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苏教版 (2019)6.1空间向量及其运算精品练习题
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这是一份苏教版 (2019)6.1空间向量及其运算精品练习题，文件包含苏教版数学高二选择性必修第二册613共面向量定理练习原卷版docx、苏教版数学高二选择性必修第二册613共面向量定理练习解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共20页， 欢迎下载使用。
1．下面关于空间向量的说法正确的是（ ）.
A．若向量，平行，则，所在直线平行
B．若向量，所在直线是异面直线，则，不共面
C．若，，，四点不共面，则向量，不共面
D．若，，，四点不共面，则向量，，不共面
【答案】D
【分析】根据空间向量共面的定义判断B，C，D，由向量平行与直线平行的区别判断A.
【解析】我们可以通过平移将空间中任意两个向量平移到一个平面内，因此空间任意两个向量都是共面的，故B，C都不正确.由向量平行与直线平行的区别，可知A不正确.因为，，是空间中共端点但不共面的三条线段，所以向量，，不共面.
故选：D
【点睛】本题主要考查了判断空间向量是否共面，属于基础题.
2．若构成空间的一个基底，则（ ）
A．不共面B．不共面
C．不共面D．不共面
【答案】A
【分析】根据空间向量共面定理依次判断各选项即可得答案.
【解析】解：由题知不共面，
对于A，因为不存在实数使得成立，故不共面，A正确；
对于B，因为，故共面，B错误；
对于C，因为，故共面，C错误；
对于D，因为，故共面，D错误.
故选：A
3．已知，，，为空间不共面的四点，且向量，向量，则与，必共面的向量为（ ）
A．B．C．D．或
【答案】B
【分析】判断是否存在唯一的有序实数对，使选项中的向量等于即可.
【解析】由已知，与不共线，
对于A，若与，共面，则存在唯一的有序实数对，使，
即，该方程组无解，故选项A错误；
对于B，若与，共面，则存在唯一的有序实数对，使，
即，解得，即，与，共面，故选项B正确；
对于C，若与，共面，则存在唯一的有序实数对，使，
即，该方程组无解，故选项C错误；
对于D，由选项A及选项C的判断知，选项D错误.
故选：B.
4．在下列条件中，使与 ，，一定共面的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据空间共面向量定理以及其结论一一判断各选项，即可得答案.
【解析】对于A选项，,由于，所以不能得出共面.
对于B选项，由于，则为共面向量，所以共面.
对于C选项, ，由于，所以不能得出共面.
对于D选项，由得，
而，所以不能得出共面,
故选：B
5．已知点为所在平面内一点，为平面外一点，若则的值为（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】B
【分析】根据空间向量的四点共面定理即可求解.
【解析】因为，且四点共面，
所以，所以，
故选:B.
6．对于空间中的三个向量，，，它们一定是（ ）
A．共面向量B．共线向量C．不共面向量D．无法判断
【答案】A
【分析】根据平面向量基本定理分析判断.
【解析】若共线，则，，共线，，，共面；
若不共线，则可作为基底向量，可以用基底向量线性表示，根据平面向量基本定理可知：，，共面；
综上所述：，，共面.
故选：A.
7．空间四点共面，但任意三点不共线，若为该平面外一点且，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先设，然后把向量，，分别用向量，，，表示，再把向量用向量，，表示出，对照已知的系数相等即可求解．
【解析】解：因为空间，，，四点共面，但任意三点不共线，
则可设，
又点在平面外，则
，
即，
则，
又，
所以，解得，，
故选：C．
8．下列条件中一定使点P与A，B，C共面的有（ ）个
①
②
③
④
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】根据向量共面的充要条件判断即可.
【解析】①因为，所以，，为共面向量，所以点与，，共面，故①正确；
②，所以，，为共面向量，所以点与，，共面，故②正确；
对于③④显然不满足，故③④错；
故选：C.
9．对于空间一点和不共线三点，且有，则（ ）
A．O，A，B，C四点共面B．P，A，B，C四点共面
C．O，P，B，C四点共面D．O，P，A，B，C五点共面
【答案】B
【分析】若四点共面，则四点所构成的三个共起点的向量中，其中一个向量能用另外两个向量表示.即把转化成3个共起点的向量即可.
【解析】
四点共面
故选:B.
10．已知为空间任一点，，，，四点满足任意三点不共线，但四点共面，且，则的值为（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】B
【分析】根据空间向量共面定理的推论求解．
【解析】解：，，
又，，，四点满足任意三点不共线，但四点共面，
，，
故选：B．
11．已知点不共线，是空间任意一点，点在平面内，且，则（ ）
A．有最小值B．有最大值C．有最小值1D．有最大值1
【答案】A
【分析】因为四点共面，则，即，从而得出答案．
【解析】因为四点共面，则，即，
所以当时，有最小值．
故选：A．
12．在一个正方体中， 为正方形四边上的动点， 为底面正方形的中心， 分别为中点，点 为平面内一点，线段 与互相平分，则满足 的实数的值有
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】C
【解析】因为线段D1Q与OP互相平分，
所以四点O，Q，P，D1共面，
且四边形OQPD1为平行四边形．若P在线段C1D1上时，
Q一定在线段ON上运动，只有当P为C1D1的中点时，
Q与点M重合，此时λ＝1，符合题意．
若P在线段C1B1与线段B1A1上时，在平面ABCD找不到符合条件Q；
在P在线段D1A1上时，点Q在直线OM上运动，
只有当P为线段D1A1的中点时，点Q与点M重合，
此时λ＝0符合题意，所以符合条件的λ值有两个
故选C.
二、多选题
13．已知是空间的一个基底，则下列向量不共面的有（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
【答案】AD
【分析】根据空间向量共面定理依次判断选项即可。
【解析】对于A，，故不共面；
对于B，，故共面；
对于C，，故共面；
对于D，，故D不共面.
故选：AD
14．给出下列四个命题，其中是真命题的有（ ）
A．若存在实数，，使，则与，共面；
B．若与，共面，则存在实数，，使；
C．若存在实数，，使则点，，A，共面；
D．若点，，A，共面，则存在实数，，使．
【答案】AC
【分析】由向量共面定理可判断AC；取，为零向量可判断B；取，A，三点共线，点P与，A，不共线可判断D.
【解析】由向量共面定理可知A正确；
当，为零向量可知B错误；
由向量共面定理可知共面，又因为共始点，所以点，，A，共面，故C正确；
当，A，三点共线，点P与，A，不共线时可知D错误.
故选：AC
15．已知下列四种条件，空间中四点A，B，C，D不一定共面的是（ ）
A．B．=3-2
C．D．
【答案】ABD
【分析】根据空间中四点A，B，C， D共面的充要条件，逐一判断可得选项.
【解析】解：根据空间中A，B，C，D四点共面的充要条件是满足，且，
对于A：因为，又，所以空间中四点A，B，C，D不一定共面；
对于B：因为=3-2，又，所以空间中四点A，B，C，D不一定共面；
对于C：因为，所以，所以向量共面，即四点A，B，C，D共面，
对于D：因为，所以，又，所以空间中四点A，B，C，D不一定共面.
故选：ABD.
16．已知点为三棱锥的底面所在平面内的一点，且，则下列说法正确的是（ ）
A．B．C．的最大值为D．的最大值为
【答案】AD
【分析】根据空间四点共面可得，即，判断A,B;利用均值不等式可求得的最大值，判断C,D.
【解析】由题意知
，
即共面，则为基底表示时，系数和为1，
由，可知， ，即，A正确；
由，，可知仅当时，有，
比如当时，即不成立，故B错误；
又由基本不等式可得 ， ，当且仅当，时等号成立，
故C错误， D正确．
故选：AD．
三、填空题
17．已知，，是空间三个不共面的向量，下列各组向量：①，，；②，，；③，，.其中不共面的是____（填序号）.
【答案】①③##③①
【分析】利用空间共面向量定理判断即可
【解析】解：对于①，因为是空间三个不共面的向量，且，所以不共面，所以①符合题意；
对于②，因为，所以是共面向量，所以②不符合题意；、
对于③，若是共面向量，则存在实数，使，即，因为是空间三个不共面的向量，所以，矛盾，所以不共面，所以③符合题，
故答案为：①③
18．下列命题中错误的是______．（填序号）
①若A、B、C、D是空间任意四点，则有；
②是、共线的充要条件；
③若、共线，则；
④对空间任意一点O与不共线的三点A、B、C，若（其中x、y、）则P、A、B、C四点共面．
【答案】②③④
【分析】直接由向量的运算、向量的共线及向量的共面依次判断4个命题即可.
【解析】对于①，，正确；
对于②，或是、共线的充要条件，错误；
对于③，若、共线，则或重合，错误；
对于④，若（其中x、y、），当且仅当时，P、A、B、C四点共面，错误.
故答案为：②③④.
19．已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外任意一点，若由确定的一点P与A，B，C三点共面，则_________．
【答案】
【分析】推导出空间四点共面定理的推论，再根据推论进行求解.
【解析】因为P，A，B，C四点共面，所以存在不全为0的使得，
O是平面ABC外任意一点，则，
即，
若A，B，C三点共线，则，即，
整理得：，所以，
此时若，则，
因为A，B，C三点不共线，，
所以，
所以，
令，则，
所以，所以．
故答案为：
20．如图，已知四棱柱的底面为平行四边形，E为棱的中点，，与平面交于点M，则＝________.
【答案】
【分析】设，根据向量线性运算的几何表示可得，然后向量共面的推论即得.
【解析】由题可设，
因为，
所以，
因为M，E，F，G四点共面，
所以，
解得.
故答案为：.
四、解答题
21．已知为两个不共线的非零向量，且，，，求证：四点共面．
【答案】证明见解析
【分析】用共面向量定理证明共面，即可得四点共面．
【解析】设，则，
，又为两个不共线的非零向量，
，，，四点共面，
故原命题得证．
22．如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝DD1.求证：A，E，C1，F四点共面.
【答案】证明见解析.
【分析】根据空间向量定义及运算法则，用，表示出，从而证得四点共面.
【解析】证明:因为
＝
＝＋
＝，
所以，，共面，
所以A，E，C1，F四点共面.
23．已知三点不共线，对于平面外的任意一点，判断在下列各条件下的点与点是否共面．
(1)；
(2)．
【答案】(1)共面
(2)不共面
【分析】（1）根据空间向量的共面定理及推论，即可求解；
（2）根据空间向量的共面定理及推论，即可求解；
(1)
解：因为三点不共线，可得三点共面，
对于平面外的任意一点，若，
即，
又因为，根据空间向量的共面定理，可得点与共面.
(2)
解：因为三点不共线，可得三点共面，
对于平面外的任意一点，若，此时，
根据空间向量的共面定理，可得点与不共面．
24．如图所示，四面体中，G，H分别是的重心，设，点D，M，N分别为BC，AB，OB的中点．
(1)试用向量表示向量；
(2)试用空间向量的方法证明MNGH四点共面．
【答案】(1)，
(2)证明见解析
【分析】（1）结合空间向量的线性运算即可求出结果；
（2）证得，即可得出结论.
（1）
因为，
而，
又D为的中点，所以，
所以
．
（2）
因为，
，
所以，
，所以．
所以四点共面．
25．已知为空间9个点(如图)，并且，，．，求证：
(1)四点共面；
(2)；
(3)．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）根据向量的共面定理，即可求解；
（2）根据空间向量的运算法则，准确运算，即可求解；
（3）根据空间向量的运算法则，准确运算，即可求解.
（1）
解：因为，
由共面向量的基本定理，可得是共面向量
又因为有公共点，所以四点共面.
（2）
解：因为，
则
，
所以.
（3）
解：由（1）及，
可得，
所以，即.
26．如图，在三棱锥中，点为的重心，点在上，且，过点任意作一个平面分别交线段，，于点，，，若，，，求证：为定值，并求出该定值.
【答案】为定值4；证明见解析；
【分析】联结AG并延长交BC于H，由题意，令为空间向量的一组基底，表示出.
然后根据点，，，M共面，故存在实数，满足，再表示出一组的表达式，因此其系数相同，从而证得结论.
【解析】联结AG并延长交BC于H，由题意，令为空间向量的一组基底，
则
.
联结DM，点，，，M共面，故存在实数，
满足，即，
因此，
由空间向量基本定理知，
，
故，为定值.
1．下面关于空间向量的说法正确的是（ ）.
A．若向量，平行，则，所在直线平行
B．若向量，所在直线是异面直线，则，不共面
C．若，，，四点不共面，则向量，不共面
D．若，，，四点不共面，则向量，，不共面
【答案】D
【分析】根据空间向量共面的定义判断B，C，D，由向量平行与直线平行的区别判断A.
【解析】我们可以通过平移将空间中任意两个向量平移到一个平面内，因此空间任意两个向量都是共面的，故B，C都不正确.由向量平行与直线平行的区别，可知A不正确.因为，，是空间中共端点但不共面的三条线段，所以向量，，不共面.
故选：D
【点睛】本题主要考查了判断空间向量是否共面，属于基础题.
2．若构成空间的一个基底，则（ ）
A．不共面B．不共面
C．不共面D．不共面
【答案】A
【分析】根据空间向量共面定理依次判断各选项即可得答案.
【解析】解：由题知不共面，
对于A，因为不存在实数使得成立，故不共面，A正确；
对于B，因为，故共面，B错误；
对于C，因为，故共面，C错误；
对于D，因为，故共面，D错误.
故选：A
3．已知，，，为空间不共面的四点，且向量，向量，则与，必共面的向量为（ ）
A．B．C．D．或
【答案】B
【分析】判断是否存在唯一的有序实数对，使选项中的向量等于即可.
【解析】由已知，与不共线，
对于A，若与，共面，则存在唯一的有序实数对，使，
即，该方程组无解，故选项A错误；
对于B，若与，共面，则存在唯一的有序实数对，使，
即，解得，即，与，共面，故选项B正确；
对于C，若与，共面，则存在唯一的有序实数对，使，
即，该方程组无解，故选项C错误；
对于D，由选项A及选项C的判断知，选项D错误.
故选：B.
4．在下列条件中，使与 ，，一定共面的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据空间共面向量定理以及其结论一一判断各选项，即可得答案.
【解析】对于A选项，,由于，所以不能得出共面.
对于B选项，由于，则为共面向量，所以共面.
对于C选项, ，由于，所以不能得出共面.
对于D选项，由得，
而，所以不能得出共面,
故选：B
5．已知点为所在平面内一点，为平面外一点，若则的值为（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】B
【分析】根据空间向量的四点共面定理即可求解.
【解析】因为，且四点共面，
所以，所以，
故选:B.
6．对于空间中的三个向量，，，它们一定是（ ）
A．共面向量B．共线向量C．不共面向量D．无法判断
【答案】A
【分析】根据平面向量基本定理分析判断.
【解析】若共线，则，，共线，，，共面；
若不共线，则可作为基底向量，可以用基底向量线性表示，根据平面向量基本定理可知：，，共面；
综上所述：，，共面.
故选：A.
7．空间四点共面，但任意三点不共线，若为该平面外一点且，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先设，然后把向量，，分别用向量，，，表示，再把向量用向量，，表示出，对照已知的系数相等即可求解．
【解析】解：因为空间，，，四点共面，但任意三点不共线，
则可设，
又点在平面外，则
，
即，
则，
又，
所以，解得，，
故选：C．
8．下列条件中一定使点P与A，B，C共面的有（ ）个
①
②
③
④
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】根据向量共面的充要条件判断即可.
【解析】①因为，所以，，为共面向量，所以点与，，共面，故①正确；
②，所以，，为共面向量，所以点与，，共面，故②正确；
对于③④显然不满足，故③④错；
故选：C.
9．对于空间一点和不共线三点，且有，则（ ）
A．O，A，B，C四点共面B．P，A，B，C四点共面
C．O，P，B，C四点共面D．O，P，A，B，C五点共面
【答案】B
【分析】若四点共面，则四点所构成的三个共起点的向量中，其中一个向量能用另外两个向量表示.即把转化成3个共起点的向量即可.
【解析】
四点共面
故选:B.
10．已知为空间任一点，，，，四点满足任意三点不共线，但四点共面，且，则的值为（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】B
【分析】根据空间向量共面定理的推论求解．
【解析】解：，，
又，，，四点满足任意三点不共线，但四点共面，
，，
故选：B．
11．已知点不共线，是空间任意一点，点在平面内，且，则（ ）
A．有最小值B．有最大值C．有最小值1D．有最大值1
【答案】A
【分析】因为四点共面，则，即，从而得出答案．
【解析】因为四点共面，则，即，
所以当时，有最小值．
故选：A．
12．在一个正方体中， 为正方形四边上的动点， 为底面正方形的中心， 分别为中点，点 为平面内一点，线段 与互相平分，则满足 的实数的值有
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】C
【解析】因为线段D1Q与OP互相平分，
所以四点O，Q，P，D1共面，
且四边形OQPD1为平行四边形．若P在线段C1D1上时，
Q一定在线段ON上运动，只有当P为C1D1的中点时，
Q与点M重合，此时λ＝1，符合题意．
若P在线段C1B1与线段B1A1上时，在平面ABCD找不到符合条件Q；
在P在线段D1A1上时，点Q在直线OM上运动，
只有当P为线段D1A1的中点时，点Q与点M重合，
此时λ＝0符合题意，所以符合条件的λ值有两个
故选C.
二、多选题
13．已知是空间的一个基底，则下列向量不共面的有（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
【答案】AD
【分析】根据空间向量共面定理依次判断选项即可。
【解析】对于A，，故不共面；
对于B，，故共面；
对于C，，故共面；
对于D，，故D不共面.
故选：AD
14．给出下列四个命题，其中是真命题的有（ ）
A．若存在实数，，使，则与，共面；
B．若与，共面，则存在实数，，使；
C．若存在实数，，使则点，，A，共面；
D．若点，，A，共面，则存在实数，，使．
【答案】AC
【分析】由向量共面定理可判断AC；取，为零向量可判断B；取，A，三点共线，点P与，A，不共线可判断D.
【解析】由向量共面定理可知A正确；
当，为零向量可知B错误；
由向量共面定理可知共面，又因为共始点，所以点，，A，共面，故C正确；
当，A，三点共线，点P与，A，不共线时可知D错误.
故选：AC
15．已知下列四种条件，空间中四点A，B，C，D不一定共面的是（ ）
A．B．=3-2
C．D．
【答案】ABD
【分析】根据空间中四点A，B，C， D共面的充要条件，逐一判断可得选项.
【解析】解：根据空间中A，B，C，D四点共面的充要条件是满足，且，
对于A：因为，又，所以空间中四点A，B，C，D不一定共面；
对于B：因为=3-2，又，所以空间中四点A，B，C，D不一定共面；
对于C：因为，所以，所以向量共面，即四点A，B，C，D共面，
对于D：因为，所以，又，所以空间中四点A，B，C，D不一定共面.
故选：ABD.
16．已知点为三棱锥的底面所在平面内的一点，且，则下列说法正确的是（ ）
A．B．C．的最大值为D．的最大值为
【答案】AD
【分析】根据空间四点共面可得，即，判断A,B;利用均值不等式可求得的最大值，判断C,D.
【解析】由题意知
，
即共面，则为基底表示时，系数和为1，
由，可知， ，即，A正确；
由，，可知仅当时，有，
比如当时，即不成立，故B错误；
又由基本不等式可得 ， ，当且仅当，时等号成立，
故C错误， D正确．
故选：AD．
三、填空题
17．已知，，是空间三个不共面的向量，下列各组向量：①，，；②，，；③，，.其中不共面的是____（填序号）.
【答案】①③##③①
【分析】利用空间共面向量定理判断即可
【解析】解：对于①，因为是空间三个不共面的向量，且，所以不共面，所以①符合题意；
对于②，因为，所以是共面向量，所以②不符合题意；、
对于③，若是共面向量，则存在实数，使，即，因为是空间三个不共面的向量，所以，矛盾，所以不共面，所以③符合题，
故答案为：①③
18．下列命题中错误的是______．（填序号）
①若A、B、C、D是空间任意四点，则有；
②是、共线的充要条件；
③若、共线，则；
④对空间任意一点O与不共线的三点A、B、C，若（其中x、y、）则P、A、B、C四点共面．
【答案】②③④
【分析】直接由向量的运算、向量的共线及向量的共面依次判断4个命题即可.
【解析】对于①，，正确；
对于②，或是、共线的充要条件，错误；
对于③，若、共线，则或重合，错误；
对于④，若（其中x、y、），当且仅当时，P、A、B、C四点共面，错误.
故答案为：②③④.
19．已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外任意一点，若由确定的一点P与A，B，C三点共面，则_________．
【答案】
【分析】推导出空间四点共面定理的推论，再根据推论进行求解.
【解析】因为P，A，B，C四点共面，所以存在不全为0的使得，
O是平面ABC外任意一点，则，
即，
若A，B，C三点共线，则，即，
整理得：，所以，
此时若，则，
因为A，B，C三点不共线，，
所以，
所以，
令，则，
所以，所以．
故答案为：
20．如图，已知四棱柱的底面为平行四边形，E为棱的中点，，与平面交于点M，则＝________.
【答案】
【分析】设，根据向量线性运算的几何表示可得，然后向量共面的推论即得.
【解析】由题可设，
因为，
所以，
因为M，E，F，G四点共面，
所以，
解得.
故答案为：.
四、解答题
21．已知为两个不共线的非零向量，且，，，求证：四点共面．
【答案】证明见解析
【分析】用共面向量定理证明共面，即可得四点共面．
【解析】设，则，
，又为两个不共线的非零向量，
，，，四点共面，
故原命题得证．
22．如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝DD1.求证：A，E，C1，F四点共面.
【答案】证明见解析.
【分析】根据空间向量定义及运算法则，用，表示出，从而证得四点共面.
【解析】证明:因为
＝
＝＋
＝，
所以，，共面，
所以A，E，C1，F四点共面.
23．已知三点不共线，对于平面外的任意一点，判断在下列各条件下的点与点是否共面．
(1)；
(2)．
【答案】(1)共面
(2)不共面
【分析】（1）根据空间向量的共面定理及推论，即可求解；
（2）根据空间向量的共面定理及推论，即可求解；
(1)
解：因为三点不共线，可得三点共面，
对于平面外的任意一点，若，
即，
又因为，根据空间向量的共面定理，可得点与共面.
(2)
解：因为三点不共线，可得三点共面，
对于平面外的任意一点，若，此时，
根据空间向量的共面定理，可得点与不共面．
24．如图所示，四面体中，G，H分别是的重心，设，点D，M，N分别为BC，AB，OB的中点．
(1)试用向量表示向量；
(2)试用空间向量的方法证明MNGH四点共面．
【答案】(1)，
(2)证明见解析
【分析】（1）结合空间向量的线性运算即可求出结果；
（2）证得，即可得出结论.
（1）
因为，
而，
又D为的中点，所以，
所以
．
（2）
因为，
，
所以，
，所以．
所以四点共面．
25．已知为空间9个点(如图)，并且，，．，求证：
(1)四点共面；
(2)；
(3)．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）根据向量的共面定理，即可求解；
（2）根据空间向量的运算法则，准确运算，即可求解；
（3）根据空间向量的运算法则，准确运算，即可求解.
（1）
解：因为，
由共面向量的基本定理，可得是共面向量
又因为有公共点，所以四点共面.
（2）
解：因为，
则
，
所以.
（3）
解：由（1）及，
可得，
所以，即.
26．如图，在三棱锥中，点为的重心，点在上，且，过点任意作一个平面分别交线段，，于点，，，若，，，求证：为定值，并求出该定值.
【答案】为定值4；证明见解析；
【分析】联结AG并延长交BC于H，由题意，令为空间向量的一组基底，表示出.
然后根据点，，，M共面，故存在实数，满足，再表示出一组的表达式，因此其系数相同，从而证得结论.
【解析】联结AG并延长交BC于H，由题意，令为空间向量的一组基底，
则
.
联结DM，点，，，M共面，故存在实数，
满足，即，
因此，
由空间向量基本定理知，
，
故，为定值.
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