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高中苏教版 (2019)8.2离散型随机变量及其分布列优秀测试题
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这是一份高中苏教版 (2019)8.2离散型随机变量及其分布列优秀测试题，文件包含苏教版数学高二选择性必修第二册821随机变量及其分布练习原卷版docx、苏教版数学高二选择性必修第二册821随机变量及其分布练习解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共21页， 欢迎下载使用。
1．下列结论中，正确的是（ ）
A．随机事件个数与随机变量一一对应
B．随机变量与区间一一对应
C．随机变量的取值是实数
D．随机变量与自然数一一对应
【答案】C
【分析】根据随机变量的定义直接得到答案.
【解析】根据随机变量的定义知：随机变量的取值是实数，C正确；
随机事件个数与随机变量不一定是一一对应的，A错误；
离散型随机变量与区间不是一一对应的，B错误；
连续型随机变量与自然数不是一一对应，D错误.
故选：C.
2．袋中有3个白球、5个黑球，从中任取2个，则可以作为随机变量的是（ ）．
A．至少取到1个白球B．取到白球的个数
C．至多取到1个白球D．取到的球的个数
【答案】B
【分析】根据随机变量的定义进行求解.
【解析】根据随机变量的定义，选项B是随机变量，其可能取值为0,1,2,
其他三个选项均不能作为随机变量.
故选：B
3．袋中装有大小相同的5个球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，现在在有放回的条件下依次取出两个球，设两个球的号码之和为随机变量ξ，则ξ所有可能取值的个数是（ ）
A．25B．10C．15D．9
【答案】D
【分析】根据有放回抽样，将号码之和可能的情况列举求解.
【解析】由题意得：两个球的号码之和可能为2，3，4，5，6，7，8，9，10，共9个.
故选：D
4．甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局．用表示甲的得分，则表示（ ）
A．甲赢三局
B．甲赢一局输两局
C．甲、乙平局二次
D．甲赢一局输两局或甲、乙平局三次
【答案】D
【分析】列举出的所有可能的情况，即得.
【解析】因为甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，
故表示两种情况，即甲赢一局输两局或甲、乙平局三次．
故选：D．
5．设是一个离散型随机变量，其分布列为
则等于（ ）A．1B．C．D．
【答案】C
【分析】根据分布列的知识列方程来求得.
【解析】依题意，，
解得（大于，舍去）或.
故选：C
6．袋中有大小相同的6个黑球，5个白球，从袋中每次任意取出1个球且不放回，直到取出的球是白球，记所需要的取球次数为随机变量X，则X的可能取值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用随机变量的定义求解.
【解析】因为取到白球时停止，
所以最少取球次数为1，即第一次就取到了白球；
最多次数是7次，即把所有的黑球取完之后才取到白球．
所以取球次数可以是1，2，3，∙∙∙，7．
故选：B．
7．随机变量ξ的所有可能的取值为1，2，3，…，10，且P(ξ＝k)＝ak(k＝1，2，…，10)，则a的值为（ ）
A．B．C．110D．55
【答案】B
【分析】根据随机变量的概率和为1,列出方程即可求解
【解析】∵随机变量ξ的所有可能的取值为1，2，3，…，10，
且P(ξ＝k)＝ak(k＝1，2，…，10)，
∴a＋2a＋3a＋…＋10a＝1，
∴55a＝1，∴a＝
故选：B.
8．已知随机变量ξ只能取三个值x1，x2，x3，其概率依次成等差数列，则该等差数列公差的取值范围是（ ）
A．B．
C．[－3，3]D．[0，1]
【答案】B
【分析】根据等差数列的性质和分布列的性质可求解.
【解析】解：由题意得：
设随机变量ξ取x1，x2，x3的概率分别为a－d，a，a＋d，则由分布列的性质得
(a－d)＋a＋(a＋d)＝1，故，
由，解得.
所以公差的取值范围是.
故选：B
9．某一随机变量的概率分布如下表，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据离散型随机变量分布列的性质和已知条件得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，由此可求得的值.
【解析】由离散型随机变量分布列的性质以及已知条件得，解得，
因此，.
故选：B.
10．若实数x∈R，记随机变量ξ＝，则不等式≥1的解集所对应的ξ的值为（ ）
A．1B．0
C．－1D．1或0
【答案】A
【分析】先解不等式≥1，再根据随机变量ξ求解.
【解析】不等式≥1，可化为不等式，
即，
解得0而当x∈(0，1]时，ξ＝1.
故选：A.
11．已知集合，，从集合中任取3个不同的元素，其中最小的元素用表示，从集合中任取3个不同的元素，其中最大的元素用表示，记，则为（ ）
A．B．C．D．4
【答案】C
【分析】列举法确定分别从集合A、B中取3个元素后对应的最小、最大元素及所有组合，再由题设知的取值为，利用古典概型的概率求法求即可.
【解析】根据题意，从集合中任取3个不同的元素有4种：，其中最小的元素取值分别为，
从集合中任取3个不同的元素有10种：，其中最大的元素的取值分别为，
由，随机变量的取值为，故对应，
∴，
故选：C.
12．信息熵是信息论中的一个重要概念．设随机变量X所有可能的取值为1，2，…，n，且，定义X的信息熵．
命题1：若，则随着n的增大而增大；
命题2：若，随机变量Y所有可能的取值为1，2，…，m，且，则．
则以下结论正确的是（ ）
A．命题1正确，命题2错误B．命题1错误，命题2正确
C．两个命题都错误D．两个命题都正确
【答案】A
【分析】根据信息熵公式，利用对数的运算性质及对数函数的单调性判断命题1；由已知公式得到关于的展开式，应用作差法及对数的性质判断的大小判断命题2.
【解析】若，则，故随着n的增大而增大，命题1正确；
，则，
而，，
，
所以，故，命题2错误；
故选：A
二、多选题
13．设离散型随机变量ξ的分布列如下表所示：
则下列各式不正确的是（ ）A．P(ξ＜3)＝B．P(ξ＞1)＝
C．P(2＜ξ＜4)＝D．P(ξ＜0.5)＝0
【答案】ABD
【分析】利用分布列和概率的性质求出概率，逐一验证即可.
【解析】P(ξ＜3)＝＋＋＋＝，A错误；
P(ξ＞1)＝＋＝，B错误；
P(2＜ξ＜4)＝P(ξ＝3)＝，C正确；
P(ξ＜0.5)＝＋＝，D错误．
故选：ABD．
14．已知随机变量的分布列为：
若，则实数的值可能是（ ）A．B．C．D．
【答案】BCD
【分析】求出的分布列，对各选项依次判断即可.
【解析】由随机变量的分布列可知，随机变量的可能取值为，，，，
的分布列为：
，
，
，
，
用表格表示为
∴对于A，时，，故选项A错误；
对于B，时，，故选项B正确；
对于C，时，，故选项C正确；
对于D，时，，故选项D正确.
故选：BCD.
15．一盒中有7个乒乓球，其中5个未使用过，2个已使用过．现从盒子中任取3个球来用，用完后再装回盒中．记盒中已使用过的球的个数为，则下列结论正确的是（ ）
A．X的所有可能取值是3，4，5B．X最有可能的取值是5
C．X等于3的概率为D．X等于4的概率为
【答案】AC
【分析】求出随机变量X的可能取值，然后求出其对应的概率，即得.
【解析】记未使用过的乒乓球为M，已使用过的为N，
任取3个球的所有可能是：1个M球和2个N球，2个M球和1个N球，3个M球．
M球使用后成为N球，故X的所有可能取值是3，4，5，所以选项A正确；
又，
，
，
所以X最有可能的取值是4，
所以选项B，D错误，选项C正确．
故选：AC．
16．乒乓球（tabletennis），被称为中国的“国球”，是一种世界流行的球类体育项目，是推动外交的体育项目，被誉为“小球推动大球”．某次比赛采用五局三胜制，当参赛甲、乙两位中有一位赢得三局比赛时，就由该选手晋级而比赛结束．每局比赛皆须分出胜负，且每局比赛的胜负不受之前已赛结果影响．假设甲在任一局赢球的概率为，实际比赛局数的期望值记为，下列说法正确的是（ ）
A．三局就结束比赛的概率为B．的常数项为3
C．D．
【答案】ABD
【分析】设实际比赛局数为，先计算出可能取值的概率，即可判断A选项；进而求出期望值，即可判断BCD选项.
【解析】设实际比赛局数为，
则，
，
，
因此三局就结束比赛的概率为，则A正确；
则，
由，则常数项为3，则B正确；
由，则D正确；
由，
，所以，
令，则；令，则，
则函数在上单调递增，在上单调递减，
因为，
所以关于对称，且越极端，越可能快结束，有，得，则C不正确.
故选：ABD.
三、填空题
17．已知随机变量，若，则p＝_____．
【答案】##0.25
【分析】由可得，进而可求解答案.
【解析】已知X～B（2，p），
则，
∴，解得或（因为0＜p＜1，故舍去）．
故答案为：．
18．设随机变量的分布列为，（，2，3），则a的值为___________.
【答案】##
【分析】利用离散型随机变量分布列的性质，列式计算作答.
【解析】依题意，，解得，
所以a的值为.
故答案为：
19．设X是一个离散随机变量，其分布列为：
则实数q的值为______.
【答案】##
【分析】根据概率和为1，结合概率的范围列式求解即可.
【解析】由离散型随机变量分布列的性质，知，故，
因为，解得.
故答案为：
20．设随机变量的概率分布为，为常数，，，，，则 ______ ．
【答案】
【分析】由概率之和为1以及数列求和公式即可求解.
【解析】由题意知：随机变量的所有可能取值的概率和为1，
即，
则，
由等比数列的求和公式，得，
所以，得.
故答案为：
四、解答题
21．一个袋中装有6个同样大小的黑球，编号为1、2、3、4、5、6，从中随机取出3个球，以表示取出球的最大号码．
(1)求的分布；
(2)求的取值不小于4的概率．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）随机变量的可能取值为3、4、5、6，计算对应概率得到分布列.
（2），计算得到答案.
【解析】（1）随机变量的可能取值为3、4、5、6，
且，，，
，
所以的分布为：
（2）的取值不小于4的概率为：
．
22．设随机变量的概率分布，．
(1)求常数的值；
(2)求和的值．
【答案】(1)
(2)；
【分析】（1）（2）由分布列的性质求解即可；
【解析】（1）解：由，得．
（2）解：由题知：．
．
23．某机构对于某地区的10 000户家庭的年可支配收入的调查中，获得如下的统计数据：60%的家庭将年可支配收入用来购买银行结构性存款，20%的家庭将年可支配收入存入银行，其余家庭将年可支配收入用于风险投资.已知银行结构性存款获得的年收益率为5%的概率为95%，获得的年收益率为-2%的概率为5%，存入银行的年收益率为2%，风险投资的平均年收益率为3%.把频率当作概率，假设该地区的每户家庭的年可支配收入均为10万元.
(1)求这些家庭将年可支配收入不存入银行的概率；
(2)每户家庭获得的年收益为X万元，求X的分布列.
【答案】(1)80%
(2)分布列见解析
【分析】（1）利用对立事件的概率公式可求得所求事件的概率.
（2）计算出随机变量X的可能取值，求出每个随机变量X的可能取值，列出随机变量X的分布列.
（1）
由已知得，这些家庭将年可支配收入不存入银行的概率为.
（2）
由已知得，X的可能取值为，，，，
，
，
，
，
所以X的分布列为
24．近日，某调查公司在一家大型超市进行了顾客使用移动支付情况的调查．调查人员从年龄在20岁到60岁的顾客中随机抽取了200人，得到如下数据：
(1)现从这200人中随机依次抽取2人，已知第1次抽到的人使用移动支付的条件下，求第2次抽到的人不使用移动支付的概率；
(2)在随机抽取的200人中对使用移动支付的人群采用分层随机抽样的方式抽取25人做进一步的问卷调查，再从这25人中随机选出3人颁发参与奖，设这3人中年龄在之间的人数为X，求X的分布列．
【答案】(1)
(2)分布列见解析
【分析】（1）利用条件概率即可得解；
（2）写出随机变量的所有取值，求出对应概率，再写出分布列即可.
（1）
解：记事件A：第1次抽到的人使用移动支付，
事件B：第2次抽到的人不使用移动支付，
所以；
（2）
解：在年龄段中抽取的人数为，则X的可能取值为0，1，2，3，
且，，，，
则X的分布列为
25．近日，某调查公司在一家大型超市进行了顾客使用移动支付情况的调查．调查人员从年龄在20岁到60岁的顾客中随机抽取了200人，得到如下数据：
(1)现从这200人中随机依次抽取2人，已知第1次抽到的人使用移动支付的条件下，求第2次抽到的人不使用移动支付的概率；
(2)在随机抽取的200人中对使用移动支付的人群采用分层随机抽样的方式抽取25人做进一步的问卷调查，再从这25人中随机选出3人颁发参与奖，设这3人中年龄在之间的人数为X，求X的分布列．
【答案】(1)
(2)分布列见解析
【分析】（1）利用条件概率即可得解；
（2）写出随机变量的所有取值，求出对应概率，再写出分布列即可.
（1）
解：记事件A：第1次抽到的人使用移动支付，
事件B：第2次抽到的人不使用移动支付，
所以；
（2）
解：在年龄段中抽取的人数为，则X的可能取值为0，1，2，3，
且，，，，
则X的分布列为
26．某高校对该校学生进行了一次“身体素质测试”，包括铅球、50米跑、立定跳远三项．现将这三项的指标分别记为x，y，z，并对它们进行量化：0表示不合格，1表示合格，2表示优良，再用综合指标的值评定身体素质等级，若，则为一级；若，则为二级；若，则为三级．为了了解该校学生身体素质的情况，随机抽取了10人的测试成绩，得到如下表所示结果：
（1）在这10人中任取2人，求抽取的2人指标z相同的概率；
（2）从等级是一级的人中任取1人，其综合指标记为m，从等级不是一级的人中任取1人，其综合指标记为n，记随机变量，求X的分布列．
【答案】（1）；（2）分布列见解析.
【解析】（1）由表可知，指标z为0的有，指标z为1的有，，，，，，指标z为2的有，，．
在这10人中任取2人，所有的情况种数为，抽取的2人指标z相同包含的情况种数为，
所以抽取的2人指标z相同的概率．
（2）由题意得10人的综合指标如表：
其中等级是一级的有，，，，，，共6个，等级不是一级的有，，，，共4个．
随机变量X的取值范围为，，，
，，，
所以X的分布列为：
ξ
－1
0
1
2
3
P
X
－1
0
1
P
X
0.2
0.3
0.5
P
0.03
0.2
0.2
0.57
年龄
人数
类型
使用移动支付
45
40
25
15
不使用移动支付
0
10
20
45
0
1
2
3
年龄
人数
类型
使用移动支付
45
40
25
15
不使用移动支付
0
10
20
45
0
1
2
3
编号
编号
编号
综合指标
1
4
4
6
2
4
5
3
5
3
X
1
2
3
4
5
P
1．下列结论中，正确的是（ ）
A．随机事件个数与随机变量一一对应
B．随机变量与区间一一对应
C．随机变量的取值是实数
D．随机变量与自然数一一对应
【答案】C
【分析】根据随机变量的定义直接得到答案.
【解析】根据随机变量的定义知：随机变量的取值是实数，C正确；
随机事件个数与随机变量不一定是一一对应的，A错误；
离散型随机变量与区间不是一一对应的，B错误；
连续型随机变量与自然数不是一一对应，D错误.
故选：C.
2．袋中有3个白球、5个黑球，从中任取2个，则可以作为随机变量的是（ ）．
A．至少取到1个白球B．取到白球的个数
C．至多取到1个白球D．取到的球的个数
【答案】B
【分析】根据随机变量的定义进行求解.
【解析】根据随机变量的定义，选项B是随机变量，其可能取值为0,1,2,
其他三个选项均不能作为随机变量.
故选：B
3．袋中装有大小相同的5个球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，现在在有放回的条件下依次取出两个球，设两个球的号码之和为随机变量ξ，则ξ所有可能取值的个数是（ ）
A．25B．10C．15D．9
【答案】D
【分析】根据有放回抽样，将号码之和可能的情况列举求解.
【解析】由题意得：两个球的号码之和可能为2，3，4，5，6，7，8，9，10，共9个.
故选：D
4．甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局．用表示甲的得分，则表示（ ）
A．甲赢三局
B．甲赢一局输两局
C．甲、乙平局二次
D．甲赢一局输两局或甲、乙平局三次
【答案】D
【分析】列举出的所有可能的情况，即得.
【解析】因为甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，
故表示两种情况，即甲赢一局输两局或甲、乙平局三次．
故选：D．
5．设是一个离散型随机变量，其分布列为
则等于（ ）A．1B．C．D．
【答案】C
【分析】根据分布列的知识列方程来求得.
【解析】依题意，，
解得（大于，舍去）或.
故选：C
6．袋中有大小相同的6个黑球，5个白球，从袋中每次任意取出1个球且不放回，直到取出的球是白球，记所需要的取球次数为随机变量X，则X的可能取值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用随机变量的定义求解.
【解析】因为取到白球时停止，
所以最少取球次数为1，即第一次就取到了白球；
最多次数是7次，即把所有的黑球取完之后才取到白球．
所以取球次数可以是1，2，3，∙∙∙，7．
故选：B．
7．随机变量ξ的所有可能的取值为1，2，3，…，10，且P(ξ＝k)＝ak(k＝1，2，…，10)，则a的值为（ ）
A．B．C．110D．55
【答案】B
【分析】根据随机变量的概率和为1,列出方程即可求解
【解析】∵随机变量ξ的所有可能的取值为1，2，3，…，10，
且P(ξ＝k)＝ak(k＝1，2，…，10)，
∴a＋2a＋3a＋…＋10a＝1，
∴55a＝1，∴a＝
故选：B.
8．已知随机变量ξ只能取三个值x1，x2，x3，其概率依次成等差数列，则该等差数列公差的取值范围是（ ）
A．B．
C．[－3，3]D．[0，1]
【答案】B
【分析】根据等差数列的性质和分布列的性质可求解.
【解析】解：由题意得：
设随机变量ξ取x1，x2，x3的概率分别为a－d，a，a＋d，则由分布列的性质得
(a－d)＋a＋(a＋d)＝1，故，
由，解得.
所以公差的取值范围是.
故选：B
9．某一随机变量的概率分布如下表，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据离散型随机变量分布列的性质和已知条件得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，由此可求得的值.
【解析】由离散型随机变量分布列的性质以及已知条件得，解得，
因此，.
故选：B.
10．若实数x∈R，记随机变量ξ＝，则不等式≥1的解集所对应的ξ的值为（ ）
A．1B．0
C．－1D．1或0
【答案】A
【分析】先解不等式≥1，再根据随机变量ξ求解.
【解析】不等式≥1，可化为不等式，
即，
解得0
故选：A.
11．已知集合，，从集合中任取3个不同的元素，其中最小的元素用表示，从集合中任取3个不同的元素，其中最大的元素用表示，记，则为（ ）
A．B．C．D．4
【答案】C
【分析】列举法确定分别从集合A、B中取3个元素后对应的最小、最大元素及所有组合，再由题设知的取值为，利用古典概型的概率求法求即可.
【解析】根据题意，从集合中任取3个不同的元素有4种：，其中最小的元素取值分别为，
从集合中任取3个不同的元素有10种：，其中最大的元素的取值分别为，
由，随机变量的取值为，故对应，
∴，
故选：C.
12．信息熵是信息论中的一个重要概念．设随机变量X所有可能的取值为1，2，…，n，且，定义X的信息熵．
命题1：若，则随着n的增大而增大；
命题2：若，随机变量Y所有可能的取值为1，2，…，m，且，则．
则以下结论正确的是（ ）
A．命题1正确，命题2错误B．命题1错误，命题2正确
C．两个命题都错误D．两个命题都正确
【答案】A
【分析】根据信息熵公式，利用对数的运算性质及对数函数的单调性判断命题1；由已知公式得到关于的展开式，应用作差法及对数的性质判断的大小判断命题2.
【解析】若，则，故随着n的增大而增大，命题1正确；
，则，
而，，
，
所以，故，命题2错误；
故选：A
二、多选题
13．设离散型随机变量ξ的分布列如下表所示：
则下列各式不正确的是（ ）A．P(ξ＜3)＝B．P(ξ＞1)＝
C．P(2＜ξ＜4)＝D．P(ξ＜0.5)＝0
【答案】ABD
【分析】利用分布列和概率的性质求出概率，逐一验证即可.
【解析】P(ξ＜3)＝＋＋＋＝，A错误；
P(ξ＞1)＝＋＝，B错误；
P(2＜ξ＜4)＝P(ξ＝3)＝，C正确；
P(ξ＜0.5)＝＋＝，D错误．
故选：ABD．
14．已知随机变量的分布列为：
若，则实数的值可能是（ ）A．B．C．D．
【答案】BCD
【分析】求出的分布列，对各选项依次判断即可.
【解析】由随机变量的分布列可知，随机变量的可能取值为，，，，
的分布列为：
，
，
，
，
用表格表示为
∴对于A，时，，故选项A错误；
对于B，时，，故选项B正确；
对于C，时，，故选项C正确；
对于D，时，，故选项D正确.
故选：BCD.
15．一盒中有7个乒乓球，其中5个未使用过，2个已使用过．现从盒子中任取3个球来用，用完后再装回盒中．记盒中已使用过的球的个数为，则下列结论正确的是（ ）
A．X的所有可能取值是3，4，5B．X最有可能的取值是5
C．X等于3的概率为D．X等于4的概率为
【答案】AC
【分析】求出随机变量X的可能取值，然后求出其对应的概率，即得.
【解析】记未使用过的乒乓球为M，已使用过的为N，
任取3个球的所有可能是：1个M球和2个N球，2个M球和1个N球，3个M球．
M球使用后成为N球，故X的所有可能取值是3，4，5，所以选项A正确；
又，
，
，
所以X最有可能的取值是4，
所以选项B，D错误，选项C正确．
故选：AC．
16．乒乓球（tabletennis），被称为中国的“国球”，是一种世界流行的球类体育项目，是推动外交的体育项目，被誉为“小球推动大球”．某次比赛采用五局三胜制，当参赛甲、乙两位中有一位赢得三局比赛时，就由该选手晋级而比赛结束．每局比赛皆须分出胜负，且每局比赛的胜负不受之前已赛结果影响．假设甲在任一局赢球的概率为，实际比赛局数的期望值记为，下列说法正确的是（ ）
A．三局就结束比赛的概率为B．的常数项为3
C．D．
【答案】ABD
【分析】设实际比赛局数为，先计算出可能取值的概率，即可判断A选项；进而求出期望值，即可判断BCD选项.
【解析】设实际比赛局数为，
则，
，
，
因此三局就结束比赛的概率为，则A正确；
则，
由，则常数项为3，则B正确；
由，则D正确；
由，
，所以，
令，则；令，则，
则函数在上单调递增，在上单调递减，
因为，
所以关于对称，且越极端，越可能快结束，有，得，则C不正确.
故选：ABD.
三、填空题
17．已知随机变量，若，则p＝_____．
【答案】##0.25
【分析】由可得，进而可求解答案.
【解析】已知X～B（2，p），
则，
∴，解得或（因为0＜p＜1，故舍去）．
故答案为：．
18．设随机变量的分布列为，（，2，3），则a的值为___________.
【答案】##
【分析】利用离散型随机变量分布列的性质，列式计算作答.
【解析】依题意，，解得，
所以a的值为.
故答案为：
19．设X是一个离散随机变量，其分布列为：
则实数q的值为______.
【答案】##
【分析】根据概率和为1，结合概率的范围列式求解即可.
【解析】由离散型随机变量分布列的性质，知，故，
因为，解得.
故答案为：
20．设随机变量的概率分布为，为常数，，，，，则 ______ ．
【答案】
【分析】由概率之和为1以及数列求和公式即可求解.
【解析】由题意知：随机变量的所有可能取值的概率和为1，
即，
则，
由等比数列的求和公式，得，
所以，得.
故答案为：
四、解答题
21．一个袋中装有6个同样大小的黑球，编号为1、2、3、4、5、6，从中随机取出3个球，以表示取出球的最大号码．
(1)求的分布；
(2)求的取值不小于4的概率．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）随机变量的可能取值为3、4、5、6，计算对应概率得到分布列.
（2），计算得到答案.
【解析】（1）随机变量的可能取值为3、4、5、6，
且，，，
，
所以的分布为：
（2）的取值不小于4的概率为：
．
22．设随机变量的概率分布，．
(1)求常数的值；
(2)求和的值．
【答案】(1)
(2)；
【分析】（1）（2）由分布列的性质求解即可；
【解析】（1）解：由，得．
（2）解：由题知：．
．
23．某机构对于某地区的10 000户家庭的年可支配收入的调查中，获得如下的统计数据：60%的家庭将年可支配收入用来购买银行结构性存款，20%的家庭将年可支配收入存入银行，其余家庭将年可支配收入用于风险投资.已知银行结构性存款获得的年收益率为5%的概率为95%，获得的年收益率为-2%的概率为5%，存入银行的年收益率为2%，风险投资的平均年收益率为3%.把频率当作概率，假设该地区的每户家庭的年可支配收入均为10万元.
(1)求这些家庭将年可支配收入不存入银行的概率；
(2)每户家庭获得的年收益为X万元，求X的分布列.
【答案】(1)80%
(2)分布列见解析
【分析】（1）利用对立事件的概率公式可求得所求事件的概率.
（2）计算出随机变量X的可能取值，求出每个随机变量X的可能取值，列出随机变量X的分布列.
（1）
由已知得，这些家庭将年可支配收入不存入银行的概率为.
（2）
由已知得，X的可能取值为，，，，
，
，
，
，
所以X的分布列为
24．近日，某调查公司在一家大型超市进行了顾客使用移动支付情况的调查．调查人员从年龄在20岁到60岁的顾客中随机抽取了200人，得到如下数据：
(1)现从这200人中随机依次抽取2人，已知第1次抽到的人使用移动支付的条件下，求第2次抽到的人不使用移动支付的概率；
(2)在随机抽取的200人中对使用移动支付的人群采用分层随机抽样的方式抽取25人做进一步的问卷调查，再从这25人中随机选出3人颁发参与奖，设这3人中年龄在之间的人数为X，求X的分布列．
【答案】(1)
(2)分布列见解析
【分析】（1）利用条件概率即可得解；
（2）写出随机变量的所有取值，求出对应概率，再写出分布列即可.
（1）
解：记事件A：第1次抽到的人使用移动支付，
事件B：第2次抽到的人不使用移动支付，
所以；
（2）
解：在年龄段中抽取的人数为，则X的可能取值为0，1，2，3，
且，，，，
则X的分布列为
25．近日，某调查公司在一家大型超市进行了顾客使用移动支付情况的调查．调查人员从年龄在20岁到60岁的顾客中随机抽取了200人，得到如下数据：
(1)现从这200人中随机依次抽取2人，已知第1次抽到的人使用移动支付的条件下，求第2次抽到的人不使用移动支付的概率；
(2)在随机抽取的200人中对使用移动支付的人群采用分层随机抽样的方式抽取25人做进一步的问卷调查，再从这25人中随机选出3人颁发参与奖，设这3人中年龄在之间的人数为X，求X的分布列．
【答案】(1)
(2)分布列见解析
【分析】（1）利用条件概率即可得解；
（2）写出随机变量的所有取值，求出对应概率，再写出分布列即可.
（1）
解：记事件A：第1次抽到的人使用移动支付，
事件B：第2次抽到的人不使用移动支付，
所以；
（2）
解：在年龄段中抽取的人数为，则X的可能取值为0，1，2，3，
且，，，，
则X的分布列为
26．某高校对该校学生进行了一次“身体素质测试”，包括铅球、50米跑、立定跳远三项．现将这三项的指标分别记为x，y，z，并对它们进行量化：0表示不合格，1表示合格，2表示优良，再用综合指标的值评定身体素质等级，若，则为一级；若，则为二级；若，则为三级．为了了解该校学生身体素质的情况，随机抽取了10人的测试成绩，得到如下表所示结果：
（1）在这10人中任取2人，求抽取的2人指标z相同的概率；
（2）从等级是一级的人中任取1人，其综合指标记为m，从等级不是一级的人中任取1人，其综合指标记为n，记随机变量，求X的分布列．
【答案】（1）；（2）分布列见解析.
【解析】（1）由表可知，指标z为0的有，指标z为1的有，，，，，，指标z为2的有，，．
在这10人中任取2人，所有的情况种数为，抽取的2人指标z相同包含的情况种数为，
所以抽取的2人指标z相同的概率．
（2）由题意得10人的综合指标如表：
其中等级是一级的有，，，，，，共6个，等级不是一级的有，，，，共4个．
随机变量X的取值范围为，，，
，，，
所以X的分布列为：
ξ
－1
0
1
2
3
P
X
－1
0
1
P
X
0.2
0.3
0.5
P
0.03
0.2
0.2
0.57
年龄
人数
类型
使用移动支付
45
40
25
15
不使用移动支付
0
10
20
45
0
1
2
3
年龄
人数
类型
使用移动支付
45
40
25
15
不使用移动支付
0
10
20
45
0
1
2
3
编号
编号
编号
综合指标
1
4
4
6
2
4
5
3
5
3
X
1
2
3
4
5
P
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