苏教版 (2019)选择性必修第二册8.2离散型随机变量及其分布列精品课时训练

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1．抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得－1分，则得分X的均值为（ ）
A．0B．C．1D．－1
【答案】A
【分析】利用随机变量的均值的定义即得.
【解析】因为P(X＝1)＝，P(X＝－1)＝，
所以由均值的定义得E(X)＝1×＋(－1)×＝0．
故选：A.
2．已知离散型随机变量X的分布列为
则X的数学期望（ ）A．B．2C．D．3
【答案】A
【分析】直接利用分布列求数学期即可
【解析】.
故选：A.
3．若数据，，…，的方差为3，则数据，，…，的方差为（ ）
A．12B．9C．6D．3
【答案】A
【分析】由方差的性质求解即可.
【解析】数据，，…，的方差，则数据，，…，的方差为.
故选：A
4．已知随机变量满足，则下列选项正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由数学期望与方差的性质求解
【解析】，得，
，得，
故选：B
5．若随机变量服从两点分布，其中，，分别为随机变量的均值与方差，则下列结论错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】本题考查两点分布的理解，以及，，的计算运用．
【解析】因为随机变量服从两点分布，且，所以，故A正确；
，故B正确；
，故C不正确；
，故D正确，
故选：C.
6．已知随机变量的分布列如下表所示：
若，则（ ）A．>，>B．<，>
C．>，【答案】A
【分析】通过计算期望和方差来求得正确答案.
【解析】，
，
由于，所以.
，
同理可得.
，
所以.
故选：A
7．设样本数据，的均值和方差分别为1和4，若，，…，10，且，，...，的均值为5，则方差为（ ）
A．5B．8C．11D．16
【答案】D
【分析】根据样本数据的平均数和方差，则样本数据的平均数为，方差为，由此即可求出结果．
【解析】因为样本数据的均值和方差分别为和，且，
所以的均值为：，即，所以方差为．
故选：D．
8．已知甲盒子有6个不同的小球，编号分别为1，2，3，4，5，6，从甲盒子中取出一个球，记随机变量是取出球的编号，数学期望为，乙盒子有5个不同的小球，编号分别为1，2，3，4，5，从乙盒子中取出一个球，记随机变量是取出球的编号，数学期望为，则（ ）
A．且B．且
C．且D．且
【答案】C
【解析】求出，，即得解.
【解析】由题，，
，
.
故选：C
【点睛】本题主要考查概率的计算和随机变量的期望的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
9．如果是离散型随机变量，，则下列结论中正确的是（ ）．
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【分析】根据随机变量的线性关系，结合数学期望与方差的性质即可得，，故可得答案.
【解析】解：因为，又，所以，，
则，.
故选：D.
10．甲、乙两人进行羽毛球比赛，现采用三局两胜的比赛制度，规定每局比赛都没有平局（必须分出胜负），且每一局甲赢的概率都是，随机变量表示最终的比赛局数，若，则的数学期望的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由三局两胜的比赛制度可得随机变量可能的取值为2和3，分别求出概率，列出分布列，利用离散型随机变量的期望公式计算并化简，根据，得出数学期望的取值范围．
【解析】随机变量可能的取值为2，3．
．
，
故的分布列为：
故．因为，故．故选：A．
11．已知随机变量的分布列为：
则下列说法中正确的是( )A．有最小值B．有最大值
C．有最小值0D．有最大值
【答案】D
【分析】根据数学期望和方差的定义表示出和，用函数思想解析研究﹒
【解析】由题意，知，即．
又，则，∵＝b＋2a＝＋2a，∴没有最值；
∵
．
又，∴当时，有最大值．
故选：D﹒
12．从装有个白球和个黑球的袋中无放回任取个球，每个球取到的概率相同，规定：
（1）取出白球得分，取出黑球得分，取出个球所得分数和记为随机变量
（2）取出白球得分，取出黑球得分，取出个球所得分数和记为随机变量
则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】根据题意计算概率写出分布列，计算方差、期望比较即可．
【解析】根据题意，，，，分布列如下：
根据题意，，，，分布列如下：
，，
，，
可得，
故选：C.
二、多选题
13．设离散型随机变量X的分布列为：
若离散型随机变量Y满足，则下列结果正确的有（ ）A．B．C．D．
【答案】AB
【分析】对于AB，利用数学期望与方差的计算公式求解即可判断；对于CD，利用数学期望与方差的性质求得新的数学期望与方差即可判断.
【解析】对于A，由，则，
所以，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，因为，所以，故C错误；
对于D，，故D错误.
故选：AB.
14．甲乙两位同学纸牌游戏（纸牌除了颜色有不同，没有其他任何区别），他们手里先各持4张牌，其中甲手里有2张黑牌，2张红牌，乙手里有3张黑牌，1张红牌，现在两人都各自随机的拿出一张牌进行交换，交换后甲､乙手中的红牌数分别为､张，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【分析】依题意可得的可能取值为、、，且，求出所对应的概率，即可求出，再根据期望与方差的性质计算可得；
【解析】解：甲取出一张红牌为事件A，乙取出一张红牌为事件，
则，，
则的可能取值为、、，且，
则，，
所以，
所以，
，
故正确的有A、D；
故选：AD
15．有一组样本甲的数据，由这组数据得到新样本乙的数据，其中为不全相等的正实数．下列说法正确的是（ ）
A．样本甲的极差一定小于样本乙的极差
B．样本甲的方差一定大于样本乙的方差
C．若为样本甲的中位数，则样本乙的中位数为
D．若为样本甲的平均数，则样本乙的平均数为
【答案】ACD
【分析】根据甲的极差、平均数、方差、中位数确定乙的相关数据特征，结合各选项的描述判断正误.
【解析】为不全相等的正实数，若甲的极差为，平均数为，方差为，则，中位数为，
则乙的极差为，平均数为，方差为，中位数为，
A：由，故正确.
B：由题意可知，，故不正确.
C：由上分析知：若为样本甲的中位数，则样本乙的中位数为，正确；
D：由上分析知：若为样本甲的平均数，则样本乙的平均数为，正确；
故选：ACD
16．甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球.现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为，恰有1个黑球的概率为，恰有2个黑球的概率为，则下列结论正确的是（ ）
A．，
B．数列是等比数列
C．数列是等比数列
D．的数学期望
【答案】ACD
【分析】利用已知条件求出，，推出即可判断选项A；推出，得到说明数列是等比数列，再利用期望的公式求解即可判断.
【解析】由题知，，，
且，
；
则，；故A正确；
由上可得，
故，
则数列是等比数列，故B错误，C正确；
且；则，故D正确.
故选:ACD.
三、填空题
17．掷一枚质地均匀的骰子，若将掷出的点数记为得分，则得分的均值为______.
【答案】
【分析】根据离散形随机变量的均值直接求出.
【解析】设得分为，则可能的取值为1,2,3,4,5,6，
且，其中，
则得分的均值为，
故答案为：
18．将一个各面都涂了油漆的正方体切割为27个同样大小的小正方体，经过充分搅拌后，从中随机取1个小正方体，记它的油漆面数为，则__________.
【答案】2
【分析】根据题意得出的所有可能取值为，根据涂3面油漆，2面油漆，1面油漆，0面油漆的小正方体的个数，计算取每个值时的概率，从而求出的值．
【解析】的所有可能取值为，
涂3面油漆的小正方体有8个；涂2面油漆的小正方体有12个；
涂1面油漆的小正方体有6个；涂0面油漆的小正方体有1个；
则，，，，
所以．
故答案为：2．
19．随机变量X的分布列如表所示，若，则_________.
【答案】5
【分析】利用离散型随机变量的分布列、数学期望的性质，列出方程组，求出，，由此能求出方差，再根据方差的性质计算可得．
【解析】依题意可得，解得，
所以，
所以.
故答案为：5.
20．对于随机变量X，它的数学期望和方差，下列所有正确的序号是______．
①是反映随机变量的平均取值； ②越小，说明X越集中于；
③； ④．
【答案】①②③
【分析】根据离散型随机变量期望与方差的意义，以及期望与方差的性质依次判断即可.
【解析】离散型随机变量的期望反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度，
方差越小，说明随机变量的取值越集中于均值，则①②正确；，，则③正确，④错误.
故答案为：①②③.
四、解答题
21．假定篮球运动员甲每次投篮命中的概率为.现有3个篮球，该运动员甲准备投篮，一旦投中即停止投篮，否则一直投篮到篮球用完（不重复使用）．设耗用篮球数为，求：
(1)的概率分布列；
(2)均值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出的可能取值及相应的概率，求出分布列；（2）在第一问的基础上求出均值.
(1)
随机变量的所有取值是

，
(2)
22．某公司举行了一场羽毛球比赛，现有甲、乙两人进行比赛，每局比赛必须分出胜负，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满8局时停止．设甲在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立．
(1)求第二局比赛结束时比赛停止的概率；
(2)设表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量的分布列和数学期望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，数学期望为
【分析】（1）要使第二局比赛结束时比赛停止，必是甲连胜2局成乙连胜2局，根据此结果求其概率即可；
（2）X的所有可能取值为2，4，6，8，求出概率得到分布列，然后求期望即可.
【解析】（1）依题意，当甲连胜2局或乙连胜2局时，第二局比赛结束时比赛结束，记事件A是“第二局比赛结束时比赛停止”．
则；
（2）依题意知，X的所有可能取值为2，4，6，8
设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为，该轮结束时比赛继续的概率为，
即，，，
；
则随机变量X的分布列为：
则．
23．医学上发现，某种病毒侵入人体后，人的体温会升高．记病毒侵入后人体的平均体温为（摄氏度）．医学统计发现，X的分布列如下．
(1)求出，；
(2)已知人体体温为时，相当于，求，．
【答案】(1)38.4，0.64.
(2)101.12，2.0736.
【分析】（1）利用期望及方差公式即求；
（2）由可得,即求.
(1)
由题可得，
.
(2)
由可知，，
.
24．现有甲、乙两个靶．某射手向甲靶射击两次，每次命中的概率为，每命中一次得1分，没有命中得0分；向乙靶射击一次，命中的概率为，命中得2分，没有命中得0分．该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击．
(1)求该射手恰好命中两次的概率；
(2)求该射手的总得分的分布列及数学期望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【分析】(1)由题意可得恰好命中两次包含甲靶击中两次且乙靶不中和甲靶击中一次和乙靶击中即可求得答案；
(2) 依据题意可知的所有可能取值为，求出对应的概率，再根据期望公式计算即可.
【解析】（1）设“该射手恰好命中两次”为事件，
．
（2）由题意可得：
；
；
；
；
，
所以的分布列为：
所以．
25．某网约车司机统计了自己一天中出车一次的总路程X（单位：km）的可能取值是20，22，24，26，28，30，它们出现的概率依次是0.1，0.2，0.3，0.1，t，2t．
(1)求X的分布列，并求X的均值和方差；
(2)若网约车计费细则如下：起步价为5元，行驶路程不超过3km时，收费5元，行驶路程超过3km时，则按每超出1km（不足1km也按1km计程）收费3元计费．试计算此人一天中出车一次收入的均值和方差．
【答案】(1)分布列见解析，，；
(2)均值为71元，方差为.
【分析】（1）利用概率和为1求出的值，然后可得X的分布列，然后算出其期望方差即可；
（2）设此人一天中出车一次的收入为Y元，则，然后利用期望方差的性质可算出答案.
【解析】（1）由题意，得．∴．
∴X的分布列为
∴，
．
（2）设此人一天中出车一次的收入为Y元，则，
∴，．
故此人一天中出车一次收入的均值为71元，方差为95.4．
26．已知两个投资项目的利润率分别为随机变量和，根据市场分析，和的分布列如下：
(1)在两个项目上各投资200万元，和（单位：万元）表示投资项目和所获得的利润，求和；
(2)将万元投资项目，万元投资项目，表示投资项目所得利润的方差与投资项目所得利润的方差之和.则当为何值时，取得最小值？
【答案】(1)=24，=36；
(2).
【分析】（1）由已知写出和对应分布列，并求出它们的期望，进而由方差公式求和；
（2）由题设、项目所获利润分别为、，应用方差的性质求出关于x的表达式，即可知结果.
（1）
依题意得：
，
.
（2）
设投资项目所获利润为，投资项目所获利润为.
，
故当时，取得最小值.
27．受新冠肺炎疫情的影响，2020年一些企业改变了针对应届毕业生的校园招聘方式，将线下招聘改为线上招聘.某世界五百强企业的线上招聘方式分资料初审､笔试､面试这三个环节进行，资料初审通过后才能进行笔试，笔试合格后才能参加面试，面试合格后便正式录取，且这几个环节能否通过相互独立.现有甲､乙､丙三名大学生报名参加了企业的线上招聘，并均已通过了资料初审环节.假设甲通过笔试､面试的概率分别为 ，；乙通过笔试､面试的概率分别为，；丙通过笔试､面试的概率与乙相同.
（1）求甲､乙､丙三人中恰有一人被企业正式录取的概率；
（2）求甲､乙､丙三人中至少有一人被企业正式录取的概率；
（3）为鼓励优秀大学生积极参与企业的招聘工作，企业决定给报名参加应聘且通过资料初审的大学生一定的补贴，补贴标准如下表：
记甲､乙､丙三人获得的所有补贴之和为元，求的分布列和数学期望.
【答案】（1）；（2）；（3）分布列答案见解析，数学期望：.
【分析】（1）设甲、乙、丙被企业正式录取分别为事件，即可求出，，又相互独立，利用相互独立事件的概率公式即可求解；
（2）利用相互独立事件的概率公式，求甲、乙、丙三人都没有被企业正式录取的事件D的概率，再利用互斥事件的概率求解；
（3）分析题意可知，若没有人通过考试时的取值为300；只有1人通过考试时的取值为500；有2人通过考试时的取值为700；3人都通过考试时的取值为900，分别算出事件对应的概率，写出分布列，即可得出期望.
【解析】（1）设事件表示“甲被企业正式录取”，事件表示“乙被企业正式录取”，事件表示“丙被企业正式录取”，
则，，
所以甲､乙､丙三人中恰有一人被企业正式录取的概率
.
（2）设事件表示“甲、乙、丙三人都没有被企业正式录取”，
则，
所以甲､乙､丙三人中至少有一人被企业正式录取的概率.
（3）的所有可能取值为300，500，700，900，
，
，
，
.
所以的分布列为
.
【点睛】方法点睛：本题考查互斥事件､相互独立事件的概率以及离散型随机变量的分布列和数学期望，求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定的取值情况，然后利用排列，组合，概率知识求出取各个值时对应的概率，对应服从某种特殊分布的随机变量，其分布列可以直接应用公式给出，考查学生逻辑推理能力与计算能力，属于中档题.
28．在全球关注的抗击“新冠肺炎”中，某跨国科研中心的一个团队，研制了甲、乙两种治疗“新冠肺炎”新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验，试验方案如下：
第一种：选取，，，，，，，，，共10只患病白鼠，服用甲药后某项指标分别为：84，87，89，91，92，92，86，89，90，90；
第二种：选取，，，，，，，，，共10只患病白鼠，服用乙药后某项指标分别为：81，87，83，82，80，90，86，89，84，79；
该团队判定患病白鼠服药后这项指标不低于85的确认为药物有效，否则确认为药物无效.
（1）已知第一种试验方案的10个数据的平均数为89，求这组数据的方差；
（2）现需要从已服用乙药的10只白鼠中随机抽取7只，求其中服药有效的只数不超过2只的概率；
（3）该团队的另一实验室有1000只白鼠，其中900只为正常白鼠，100只为患病白鼠，每用新研制的甲药给所有患病白鼠服用一次，患病白鼠中有90%变为正常白鼠，但正常白鼠仍有变为患病白鼠，假设实验室的所有白鼠都活着且数量不变，且记服用次甲药后此实验室正常白鼠的只数为.
（ⅰ）求并写出与的关系式；
（ⅱ）要使服用甲药两次后，该实验室正常白鼠至少有950只，求最大的正整数的值.
【答案】（1）；（2）；（3）（ⅰ）；；（ⅱ）.
【分析】（1）直接利用方差公式求出方差即可；
（2）在第二种实验中服药有效的白鼠有4只，服药无效的白鼠有6只，，利用古典概型概率公式求出概率即可；
（3）（ⅰ）根据题意，再化简即可；
（ⅱ）结合（ⅰ），由可得，记函数，其中，则函数在单调递减，求出最大值即可．
【解析】（1）方差
（2）在第二种试验中服药有效的白鼠有4只，服药无效的白鼠有6只，设服药有效的只数为
（3）（ⅰ）
依题设知，
即
（ⅱ），
由可得
记函数，其中，
则函数在上单调递减，
且，
故最大的正整数
【点睛】方法点睛：与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.
X
1
2
3
P
0
1
2
2
3
0
1
2
X
0
1
2
3
4
q
0.4
0.1
0.2
0.2
X
－1
0
1
P
a
b
X
1
2
3
X
1
2
3
X
2
4
6
8
P
X
37
38
39
40
P
0.1
0.5
0.3
0.1
0
1
2
3
4
X
20
22
24
26
28
30
P
0.1
0.2
0.3
0.1
0.1
0.2
10
20
4
16
24
参与环节
笔试
面试
补贴(元)
100
200
300
500
700
900