苏教版 (2019)必修 第二册第10章 三角恒等变换10.3 几个三角恒等式精品习题

这是一份苏教版 (2019)必修 第二册第10章 三角恒等变换10.3 几个三角恒等式精品习题，文件包含103几个三角恒等式五大题型练习原卷高中数学苏教版必修二docx、103几个三角恒等式五大题型练习解析卷高中数学苏教版必修二docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共37页， 欢迎下载使用。


知识点01 半角公式
，
以上三个公式分别称作半角正弦、余弦、正切公式，它们是用无理式表示的．
以上两个公式称作半角正切的有理式表示．
【即学即练1】（2024·高一课时练习）已知，，，均为锐角，则=（ ）
A．B．
C．D．
知识点02 积化和差公式
知识点诠释：
规律1：公式右边中括号前的系数都有．
规律2：中括号中前后两项的角分别为和．
规律3：每个式子的右边分别是这两个角的同名函数．
【即学即练2】（2024·上海·高一假期作业）在中，若，则是 三角形；
知识点03 和差化积公式
知识点诠释：
规律1：在所有的公式中，右边积的系数中都有2．
规律2：在所有的公式中，左边都是角与的弦函数相加减，右边都是与的弦函数相乘．
规律3：在第三个公式中，左边是两个余弦相加，右边是两个余弦相乘，于是得出“扣（cs）加扣等于俩扣”；而第四个公式中，左边是两个余弦相减，右边没有余弦相乘，于是得出“扣减扣等于没扣”．
规律4：两角正弦相加减时，得到的都是正弦、余弦相乘．
注意
1、公式中的“和差”与“积”，都是指三角函数间的关系，并不是指角的关系．
2、只有系数绝对值相同的同名三角函数的和与差，才能直接应用公式化成积的形式．如就不能直接化积，应先化成同名三角函数后，再用公式化成积的形式．
3、三角函数的和差化积，常因采用的途径不同，而导致结果在形式上有所差异，但只要没有运算错误，其结果实质上是一样的．
4、为了能把三角函数的和差化成积的形式，有时需要把某些特殊数值当作三角函数值，如．
5、三角函数式和差化积的结果应是几个三角函数式的最简形式．
【即学即练3】（2024·全国·高一随堂练习）把下列各式化成积的形式：
(1)；
(2)；
(3)．
题型一：积化和差公式的应用
【例1】（2024·高一课时练习）= .
【变式1-1】（2024·高一课时练习） 化为和差的结果是 .
【变式1-2】（2024·高一课时练习）求值： ．
【变式1-3】（2024·全国·高一专题练习）已知 为锐角，且，那么 的取值范围是 ．
【变式1-4】（2024·高一课时练习）求值：.
【方法技巧与总结】
在运用积化和差公式时，如果形式为异名函数积时，化得的结果应为与的和或差；如果形式为同名函数积时，化得的结果应为与的和或差．
题型二：和差化积公式的应用
【例2】（2024·高一课时练习）求值: .
【变式2-1】（2024·高一课时练习）若，，求的值.
【变式2-2】（2024·高一课时练习）利用和差化积公式，求下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3)．
【变式2-3】（2024·高一课时练习）把下列各式化成积的形式：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【方法技巧与总结】
和差化积公式应用时要注意只有系数的绝对值相同的各函数的和与差才能直接运用推论化成积的形式．
题型三：应用半角公式求值
【例3】（2024·高一课时练习）设，，则等于（ ）
A．B．
C．D．
【变式3-1】（2024·全国·高一专题练习）已知是锐角，，则（ ）
A．B．C．D．
【变式3-2】（2024·高一课时练习）若，且为第一象限角，则（ ）
A．B．C．D．
【变式3-3】（2024·全国·高一专题练习）已知为锐角，，则（ ）．
A．B．C．D．
【方法技巧与总结】
利用半角公式求值的思路
（1）看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解．
（2）明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围．
（3）选公式：涉及半角公式的正切值时，常用，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正弦、余弦值时，常先利用，计算．
（4）下结论：结合（2）求值．
题型四：三角函数式的化简
【例4】（2024·高一课时练习）若，则化简的结果是（ ）
A．B．C．D．
【变式4-1】（2024·高一课时练习）化简的结果应为
A．B．C．D．
【变式4-2】（2024·全国·高一课堂例题）化简：
(1)；
(2)；
(3)．
【变式4-3】（2024·全国·高一课堂例题）化简：
(1)；
(2)，其中．
【变式4-4】（2024·陕西西安·高一校考期末）（1）化简：；
（2）求值：．
【变式4-5】（2024·高一课时练习）化简下列各式.
(1);
(2);
(3)
【方法技巧与总结】
三角函数式化简的要求、思路和方法
（1）化简的要求：①能求出值的应求出值．②尽量使三角函数种数最少．③尽量使项数最少．④尽量使分母不含三角函数．⑤尽量使被开方数不含三角函数．
（2）化简的思路：对于和式，基本思路是降次、消项和逆用公式；对于三角分式，基本思路是分子与分母约分或逆用公式；对于二次根式，注意二倍角公式的逆用．另外，还可以用切化弦、变量代换、角度归一等方法．
题型五：恒等式的证明
【例5】（2024·高一课时练习）证明：．
【变式5-1】；
【变式5-2】；
【变式5-3】．
【变式5-4】（2024·高一课时练习）证明：（1）；
（2）．
【变式5-5】（2024·高一课时练习）证明下列恒等式
（1）；
（2）.
【变式5-6】（2024·高一课时练习）证明下列恒等式．
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【方法技巧与总结】
三角恒等式证明的常用方法
（1）执因索果法：证明的形式一般是化繁为简．
（2）左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子．
（3）拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同．
（4）比较法：设法证明“左边－右边＝0”或“eq \f(左边,右边)＝1”．
（5）分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直到获得已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立．
一、单选题
1．（2024·高一课时练习）若，，则的值为（ ）
A．2B．C．－2D．
2．（2024·高一课时练习）若，则的最大值是（ ）
A．1B．C．D．
3．（2024·高一课时练习）若，则等于（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·高一课时练习）（ ）
A． B．
C．D．
5．（2024·全国·高一课堂例题）已知，，则（ ）（是的半角）
A．B．C．D．
6．（2024·甘肃张掖·高一高台县第一中学校考期末）函数以2为最小正周期，且能在时取得最大值，则的一个值是（ ）
A．B．C．D．
7．（2024·上海杨浦·高一复旦附中校考阶段练习）设，，，以下各式不等于的是（ ）
A．B．C．D．
8．（2024·重庆沙坪坝·高一重庆八中校考期末）若，是第二象限角，则（ ）
A．B．3C．5D．
二、多选题
9．（2024·高一课时练习）tan（ ）
A．B．C．D．
10．（2024·江西·高一校联考期末）下列式子的值为的是（ ）
A．B．
C．D．
11．（2024·高一课时练习）（多选）下列等式中错误的是（ ）
A．B．
C．D．
12．（2024·高一单元测试）已知，，其中，为锐角，以下判断正确的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
13．（2024·高一课时练习） ．
14．（2024·高一单元测试），则 .
15．（2024·高一课时练习）若，且，则 ； .
16．（2024·上海黄浦·高一校考期末）已知：，，则 .
四、解答题
17．（2024·全国·高一随堂练习）已知，角的终边在第一象限，求的值．
18．（2024·高一课时练习）在△ABC中，若，，求，，的值.
19．（2024·四川成都·高一川大附中校考期末）已知，，，.
(1)求的值：
(2)求的值．
20．（2024·高一课时练习）求证：
(1)；
(2).
21．（2024·江苏南京·高一南京师大附中校考期末）（1）证明：；
（2）若，，其中实数，不全为零.
①求；②求.
课程标准
学习目标
（1）理解积化和差、和差化积、半角公式的推导过程.
（2）掌握积化和差、和差化积、半角公式的结构特征.
（1）能利用所学三角公式进行三角恒等变换．