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高中数学苏教版 (2019)选择性必修第二册第8章 概率8.3 正态分布精品当堂达标检测题
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1．如果正态总体的数据落在内的概率和落在内的概率相等，那么这个正态总体的数学期望是（ ）．
A．0B．1C．2D．3
2．若随机变量，且，则等于（ ）．
A．0.1587B．0.3413C．0.6827D．0.8413
3．某工厂有甲乙两条生产线生产同一型号的机械零件，产品的尺寸分别记为X，Y，已知X，Y均服从正态分布，，，其正态分布密度曲线如图所示，则下列结论中正确的是（ ）
A．甲生产线产品的稳定性高于乙生产线产品的稳定性
B．甲生产线产品的稳定性低于乙生产线产品的稳定性
C．甲生产线的产品尺寸平均值大于乙生产线的产品尺寸平均值
D．甲生产线的产品尺寸平均值小于乙生产线的产品尺寸平均值
4．设随机变量的正态分布密度函数为，，则参数，的值分别是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
5．某中学高三（1）班有50名学生，在一次高三模拟考试中，经统计得：数学成绩，则估计该班数学得分大于120分的学生人数为（ ）（参考数据：）
A．16B．10C．8D．2
6．某中学高三年级一次月考的语文考试成绩（单位：分）近似服从正态分布，统计结果显示语文成绩优秀（大于或等于120分为优秀）的人数占总人数的.已知高三年级学生的总人数为1200，则此次语文考试成绩在90分到105分之间的人数约为（ ）
A．150B．350C．400·D．450
7．已知三个随机变量的正态密度函数（，）的图象如图所示，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
8．在教学调查中，甲、乙、丙三个班的数学测试成绩分布如图，假设三个班的平均分都是75分，s1，s2，s3分别表示甲、乙、丙三个班数学测试成绩的标准差，则有（ ）
A．s3>s1>s2B．s2>s1>s3C．s1>s2>s3D．s3>s2>s1
9．王老师为了了解全班50位同学某次考试的成绩状况，随机抽查了10位同学该次考试的数学与物理成绩，列表如下：
若这10位同学的成绩能反映全班的成绩状况，且全班成绩服从正态分布，用实线表示全班数学成绩的正态曲线，虚线表示全班物理成绩的正态曲线，则随机变量与的正态曲线可能是（ ）A．B．
C．D．
10．下列是关于正态曲线性质的说法：
①曲线关于直线对称，且恒位于轴上方；
②曲线关于直线对称，且仅当时才位于轴上方；
③曲线对应的正态密度函数是一个偶函数，因此曲线关于轴对称；
④曲线在处位于最高点，由这一点向左、右两边延伸时，曲线逐渐降低；
⑤曲线的位置由确定，曲线的形状由确定.
其中说法正确的是（ ）
A．①④⑤B．②④⑤C．③④⑤D．①⑤
11．某批零件的尺寸X服从正态分布，且满足，零件的尺寸与10的误差不超过1即合格，从这批产品中抽取n件，若要保证抽取的合格零件不少于2件的概率不低于，则n的最小值为（ ）
A．7B．6C．5D．4
12．正态分布是最重要的一种概率分布，它是由德国的数学家、天文学家Mivre于1733年提出，但由于德国数学家Gauss率先应用于天文学研究，故正态分布又称为高斯分布，记作．当，的正态分布称为标准正态分布，如果令，则可以证明，即任意的正态分布可以通过变换转化为标准正态分布．如果那么对任意的a，通常记，也就是说，表示对应的正态曲线与x轴在区间内所围的面积．某校高三年级800名学生，期中考试数学成绩近似服从正态分布，高三年级数学成绩平均分100，方差为36，，那么成绩落在的人数大约为（ ）
A．756B．748C．782D．764
二、多选题
13．下列说法正确的是（ ）
A．正态曲线中参数，的意义分别是样本的均值与方差
B．正态曲线是单峰的，其与x轴围成的面积是随参数，的变化而变化的
C．正态曲线可以关于y轴对称
D．若，则
14．若，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．
C．不随的变化而变化
D．随的变化而变化
15．某次测试,经统计发现测试成绩服从正态分布,函数的图象为其正态密度曲线,则( )
A．这次测试的平均成绩为90
B．这次测试的成绩的方差为10
C．分数在110分以上的人数与分数在80分以下的人数相同
D．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数大致相同
16．已知两种不同型号的电子元件的使用寿命（分别记为，）均服从正态分布，，，这两个正态分布密度曲线如图所示，则下列选项正确的是（ ）
参考数据: 若 , 则
，
A．
B．对于任意的正数，有
C．
D．
三、填空题
17．已知随机变量，，且，，则_________.
18．已知一试验田种植的某种作物一株生长果实的个数x服从正态分布，且，从试验田中随机抽取10株，果实个数在的株数记作随机变量X，且X服从二项分布，则X的方差为_________．
19．某批零件的尺寸X服从正态分布，且满足，零件的尺寸与10的误差不超过1即合格，从这批产品中抽取n件，若要保证抽取的合格零件不少于2件的概率不低于0.9，则n的最小值为__________．
20．设随机变量服从正态分布，则下列结论正确的是______.（填序号）
①；
②；
③；
④.
四、解答题
21．已知随机变量，且正态分布密度函数在上是严格增函数，在上是严格减函数，．
(1)求参数、的值；
(2)求．（结果精确到0.01%）
22．在某次数学考试中，考生的成绩X近似服从正态分布N（90，100）．
(1)求考试成绩X位于区间（70，110）内的概率；
(2)若这次考试共有20000名考生，估计考试成绩在（80，100）之间的考生人数．
注：，，．
23．某地区名高三学生在某次模拟考试中的总分服从正态分布.
(1)求；
(2)试估计该地区名高三学生中，总分落在区间的人数.
参考数据：，，.
24．某中学在全校进行了一次爱国主义知识竞赛，共1000名学生参加，答对题数（共60题）分布如下表所示：
答对题数近似服从正态分布，为这1000人答对题数的平均值（同一组数据用该组区间的中点值作为代表）．
(1)估计答对题数在内的人数（精确到整数位）；
(2)将频率视为概率，现从该中学随机抽取4名学生，记答对题数位于的人数为，求的分布列和数学期望．
附：若，则，，．
25．为了切实维护居民合法权益，提高居民识骗防骗能力，守好居民的“钱袋子”，某社区开展“全民反诈在行动——反诈骗知识竞赛”活动，现从参加该活动的居民中随机抽取了100名，统计出他们竞赛成绩分布如下：
(1)求抽取的100名居民竞赛成绩的平均分和方差（同一组中数据用该组区间的中点值为代表）；
(2)以频率估计概率，发现该社区参赛居民竞赛成绩X近似地服从正态分布，其中近似为样本成绩平均分，近似为样本成缋方差，若，参赛居民可获得“参赛纪念证书”；若，参赛居民可获得“反诈先锋证书”，
①若该社区有3000名居民参加本次竞赛活动，试估计获得“参赛纪念证书”的居民人数（结果保留整数）；
②试判断竞赛成绩为96分的居民能否获得“反诈先锋证书”．
附：若，则，，．
26．天和核心舱是我国目前研制的最大航天器，同时也是我国空间站的重要组成部分．2021年6月17日，神舟十二号载人飞船搭载着聂海胜、刘伯明和杨洪波三名宇航员升空并顺利“入住”天和核心舱．这是中国人首次进入自己的空间站，这也标志着中国载人航天事业迈入了一个新的台阶．为了能顺利的完成航天任务，挑选航天员的要求非常严格．经过统计，在挑选航天员的过程中有一项必检的身体指标服从正态分布，航天员在此项指标中的要求为．某学校共有1000名学生，为了宣传这一航天盛事，特意在本校举办了航天员的模拟选拔活动．学生首先要进行上述指标的筛查，对于符合要求的学生再进行4个环节选拔，且仅在通过一个环节后，才能进行到下一个环节的选拔．假设学生通过每个环节的概率均为，且相互独立．
(1)设学生甲通过筛查后在后续的4个环节中参与的环节数量为X，请计算X的分布列与数学期望；
(2)请估计符合该项指标的学生人数（结果取整数）．以该人数为参加航天员选拔活动的名额，请计算最终通过学校选拔的人数Y的期望值．
参考数值：，，．
27．国际上常用体重指数作为判断胖瘦的指标，体重指数是体重（单位：千克）与身高（单位：米）的平方的比值．高中学生由于学业压力，缺少体育锻炼等原因，导致体重指数偏高．某市教育局为督促各学校保证学生体育锻炼时间，减轻学生学习压力，准备对各校学生体重指数进行抽查，并制定了体重指数档次及所对应得分如下表：
某校为迎接检查，学期初通过调查统计得到该校高三学生体重指数服从正态分布，并调整教学安排，增加学生体育锻炼时间.4月中旬，教育局聘请第三方机构抽查了该校高三50名学生的体重指数，得到数据如下表：
请你从肥胖率、体重指数学生平均得分两个角度评价学校采取措施的效果
附：参考数据与公式
若，则①；②；③
28．在创建“全国文明城市”过程中，我市“创城办”为了调查市民对创城工作的了解情况，进行了一次创城知识问卷调查（一位市民只能参加一次）通过随机抽样，得到参加问卷调查的100人的得分统计结果如表所示：
（1）由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分，近似为这100人得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的左端点值作代表），
①求的值；
②利用该正态分布，求；
（2）在（1）的条件下，“创城办”为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：
①得分不低于的可以获赠2次随机话费，得分低于的可以获赠1次随机话费；
②每次获赠的随机话费和对应的概率为：
现有市民甲参加此次问卷调查，记（单位：元）为该市民参加问卷调查获赠的话费，求的分布列与数学期望．
参考数据与公式：．若，则，，.
学生
甲
乙
丙
丁
戊
己
庚
辛
壬
癸
平均值
标准差
数学成绩X/分
88
62
物理成绩Y/分
75
63
答对题数
频数
10
185
265
400
115
25
成绩（分）
人数
2
4
22
40
28
4
档次
低体重
正常
超重
肥胖
体重指数x（单位：）
学生得分
80
100
80
60
16.3
16.9
17.1
17.5
18.2
18.5
19.0
19.3
19.5
19.8
20.2
20.2
20.5
20.8
21.2
21.4
21.5
21.9
22.3
22.5
22.8
22.9
23.0
23.3
23.3
23.5
23.6
23.8
24.0
24.1
24.1
24.3
24.5
24.6
24.8
24.9
25.2
25.3
25.5
25.7
25.9
26.1
26.4
26.7
27.1
27.6
28.2
28.8
29.1
30.0
组别
[30，40)
[40，50)
[50，60)
[60，70)
[70，80)
[80，90)
[90，100]
频数
2
13
21
25
24
11
4
赠送话费的金额（单位：元）
20
50
概率
1．如果正态总体的数据落在内的概率和落在内的概率相等，那么这个正态总体的数学期望是（ ）．
A．0B．1C．2D．3
2．若随机变量，且，则等于（ ）．
A．0.1587B．0.3413C．0.6827D．0.8413
3．某工厂有甲乙两条生产线生产同一型号的机械零件，产品的尺寸分别记为X，Y，已知X，Y均服从正态分布，，，其正态分布密度曲线如图所示，则下列结论中正确的是（ ）
A．甲生产线产品的稳定性高于乙生产线产品的稳定性
B．甲生产线产品的稳定性低于乙生产线产品的稳定性
C．甲生产线的产品尺寸平均值大于乙生产线的产品尺寸平均值
D．甲生产线的产品尺寸平均值小于乙生产线的产品尺寸平均值
4．设随机变量的正态分布密度函数为，，则参数，的值分别是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
5．某中学高三（1）班有50名学生，在一次高三模拟考试中，经统计得：数学成绩，则估计该班数学得分大于120分的学生人数为（ ）（参考数据：）
A．16B．10C．8D．2
6．某中学高三年级一次月考的语文考试成绩（单位：分）近似服从正态分布，统计结果显示语文成绩优秀（大于或等于120分为优秀）的人数占总人数的.已知高三年级学生的总人数为1200，则此次语文考试成绩在90分到105分之间的人数约为（ ）
A．150B．350C．400·D．450
7．已知三个随机变量的正态密度函数（，）的图象如图所示，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
8．在教学调查中，甲、乙、丙三个班的数学测试成绩分布如图，假设三个班的平均分都是75分，s1，s2，s3分别表示甲、乙、丙三个班数学测试成绩的标准差，则有（ ）
A．s3>s1>s2B．s2>s1>s3C．s1>s2>s3D．s3>s2>s1
9．王老师为了了解全班50位同学某次考试的成绩状况，随机抽查了10位同学该次考试的数学与物理成绩，列表如下：
若这10位同学的成绩能反映全班的成绩状况，且全班成绩服从正态分布，用实线表示全班数学成绩的正态曲线，虚线表示全班物理成绩的正态曲线，则随机变量与的正态曲线可能是（ ）A．B．
C．D．
10．下列是关于正态曲线性质的说法：
①曲线关于直线对称，且恒位于轴上方；
②曲线关于直线对称，且仅当时才位于轴上方；
③曲线对应的正态密度函数是一个偶函数，因此曲线关于轴对称；
④曲线在处位于最高点，由这一点向左、右两边延伸时，曲线逐渐降低；
⑤曲线的位置由确定，曲线的形状由确定.
其中说法正确的是（ ）
A．①④⑤B．②④⑤C．③④⑤D．①⑤
11．某批零件的尺寸X服从正态分布，且满足，零件的尺寸与10的误差不超过1即合格，从这批产品中抽取n件，若要保证抽取的合格零件不少于2件的概率不低于，则n的最小值为（ ）
A．7B．6C．5D．4
12．正态分布是最重要的一种概率分布，它是由德国的数学家、天文学家Mivre于1733年提出，但由于德国数学家Gauss率先应用于天文学研究，故正态分布又称为高斯分布，记作．当，的正态分布称为标准正态分布，如果令，则可以证明，即任意的正态分布可以通过变换转化为标准正态分布．如果那么对任意的a，通常记，也就是说，表示对应的正态曲线与x轴在区间内所围的面积．某校高三年级800名学生，期中考试数学成绩近似服从正态分布，高三年级数学成绩平均分100，方差为36，，那么成绩落在的人数大约为（ ）
A．756B．748C．782D．764
二、多选题
13．下列说法正确的是（ ）
A．正态曲线中参数，的意义分别是样本的均值与方差
B．正态曲线是单峰的，其与x轴围成的面积是随参数，的变化而变化的
C．正态曲线可以关于y轴对称
D．若，则
14．若，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．
C．不随的变化而变化
D．随的变化而变化
15．某次测试,经统计发现测试成绩服从正态分布,函数的图象为其正态密度曲线,则( )
A．这次测试的平均成绩为90
B．这次测试的成绩的方差为10
C．分数在110分以上的人数与分数在80分以下的人数相同
D．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数大致相同
16．已知两种不同型号的电子元件的使用寿命（分别记为，）均服从正态分布，，，这两个正态分布密度曲线如图所示，则下列选项正确的是（ ）
参考数据: 若 , 则
，
A．
B．对于任意的正数，有
C．
D．
三、填空题
17．已知随机变量，，且，，则_________.
18．已知一试验田种植的某种作物一株生长果实的个数x服从正态分布，且，从试验田中随机抽取10株，果实个数在的株数记作随机变量X，且X服从二项分布，则X的方差为_________．
19．某批零件的尺寸X服从正态分布，且满足，零件的尺寸与10的误差不超过1即合格，从这批产品中抽取n件，若要保证抽取的合格零件不少于2件的概率不低于0.9，则n的最小值为__________．
20．设随机变量服从正态分布，则下列结论正确的是______.（填序号）
①；
②；
③；
④.
四、解答题
21．已知随机变量，且正态分布密度函数在上是严格增函数，在上是严格减函数，．
(1)求参数、的值；
(2)求．（结果精确到0.01%）
22．在某次数学考试中，考生的成绩X近似服从正态分布N（90，100）．
(1)求考试成绩X位于区间（70，110）内的概率；
(2)若这次考试共有20000名考生，估计考试成绩在（80，100）之间的考生人数．
注：，，．
23．某地区名高三学生在某次模拟考试中的总分服从正态分布.
(1)求；
(2)试估计该地区名高三学生中，总分落在区间的人数.
参考数据：，，.
24．某中学在全校进行了一次爱国主义知识竞赛，共1000名学生参加，答对题数（共60题）分布如下表所示：
答对题数近似服从正态分布，为这1000人答对题数的平均值（同一组数据用该组区间的中点值作为代表）．
(1)估计答对题数在内的人数（精确到整数位）；
(2)将频率视为概率，现从该中学随机抽取4名学生，记答对题数位于的人数为，求的分布列和数学期望．
附：若，则，，．
25．为了切实维护居民合法权益，提高居民识骗防骗能力，守好居民的“钱袋子”，某社区开展“全民反诈在行动——反诈骗知识竞赛”活动，现从参加该活动的居民中随机抽取了100名，统计出他们竞赛成绩分布如下：
(1)求抽取的100名居民竞赛成绩的平均分和方差（同一组中数据用该组区间的中点值为代表）；
(2)以频率估计概率，发现该社区参赛居民竞赛成绩X近似地服从正态分布，其中近似为样本成绩平均分，近似为样本成缋方差，若，参赛居民可获得“参赛纪念证书”；若，参赛居民可获得“反诈先锋证书”，
①若该社区有3000名居民参加本次竞赛活动，试估计获得“参赛纪念证书”的居民人数（结果保留整数）；
②试判断竞赛成绩为96分的居民能否获得“反诈先锋证书”．
附：若，则，，．
26．天和核心舱是我国目前研制的最大航天器，同时也是我国空间站的重要组成部分．2021年6月17日，神舟十二号载人飞船搭载着聂海胜、刘伯明和杨洪波三名宇航员升空并顺利“入住”天和核心舱．这是中国人首次进入自己的空间站，这也标志着中国载人航天事业迈入了一个新的台阶．为了能顺利的完成航天任务，挑选航天员的要求非常严格．经过统计，在挑选航天员的过程中有一项必检的身体指标服从正态分布，航天员在此项指标中的要求为．某学校共有1000名学生，为了宣传这一航天盛事，特意在本校举办了航天员的模拟选拔活动．学生首先要进行上述指标的筛查，对于符合要求的学生再进行4个环节选拔，且仅在通过一个环节后，才能进行到下一个环节的选拔．假设学生通过每个环节的概率均为，且相互独立．
(1)设学生甲通过筛查后在后续的4个环节中参与的环节数量为X，请计算X的分布列与数学期望；
(2)请估计符合该项指标的学生人数（结果取整数）．以该人数为参加航天员选拔活动的名额，请计算最终通过学校选拔的人数Y的期望值．
参考数值：，，．
27．国际上常用体重指数作为判断胖瘦的指标，体重指数是体重（单位：千克）与身高（单位：米）的平方的比值．高中学生由于学业压力，缺少体育锻炼等原因，导致体重指数偏高．某市教育局为督促各学校保证学生体育锻炼时间，减轻学生学习压力，准备对各校学生体重指数进行抽查，并制定了体重指数档次及所对应得分如下表：
某校为迎接检查，学期初通过调查统计得到该校高三学生体重指数服从正态分布，并调整教学安排，增加学生体育锻炼时间.4月中旬，教育局聘请第三方机构抽查了该校高三50名学生的体重指数，得到数据如下表：
请你从肥胖率、体重指数学生平均得分两个角度评价学校采取措施的效果
附：参考数据与公式
若，则①；②；③
28．在创建“全国文明城市”过程中，我市“创城办”为了调查市民对创城工作的了解情况，进行了一次创城知识问卷调查（一位市民只能参加一次）通过随机抽样，得到参加问卷调查的100人的得分统计结果如表所示：
（1）由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分，近似为这100人得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的左端点值作代表），
①求的值；
②利用该正态分布，求；
（2）在（1）的条件下，“创城办”为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：
①得分不低于的可以获赠2次随机话费，得分低于的可以获赠1次随机话费；
②每次获赠的随机话费和对应的概率为：
现有市民甲参加此次问卷调查，记（单位：元）为该市民参加问卷调查获赠的话费，求的分布列与数学期望．
参考数据与公式：．若，则，，.
学生
甲
乙
丙
丁
戊
己
庚
辛
壬
癸
平均值
标准差
数学成绩X/分
88
62
物理成绩Y/分
75
63
答对题数
频数
10
185
265
400
115
25
成绩（分）
人数
2
4
22
40
28
4
档次
低体重
正常
超重
肥胖
体重指数x（单位：）
学生得分
80
100
80
60
16.3
16.9
17.1
17.5
18.2
18.5
19.0
19.3
19.5
19.8
20.2
20.2
20.5
20.8
21.2
21.4
21.5
21.9
22.3
22.5
22.8
22.9
23.0
23.3
23.3
23.5
23.6
23.8
24.0
24.1
24.1
24.3
24.5
24.6
24.8
24.9
25.2
25.3
25.5
25.7
25.9
26.1
26.4
26.7
27.1
27.6
28.2
28.8
29.1
30.0
组别
[30，40)
[40，50)
[50，60)
[60，70)
[70，80)
[80，90)
[90，100]
频数
2
13
21
25
24
11
4
赠送话费的金额（单位：元）
20
50
概率
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