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高中数学7.1两个基本计数原理精品复习练习题
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这是一份高中数学7.1两个基本计数原理精品复习练习题，文件包含苏教版数学高二选择性必修第二册71两个基本计数原理练习原卷版docx、苏教版数学高二选择性必修第二册71两个基本计数原理练习解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共19页， 欢迎下载使用。
1．某校开设A类选修课4门,B类选修课3门,一同学从中选1门,则该同学的不同选法共有（ ）
A．7种B．12种C．4种D．3种
【答案】A
【分析】根据题意求出所有的可能性即可选出结果.
【解析】解:由题知某校开设A类选修课4门,B类选修课3门,
共7门,
故该同学的不同选法共有7种.
故选:A
2．现有5幅不同的油画，2幅不同的国画，7幅不同的水彩画，从这些画中选一幅布置房间，则不同的选法共有（ ）
A．7种B．9种C．14种D．70种
【答案】C
【分析】根据分类加法计数原理求解即可
【解析】分为三类:
从国画中选，有2种不同的选法;从油画中选，有5种不同的选法;从水彩画中选，有7种不同的选法，
根据分类加法计数原理，共有5+2+7= 14(种)不同的选法;
故选：C
3．现有3位游客来黄山旅游，分别从4个景点中任选一处游览，不同选法的种数是（ ）
A．B．C．24D．12
【答案】B
【分析】利用分步乘法计数原理计算可得.
【解析】解：每位游客有4种选择，由分步乘法计数原理知不同选法的种数是.
故选：B
4．电脑调色板有红、绿、蓝三种基本颜色，每种颜色的色号均为0~255．在电脑上绘画可以分别从这三种颜色的色号中各选一个配成一种颜色，那么在电脑上可配成的颜色种数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意，得到每种颜色有256种色号，由分步计数原理计算，即可求解.
【解析】根据题意，红、黄、绿三种基本颜色有种色号，即每种颜色有种色号，
从三种颜色的所有色号中各选一个配成一种颜色，
由分步计数原理，可以配成种颜色.
故选：A.
5．小张去工作室需要通过三重门，他必须问管理员要到每重门的钥匙才能到达工作室.第一重门的钥匙有3把（每把颜色不同），第二重门的钥匙有4把（每把颜色不同），第三重门的钥匙有3把（每把颜色不同），管理员要求他从这10把钥匙中取3把，则他能到达工作室的不同的取法共有（ ）
A．10种B．24种C．36种D．120种
【答案】C
【分析】根据给定条件，得用分步乘法计数原理列式计算作答.
【解析】依题意，进入第一重门有3种取法，进入第二重门有4种取法，进入第三重门有3种取法，
由分步乘法计数原理可知，不同的取法共有种.
故选：C
6．园艺部门打算为一个社区休闲广场的中心花坛（如图）布置花卉，要求同一区域摆放同一种花卉，相邻的两块区域（有公共边）摆放不同种类的花卉．现有4种不同种类的花卉可供选择，则不同布置方案有（ ）
A．144种B．120种C．96种D．72种
【答案】C
【分析】按照的顺序分步考虑可能性，再相乘即可.
【解析】先考虑A区有4种可供选择，再考虑B区有3种，D区有2种，E区有2种，C区有2种，
由分步乘法计数原理得共有种.
故选：C.
7．已知集合，．现从集合A中取一个元素作为点P的横坐标，从集合B中取一个元素作为点P的纵坐标，则位于第四象限的点P有（ ）
A．16个B．12个C．9个D．6个
【答案】D
【分析】根据第四象限点的特征，运用分步乘法计数原理进行求解即可.
【解析】因为第四象限的点横坐标为正，纵坐标为负，
所以集合中只有符合，集合中只有符合，
所以第四象限的点P有个，
故选：D
8．某航母编队将进行一次编队配置科学演练，要求艘攻击型核潜艇一前一后，艘驱逐舰和艘护卫舰分列左右，每侧艘，同侧不能都是同种舰艇，则舰艇分配方案的方法数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】分析可知艘攻击型核潜艇放在中间，共有种顺序，这艘攻击型核潜艇前方是艘护卫舰和艘驱逐舰，剩余的艘护卫舰和艘驱逐舰列在攻击型核潜艇的后方，利用分步乘法计数原理可得结果.
【解析】艘攻击型核潜艇放在中间，共有种顺序，
这艘攻击型核潜艇前方是艘护卫舰和艘驱逐舰，剩余的艘护卫舰和艘驱逐舰列在攻击型核潜艇的后方，
由分步乘法计数原理可知，不同的配方案的方法数为.
故选：B.
9．2022年北京冬奥会的顺利召开，引起大家对冰雪运动的关注．若A，B，C，D四人在自由式滑雪和花样滑冰这两项运动中任选一项进行体验，则不同的选法共有（ ）
A．8种B．12种C．16种D．24种
【答案】C
【分析】每一人都可在两项运动中选一项，即每人都有两种选法，根据分步乘法原理可得答案.
【解析】由题意可知：每一人都可在两项运动中选一项，即每人都有两种选法，可分四步完成，根据分步乘法原理，不同的选法共有2×2×2×2=16种，
故选：C
10．重庆九宫格火锅，是重庆火锅独特的烹饪方式．九宫格下面是相通的，实现了“底同火不同，汤通油不通”它把火锅分为三个层次，不同的格子代表不同的温度和不同的牛油浓度，其锅具抽象成数学形状如图（同一类格子形状相同）：
“中间格“火力旺盛，不宜久煮，适合放一些质地嫩脆、顷刻即熟的食物；
“十字格”火力稍弱，但火力均匀，适合煮食，长时间加热以锁住食材原香；
“四角格”属文火，火力温和，适合焖菜，让食物软糯入味．现有6种不同食物（足够量），其中1种适合放入中间格，3种适合放入十字格，2种适合放入四角格．现将九宫格全部放入食物，且每格只放一种，若同时可以吃到这六种食物（不考虑位置），则有多少种不同放法（ ）
A．108B．36C．9D．6
【答案】C
【分析】利用分步计数原理及分类计数原理即得.
【解析】由题可知中间格只有一种放法；
十字格有四个位置，3种适合放入，所以有一种放两个位置，共有3种放法；
四角格有四个位置，2种适合放入，可分为一种放三个位置，另一种放一个位置，有两种放法，或每种都放两个位置，有一种放法，故四角格共有3种放法；
所以不同放法共有种.
故选：C.
11．设集合，则集合S的元素个数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由每个，在中的从属关系，结合分步乘法计数原理求解即可.
【解析】对每个，在中的从属关系有以下101种：
（1），
（2），
（3），
…
（101）．
由分步乘法计数原理，集合S中共个元素．
故选：D
12．空间中不共面的4点A，B，C，D，若其中3点到平面的距离相等且为第四个点到平面的倍，这样的平面的个数为（ ）
A．8B．16C．32D．48
【答案】C
【分析】由题意分类讨论各种情况，然后利用加法原理确定满足题意的平面的个数即可.
【解析】第一种情况，A，B，C，D点在平面的同侧.
当平面∥平面BCD时，A与平面的距离是与平面BCD的距离的2倍.
这种情况下有4个平面.
第二种情况，A，B，C，D中有3个点在平面的一侧，第4个点在平面的另一侧，这时又有两种情形：
一种情形是平面与平面BCD平行，且A与平面的距离是平面与平面BCD距离的2倍.这时有4个平面.
另一种情形如图a所示，图中E，F分别是AB，AC的中点，K是AD的三等分点中靠近A的分点，A，B，C到平面EFK（即平面）的距离是D到平面EFK距离的一半.
∵EF可以是AB，AC的中点的连线，又可以是AB，BC的中点的连线，或AC，BC的中点的连线，
∴这种情形下的平面有3×4=12（个）.
第三种情况，如图b所示，在A，B，C，D四点中，平面两侧各种有两点.
容易看出：点A到平面EFMN（平面）的距离是B，C，D到该平面距离的2倍．
就A，C与B，D分别位于平面两侧的情形来看，就有A离平面远，B离平面远，C离平面远，D离平面远这四种情况.
又“AC，BD异面，则这样的异面直线共有3对，
∴平面有4×3=12（个）.
综上分析，平面有4+4+12+12=32（个）.
故选C.
【点睛】本题主要考查分类讨论的数学思想，计数原理的应用，空间几何体的结构特征等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
二、多选题
13．现有6位同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每位同学可自由选择其中的一个讲座，则不同选法的种数错误的是（ ）.
A．B．C．D．6×5×4×3×2
【答案】BCD
【分析】根据题意，每位同学都有5种选择，结合分步计数原理，即可求解.
【解析】根据题意，每位同学都有5种选择，共有（种）不同的选法，
所以A正确，B，C，D错误．
故选：BCD.
14．现有不同的红球4个，黄球5个，绿球6个，则下列说法正确的是（ ）
A．从中选出2个球，正好一红一黄，有9种不同的选法
B．若每种颜色选出1个球，有120种不同的选法
C．若要选出不同颜色的2个球，有31种不同的选法
D．若要不放回地依次选出2个球，有210种不同的选法
【答案】BD
【分析】根据分步与分类计数原理逐个求解即可
【解析】对A，从中选出2个球，正好一红一黄，有种不同的选法，所以该选项错误：
对B，若每种颜色选出1个球，有种不同的选法，所以该选项正确；
对C，若要选出不同颜色的2个球，有种不同的选法，所以该选项错误；
对D，若要不放回地依次选出2个球，有种不同的选法，所以该选项正确.
故选：BD
15．某学校高一年级数学课外活动小组中有男生7人，女生3人，则下列说法正确的是（ ）
A．从中选2人，1人做正组长，1人做副组长，共有100种不同的选法
B．从中选2人参加数学竞赛，其中男、女生各1人，共有21种不同的选法
C．从中选1人参加数学竞赛，共有10种不同的选法
D．若报名参加学校的足球队、羽毛球队，每人限报其中的1个队，共有100种不同的报名方法
【答案】BC
【分析】利用分步计数原理和分类计数原理逐一判断即可.
【解析】对于A，选1人做正组长，1人做副组长需要分两步，
先选正组长有10种选法，再选副组长有9种选法，则共有种不同的选法，故A错误；
对于B，从中选2人参加数学竞赛，其中男、女生各1人，则共有种不同的选法，故B正确；
对于C，选1人参加数学竞赛，既可以选男生，也可以选女生，则共有种不同的选法，故C正确；
对于D，每人报名都有2种选择，共有10人，则共有种不同的报名方法，故D错误．
故选：BC．
16．已知数字，由它们组成四位数，下列说法正确的有（ ）
A．组成可以有重复数字的四位数有个
B．组成无重复数字的四位数有96个
C．组成无重复数字的四位偶数有66个
D．组成无重复数字的四位奇数有28个
【答案】AB
【分析】根据题意，由分类分步计数原理依次分析各选项，即可得答案.
【解析】解：对A：四位数的首位不能为0，有4种情况，其他数位有5种情况，则组成可以有重复数字的四位数有个，故选项A正确；
对B：四位数的首位不能为0，有4种情况，在剩下的4个数字中任选3个，排在后面3 个数位，有种情况，则组成无重复数字的四位数有个，故选项B正确；
对C：若0在个位，有个四位偶数，若0不在个位，有个四位偶数，则组成无重复数字的四位偶数共有个四位偶数，故选项C错误；
对D：组成无重复数字的四位奇数有个，故选项D错误；
故选：AB.
三、填空题
17．从地到地要经过地，已知从地到地有三条路，从地到地有四条路，则从地到地不同的走法有______种．
【答案】12
【分析】根据分步乘法计数原理求解即可.
【解析】由分步乘法计数原理，从地到地不同的走法有种.
故答案为：12.
18．有8名歌舞演员，其中6名会唱歌，5名会跳舞，从中选出3人，并指派1人唱歌，另2人跳舞，则不同的选派方法有__________ 种．
【答案】48
【分析】先求出既会唱歌又会跳舞的人数，然后分唱歌只在会唱歌的人中取和唱歌在既会唱歌又会跳舞的人中取.
【解析】因为有8名歌舞演员，其中6名会唱歌，5名会跳舞，
所以既会唱歌又会跳舞的有人，
所以只会唱歌的有人，只会跳舞的有人
从只会唱歌的里选人去唱歌有种方法，从剩下会跳舞的5人中选人跳舞有种
所以此种情况有种；
从既会唱歌又会跳舞的人选1人去唱歌有种方法，从剩下会跳舞的4人中选人跳舞有种，
所以此种情况有种；
综上不同的选派方法有种.
故答案为：48
19．某人设计了一项单人游戏，规则如下：先将一枚棋子放在如图所示的正方形（边长为个单位）的顶点处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为，则棋子就按逆时针方向行走个单位，一直循环下去.某人掷三次骰子后，棋子恰好又回到点处的所有不同走法共有______种.
【答案】25
【分析】根据题意分析得，正方形周长为12，而抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点处表示三次骰子的点数之和是12，据此分类讨论即可求解
【解析】由题意知正方形（边长为3个单位）的周长是12，
掷三次骰子后，棋子恰好又回到点处表示三次骰子的点数之和是12，
三个数字能够使得和为12的有1、5、6，2、4、6，3、4、5，3、3、6，5、5、2，4、4、4，共6种组合.
①1、5、6，2、4、6，3、4、5这三种组合中，每一种又可以列出6种不同结果，所以有种；
②3、3、6，5、5、2这两种组合中，每一种又可以列出3种不同结果，所以有种；
③组合4、4、4只有1种结果.
根据分类加法计数原理知，共有种不同走法.
故答案为：
20．已知关于的方程有且仅有一个实数根，其中互不相同的实数、、、，且，则、、、的可能取值共有________种．（请用数字作答）
【答案】
【分析】考虑，，分析得出或，对分， ， ， 四种情况讨论，列举出的可能情况，然后在所得结果乘以即可.
【解析】方程有且只有一个实根，
由绝对值三角不等式可得，
，
因为，考虑，，
因为，，
作出函数与函数如下图所示：
则有或.
若，则的可能情况有：、、；
若，则可能的情况有：、；
若，则；
若，则.
考虑、的大小，有种情况；考虑、的大小，有种情况；考虑、的位置，有种情况.
综上所述，、、、的可能取值共有种.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题考查分类计数原理的应用，解题的关键在于对的可能情况进行分类讨论，结合列举法求解.
四、解答题
21．书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放2本不同的体育书.
(1)从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？
(2)从书架上任取两本不同学科的书，有多少种不同的取法？
【答案】(1)种；
(2)种.
【分析】（1）应用分步乘法求不同的取法；
（2）应用分类加法求不同的取法.
【解析】（1）从书架的第1、2、3层各取1本书，可以分成3个步骤完成：
第1步从第1层取1本计算机书，有4种方法，
第2步从第2层取1本文艺书，有3种方法，
第3步从第3层取1本体育书，有2种方法，
根据分步乘法计数原理，不同取法的种数是.
（2）第1类方法是4本不同的计算机书和3本不同的文艺书中各选取1本，有种方法
第2类方法是4本不同的计算机书和2本不同的体育书各选取1本，有种方法，
第3类方法是3本不同的文艺书和2本不同的体育书各选取1本，有种方法
根据分类加法计数原理，不同取法的种数是.
22．某电视台连续播放6个广告，其中有3个商业广告、2个宣传广告和1个公益广告，要求最后播放的不能是商业广告，宣传广告与公益广告不能连续播放，2个宣传广告也不能连续播放，则有多少种不同的播放方式？
【答案】108种
【分析】结合分类加法、分步乘法计数原理计算出正确答案.
【解析】用1，2，3，4，5，6表示广告的播放顺序，则完成这件事有3类方法．
第1类，宣传广告与公益广告的播放顺序是2，4，6．分6步完成这件事，共有种不同的播放方式；
第2类，宣传广告与公益广告的播放顺序是1，4，6．分6步完成这件事，共有种不同的播放方式；
第3类，宣传广告与公益广告的播放顺序是1，3，6．同样分6步完成这件事，共有种不同的播放方式，
由分类加法计数原理，得6个广告不同的播放方式共有种．
23．有不同的红球个，不同的白球个.
(1)从中取出一个球，共有多少种不同的取法？
(2)从中取出两个颜色不同的球，共有多少种不同的取法？
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分别计算出取出一个红球、取出一个白球的方法种数，利用分类加法计数原理可得结果；
（2）利用分步乘法计数原理可求得结果.
(1)
解：从中取出一个红球，有种取法，
从中取出一个白球，有种取法，
由分类加法计数原理可知，从中取出一个球，共有种不同的取法.
(2)
解：从中取出一个红球，有种取法，
从中取出一个白球，有种取法，
由分布乘法计数原理可知，从中取出两个颜色不同的球，共有种不同的取法.
24．如图，把硬币有币值的一面称为正面，有花的一面称为反面．拋一次硬币，得到正面记为1，得到反面记为0．现抛一枚硬币5次，按照每次的结果，可得到由5个数组成的数组（例如若第一、二、四次得到的是正面，第三、五次得到的是反面，则结果可记为，则可得不同的数组共有多少个？
【答案】
【分析】利用分步乘法计数原理求得正确答案.
【解析】依题意可知不同的数组共有个.
25．已知集合，表示平面上的点()．问：
（1）可表示平面上多少个不同的点？
（2）可表示平面上多少个第二象限的点？
【答案】（1）36；（2）6.
【分析】（1）采用分步乘法计数原理，即可求出结果；
（2）根据分步乘法计数原理和第二象限点的横坐标和纵坐标的特点，即可求出结果.
【解析】解 （1）确定平面上的点可分两步完成：
第一步，确定a的值，共有6种方法；
第二步，确定b的值，也有6种方法．
根据分步乘法计数原理，得到平面上的点的个数是.
（2）确定第二象限的点，可分两步完成：
第一步，确定a，由于，所以有3种不同的确定方法；
第二步，确定b，由于，所以有2种不同的确定方法．
根据分步乘法计数原理，得到第二象限点的个数为.
26．用种不同的颜色给如图所示的，，，四个区域涂色，要求相邻区域不能用同一种颜色.
（1）当时，图①、图②各有多少种不同的涂色方案？
（2）若图③有180种不同的涂色方案，求的值.
【答案】（1）600，480；（2）5
【分析】（1）对于图①按ABCD顺序涂色，由分步计数原理即求，对于图②按ABDC顺序涂色，由分步计数原理即求；
（2）由题意列出方程即求.
【解析】（1）题图①：第一步，涂A，有6种不同的涂法；
第二步，涂，与A的颜色不相同，有5种不同的涂法；
第三步，涂，与A，的颜色都不相同，有4种不同的涂法；
第四步，涂，只需与的颜色不相同，有5种不同的涂法.
所以共有种不同的涂色方案.
题图②：第一步，涂A，有6种不同的涂法；
第二步，涂，与A的颜色不相同，有5种不同的涂法；
第三步，涂，与A，的颜色都不相同，有4种不同的涂法；
第四步，涂，与，的颜色都不相同，有4种不同的涂法
所以共有种不同的涂色方案.
（2）前三步与题图①的涂法类似，分别有，，种不同的涂法，
第四步，涂，与，A的颜色都不相同，有种不同的涂法，
所以共有种不同的涂色方案，
所以，，所以.
27．设，，且B中元素满足：①任意一个元素的各数位的数字互不相同；②任意一个元素的任意两个数位的数字之和不等于9.
(1)求B中的两位数和三位数的个数；
(2)B中是否存在五位数、六位数？
(3)若从小到大排列B中元素，求第1081个元素.
【答案】(1)两位数共有种，三位数有种
(2)五位数存在，不存在六位数
(3)4012
【分析】（1）利用分步计数原理直接计算；
（2）利用反证法可以证明；
（3）先求出符合题意的四位数有个，再找出B中第1081个元素即可.
(1)
两位数中，十位上的数字可取1，2，3，…，9，个位上的数字由于不能和十位上的数字重复，且与十位上的数字之和不能为9，故对于十位上的每一个数字，相应的个位数字有8种取法，从而满足题意的两位数共有（种）.
对于三位数，我们先考虑百位上的数字，可取1，2，3，…，9；再考虑十位上的数字，由于不能与百位上的数字重复，且与百位上的数字之和不能为9，故有8种取法；
最后考虑个位上的数字，由于不能和百位、十位上的数字重复，且和百位、十位上的数字相加都不能等于9，故有6种取法，从而符合题意的三位数有（种）.
(2)
五位数存在，如12340就是其中一个；不存在这样的六位数.理由如下：仿照（1）的解法，十万位上有9种取法，万位上有8种取法，千位上有6种取法，百位上有4种取法，十位上有2种取法，个位上有0种取法，矛盾.
(3)
由（1）可得，符合题意的两位数有72个，三位数有432个，符合题意的四位数有（个）.四位数中千位上是1的有（个）；千位上是2，3的也各有192个，由于.所以符合题意的数是千位上是4的最小的数，即B中第1081个元素是4012.
1．某校开设A类选修课4门,B类选修课3门,一同学从中选1门,则该同学的不同选法共有（ ）
A．7种B．12种C．4种D．3种
【答案】A
【分析】根据题意求出所有的可能性即可选出结果.
【解析】解:由题知某校开设A类选修课4门,B类选修课3门,
共7门,
故该同学的不同选法共有7种.
故选:A
2．现有5幅不同的油画，2幅不同的国画，7幅不同的水彩画，从这些画中选一幅布置房间，则不同的选法共有（ ）
A．7种B．9种C．14种D．70种
【答案】C
【分析】根据分类加法计数原理求解即可
【解析】分为三类:
从国画中选，有2种不同的选法;从油画中选，有5种不同的选法;从水彩画中选，有7种不同的选法，
根据分类加法计数原理，共有5+2+7= 14(种)不同的选法;
故选：C
3．现有3位游客来黄山旅游，分别从4个景点中任选一处游览，不同选法的种数是（ ）
A．B．C．24D．12
【答案】B
【分析】利用分步乘法计数原理计算可得.
【解析】解：每位游客有4种选择，由分步乘法计数原理知不同选法的种数是.
故选：B
4．电脑调色板有红、绿、蓝三种基本颜色，每种颜色的色号均为0~255．在电脑上绘画可以分别从这三种颜色的色号中各选一个配成一种颜色，那么在电脑上可配成的颜色种数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意，得到每种颜色有256种色号，由分步计数原理计算，即可求解.
【解析】根据题意，红、黄、绿三种基本颜色有种色号，即每种颜色有种色号，
从三种颜色的所有色号中各选一个配成一种颜色，
由分步计数原理，可以配成种颜色.
故选：A.
5．小张去工作室需要通过三重门，他必须问管理员要到每重门的钥匙才能到达工作室.第一重门的钥匙有3把（每把颜色不同），第二重门的钥匙有4把（每把颜色不同），第三重门的钥匙有3把（每把颜色不同），管理员要求他从这10把钥匙中取3把，则他能到达工作室的不同的取法共有（ ）
A．10种B．24种C．36种D．120种
【答案】C
【分析】根据给定条件，得用分步乘法计数原理列式计算作答.
【解析】依题意，进入第一重门有3种取法，进入第二重门有4种取法，进入第三重门有3种取法，
由分步乘法计数原理可知，不同的取法共有种.
故选：C
6．园艺部门打算为一个社区休闲广场的中心花坛（如图）布置花卉，要求同一区域摆放同一种花卉，相邻的两块区域（有公共边）摆放不同种类的花卉．现有4种不同种类的花卉可供选择，则不同布置方案有（ ）
A．144种B．120种C．96种D．72种
【答案】C
【分析】按照的顺序分步考虑可能性，再相乘即可.
【解析】先考虑A区有4种可供选择，再考虑B区有3种，D区有2种，E区有2种，C区有2种，
由分步乘法计数原理得共有种.
故选：C.
7．已知集合，．现从集合A中取一个元素作为点P的横坐标，从集合B中取一个元素作为点P的纵坐标，则位于第四象限的点P有（ ）
A．16个B．12个C．9个D．6个
【答案】D
【分析】根据第四象限点的特征，运用分步乘法计数原理进行求解即可.
【解析】因为第四象限的点横坐标为正，纵坐标为负，
所以集合中只有符合，集合中只有符合，
所以第四象限的点P有个，
故选：D
8．某航母编队将进行一次编队配置科学演练，要求艘攻击型核潜艇一前一后，艘驱逐舰和艘护卫舰分列左右，每侧艘，同侧不能都是同种舰艇，则舰艇分配方案的方法数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】分析可知艘攻击型核潜艇放在中间，共有种顺序，这艘攻击型核潜艇前方是艘护卫舰和艘驱逐舰，剩余的艘护卫舰和艘驱逐舰列在攻击型核潜艇的后方，利用分步乘法计数原理可得结果.
【解析】艘攻击型核潜艇放在中间，共有种顺序，
这艘攻击型核潜艇前方是艘护卫舰和艘驱逐舰，剩余的艘护卫舰和艘驱逐舰列在攻击型核潜艇的后方，
由分步乘法计数原理可知，不同的配方案的方法数为.
故选：B.
9．2022年北京冬奥会的顺利召开，引起大家对冰雪运动的关注．若A，B，C，D四人在自由式滑雪和花样滑冰这两项运动中任选一项进行体验，则不同的选法共有（ ）
A．8种B．12种C．16种D．24种
【答案】C
【分析】每一人都可在两项运动中选一项，即每人都有两种选法，根据分步乘法原理可得答案.
【解析】由题意可知：每一人都可在两项运动中选一项，即每人都有两种选法，可分四步完成，根据分步乘法原理，不同的选法共有2×2×2×2=16种，
故选：C
10．重庆九宫格火锅，是重庆火锅独特的烹饪方式．九宫格下面是相通的，实现了“底同火不同，汤通油不通”它把火锅分为三个层次，不同的格子代表不同的温度和不同的牛油浓度，其锅具抽象成数学形状如图（同一类格子形状相同）：
“中间格“火力旺盛，不宜久煮，适合放一些质地嫩脆、顷刻即熟的食物；
“十字格”火力稍弱，但火力均匀，适合煮食，长时间加热以锁住食材原香；
“四角格”属文火，火力温和，适合焖菜，让食物软糯入味．现有6种不同食物（足够量），其中1种适合放入中间格，3种适合放入十字格，2种适合放入四角格．现将九宫格全部放入食物，且每格只放一种，若同时可以吃到这六种食物（不考虑位置），则有多少种不同放法（ ）
A．108B．36C．9D．6
【答案】C
【分析】利用分步计数原理及分类计数原理即得.
【解析】由题可知中间格只有一种放法；
十字格有四个位置，3种适合放入，所以有一种放两个位置，共有3种放法；
四角格有四个位置，2种适合放入，可分为一种放三个位置，另一种放一个位置，有两种放法，或每种都放两个位置，有一种放法，故四角格共有3种放法；
所以不同放法共有种.
故选：C.
11．设集合，则集合S的元素个数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由每个，在中的从属关系，结合分步乘法计数原理求解即可.
【解析】对每个，在中的从属关系有以下101种：
（1），
（2），
（3），
…
（101）．
由分步乘法计数原理，集合S中共个元素．
故选：D
12．空间中不共面的4点A，B，C，D，若其中3点到平面的距离相等且为第四个点到平面的倍，这样的平面的个数为（ ）
A．8B．16C．32D．48
【答案】C
【分析】由题意分类讨论各种情况，然后利用加法原理确定满足题意的平面的个数即可.
【解析】第一种情况，A，B，C，D点在平面的同侧.
当平面∥平面BCD时，A与平面的距离是与平面BCD的距离的2倍.
这种情况下有4个平面.
第二种情况，A，B，C，D中有3个点在平面的一侧，第4个点在平面的另一侧，这时又有两种情形：
一种情形是平面与平面BCD平行，且A与平面的距离是平面与平面BCD距离的2倍.这时有4个平面.
另一种情形如图a所示，图中E，F分别是AB，AC的中点，K是AD的三等分点中靠近A的分点，A，B，C到平面EFK（即平面）的距离是D到平面EFK距离的一半.
∵EF可以是AB，AC的中点的连线，又可以是AB，BC的中点的连线，或AC，BC的中点的连线，
∴这种情形下的平面有3×4=12（个）.
第三种情况，如图b所示，在A，B，C，D四点中，平面两侧各种有两点.
容易看出：点A到平面EFMN（平面）的距离是B，C，D到该平面距离的2倍．
就A，C与B，D分别位于平面两侧的情形来看，就有A离平面远，B离平面远，C离平面远，D离平面远这四种情况.
又“AC，BD异面，则这样的异面直线共有3对，
∴平面有4×3=12（个）.
综上分析，平面有4+4+12+12=32（个）.
故选C.
【点睛】本题主要考查分类讨论的数学思想，计数原理的应用，空间几何体的结构特征等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
二、多选题
13．现有6位同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每位同学可自由选择其中的一个讲座，则不同选法的种数错误的是（ ）.
A．B．C．D．6×5×4×3×2
【答案】BCD
【分析】根据题意，每位同学都有5种选择，结合分步计数原理，即可求解.
【解析】根据题意，每位同学都有5种选择，共有（种）不同的选法，
所以A正确，B，C，D错误．
故选：BCD.
14．现有不同的红球4个，黄球5个，绿球6个，则下列说法正确的是（ ）
A．从中选出2个球，正好一红一黄，有9种不同的选法
B．若每种颜色选出1个球，有120种不同的选法
C．若要选出不同颜色的2个球，有31种不同的选法
D．若要不放回地依次选出2个球，有210种不同的选法
【答案】BD
【分析】根据分步与分类计数原理逐个求解即可
【解析】对A，从中选出2个球，正好一红一黄，有种不同的选法，所以该选项错误：
对B，若每种颜色选出1个球，有种不同的选法，所以该选项正确；
对C，若要选出不同颜色的2个球，有种不同的选法，所以该选项错误；
对D，若要不放回地依次选出2个球，有种不同的选法，所以该选项正确.
故选：BD
15．某学校高一年级数学课外活动小组中有男生7人，女生3人，则下列说法正确的是（ ）
A．从中选2人，1人做正组长，1人做副组长，共有100种不同的选法
B．从中选2人参加数学竞赛，其中男、女生各1人，共有21种不同的选法
C．从中选1人参加数学竞赛，共有10种不同的选法
D．若报名参加学校的足球队、羽毛球队，每人限报其中的1个队，共有100种不同的报名方法
【答案】BC
【分析】利用分步计数原理和分类计数原理逐一判断即可.
【解析】对于A，选1人做正组长，1人做副组长需要分两步，
先选正组长有10种选法，再选副组长有9种选法，则共有种不同的选法，故A错误；
对于B，从中选2人参加数学竞赛，其中男、女生各1人，则共有种不同的选法，故B正确；
对于C，选1人参加数学竞赛，既可以选男生，也可以选女生，则共有种不同的选法，故C正确；
对于D，每人报名都有2种选择，共有10人，则共有种不同的报名方法，故D错误．
故选：BC．
16．已知数字，由它们组成四位数，下列说法正确的有（ ）
A．组成可以有重复数字的四位数有个
B．组成无重复数字的四位数有96个
C．组成无重复数字的四位偶数有66个
D．组成无重复数字的四位奇数有28个
【答案】AB
【分析】根据题意，由分类分步计数原理依次分析各选项，即可得答案.
【解析】解：对A：四位数的首位不能为0，有4种情况，其他数位有5种情况，则组成可以有重复数字的四位数有个，故选项A正确；
对B：四位数的首位不能为0，有4种情况，在剩下的4个数字中任选3个，排在后面3 个数位，有种情况，则组成无重复数字的四位数有个，故选项B正确；
对C：若0在个位，有个四位偶数，若0不在个位，有个四位偶数，则组成无重复数字的四位偶数共有个四位偶数，故选项C错误；
对D：组成无重复数字的四位奇数有个，故选项D错误；
故选：AB.
三、填空题
17．从地到地要经过地，已知从地到地有三条路，从地到地有四条路，则从地到地不同的走法有______种．
【答案】12
【分析】根据分步乘法计数原理求解即可.
【解析】由分步乘法计数原理，从地到地不同的走法有种.
故答案为：12.
18．有8名歌舞演员，其中6名会唱歌，5名会跳舞，从中选出3人，并指派1人唱歌，另2人跳舞，则不同的选派方法有__________ 种．
【答案】48
【分析】先求出既会唱歌又会跳舞的人数，然后分唱歌只在会唱歌的人中取和唱歌在既会唱歌又会跳舞的人中取.
【解析】因为有8名歌舞演员，其中6名会唱歌，5名会跳舞，
所以既会唱歌又会跳舞的有人，
所以只会唱歌的有人，只会跳舞的有人
从只会唱歌的里选人去唱歌有种方法，从剩下会跳舞的5人中选人跳舞有种
所以此种情况有种；
从既会唱歌又会跳舞的人选1人去唱歌有种方法，从剩下会跳舞的4人中选人跳舞有种，
所以此种情况有种；
综上不同的选派方法有种.
故答案为：48
19．某人设计了一项单人游戏，规则如下：先将一枚棋子放在如图所示的正方形（边长为个单位）的顶点处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为，则棋子就按逆时针方向行走个单位，一直循环下去.某人掷三次骰子后，棋子恰好又回到点处的所有不同走法共有______种.
【答案】25
【分析】根据题意分析得，正方形周长为12，而抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点处表示三次骰子的点数之和是12，据此分类讨论即可求解
【解析】由题意知正方形（边长为3个单位）的周长是12，
掷三次骰子后，棋子恰好又回到点处表示三次骰子的点数之和是12，
三个数字能够使得和为12的有1、5、6，2、4、6，3、4、5，3、3、6，5、5、2，4、4、4，共6种组合.
①1、5、6，2、4、6，3、4、5这三种组合中，每一种又可以列出6种不同结果，所以有种；
②3、3、6，5、5、2这两种组合中，每一种又可以列出3种不同结果，所以有种；
③组合4、4、4只有1种结果.
根据分类加法计数原理知，共有种不同走法.
故答案为：
20．已知关于的方程有且仅有一个实数根，其中互不相同的实数、、、，且，则、、、的可能取值共有________种．（请用数字作答）
【答案】
【分析】考虑，，分析得出或，对分， ， ， 四种情况讨论，列举出的可能情况，然后在所得结果乘以即可.
【解析】方程有且只有一个实根，
由绝对值三角不等式可得，
，
因为，考虑，，
因为，，
作出函数与函数如下图所示：
则有或.
若，则的可能情况有：、、；
若，则可能的情况有：、；
若，则；
若，则.
考虑、的大小，有种情况；考虑、的大小，有种情况；考虑、的位置，有种情况.
综上所述，、、、的可能取值共有种.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题考查分类计数原理的应用，解题的关键在于对的可能情况进行分类讨论，结合列举法求解.
四、解答题
21．书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放2本不同的体育书.
(1)从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？
(2)从书架上任取两本不同学科的书，有多少种不同的取法？
【答案】(1)种；
(2)种.
【分析】（1）应用分步乘法求不同的取法；
（2）应用分类加法求不同的取法.
【解析】（1）从书架的第1、2、3层各取1本书，可以分成3个步骤完成：
第1步从第1层取1本计算机书，有4种方法，
第2步从第2层取1本文艺书，有3种方法，
第3步从第3层取1本体育书，有2种方法，
根据分步乘法计数原理，不同取法的种数是.
（2）第1类方法是4本不同的计算机书和3本不同的文艺书中各选取1本，有种方法
第2类方法是4本不同的计算机书和2本不同的体育书各选取1本，有种方法，
第3类方法是3本不同的文艺书和2本不同的体育书各选取1本，有种方法
根据分类加法计数原理，不同取法的种数是.
22．某电视台连续播放6个广告，其中有3个商业广告、2个宣传广告和1个公益广告，要求最后播放的不能是商业广告，宣传广告与公益广告不能连续播放，2个宣传广告也不能连续播放，则有多少种不同的播放方式？
【答案】108种
【分析】结合分类加法、分步乘法计数原理计算出正确答案.
【解析】用1，2，3，4，5，6表示广告的播放顺序，则完成这件事有3类方法．
第1类，宣传广告与公益广告的播放顺序是2，4，6．分6步完成这件事，共有种不同的播放方式；
第2类，宣传广告与公益广告的播放顺序是1，4，6．分6步完成这件事，共有种不同的播放方式；
第3类，宣传广告与公益广告的播放顺序是1，3，6．同样分6步完成这件事，共有种不同的播放方式，
由分类加法计数原理，得6个广告不同的播放方式共有种．
23．有不同的红球个，不同的白球个.
(1)从中取出一个球，共有多少种不同的取法？
(2)从中取出两个颜色不同的球，共有多少种不同的取法？
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分别计算出取出一个红球、取出一个白球的方法种数，利用分类加法计数原理可得结果；
（2）利用分步乘法计数原理可求得结果.
(1)
解：从中取出一个红球，有种取法，
从中取出一个白球，有种取法，
由分类加法计数原理可知，从中取出一个球，共有种不同的取法.
(2)
解：从中取出一个红球，有种取法，
从中取出一个白球，有种取法，
由分布乘法计数原理可知，从中取出两个颜色不同的球，共有种不同的取法.
24．如图，把硬币有币值的一面称为正面，有花的一面称为反面．拋一次硬币，得到正面记为1，得到反面记为0．现抛一枚硬币5次，按照每次的结果，可得到由5个数组成的数组（例如若第一、二、四次得到的是正面，第三、五次得到的是反面，则结果可记为，则可得不同的数组共有多少个？
【答案】
【分析】利用分步乘法计数原理求得正确答案.
【解析】依题意可知不同的数组共有个.
25．已知集合，表示平面上的点()．问：
（1）可表示平面上多少个不同的点？
（2）可表示平面上多少个第二象限的点？
【答案】（1）36；（2）6.
【分析】（1）采用分步乘法计数原理，即可求出结果；
（2）根据分步乘法计数原理和第二象限点的横坐标和纵坐标的特点，即可求出结果.
【解析】解 （1）确定平面上的点可分两步完成：
第一步，确定a的值，共有6种方法；
第二步，确定b的值，也有6种方法．
根据分步乘法计数原理，得到平面上的点的个数是.
（2）确定第二象限的点，可分两步完成：
第一步，确定a，由于，所以有3种不同的确定方法；
第二步，确定b，由于，所以有2种不同的确定方法．
根据分步乘法计数原理，得到第二象限点的个数为.
26．用种不同的颜色给如图所示的，，，四个区域涂色，要求相邻区域不能用同一种颜色.
（1）当时，图①、图②各有多少种不同的涂色方案？
（2）若图③有180种不同的涂色方案，求的值.
【答案】（1）600，480；（2）5
【分析】（1）对于图①按ABCD顺序涂色，由分步计数原理即求，对于图②按ABDC顺序涂色，由分步计数原理即求；
（2）由题意列出方程即求.
【解析】（1）题图①：第一步，涂A，有6种不同的涂法；
第二步，涂，与A的颜色不相同，有5种不同的涂法；
第三步，涂，与A，的颜色都不相同，有4种不同的涂法；
第四步，涂，只需与的颜色不相同，有5种不同的涂法.
所以共有种不同的涂色方案.
题图②：第一步，涂A，有6种不同的涂法；
第二步，涂，与A的颜色不相同，有5种不同的涂法；
第三步，涂，与A，的颜色都不相同，有4种不同的涂法；
第四步，涂，与，的颜色都不相同，有4种不同的涂法
所以共有种不同的涂色方案.
（2）前三步与题图①的涂法类似，分别有，，种不同的涂法，
第四步，涂，与，A的颜色都不相同，有种不同的涂法，
所以共有种不同的涂色方案，
所以，，所以.
27．设，，且B中元素满足：①任意一个元素的各数位的数字互不相同；②任意一个元素的任意两个数位的数字之和不等于9.
(1)求B中的两位数和三位数的个数；
(2)B中是否存在五位数、六位数？
(3)若从小到大排列B中元素，求第1081个元素.
【答案】(1)两位数共有种，三位数有种
(2)五位数存在，不存在六位数
(3)4012
【分析】（1）利用分步计数原理直接计算；
（2）利用反证法可以证明；
（3）先求出符合题意的四位数有个，再找出B中第1081个元素即可.
(1)
两位数中，十位上的数字可取1，2，3，…，9，个位上的数字由于不能和十位上的数字重复，且与十位上的数字之和不能为9，故对于十位上的每一个数字，相应的个位数字有8种取法，从而满足题意的两位数共有（种）.
对于三位数，我们先考虑百位上的数字，可取1，2，3，…，9；再考虑十位上的数字，由于不能与百位上的数字重复，且与百位上的数字之和不能为9，故有8种取法；
最后考虑个位上的数字，由于不能和百位、十位上的数字重复，且和百位、十位上的数字相加都不能等于9，故有6种取法，从而符合题意的三位数有（种）.
(2)
五位数存在，如12340就是其中一个；不存在这样的六位数.理由如下：仿照（1）的解法，十万位上有9种取法，万位上有8种取法，千位上有6种取法，百位上有4种取法，十位上有2种取法，个位上有0种取法，矛盾.
(3)
由（1）可得，符合题意的两位数有72个，三位数有432个，符合题意的四位数有（个）.四位数中千位上是1的有（个）；千位上是2，3的也各有192个，由于.所以符合题意的数是千位上是4的最小的数，即B中第1081个元素是4012.
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