2025年高考一轮复习系列（新高考新题型）2.3函数的周期性及对称性含解析答案

这是一份2025年高考一轮复习系列（新高考新题型）2.3函数的周期性及对称性含解析答案，共41页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知函数，则函数的图象（ ）
A．关于点对称B．关于点对称
C．关于点对称D．关于点对称
2．已知函数的图像关于点对称，则（ ）
A．B．C．1D．3
3．定义在上的函数和的图象关于轴对称，且函数是奇函数，则函数图象的对称中心为（ ）
A．B．C．D．
4．已知是定义在上的奇函数，满足， ，则（ ）
A．0B．C．2D．6
5．若直线过函数图象的对称中心，则最小值为（ ）
A．4B．6C．8D．9
6．已知定义域为R的函数的图象关于点成中心对称，且当时，，若，则（ ）
A．0B．C．D．
7．已知定义在上的函数满足，当时，，则（ ）
A．1B．2C．D．-2
8．已知定义在上的奇函数满足，则以下说法错误的是（ ）
A．
B．是周期函数，且2是其一个周期
C．
D．
9．已知是定义在R上的偶函数，且周期.若当时，，则（ ）
A．4B．16C．D．
10．已知定义在上的奇函数满足，且在上有，则
A．2B．C．D．
11．已知函数的定义域为若，则（ ）
A．B．C．D．
12．已知函数是定义在上的奇函数，且的图象关于对称．若，则（ ）
A．3B．2C．0D．50
13．已知是定义在上的函数，满足，且满足为奇函数，则下列说法一定正确的是（ ）
A．函数图象关于直线对称B．函数的周期为2
C．函数图象关于点中心对称D．
14．已知函数是定义在上的奇函数，且，，则（ ）
A．B．0C．3D．6
15．已知是定义在上的奇函数，若为偶函数且，则（ ）
A．B．0C．2D．4
16．已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，，则=（ ）
A．4036B．4040C．4044D．4048
17．已知函数为偶函数，且函数在上单调递增，则关于x的不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
18．已知函数的定义域为R，，且在上单调递减，则关于的不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
19．已知定义在上的奇函数满足，且在区间上是增函数，则（ ）
A．B．
C．D．
20．已知函数，若，，，则（ ）
A．B．
C．D．
21．已知定义在R上的函数在上单调递增，且为偶函数，则不等式的解集为（ ）．
A．B．
C．D．
22．已知定义域为的函数在单调递减，且，则使得不等式成立的实数的取值范围是（ ）
A．B．或
C．或D．或
23．已知函数在上单调递减，，为偶函数，当时，，若，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
24．已知函数满足，且在上单调递增，当时，，则m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
25．已知函数满足，则下列结论一定正确的是（ ）
A．是奇函数B．是奇函数
C．是奇函数D．是奇函数
26．已知函数的定义域为，且，，，则（ ）
A．B．C．0D．1
27．已知函数满足，则下列结论不正确的是（ ）
A．B．函数关于直线对称
C．D．的周期为3
28．已知函数，若，则（ ）
A．B．C．D．
29．已知，若，则（ ）
A．4042B．2024C．D．
30．已知定义在上的奇函数满足，当时，，则（ ）
A．B．C．D．
31．已知定义在上的函数在上单调递减，且为偶函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
32．，，，则的值为（ ）
A．2B．1C．0D．－1
33．函数的定义域为，且与都为奇函数，则说法不正确的是（ ）
A．为奇函数B．为周期函数
C．为奇函数D．为偶函数
34．已知定义在R上的偶函数满足，当时 ，则（ ）
A．B．
C．D．
35．已知函数,则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
36．我们称为“二阶行列式”，规定其运算为．已知函数的定义域为，且，若对定义域内的任意都有，则（ ）
A．B．是偶函数C．是周期函数D．没有极值点
二、多选题
37．已知函数的图象的对称轴方程为，则函数的解析式可以是（ ）
A．B．
C．D．
38．已知函数的定义域为R，为奇函数，且对，恒成立，则（ ）
A．为奇函数B．C．D．
39．已知函数的定义域为，设为的导函数，，，，则（ ）
A．B．
C．是奇函数D．
40．若函数的定义域为，且，，则（ ）
A．B．为偶函数
C．的图象关于点对称D．
41．已知函数及其导函数的定义域均为，若，均为奇函数，则（ ）
A．B．
C．D．
42．已知是定义域为的函数，满足，当时，，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小正周期为4
B．的图象只关于直线对称
C．当时，函数有5个零点
D．当时，函数的最小值为
43．已知定义在R上的函数的导函数分别为，且，，则（ ）
A．关于直线对称B．
C．的周期为4D．
三、填空题
44．设是定义域为的奇函数，且，当时，， ．
45．若函数的图象关于直线对称，则 ．
46．写出一个同时具有下列性质①②③的函数 .①是定义域为的奇函数；②；③.
47．函数满足，当时，，则 .
48．已知定义域为的函数满足，且当时，，则 .
49．已知是定义域为的奇函数，且满足.若，则 .
50．已知定义在上的奇函数满足，且在区间上是增函数，令，，，则，，的大小关系为 .
51．已知函数，若，则 ．
52．已知函数，若，则 ．
53．请写出一个图像关于点对称的函数的解析式 ．
54．已知函数及其导函数的定义域均为R，若，，且当时单调递减，则的解集为 ．
55．已知函数的定义域为，且，，请写出满足条件的一个 （答案不唯一）， ．
四、解答题
56．函数对任意的实数a，b，都有，且当时，.
(1)求的值；
(2)求证：是R上的增函数；
(3)解关于实数x的不等式.
57．设函数的定义域,若对任意，均有成立，则称为“无奇”函数．
(1)判断函数①和②是否为“无奇”函数，说明理由；
(2)若函数是定义在上的“无奇”函数，求实数a的取值范围；
(3)若函数是“无奇”函数，求实数m的取值范围．
58．已知是定义在R上的函数，满足：，，且当时，．
(1)求的值；
(2)当时，求的表达式；
(3)若函数在区间（）上的值域为，求的值．
59．已知函数是定义在上的周期函数，周期，函数（）是奇函数．又已知在上是一次函数，在上是二次函数，且在时函数取得最小值．
(1)证明：；
(2)求的解析式；
(3)求在[4，9]上的解析式．
60．已知定义在全体实数上的函数满足：①是偶函数；②不是常值函数；③对于任何实数，都有．
(1)求和的值；
(2)证明：对于任何实数，都有；
(3)若还满足对有，求的值．
参考答案：
1．A
【分析】首先判断函数为奇函数，再根据函数平移规则判断即可.
【详解】函数的定义域为，又，
所以为奇函数，则函数的图象关于原点对称，
又的图象是由的图象向右平移个单位，再向上平移个单位得到，
所以函数的图象关于点对称.
故选：A
2．C
【分析】根据对称性可得，由此可构造方程求得结果.
【详解】图象关于点对称，，
又，
，
，解得：，.
故选：C.
3．D
【分析】利用奇函数的性质结合函数的对称性求解即可.
【详解】由题意得函数是奇函数，则关于对称，
另知函数和的图象关于轴对称，故关于对称，
故选：D
4．B
【解析】根据函数奇偶性，以及题中条件，先确定函数关于直线对称，且周期为，进而可求出结果.
【详解】因为，所以关于直线对称；
又因为是定义在上的奇函数，
所以，，
则，因此，
所以是周期为的函数，因此，；
又关于直线对称，所以；
因此。
故选：B.
5．D
【解析】首先根据题意得到，再利用基本不等式求解最小值即可.
【详解】由题意得，函数图象的对称中心为，
∴，即，
∴，
当且仅当，即时取等号.
故选：D.
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方
6．C
【分析】由函数的对称性有，结合上函数解析式得、关于参数m、n的表达式，进而求m、n，即可得结果.
【详解】依题意，，又，
所以①，而②，
联立①②，解得：，，则．
故选：C
7．B
【分析】根据周期性即可代入求解.
【详解】因为，所以，
所以是以4为周期的周期函数，
所以.
故选：B
8．C
【分析】根据条件，对各个选项逐一分析判断，即可得出结果.
【详解】选项A，因为是定义在上的奇函数，所以，即，所以选项A正确，
选项B，由，知是周期函数，且2是其一个周期，所以选项B正确，
选项C，因为，又，，得到，所以选项C错误，
选项D，，所以选项D正确，
故选：C.
9．B
【分析】由函数的奇偶性和周期性求解即可.
【详解】因为.
故选：B.
10．D
【解析】根据题意可得函数是周期为4的周期函数，结合函数为奇函数可得，代入函数解析式化简即可.
【详解】解：因为定义在上的奇函数满足，
所以，
所以，即函数是周期为4的周期函数，
又时有，
所以
故选：D.
【点睛】函数的单调性与奇偶性的综合问题解题思路：
(1)解决比较大小、最值问题应充分利用奇函数在关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性；
(2)解决不等式问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成或的形式，再根据函数的奇偶性与单调性， 列出不等式(组)，要注意函数定义域对参数的影响.
11．A
【分析】由条件推导出周期进而计算求解.
【详解】由，用代,得，
又，所以，得，
故的周期为,
所以.
故选：A．
12．C
【分析】根据奇函数的性质得到和，再结合函数对称性得到，赋值求出、；推导出函数的周期为4，即可求解.
【详解】因为函数是定义在上的奇函数，
所以，且，
又的图象关于对称，则，
即①，则，，
在①中，令，得，
则，所以函数的周期为，即，
则有，
所以
，
故选：C.
13．D
【分析】由易得图象关于直线对称，再由为奇函数，得到图象关于对称，进而结合得到，有函数的周期为4判断.
【详解】解：因为满足，所以，
所以函数图象关于直线对称，
因为为奇函数，
所以，即，
则函数图象关于对称，则，
令得，
由，得，
所以函数的周期为4，
所以，
故选：D
14．A
【分析】由函数为奇函数可得，，再根据求出函数的周期，再根据函数的周期即可得解.
【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，，
因为，所以，则，
所以，
所以是以为周期的一个周期函数，
所以
.
故选：A．
15．D
【分析】根据给定的奇偶性，推理计算得，再结合已知值及周期性求解作答.
【详解】因为是定义在R上的奇函数，则，且，
又为偶函数，则，即，
于是，则，即是以为周期的周期函数，
由，得，，
，，
所以.
故选：D
16．D
【分析】根据题中为奇函数，为偶函数，从而可得出为周期为4的函数，从而可求解.
【详解】由题意得为奇函数，所以，即，所以函数关于点中心对称，
由为偶函数，所以可得为偶函数，则，所以函数关于直线对称，
所以，从而得，所以函数为周期为4的函数，
因为，所以，则，
因为关于直线对称，所以，
又因为关于点对称，所以，
又因为，又因为，所以，
所以，故D正确.
故选：D.
17．A
【分析】利用函数的奇偶性和对称性，得到函数的单调区间，利用单调性解函数不等式.
【详解】因为为偶函数，所以的图象关于y轴对称，则的图象关于直线对称．
因为在上单调递增，所以在上单调递减．
因为，所以，解得．
故选：A.
18．C
【分析】由可得函数的图象关于直线对称，进而得到在上单调递增，数形结合将转化为，解不等式即可.
【详解】因为，，所以函数的图象关于直线对称，
又在上单调递减，所以在上单调递增，
结合草图可知：要使，则到的距离小于到的距离，故不等式
等价于，两边同时平方后整理得，解得或.
故选：C．
19．D
【分析】推导出函数是周期函数，且周期为，以及函数在区间上为增函数，利用函数的周期性和单调性可得出、、的大小关系.
【详解】由题意可知，故函数是周期函数，且周期为，
则，，，
因为奇函数在区间上是增函数，则该函数在区间上也为增函数，
故函数在区间上为增函数，所以，即.
故选：D.
20．A
【分析】先判断的对称性与单调性，再利用中间值法得，最后利用单调性比较大小即可.
【详解】因为，
所以的对称轴为，则有，
又当时，得，
而和均在区间上单调递增，
所以在区间上单调递增，
又，
，即，
所以，即.
故选：A
21．B
【分析】根据已知条件，可得对称轴为，且在上单调递减.根据函数的对称性与单调性，可得只需即可，解出不等式即可.
【详解】由题意可得，对称轴为，且在上单调递减.则由，可得出，即，
即，解得或.
所以，不等式的解集为.
故选：B.
22．D
【分析】由已知可得函数的对称性，然后结合函数在单调递减，所以可判断在定义域上的单调性，进而利用单调性可解.
【详解】解：，则关于对称，
因为在单调递减，
∴在上单调递减，
又
∴，
∴，
∴或，
故选：D.
【点睛】结论点睛：若满足，则关于中心对称.
23．A
【分析】先由已知确定函数的对称性、单调性、周期性，然后把“”后面自变量的值转化为同一单调区间上，比较自变量大小即得函数值的大小关系.
【详解】因为函数为偶函数，得的图象关于直线对称，
且，由得，
所以，即，则，
所以函数的一个周期为6，则，
当时，，又的图象关于直线对称，
所以，
由得，的图象关于点对称，
又函数在上单调递减，所以函数在上单调递减，
又，
所以，
所以.
故选：A
【点睛】方法点睛：比较两个函数值或两个自变量的大小：首先根据函数的性质把两个函数值中自变量调整到同一单调区间，然后根据函数的单调性，判断两个函数值或两个自变量的大小
24．A
【分析】由，可得函数图象关于点中心对称，又函数在上单调递增，可得函数在上单调递增，从而有在上恒成立，分离参数转化为最值问题即可求解.
【详解】解：因为函数满足，所以函数图象关于点中心对称，
又函数在上单调递增，所以函数在上单调递增，
因为时，，
所以在上单调递增，
所以在上恒成立，即，
易知在上单调递增，所以，
所以，
所以m的取值范围为，
故选：A.
25．B
【分析】利用赋值法推得，从而得到的对称性，再利用函数图象平移的性质可判断B，举反例排除ACD，由此得解.
【详解】因为，
令，可得，则；
令，则，
故的图象关于点对称，
则的图象关于点对称，即是奇函数，故B正确；
对于C，令，可得，则，
当时，，此时不可能是奇函数，
由于无法确定的值，故不一定是奇函数，故C错误；
对于AD，取，满足题意，但易知D错误；
故选：B.
26．D
【分析】由已知结合赋值法推出函数为偶函数，进而采用变量代换的方法，推出函数的对称中心，进而推出其周期，再结合赋值法求得，结合函数的周期性，即可求得答案.
【详解】由题意知函数的定义域为，且，，
令，则，即，故为偶函数；
又，令，则，
又由，得，
即的图象关于点成中心对称，则；
，即，又结合为偶函数，
则，故，即4为的周期，
故，
故
，
故选：D
【点睛】方法点睛：（1）涉及到抽象函数的求值问题，一般利用赋值法，即令x取特殊值，求得函数值；（2）涉及抽象函数的奇偶性、单调性、对称性以及周期性问题，往往利用变量代换结合相关定义进行推导.
27．D
【分析】解法一：令，代入判断A；令，利用奇偶性和对称性的概念判断B；令判断C；令，利用周期性的概念判断D；解法二：构造函数，依次验证各选项即可.
【详解】解法一：
令，，则，解得，A正确；
令，则，
所以，即是偶函数，
所以，所以函数关于直线对称，B正确；
令，则，
令，则，所以，C正确；
令，则①，
所以②，
①②联立得，
所以，，即的周期为，D错误；
解法二：
构造函数，
满足，且，
，A正确；
，
因为表示的图象向右平移个单位，且的图象关于轴对称，
所以关于直线对称，B正确；
由余弦函数的图象和性质可知，C正确；
的周期，D错误；
故选：D
28．D
【分析】先得到，进而由得到答案.
【详解】定义域为R，且，又，所以，所以.
故选：D
29．A
【分析】计算再求解即可.
【详解】由题意，，故，.
故选：A
30．A
【分析】根据给定条件，探讨函数的周期，再利用对数函数单调性及指对数运算计算即得.
【详解】在上的奇函数满足，则，
于是，即函数的周期为4，
而，则，，又当时，，
所以.
故选：A
31．D
【分析】由为偶函数求得函数对称轴，再结合函数的单调性进行求解即可.
【详解】∵函数为偶函数，∴，即，
∴函数的图象关于直线对称，
又∵函数定义域为，在区间上单调递减，
∴函数在区间上单调递增，
∴由得，，解得.
故选：D.
32．B
【分析】利用赋值法求出的值，将变形为，即可推出，可得函数周期，由此即可求得答案.
【详解】由题意知，，，
令，则
显然时，不成立，故，
故，则，
即6为函数的周期，
则，
故选：B
33．D
【分析】由奇函数性质及题意得且，因此即，进而得且即可判断A、B；由可得，结合奇函数的定义即可判断C、D.
【详解】因为为奇函数，所以，
又为奇函数，所以，
∴，即，
所以，且，
∴是周期为2的函数，且是奇函数，故A、B正确；
由得，
故由A、B得，
即为奇函数，故C正确；
由得，
所以为奇函数，故D错误；
故选：D.
34．B
【分析】由，求得函数的周期为4，结合函数的奇偶性和上的函数解析式，分别求得的值，即可求解.
【详解】由题意，函数满足，可得，
即函数是以4为周期的周期函数，
又由函数是上的偶函数，即，
又由当时 ，
则，
,
所以.
故选：B.
35．B
【分析】化简，得到，令，令，求得，得到在上单调递增，且函数为偶函数，进而得到上单调递减，把不等式转化为，列出不等式，即可求解.
【详解】由函数，
所以，令，
可得
令且，
可得在上恒成立，所以，
所以在上单调递增，
又由，
所以函数为偶函数，则在上单调递减，
又由，即，即，
整理得，解得或，
即不等式的解集为.
故选：B.
36．D
【分析】经行列式运算后，得到关系式，将替换为代入，进而得到函数的解析式，逐项判断即可.
【详解】由于，则，
即为：（*），
将替换为代入（*）式，得，且，
得：，
对于A，取，显然满足（*）式，此时，故A错误；
对于B，定义域为，
则成立，
所以是奇函数，故B错误；
对于C，假设非零常数为函数的周期，即，
则，其中，
即得，，这与假设为非零常数矛盾，
所以不是周期函数，故C错误；
对于D，由于，则，显然没有实数解，
所以没有极值点，故D正确；
故选：D.
37．BD
【分析】依次验证各选项中的函数是否满足即可.
【详解】若的图象的对称轴方程为，则；
对于A，，A错误；
对于B，，B正确；
对于C，，，，
即不恒成立，C错误；
对于D，，D正确.
故选：BD.
38．BCD
【分析】根据函数定义换算可得为偶函数，根据偶函数和奇函数性质可知为周期函数，再根据函数周期性和函数特殊值即可得出选项.
【详解】因为为奇函数，所以，故
又，所以，故，
所以，为偶函数，A错误；
为奇函数，所以，，
所以，B正确；
，又的图象关于点对称，所以，
所以，C正确；
又，所以是以4为周期的函数，
，D正确．
故选：BCD．
39．ABD
【分析】赋值计算判断A；赋值并利用复合函数的求导法则求导探讨性质判断CD；探讨函数的周期计算判断D.
【详解】函数，对任意，，
对于A，令，得，而，则，A正确；
对于B，令，得，
则，两边求导得，，即，
因此关于对称，，B正确；
对于C，由，得，
令，得，两边求导得，
即，因此，函数是偶函数，C错误；
对于D，由，得，则，
因此函数的周期为4，，D正确.
故选：ABD
【点睛】思路点睛：涉及抽象函数等式问题，利用赋值法探讨函数的性质，再借助性质即可求解.
40．BCD
【分析】对于A，令,可得；对于B，令，可得，即可判断；对于C，令得，再令即可判断；对于D，根据条件可得,继而，进一步分析可得函数周期为4，分析求值即可.
【详解】对于A，令，则，
因为，所以，则，
故A错误；
对于B，令，则，
则，故B正确；
对于C，令得，，
所以，
令得，，
则的图象关于点对称，故C正确；
对于D，由得，
又，所以，
则，，
所以，则函数的周期为，
又，，
则，
，
则，
所以，
故D正确，
故选：BCD.
41．AD
【分析】由是奇函数，得到的图象关于点对称，可判定A正确；由的图象关于点对称，可得，求得，结合不能确定，可判定B错误；由的图象关于点对称，得到，可判定C错误；由的图象关于直线对称，可得，结合是奇函数，得到，可判定D正确.
【详解】对于A中，由函数是奇函数，可得的图象关于点对称，则，所以A正确；
对于B中，因为的图象关于点对称，可得，
则，可得的图象关于直线对称，
但不能确定，所以B错误；
对于C中，因为的图象关于点对称，可得，所以C错误；对于D中，因为的图象关于直线对称，可得，
又因为是奇函数，所以，所以，所以，所以D正确.
故选：AD．
42．AC
【分析】对于A，将变形为结合可得，由此即可判断；对于B，可得，即函数的图象关于直线对称，结合周期性即可判断；对于C，D，画出函数在上的大致图象，结合图象即可判断C，由周期性求出最小值即可判断D.
【详解】由得，，故函数的周期为4，A正确；
由可得，
所以函数的图象关于直线对称，且关于直线对称（周期性），B不正确；
作出函数在上的大致图象如图所示，
由图可知，当时，函数有5个零点，C正确；
当时，函数的最小值为，D错误.
故选：AC.
【点睛】关键点点睛：判断C选项的关键是画出该部分的函数图象，观察图象即可得解.
43．ACD
【分析】由题意，根据函数的对称性，合理赋值即可判断A；利用导数求导可得、，通过合理赋值即可判断BCD.
【详解】由，得①，
②，得③，
由①②③，得，所以函数图象关于直线对称，故A正确；
由，得，令，得；
由，得，
令，得，
∴④，
又⑤，令，得，故B错误；
④⑤两式相加，得，得，
所以，即函数的周期为4，故C正确；
由，令，得，所以，
所以，故D正确.
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：本题主要考查函数的对称性和周期性，结合导数的运算，寻找关系式、和是解题的关键，原函数与导函数的联系，对称性与周期性的联系，都是解题的思路.
44．
【分析】根据函数奇偶性和对称性，将所求函数值转化成已知解析式区间上的函数值，即可求解.
【详解】因为，且是定义在上的奇函数
所以，
因为当时，，
所以.
故答案为：
45．7
【分析】由对称性得，取特殊值求得，再检验满足即可得，
【详解】由题意，即，
所以，即，解得，
此时，
，满足题意．
所以，．
故答案为：7．
46．（答案不唯一）
【分析】根据满足的条件写出一个函数即可.
【详解】由条件①②③可知函数对称轴为，定义域为R的奇函数，可写出满足条件的函数.
故答案为：（答案不唯一）
47．1
【分析】由得函数的周期，然后通过周期性和对数的运算性质即可求出的值.
【详解】由得函数的最小正周期为2.
由周期性可得，，
当时，，则.
所以.
故答案为：1.
48．
【分析】利用函数的奇偶性与周期性计算即可.
【详解】由已知可得，所以，
所以，即是函数的一个周期，
所以.
故答案为：
49．0
【解析】由可知的周期为4，结合是奇函数，可求，即可求的值.
【详解】由知：，即的周期为4，
∵是定义域为的奇函数，有，又，
∴，，，
∴，
∴.
故答案为：0
【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性、周期性求值，属于基础题.
50．
【分析】判断出在区间上的单调性，结合的大小关系确定正确结论.
【详解】是定义在上的奇函数，
，
所以关于对称.
由于在上递增，所以在递减.
，
在上递增，所以，
所以.
故答案为：
51．﹣2
【分析】根据f(x)解析式特征，判断，根据即可计算.
【详解】∵，∴，
∴，
∴，
∴＝1－3＝－2.
故答案为：－2.
52．﹣3
【分析】利用函数的对称性可求得函数值．
【详解】根据题意，函数，
则
，
则，
若，则，
故答案为：﹣3．
53．（答案不唯一）
【分析】可利用关于原点对称的图象，再把对称中心平移到点即可得．
【详解】的图象关于原点对称，则的图象关于点对称．同样如函数也满足题意．
故答案为：（答案不唯一）．
54．
【分析】根据导数的运算法则可求出，据此可知关于直线对称，
再由的单调性即可求出不等式的解集.
【详解】因为，
所以，即，
所以，故关于直线对称，且，
因为当时单调递减，所以当时单调递增，
由知，，
所以由可知，
故答案为：
55． （答案不唯一）；
【分析】应用赋值法可得为偶函数及以6为周期，进而可求.
【详解】令，则，解得或，
若，令，，则，即与已知矛盾,
∴，令，则，
则，∴为偶函数；
令，则，
则，
则，
所以以6为周期，
结合以上特征，找到满足条件的一个函数为，
结合以6为周期，则．
故答案为：（答案不唯一）；
56．(1)3；
(2)证明见解析；
(3).
【分析】（1）根据给定条件，赋值计算即得.
（2）利用给定等式，结合增函数的定义推理即得.
（3）利用给定等式，结合（1）（2）的结论，再解指数不等式即得.
【详解】（1）对任意的实数a，b，都有，
取，则，所以.
（2）任取实数，且，则，由当时，，得，
依题意，，
所以函数是R上的增函数.
（3）由（1）知，，由（2）知，函数是R上的增函数，
不等式
，
因此，即，解得或，
则或，即或，
所以原不等式的解集是.
57．(1)①不是，②是；理由见解析
(2)
(3)
【分析】（1）由，结合“无奇”函数的定义可判断①；由恒成立，可判断②；
（2）根据条件转化为方程无解，参变分离后，可求得所求范围；
（3）若函数不是“无奇”函数，转化为方程有解，参变分离并换元后，可求得实数m的范围，进一步计算即可.
【详解】（1）①因为，符合，
所以不是"无奇"函数；
②恒成立，
所以是“无奇”函数；
（2）在无解，
即在无解，
所以
（3）若不是“无奇”函数，
则有解，
即，
即有解，
令，
则
所以，即，
所以是“无奇”函数时，实数的取值范围是
58．(1)；
(2)
(3)或或.
【分析】（1）根据抽象函数的对称性和周期性计算即可；
（2）根据奇函数的定义与性质计算即可；
（3）根据二次函数的单调性先确定，再分类讨论计算即可.
【详解】（1）因为，，
所以，
故是奇函数，且为其一个周期，且关于轴对称，
所以；
（2）结合（1）的结论可令，则，
所以；
（3）由（1）（2）可知，
由二次函数单调性可知在上单调递增，且，
所以，则，
若，则，此时，
若，则，此时，
若，则，此时.
故的值为或或.
59．(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据函数周期性，可得，再结合函数奇偶性即可求得结果；
（2）设出二次函数解析式，结合（1）中结论，求得未知参数，则问题得解；
（3）先求出在的解析式，再结合函数周期性，即可求得结果.
【详解】（1）证明：∵f (x)是以为周期的周期函数，∴，
又∵是奇函数，∴，∴
（2）当时，由题意可设，
由，得，∴，
∴.
（3）根据（2）中所求，可知；又在上是奇函数，故，
故当时，设，则，解得.
故当时，.
又在上是奇函数，故当时，.
综上，则时，.
因为时，.
所以当时，，所以；
当时，，所以，
综上所述，.
60．(1)，
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）取，代入计算得到，取得到，得到答案.
（2）取，结合函数为偶函数得到，变换得到，得到证明.
（3）根据函数的周期性和奇偶性计算，取和取，得到，根据周期性得到，计算得到答案.
【详解】（1）
取，得到，即；
取得到，
不是常值函数，故；
（2），
取得到，
是偶函数，故，即，
.
（3），为偶函数，
取，则，即；
取，则，即；
故，
，，，
故，
取得到，
取，得到，
，，解得，
，