量为200个，零件的单位利润最大，最大单位利润是100元.
28．(1)
(2)
【分析】（1）方便求出命题，为真命题时的取值范围，进而可求均为假命题时的取值范围；（2）把不等式看成关于的一次不等式，结合图像即可求解.
【详解】（1）若命题为真命题，则命题可转化为，
即，令，得函数y在上单调递增，
所以，则，
若命题为假命题，则；
若命题为真命题，则命题可转化为在上恒成立，
即，则，当且仅当时，
即时等号成立，则，
若命题，则，
则命题，均为假命题，则
（2）任意的，使得不等式成立，
即在上恒成立，
令，
当时，，不合题意；
当时，有，解得；
所以的取值范围是.
29．(1)1
(2)．
【分析】（1）将1化成，约分即可求解，
（2）利用将1化成，即可得，通分后分离常数，即可利用基本不等式求解，或者利用，代入后得，即可求解.
【详解】（1）由题意得
；
（2）解法1（整体代入）：由
，
由于，故，当且仅当，即时等号成立，
因为有最小值，此时有最大值，
从而最小值，即有最小值．
解法2（消元思想）：由题意得．
因为，当且仅当，即时等号成立，
因为有最小值，此时有最大值，
从而最小值，即有最小值．