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苏教版数学高二选择性必修第二册 第7章 计数原理 单元综合检测
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第7章 计数原理 单元综合检测一、单选题1．已知，则可表示不同的值的个数为（ ）A．8 B．9 C．10 D．12【答案】B【分析】对的值一一列举即可得到答案.【解析】因为，所以时，；时，；时，；时，；时，；时，；时，；时，；时，；一共有9个不同结果.故选：B2．若，则的值（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据排列数和组合数公式得到关于的方程，解方程即可求得结果.【解析】，，解得：.故选：B.3．若甲、乙、丙三名学生计划利用寒假从丽江、大理、西双版纳、腾冲中任选一处景点旅游， 每人彼此独立地选景点游玩，且丽江必须有人去，则不同的选择方法有（ ）A．16种 B．18种 C．37种 D．40种【答案】C【分析】法1：应用分类计数法分别求三个人中只有一个人去丽江、三个人中有两个人去丽江、三个人都去丽江的选择方法数，加总即可；法2：将三个人去四个景点的选择方法数减去没有人去丽江的选择方法数即可.【解析】法1（直接法）：满足题意的不同的选择方法有以下三类:三个人中只有一个人去丽江，有(种) 选择方法；三个人中有两个人去丽江，有(种) 选择方法；三个人都去丽江，有种选择方法；综上，共有(种)不同的选择方法. 法2（排除法）：三个人去四个景点，有(种) 选择方法；没有人去丽江，有(种) 选择方法；综上，共有(种)不同的选择方法. 故选：C4．有10台不同的电视机，其中甲型3台，乙型3台，丙型4台．现从中任意取出3台，若其中至少含有两种不同的型号，则不同的取法共有（ ）A．96种 B．108种 C．114种 D．118种【答案】C【分析】先计算总的取法数和只取一种型号的取法数，总的取法数减只取一种型号的取法数即可得出结果.【解析】根据题意，从10台电视机中任意取3台的取法总数为：（种）取3台都是同一种型号的取法数为：（种）所以至少含有两种不同型号的取法数为：（种）选项ABD错误，选项C正确.故选：C.5．的展开式中的系数为（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】将利用二项式定理展开，由此可求得的展开式中的系数.【解析】，所以展开式中的系数为．故选：A.【点睛】本题主要考查二项武定理，考查考生灵活处理问题的能力、运算求解能力，属于中等题.6．将编号为1、2、3、4、5的5个小球全部放入 三个盒子内，若每个盒子不空，且放在同一个盒子内的小球编号不相连，则不同的方法总数有（ ）A． B．36 C．48 D．60【答案】A【分析】根据盒子内小球的个数进行分类讨论，由此求得不同的总数.【解析】将编号为1、2、3、4、5的5个小球，根据小球的个数可分为1、1、3或1、2、2两组.当三个盒子中的小球个数分别为1、1、3时，由于放在同一个盒子里的小球编号互不相连，故3个小球的编号只能是1、2、5的在一个盒子里，故只有一种分组方法，再分配到三个盒子，此时共有种分配方法；当三个盒子中的小球个数分别为1、2、2时，由于放在同一个盒子里的小球编号互不相连，此时放2个小球的盒子中小球的编号分别为、或、或、或、或、或、，共6种，再分配到三个盒子中，此时，共有种.综上所述，不同的放法种数为6+36=42种.故选：A7．从1，2，3，4，5这五个数字中任取3个组成无重复数字的三位数，当三个数字中有2和3时，2需排在3的前面(不一定相邻)，这样的三位数有（ ）A．51个 B．54个 C．12个 D．45个【答案】A【分析】由题意分类讨论，结合排列组合公式整理计算即可求得最终结果.【解析】由题意分类讨论：（1）当这个三位数，数字2和3都有，再从1，4，5中选一个，因为2需排在3的前面，这样的三位数有(个).（2）当这个三位数，2和3只有一个，需从1，4，5中选两个数字，这样的三位数有（个）.（3）当这个三位数，2和3都没有，由1，4，5组成三位数，这样的三位数有（个）由分类加法计数原理得共有(个)．故选：A．【点睛】方法点睛：本题考查排列组合，解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步，具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．8．某学生将语文、数学、英语、物理、化学、生物6科的作业安排在周六、周日完成，要求每天至少完成两科，且数学，物理作业不在同一天完成，则完成作业的不同顺序种数为A．600 B．812 C．1200 D．1632【答案】C【解析】根据特殊元素优先安排的原则，分两类，一天2科，另一天4科或每天各3科.一天2科，另一天4科的情况：先安排数学、物理，再安排另外4科，先分组再分配，一组1科，一组3科，最后给两个大组分别全排列．每天各3科的情况同理．最后把两种情况相加即可．【解析】分两类：一天2科，另一天4科或每天各3科.①第一步，安排数学、物理两科作业，有种方法；，第二步，安排另4科一组1科，一组3科，有种方法；第三步，完成各科作业，有种方法，所以共有种.②两天各3科，数学、物理两科各一组，另4科每组2科，第一步，安排数学、物理两科作业，有种方法；第二步，安排另4科每组2科，有种方法；第三步，完成各科作业，有种方法，所以共有种，综上，共有种.故选C.【点睛】本题考查分类计数原理，特殊元素优先安排的原则，分类不重不漏，属于基础题．二、多选题9．下列等式正确的是（ ）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】根据排列组合数的计算公式依次对选项整理变形，分析可得答案.【解析】根据组合数公式得，则A错误；根据排列数公式得．，则B正确；根据排列数公式得，则C正确；根据组合数公式得，，即，则D正确．故选：BCD10．现有不同的黄球5个，黑球6个，蓝球4个，则下列说法正确的是（ ）A．从中任选1个球，有15种不同的选法B．若每种颜色选出1个球，有120种不同的选法C．若要选出不同颜色的2个球，有31种不同的选法D．若要不放回地选出任意的2个球，有240种不同的选法【答案】AB【分析】根据分类加法计数原理即可判断A；根据分步乘法计数原理即可判断B；首先按颜色分三类“黄，黑”，“黄，蓝”，“黑，蓝”，再进行各类分步选择，即可判断C；根据分步乘法计数原理即可判断D.【解析】解：对于A，从中任选1个球，共有种不同的选法，故A正确；对于B，每种颜色选出1个球，可分步从每种颜色分别选择，共有种不同的选法，故B正确；对于C，若要选出不同颜色的2个球，首先按颜色分三类“黄，黑”，“黄，蓝”，“黑，蓝”，再进行各类分步选择，共有种不同的选法，故C错误；对于D，若要不放回地选出任意的2个球，直接分步计算，共有种不同的选法，故D错误．故选：AB．11．将1，2，3，4，5，6，7这七个数随机地排成一个数列，记第i项为，则下列说法正确的是（ ）A．若，则这样的数列共有360个B．若所有的奇数不相邻，所有的偶数也不相邻，则这样的数列共有288个C．若该数列恰好先减后增，则这样的数列共有50个D．若，则这样的数列共有71个【答案】AD【分析】根据对称性可得，即可判断A，对于B：则这样的数列只能是“奇、偶、奇、偶、奇、偶、奇”，即可判断B，对于C：对的位置分类讨论，对于D，分、、三种情况讨论.【解析】解：对于A：由于为奇数，根据对称性可知这样的数列有个，故A正确；对于B：若所有的奇数不相邻，所有的偶数也不相邻，则这样的数列只能是“奇、偶、奇、偶、奇、偶、奇”，则有个，故B错误；对于C：从1，2，3，4，5，6中选出个数排在的右侧，其余排在的左侧，得到先减后增的数列有个；从1，2，3，4，5，6中选出2个数排在的右侧，其余排在的左侧，得到先减后增的数列有个；从1，2，3，4，5，6中选出3个数排在的右侧，其余排在的左侧，得到先减后增的数列有个；从1，2，3，4，5，6中选出4个数排在的右侧，其余排在的左侧，得到先减后增的数列有个；从1，2，3，4，5，6中选出5个数排在的右侧，其余排在的左侧，得到先减后增的数列有个；故满足条件的总个数为：个，故C错误．对于D：若则这样的数列有个，若则这样的数列有个，若则这样的数列有个，所以满足条件的这样的数列共有个，故D正确；故选：AD12．已知，下列命题中，正确的是（ ）A．展开式中所有项的二项式系数的和为；B．展开式中所有奇次项系数的和为；C．展开式中所有偶次项系数的和为；D．.【答案】ABD【分析】由二项式定理知的所有项的二项式系数和为，分别令、，再将所得作和差处理，求奇偶次项的系数和，根据通项，即可求，进而判断各选项的正误.【解析】A：由二项式知：，正确；当时，有，当有，B：由上，可得，正确；C：由上，可得，错误；D：由二项式通项知：，则，，…，，所以，正确.故选：ABD.三、填空题13．有2男2女共4名学生被分派去三个公司实习，每个公司至少1人，且公司只收女生，则不同的分派方法数为___________.【答案】【分析】利用分类计数原理将该问题分成两类，对公司进行分类讨论，每一类中用分步乘法计数原理及排列组合的综合应用进行解答即可．【解析】由题意，第一类，公司只有1个女生，有种分派方案，则公司分派人数可以为1，2或者2，1共2种分派方案，共种，所以一共有种分派方案，第二类，公司有2个女生，只有1种分派方案，则公司的分派人数只能是1，1，则有种，根据分类计数原理共有种，故答案为：14．14．某医院从7名男医生（含一名主任医师），6名女医生（含一名主任医师）中选派4名男医生和3名女医生支援抗疫工作，若要求选派的医生中有主任医师，则不同的选派方案数为_________________．【答案】550【分析】分选派的主任医师只有一名男主任，只有一名女主任，男，女主任医师均选派，三种情况，结合组合知识进行求解，再相加即可.【解析】若选派的主任医师只有一名男主任，此时再从剩余的6名男医生选派3名男医生，从5名女医生（主任医师除外）选派3名医生，有种，若选派的主任医师只有一名女主任，此时再从剩余的6名男医生（主任医师除外）中选派4名男医生，从5名女医生中选派2名医生，有种，若男，女主任医师均选派，此时再从剩余的6名男医生中选派3名，5名女医生中选派2名，有种，综上：不同的选派方案有200+150+200=550种.故答案为：55015．在的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为，则所有项的系数和等于______【答案】【分析】由二项式系数和可求得的值，然后在二项式中令，可求得所有项的系数和.【解析】的二项式系数和为，可得，所以，的所有项的系数和为.故答案为：.16．设项数为的数列满足：，且对任意，，都有，则这样的数列共有_____个.【答案】31【分析】根据列举出所有可能的数列，再结合、、、、同时成立，排除不满足条件的，即可得答案.【解析】当，时，，所以可能情况如下：1、{一个1，三个0}：、、、，4个；2、{两个1，一个和0 }：、、、、、、、、、、、，12个；3、{一个，三个0}：、、、，4个；4、{两个，一个1和0}：、、、、、、、、、、、，12个；5、{四个0}：，1个；6、{两个，两个1 }：、、、、、，6个；7、{两个0，一个1 和}：、、、、、、、、、、、，12个；综上，数列共有51个.当，时，，当，时，，当，时，，当，时，，当，时，，所以、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，20个不满足；综上，满足要求的数列有31个.故答案为：31四、解答题17．用0，1，2，3，4这5个数字，可以组成多少个满足下列条件的没有重复数字五位数？(1)偶数：(2)左起第二､四位是奇数的偶数；(3)比21034大的偶数.【答案】(1)个(2)个(3)个【分析】（1）先考虑特殊位置、特殊元素，再利用分类加法原理、分步乘法原理进行计算.（2）先考虑特殊位置、特殊元素，再利用分类加法原理、分步乘法原理进行计算.（3）先考虑特殊位置、特殊元素，再利用分类加法原理、分步乘法原理进行计算.【解析】（1）末位是0，有个，末位是2或4，有个，故满足条件的五位数共有个.（2）法一：可分两类，0是末位数，有个，2或4是末位数，则个.故共在个.法二：四位从奇数1，3中取，有；首位从2，4中取，有个：余下的排在剩下的两位，有个；故共有个.（3）法一：可分五类，当末位数是0，而首位数是2时，有个；当末位数字是0，而首位数字是3或4时，有个；当末位数字是2，而首位数字是3或4时，有个；当末位数字是4，而首位数字是2时，有个；当末位数字是4，而首位数字是3吋，有个.故有个.法二：不大于21034的偶数可分为三类：万位数字为1的偶数，有个；万位数字为2，而千位数字是0的偶数，有个：还有21034本身.而由组成的五位偶数有个.故满足条件的五位偶数共有个.18．已知5名同学站成一排，要求甲、乙两人站在两端，记满足条件的所有不同的排法种数为m.(1)求m的值；(2)求二项式的展开式中的的系数.【答案】(1)12(2)66【分析】（1）先安排甲、乙两人，再安排其他人员，结合排列数可得答案；（2）利用二项展开式的通项公式进行求解.【解析】（1）先安排甲、乙两人，共有种方法，再排其余3人，共有种方法，所以.（2）由（1）知，的展开式的通项公式为，令可得，，所以二项式的展开式中的的系数为.19．已知二项式.（1）当时，求二项式展开式中各系数的和；（2）若二项式展开式中第9项，第10项，第11项的二项式系数和成等差数列，且二项展开式中存在常数项，求的值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）令利用赋值法求展开式各项系数；（2）依题意，即可求出，再代入二项式展开式的通项去检验，即可判断；【解析】解：（1）当，令，得二项式的展开式中各系数和为；（2）二项式展开式的通项为由题：，，即或；当时，二项式展开式的通项为，所以，是常数，符合；当时，若是常数，则，不符，舍去，所以.20．设(2－x)100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100，求下列各式的值；（1）a0；（2）a1＋a3＋a5＋…＋a99；（3）(a0＋a2＋a4＋…＋a100)2－(a1＋a3＋…＋a99)2.【答案】（1）2100；（2）；（3）1.【分析】（1）令x＝0可得答案；（2）令x＝1和x＝－1，两式相加可得答案；（3）利用平方差公式，再将（2）中的①②两式代入计算即可.【解析】解：（1）令x＝0，则展开式可化为a0＝2100.（2）令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a99＋a100＝(2－)100①令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋…＋a100＝(2＋)100②联立①②得：a1＋a3＋…＋a99＝.（3）原式＝[(a0＋a2＋…＋a100)＋(a1＋a3＋…＋a99)]·[(a0＋a2＋…＋a100)－(a1＋a3＋…＋a99)]＝(a0＋a1＋a2＋…＋a100)(a0－a1＋a2－a3＋…＋a98－a99＋a100)＝(2－)100(2＋)100＝1.21．（1）一场班级元旦晚会有2个唱歌节目和；2个相声节目1和2.要求排出一个节目单，满足第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目.列出所有可能的排列.（2）7个人排成一排拍照片，若要求甲、乙、丙3人必须相邻，并且丁和戊不相邻，有多少不同的种排法？（结果用数字表示）（3）从4名男青年教师和5名女青年教师中选出4名教师参加新教材培训，要求至少有2名男教师和1名女教师参加，有多少种不同的选法？（结果用数字表示）【答案】（1）；（2）432；（3）80.【分析】（1）利用排列的定义即得；（2）利用捆绑法，插空法即得；（3）由题可分选2名男教师与2名女教师，选3名男教师与1名女教师两类，即得.【解析】（1）歌唱节目记为，相声节目记为1，2，满足第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目的排列为：.（2）甲乙丙3人必须相邻，把他们捆绑看作一个元素与除甲乙丙丁戊外的两个元素排列，然后排其内部顺序，再在3个元素形成的4个空中插入丁和戊，故甲、乙、丙3人必须相邻，并且丁和戊不相邻，共有（种）.（3）选2名男教师与2名女教师，共有(种)，选3名男教师与1名女教师，共有(种)，所以共有60+20=80（种）.22．对任意，定义+，其中为正整数.（1）求的值；（2）探究是否为定值，并证明你的结论；（3）设，是否存在正整数，使得成等差数列，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1) ,; (2)是定值，答案见解析;(3) 答案见解析.【分析】(1)由题意求出的值，即可求出的值.(2)根据，，结合平方差公式即可求出的值.(3) 假设存在正整数，使得成等差数列，结合等差数列定义可得，结合已知进行推导，可推出当且仅当时，等号成立，不成立，从而可证明.【解析】解：(1)由题意知，，，所以，(2)是定值，证明:由题意知，，，则，所以.(3) 假设存在正整数，使得成等差数列，则，当时，，即，即，因为，所以，，整理得，，其中为正整数，，因为，所以，当且仅当时等号成立，又，即不成立，即假设不成立，所以不存在存在正整数，使得成等差数列.【点睛】关键点睛:本题第二问应将看作，从而代入已知条件即可求解.
第7章 计数原理 单元综合检测一、单选题1．已知，则可表示不同的值的个数为（ ）A．8 B．9 C．10 D．12【答案】B【分析】对的值一一列举即可得到答案.【解析】因为，所以时，；时，；时，；时，；时，；时，；时，；时，；时，；一共有9个不同结果.故选：B2．若，则的值（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据排列数和组合数公式得到关于的方程，解方程即可求得结果.【解析】，，解得：.故选：B.3．若甲、乙、丙三名学生计划利用寒假从丽江、大理、西双版纳、腾冲中任选一处景点旅游， 每人彼此独立地选景点游玩，且丽江必须有人去，则不同的选择方法有（ ）A．16种 B．18种 C．37种 D．40种【答案】C【分析】法1：应用分类计数法分别求三个人中只有一个人去丽江、三个人中有两个人去丽江、三个人都去丽江的选择方法数，加总即可；法2：将三个人去四个景点的选择方法数减去没有人去丽江的选择方法数即可.【解析】法1（直接法）：满足题意的不同的选择方法有以下三类:三个人中只有一个人去丽江，有(种) 选择方法；三个人中有两个人去丽江，有(种) 选择方法；三个人都去丽江，有种选择方法；综上，共有(种)不同的选择方法. 法2（排除法）：三个人去四个景点，有(种) 选择方法；没有人去丽江，有(种) 选择方法；综上，共有(种)不同的选择方法. 故选：C4．有10台不同的电视机，其中甲型3台，乙型3台，丙型4台．现从中任意取出3台，若其中至少含有两种不同的型号，则不同的取法共有（ ）A．96种 B．108种 C．114种 D．118种【答案】C【分析】先计算总的取法数和只取一种型号的取法数，总的取法数减只取一种型号的取法数即可得出结果.【解析】根据题意，从10台电视机中任意取3台的取法总数为：（种）取3台都是同一种型号的取法数为：（种）所以至少含有两种不同型号的取法数为：（种）选项ABD错误，选项C正确.故选：C.5．的展开式中的系数为（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】将利用二项式定理展开，由此可求得的展开式中的系数.【解析】，所以展开式中的系数为．故选：A.【点睛】本题主要考查二项武定理，考查考生灵活处理问题的能力、运算求解能力，属于中等题.6．将编号为1、2、3、4、5的5个小球全部放入 三个盒子内，若每个盒子不空，且放在同一个盒子内的小球编号不相连，则不同的方法总数有（ ）A． B．36 C．48 D．60【答案】A【分析】根据盒子内小球的个数进行分类讨论，由此求得不同的总数.【解析】将编号为1、2、3、4、5的5个小球，根据小球的个数可分为1、1、3或1、2、2两组.当三个盒子中的小球个数分别为1、1、3时，由于放在同一个盒子里的小球编号互不相连，故3个小球的编号只能是1、2、5的在一个盒子里，故只有一种分组方法，再分配到三个盒子，此时共有种分配方法；当三个盒子中的小球个数分别为1、2、2时，由于放在同一个盒子里的小球编号互不相连，此时放2个小球的盒子中小球的编号分别为、或、或、或、或、或、，共6种，再分配到三个盒子中，此时，共有种.综上所述，不同的放法种数为6+36=42种.故选：A7．从1，2，3，4，5这五个数字中任取3个组成无重复数字的三位数，当三个数字中有2和3时，2需排在3的前面(不一定相邻)，这样的三位数有（ ）A．51个 B．54个 C．12个 D．45个【答案】A【分析】由题意分类讨论，结合排列组合公式整理计算即可求得最终结果.【解析】由题意分类讨论：（1）当这个三位数，数字2和3都有，再从1，4，5中选一个，因为2需排在3的前面，这样的三位数有(个).（2）当这个三位数，2和3只有一个，需从1，4，5中选两个数字，这样的三位数有（个）.（3）当这个三位数，2和3都没有，由1，4，5组成三位数，这样的三位数有（个）由分类加法计数原理得共有(个)．故选：A．【点睛】方法点睛：本题考查排列组合，解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步，具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．8．某学生将语文、数学、英语、物理、化学、生物6科的作业安排在周六、周日完成，要求每天至少完成两科，且数学，物理作业不在同一天完成，则完成作业的不同顺序种数为A．600 B．812 C．1200 D．1632【答案】C【解析】根据特殊元素优先安排的原则，分两类，一天2科，另一天4科或每天各3科.一天2科，另一天4科的情况：先安排数学、物理，再安排另外4科，先分组再分配，一组1科，一组3科，最后给两个大组分别全排列．每天各3科的情况同理．最后把两种情况相加即可．【解析】分两类：一天2科，另一天4科或每天各3科.①第一步，安排数学、物理两科作业，有种方法；，第二步，安排另4科一组1科，一组3科，有种方法；第三步，完成各科作业，有种方法，所以共有种.②两天各3科，数学、物理两科各一组，另4科每组2科，第一步，安排数学、物理两科作业，有种方法；第二步，安排另4科每组2科，有种方法；第三步，完成各科作业，有种方法，所以共有种，综上，共有种.故选C.【点睛】本题考查分类计数原理，特殊元素优先安排的原则，分类不重不漏，属于基础题．二、多选题9．下列等式正确的是（ ）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】根据排列组合数的计算公式依次对选项整理变形，分析可得答案.【解析】根据组合数公式得，则A错误；根据排列数公式得．，则B正确；根据排列数公式得，则C正确；根据组合数公式得，，即，则D正确．故选：BCD10．现有不同的黄球5个，黑球6个，蓝球4个，则下列说法正确的是（ ）A．从中任选1个球，有15种不同的选法B．若每种颜色选出1个球，有120种不同的选法C．若要选出不同颜色的2个球，有31种不同的选法D．若要不放回地选出任意的2个球，有240种不同的选法【答案】AB【分析】根据分类加法计数原理即可判断A；根据分步乘法计数原理即可判断B；首先按颜色分三类“黄，黑”，“黄，蓝”，“黑，蓝”，再进行各类分步选择，即可判断C；根据分步乘法计数原理即可判断D.【解析】解：对于A，从中任选1个球，共有种不同的选法，故A正确；对于B，每种颜色选出1个球，可分步从每种颜色分别选择，共有种不同的选法，故B正确；对于C，若要选出不同颜色的2个球，首先按颜色分三类“黄，黑”，“黄，蓝”，“黑，蓝”，再进行各类分步选择，共有种不同的选法，故C错误；对于D，若要不放回地选出任意的2个球，直接分步计算，共有种不同的选法，故D错误．故选：AB．11．将1，2，3，4，5，6，7这七个数随机地排成一个数列，记第i项为，则下列说法正确的是（ ）A．若，则这样的数列共有360个B．若所有的奇数不相邻，所有的偶数也不相邻，则这样的数列共有288个C．若该数列恰好先减后增，则这样的数列共有50个D．若，则这样的数列共有71个【答案】AD【分析】根据对称性可得，即可判断A，对于B：则这样的数列只能是“奇、偶、奇、偶、奇、偶、奇”，即可判断B，对于C：对的位置分类讨论，对于D，分、、三种情况讨论.【解析】解：对于A：由于为奇数，根据对称性可知这样的数列有个，故A正确；对于B：若所有的奇数不相邻，所有的偶数也不相邻，则这样的数列只能是“奇、偶、奇、偶、奇、偶、奇”，则有个，故B错误；对于C：从1，2，3，4，5，6中选出个数排在的右侧，其余排在的左侧，得到先减后增的数列有个；从1，2，3，4，5，6中选出2个数排在的右侧，其余排在的左侧，得到先减后增的数列有个；从1，2，3，4，5，6中选出3个数排在的右侧，其余排在的左侧，得到先减后增的数列有个；从1，2，3，4，5，6中选出4个数排在的右侧，其余排在的左侧，得到先减后增的数列有个；从1，2，3，4，5，6中选出5个数排在的右侧，其余排在的左侧，得到先减后增的数列有个；故满足条件的总个数为：个，故C错误．对于D：若则这样的数列有个，若则这样的数列有个，若则这样的数列有个，所以满足条件的这样的数列共有个，故D正确；故选：AD12．已知，下列命题中，正确的是（ ）A．展开式中所有项的二项式系数的和为；B．展开式中所有奇次项系数的和为；C．展开式中所有偶次项系数的和为；D．.【答案】ABD【分析】由二项式定理知的所有项的二项式系数和为，分别令、，再将所得作和差处理，求奇偶次项的系数和，根据通项，即可求，进而判断各选项的正误.【解析】A：由二项式知：，正确；当时，有，当有，B：由上，可得，正确；C：由上，可得，错误；D：由二项式通项知：，则，，…，，所以，正确.故选：ABD.三、填空题13．有2男2女共4名学生被分派去三个公司实习，每个公司至少1人，且公司只收女生，则不同的分派方法数为___________.【答案】【分析】利用分类计数原理将该问题分成两类，对公司进行分类讨论，每一类中用分步乘法计数原理及排列组合的综合应用进行解答即可．【解析】由题意，第一类，公司只有1个女生，有种分派方案，则公司分派人数可以为1，2或者2，1共2种分派方案，共种，所以一共有种分派方案，第二类，公司有2个女生，只有1种分派方案，则公司的分派人数只能是1，1，则有种，根据分类计数原理共有种，故答案为：14．14．某医院从7名男医生（含一名主任医师），6名女医生（含一名主任医师）中选派4名男医生和3名女医生支援抗疫工作，若要求选派的医生中有主任医师，则不同的选派方案数为_________________．【答案】550【分析】分选派的主任医师只有一名男主任，只有一名女主任，男，女主任医师均选派，三种情况，结合组合知识进行求解，再相加即可.【解析】若选派的主任医师只有一名男主任，此时再从剩余的6名男医生选派3名男医生，从5名女医生（主任医师除外）选派3名医生，有种，若选派的主任医师只有一名女主任，此时再从剩余的6名男医生（主任医师除外）中选派4名男医生，从5名女医生中选派2名医生，有种，若男，女主任医师均选派，此时再从剩余的6名男医生中选派3名，5名女医生中选派2名，有种，综上：不同的选派方案有200+150+200=550种.故答案为：55015．在的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为，则所有项的系数和等于______【答案】【分析】由二项式系数和可求得的值，然后在二项式中令，可求得所有项的系数和.【解析】的二项式系数和为，可得，所以，的所有项的系数和为.故答案为：.16．设项数为的数列满足：，且对任意，，都有，则这样的数列共有_____个.【答案】31【分析】根据列举出所有可能的数列，再结合、、、、同时成立，排除不满足条件的，即可得答案.【解析】当，时，，所以可能情况如下：1、{一个1，三个0}：、、、，4个；2、{两个1，一个和0 }：、、、、、、、、、、、，12个；3、{一个，三个0}：、、、，4个；4、{两个，一个1和0}：、、、、、、、、、、、，12个；5、{四个0}：，1个；6、{两个，两个1 }：、、、、、，6个；7、{两个0，一个1 和}：、、、、、、、、、、、，12个；综上，数列共有51个.当，时，，当，时，，当，时，，当，时，，当，时，，所以、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，20个不满足；综上，满足要求的数列有31个.故答案为：31四、解答题17．用0，1，2，3，4这5个数字，可以组成多少个满足下列条件的没有重复数字五位数？(1)偶数：(2)左起第二､四位是奇数的偶数；(3)比21034大的偶数.【答案】(1)个(2)个(3)个【分析】（1）先考虑特殊位置、特殊元素，再利用分类加法原理、分步乘法原理进行计算.（2）先考虑特殊位置、特殊元素，再利用分类加法原理、分步乘法原理进行计算.（3）先考虑特殊位置、特殊元素，再利用分类加法原理、分步乘法原理进行计算.【解析】（1）末位是0，有个，末位是2或4，有个，故满足条件的五位数共有个.（2）法一：可分两类，0是末位数，有个，2或4是末位数，则个.故共在个.法二：四位从奇数1，3中取，有；首位从2，4中取，有个：余下的排在剩下的两位，有个；故共有个.（3）法一：可分五类，当末位数是0，而首位数是2时，有个；当末位数字是0，而首位数字是3或4时，有个；当末位数字是2，而首位数字是3或4时，有个；当末位数字是4，而首位数字是2时，有个；当末位数字是4，而首位数字是3吋，有个.故有个.法二：不大于21034的偶数可分为三类：万位数字为1的偶数，有个；万位数字为2，而千位数字是0的偶数，有个：还有21034本身.而由组成的五位偶数有个.故满足条件的五位偶数共有个.18．已知5名同学站成一排，要求甲、乙两人站在两端，记满足条件的所有不同的排法种数为m.(1)求m的值；(2)求二项式的展开式中的的系数.【答案】(1)12(2)66【分析】（1）先安排甲、乙两人，再安排其他人员，结合排列数可得答案；（2）利用二项展开式的通项公式进行求解.【解析】（1）先安排甲、乙两人，共有种方法，再排其余3人，共有种方法，所以.（2）由（1）知，的展开式的通项公式为，令可得，，所以二项式的展开式中的的系数为.19．已知二项式.（1）当时，求二项式展开式中各系数的和；（2）若二项式展开式中第9项，第10项，第11项的二项式系数和成等差数列，且二项展开式中存在常数项，求的值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）令利用赋值法求展开式各项系数；（2）依题意，即可求出，再代入二项式展开式的通项去检验，即可判断；【解析】解：（1）当，令，得二项式的展开式中各系数和为；（2）二项式展开式的通项为由题：，，即或；当时，二项式展开式的通项为，所以，是常数，符合；当时，若是常数，则，不符，舍去，所以.20．设(2－x)100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100，求下列各式的值；（1）a0；（2）a1＋a3＋a5＋…＋a99；（3）(a0＋a2＋a4＋…＋a100)2－(a1＋a3＋…＋a99)2.【答案】（1）2100；（2）；（3）1.【分析】（1）令x＝0可得答案；（2）令x＝1和x＝－1，两式相加可得答案；（3）利用平方差公式，再将（2）中的①②两式代入计算即可.【解析】解：（1）令x＝0，则展开式可化为a0＝2100.（2）令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a99＋a100＝(2－)100①令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋…＋a100＝(2＋)100②联立①②得：a1＋a3＋…＋a99＝.（3）原式＝[(a0＋a2＋…＋a100)＋(a1＋a3＋…＋a99)]·[(a0＋a2＋…＋a100)－(a1＋a3＋…＋a99)]＝(a0＋a1＋a2＋…＋a100)(a0－a1＋a2－a3＋…＋a98－a99＋a100)＝(2－)100(2＋)100＝1.21．（1）一场班级元旦晚会有2个唱歌节目和；2个相声节目1和2.要求排出一个节目单，满足第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目.列出所有可能的排列.（2）7个人排成一排拍照片，若要求甲、乙、丙3人必须相邻，并且丁和戊不相邻，有多少不同的种排法？（结果用数字表示）（3）从4名男青年教师和5名女青年教师中选出4名教师参加新教材培训，要求至少有2名男教师和1名女教师参加，有多少种不同的选法？（结果用数字表示）【答案】（1）；（2）432；（3）80.【分析】（1）利用排列的定义即得；（2）利用捆绑法，插空法即得；（3）由题可分选2名男教师与2名女教师，选3名男教师与1名女教师两类，即得.【解析】（1）歌唱节目记为，相声节目记为1，2，满足第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目的排列为：.（2）甲乙丙3人必须相邻，把他们捆绑看作一个元素与除甲乙丙丁戊外的两个元素排列，然后排其内部顺序，再在3个元素形成的4个空中插入丁和戊，故甲、乙、丙3人必须相邻，并且丁和戊不相邻，共有（种）.（3）选2名男教师与2名女教师，共有(种)，选3名男教师与1名女教师，共有(种)，所以共有60+20=80（种）.22．对任意，定义+，其中为正整数.（1）求的值；（2）探究是否为定值，并证明你的结论；（3）设，是否存在正整数，使得成等差数列，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1) ,; (2)是定值，答案见解析;(3) 答案见解析.【分析】(1)由题意求出的值，即可求出的值.(2)根据，，结合平方差公式即可求出的值.(3) 假设存在正整数，使得成等差数列，结合等差数列定义可得，结合已知进行推导，可推出当且仅当时，等号成立，不成立，从而可证明.【解析】解：(1)由题意知，，，所以，(2)是定值，证明:由题意知，，，则，所以.(3) 假设存在正整数，使得成等差数列，则，当时，，即，即，因为，所以，，整理得，，其中为正整数，，因为，所以，当且仅当时等号成立，又，即不成立，即假设不成立，所以不存在存在正整数，使得成等差数列.【点睛】关键点睛:本题第二问应将看作，从而代入已知条件即可求解.
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