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苏教版 (2019)必修 第二册第11章 解三角形11.1 余弦定理优秀巩固练习
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知识点01 余弦定理
三角形任意一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．即：
余弦定理的变形公式：
【即学即练1】（2024·湖南长沙·高一长沙一中校考期末）在中，，，，则最长边（ ）
A．B．C．或D．
【答案】B
【解析】在中，，，，
由余弦定理得，，
化简得，解得或，
因为是最长的边，所以，
故选：B
知识点02 利用余弦定理解三角形
利用余弦定理可以解决下列两类三角形的问题：
①已知三角形的两条边及夹角，求第三条边及其他两个角；
②已知三角形的三条边，求其三个角．
知识点诠释：在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的观点，可以知三求一．
【即学即练2】根据下列条件解三角形（边长精确到0.01，角度精确到0.1°，）：
(1)已知，，，求a；
(2)已知，，，求．
【解析】（1）由余弦定理，得，
所以．
（2）由余弦定理，得，
所以．
知识点03 解三角形
我们把三角形的三个角和三条边叫作三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫作解三角形．
【即学即练3】（1）在△ABC中，已知a=2，b=2，c=，求A，B，C；
（2）在△ABC中，已知a=8，B=60°，c=4(+1)，解此三角形.
【解析】（1）由余弦定理的推论，得：
，又，
=60°.
，又，
B=45°.
∴；
（2）由余弦定理，得
又，
A=45°，
∴．
题型一：已知两边及一角解三角形
【典例1-1】（2024·全国·高一随堂练习）在中，角的对边分别是，已知，，，则等于（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】B
【解析】由余弦定理，
将，，，代入得，
则有，且，解得．
故选：B．
【典例1-2】（2024·江西萍乡·高一统考期末）设内角，，所对的边分别为，，，若，，，则边（ ）
A．1B．2C．1或2D．
【答案】C
【解析】在中，由余弦定理得：
整理得，，解得：或．
检验或满足题意，
故选：C．
【变式1-1】（2024·宁夏石嘴山·高一石嘴山市第三中学校考期末）在中，角，，所对的边分别为，，，若，且，，求的值（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】A
【解析】，
即，解得，负值舍去．
故选：A
【变式1-2】（2024·浙江嘉兴·高一校联考期末）在中，若，，，则（ ）
A．6B．5C．4D．3
【答案】C
【解析】中，若，，，由余弦定理，
，则．
故选：C
【变式1-3】（2024·全国·高一假期作业）在中，内角的对边分别为．若，，且则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为，，且
由余弦定理知，
，
解得，
故选：
【方法技巧与总结】
已知三角形的两边及一角解三角形的方法
已知三角形的两边及一角解三角形，必须先判断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边的夹角．若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；若是给出两边中一边的对角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边．
题型二：已知三边解三角形
【典例2-1】（2024·全国·高一假期作业）在中角A、B、C所对边a、b、c满足，，，则（ ）．
A．4B．5C．6D．6或
【答案】C
【解析】由得，即，
又，，故，（舍），
故选：C
【典例2-2】（2024·江西宜春·高一统考期末）在中，分别是，，的对边．若，且，则的大小是
（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为，且，
所以，
所以 ，
因为 ，所以 ，
故选：A
【变式2-1】（2024·全国·高一随堂练习）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，则角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，
所以，
又，
所以．
故选：B
【变式2-2】（2024·上海徐汇·高一位育中学校考期末）在钝角中，角所对的边分别为，若，则最大边的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为是钝角三角形，，且是最大边，
由余弦定理可得，于是可得，且，解得，
又，所以边的取值范围是．
故选：D
【变式2-3】（2024·吉林通化·高一校考阶段练习）在中，已知，则角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由及余弦定理的推论，得，
因为，
所以．
故选：B．
【变式2-4】（2024·河北邢台·高一统考期末）在中，，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由余弦定理得．
故选：A
【方法技巧与总结】
已知三角形的三边解三角形的方法
利用余弦定理求出三个角的余弦值，进而求出三个角．
题型三：利用余弦定理判断三角形的形状
【典例3-1】（2024·河南郑州·高一中牟县第一高级中学校考阶段练习）在中，角的对边分别为，若，则的形状为（ ）
A．直角三角形B．等腰直角三角形C．等边三角形D．钝角三角形
【答案】A
【解析】由，得，
化简得，
所以由余弦定理得，
因为，所以，
所以，令，则
，得，得，
所以，
所以为直角三角形，
故选：A
【典例3-2】（2024·全国·高一假期作业）在中，内角的对边分别为.若，则的形状为（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．钝角三角形
【答案】B
【解析】根据余弦定理知，
，
所以，则,
故三角形为直角三角形，
故选：
【变式3-1】（2024·北京·高一东直门中学校考期末）中，，，分别是内角，，的对边，若且，则的形状是（ ）
A．底角是的等腰三角形B．等边三角形
C．三边均不相等的直角三角形D．等腰直角三角形
【答案】A
【解析】在，上分别取，，使，，
以，为邻边作平行四边形，则四边形为菱形，连接，，
则平分，
，，
，，，
又，，且，
，即，
，
由余弦定理得，，
，，
是底角是的等腰三角形．
故选：A．
【变式3-2】（2024·广西钦州·高一浦北中学校考阶段练习）在中，角对边为，且，则的形状为（ ）
A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形
【答案】B
【解析】因为，
所以，即，
所以，
在中，由余弦定理：，
代入得，，即，
所以.
所以直角三角形.
故选：B
【变式3-3】（2024·江苏常州·高一校联考期末）在中，，，，则的形状是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法判断
【答案】C
【解析】在中,由余弦定理以及，，可知:,故为钝角，因此是钝角三角形
故选：C
【变式3-4】（2024·全国·高一专题练习）在中，分别为角的对边，且满足，则的形状为（ ）
A．直角三角形B．等边三角形
C．直角三角形或等腰三角形D．等腰直角三角形
【答案】A
【解析】由题知，，
所以，
所以，得，
所以，得，
所以的形状为直角三角形，
故选：A
【方法技巧与总结】
（1）利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，需要从“统一”入手，即使用转化思想解决问题，一般有两条思考路线
①先化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系．
②先化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间的数量关系．
（2）判断三角形的形状时，经常用到以下结论
①为直角三角形或或．
②为锐角三角形，且，且．
③为钝角三角形或或．
④若，则或．
题型四：余弦定理在实际问题中的应用
【典例4-1】（2024·天津西青·高一天津市西青区杨柳青第一中学校考期末）《九章算术》是中国古代一部数学专著，其中的“邪田”为直角梯形，上、下底称为“畔”，高称为“正广”，非高腰边称为“邪”．如图所示，邪长为，东畔长为，在A处测得C，D两点处的俯角分别为49°和19°，则正广长约为（注：）（ ）
A．6.6B．3.3C．4D．7
【答案】A
【解析】由题意知：，
在中，由余弦定理可得：，
代入得：，即，
因为，故，
故.
故选：A.
【典例4-2】（2024·河南商丘·高一商丘市实验中学校联考阶段练习）位于灯塔处正西方向相距海里的处有一艘甲船燃油耗尽，需要海上加油．位于灯塔处北偏东30°方向有一艘乙船（在处），乙船与甲船（在处）相距海里，乙船为了尽快给甲船进行海上加油，则乙船航行的最佳方向是（ ）
A．西偏南15°B．西偏南30°
C．南偏西45°D．南偏西65°
【答案】A
【解析】如图，
，由正弦定理得，
解得．因为，所以，因为，
所以乙船航行的最佳方向为西偏南.
故选：A.
【变式4-1】（2024·河南周口·高一校考阶段练习）两游艇自某地同时出发，一艇以的速度向正北方向行驶，另一艇以的速度向北偏东（）角的方向行驶.若经过，两艇相距，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】如图，设点为出发点，点为的船后到达的点，点为的船后到达的点，
则，
则，
又因，所以.
故选：C.
【变式4-2】（2024·江苏盐城·高一校考阶段练习）《墨经·经说下》中有这样一段记载：“光之人，煦若射，下者之人也高，高者之人也下，足蔽下光，故成景于上；首蔽上光，故成影于下.在远近有端，与于光，故景库内也.”这是中国古代对小孔成像现象的第一次描述.如图为一次小孔成像实验，若物距：像距，则像高为 .
【答案】/1.5
【解析】由 ，则，
又，
则,
即，
又物距∶像距，
则，即像高为，
故答案为：．
【变式4-3】（2024·全国·高一专题练习）我国古代数学著作《九章算术》中用“圭田”一词代指等腰三角形田地，若一“圭田”的腰长为4，顶角的余弦值为，则该“圭田”的底边长为 ．
【答案】
【解析】设“圭田”的底边长为，则
由余弦定理可得，
解得，
即该“圭田”的底边长为.
故答案为：.
【变式4-4】（2024·全国·高一专题练习）为提高执法效能，国家决定组建国家海洋局，国家海洋局以中国海警局名义开展海上维权执法.某海警船从海岛出发，沿南偏东的方向航行40海里后到达海岛，然后再从海岛出发，沿北偏东的方向航行了海里到达海岛.如果海警船直接从海岛出发到海岛，则航行的路程为 海里.
【答案】
【解析】根据题意作出图形，
由图得，海里，海里，
根据余弦定理得，代入数据得
即，解得，则航行的路程为海里.
故答案为：.
【变式4-5】（2024·高一课时练习）如图，某住宅小区的平面呈扇形AOC，小区的两个出入口设置在点A和点C处，小区里有两条笔直的小路AD，DC，且拐弯处的转角为120°.已知某人从C沿CD走到D用了10分钟，从D沿DA走到A用了6分钟，若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径OA的长约为 米.（结果保留整数）
【答案】445
【解析】设该扇形的半径为r米，由题意，得米，米，.
在△CDO中，由余弦定理得，即，解得.
故扇形的半径OA的长约为445米.
故答案为：445.
【变式4-6】（2024·广东佛山·高一统考竞赛）在一个圆心角为，半径为1米的扇形铁板中按如图方式截出一块矩形，则该矩形的面积的最大值为 平方米.
【答案】
【解析】设，则，连接，
于是在中，由余弦定理，
从而，当且仅当，即时取等号.
所以该矩形面积的最大值为平方米.
故答案为：.
【方法技巧与总结】
解决实际问题其实只比解三角形多一步，即把实际问题中涉及的量纳入到图形中．这一过程中要特别注意准确理解和翻译相关术语．
题型五：利用余弦定理求最值
【典例5-1】（2024·全国·高一随堂练习）在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，，则的最大值为 ．
【答案】/
【解析】由题意，
, 所以消去 得
，
由, 得 ，当且仅当时等号成立，
∴，
∴原式
故答案为：.
【典例5-2】（2024·四川成都·高一石室中学校考期末）在平面四边形中，，，，则的最大值为 .
【答案】
【解析】设，，则，代入数据得，
，，
在中运用余弦定理得，
即
，，
所以当，即时，的最大值为3，则的最大值为.
故答案为：.
【变式5-1】（2024·江苏淮安·高一统考期末）在中，点是边BC的中点，，，则的最大值为 ．
【答案】
【解析】因为，所以，
设，
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
所以，
当且仅当，即时等号成立.
故答案为：
【变式5-2】（2024·福建南平·高一统考期末）在中，点D在边BC上，，，．当取得最小值时， .
【答案】
【解析】设，
则在中，，
在中，，
所以，
当且仅当即时，等号成立，
所以当取最小值时，.
故答案为：.
【变式5-3】（2024·上海杨浦·高一复旦附中校考期末）在△ABC中，边a，b，c满足，，则边c的最小值为 .
【答案】
【解析】由余弦定理可得
当且仅当时，即取等号，所以.
故答案为：.
【变式5-4】（2024·山东淄博·高一山东省淄博实验中学校考期末）已知在中，AD为BC边上的中线，且，，则的最小值为 ．
【答案】/0.6
【解析】依题意，，，如图，
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
而，即，
两式相加得，于是，当且仅当时取等号，
在中，，
所以的最小值为.
故答案为：
一、单选题
1．（2024·四川资阳·高一四川省安岳中学校考阶段练习）设是钝角三角形的三边长，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由于是钝角三角形的三边长，
所以，且，所以.
设最长边对的角为，
则，
解得.
故选：B
2．（2024·河南驻马店·高一校联考期末）在中，若，则角的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，由余弦定理可得，
因为，所以.
故选：C.
3．（2024·吉林通化·高一校考阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则角B的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题知，，
在中，
，
当且仅当时取等号，
又不是三角形的最大边，所以为锐角，
所以的取值范围是.
故选：B.
4．（2024·高一校考单元测试）在中，内角、、所对的边分别为、、，若、、，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，
又因为，
则，
故选：C
5．（2024·高一单元测试）中，，且，，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为，由余弦定理得，所以，
又因为，且，可得，解得，
所以的面积为.
故选：A.
6．（2024·四川凉山·高一统考期末）在中，角，，的对边分别是，，，若，，，则（ ）
A．2B．2或6C．6D．
【答案】C
【解析】在中，，，，由余弦定理得，
得，即，而，解得，
所以.
故选：C
7．（2024·河南洛阳·高一栾川县第一高级中学校考阶段练习）如图，是等腰直角斜边的三等分点，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意及图形：设三角形的直角边为3，则斜边为，又由于为三等分点，
所以，又，
在中有余弦定理得：，
在中，利用余弦定理得：，
在中利用同角间的三角函数关系可知：．
故选：D.
8．（2024·安徽滁州·高一校考阶段练习）若钝角的内角，，满足，且最大边长与最小边长的比值为，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设三角形的三边从小到大依次为，，，
因为，则，故可得，
根据余弦定理得：，于是，
因为为钝角三角形，故，于是，即，
则，即.
故选：B.
二、多选题
9．（2024·山西朔州·高一校考阶段练习）在中，已知，且，则的值为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】BD
【解析】由，得，，又，
利用余弦定理可得，即，
整理得，解得或．
故选：BD
10．（2024·广东东莞·高一统考期末）在中，，，，则可能的取值有（ ）
A．B．2C．3D．4
【答案】BD
【解析】在中，，，，
则由余弦定理得，
，整理得，
解得或，
故选：BD
11．（2024·江苏南京·高一南京市宁海中学校联考期末）在中，角所对的边分别为，且，则下列关系可能成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【解析】因为，，将代入，
得到，所以，故，，
故选：ACD.
三、填空题
12．（2024·广东东莞·高一东莞实验中学校考期末）在中，角对应的边分别为，则
【答案】
【解析】因为，
由余弦定理可得，
解得或（舍）.
故答案为：.
13．（2024·黑龙江绥化·高一校考阶段练习）如图所示，点A是等边外一点，且，，，则的周长为 ．
【答案】/
【解析】在中，由余弦定理可知，
整理可得，解得，所以，
又是等边三角形，所以，，
由勾股定理可得，，所以的周长为．
故答案为：.
14．（2024·全国·高一随堂练习）如图为一角槽示意图，已知，，并量得mm，mm，mm，则 ， ．（精确到0.1°）
【答案】 ; 67.7°
【解析】在中由余弦定理可得：
,
又因为 所以
,,
故答案为：;.
四、解答题
15．（2024·全国·高一随堂练习）在长江某渡口处，江水以5km/h的速度向东流．一渡船从长江南岸的A码头出发，预定要在0.1h后到达北岸的B码头（如图）．设为正北方向，已知B码头在A码头北偏东的方向上，并与A码头相距1.2km．该渡船应按什么方向航行？速度是多少（角度精确到，速度确到0.1km/h）？
【解析】如图所示，船按方向开出，方向为水流方向，
以AC为边，AB为对角线作，其中，．
在中，由余弦定理，得
，
所以．
因此，船的航行速度为．
在中，由余弦定理，得
，
所以．
因此．
即渡船应按北偏西的方向，并以11.7km/h的速度航行．
16．（2024·全国·高一随堂练习）在中，．
(1)求的值；
(2)若，求的最大值．
【解析】（1）
；
（2）根据余弦定理,
即，
得，当且仅当时等号成立，
所以的最大值为.
17．（2024·全国·高一专题练习）的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且A＝，若，试问能否成立？若能成立，求此时的周长；若不能成立，请说明理由.
【解析】假设成立，则有，
在中，由余弦定理得：，即，整理得，
即，，因此，
显然是方程的两个根，而，即方程无实根，
所以不成立.
18．（2024·黑龙江哈尔滨·高一校考期末）在中，内角所对的边分别为，，，已知.
(1)若，，求的值；
(2)若，判断的形状.
【解析】（1）在中，，，，由余弦定理得：
，
所以.
（2）在中，，而，则，
由及余弦定理得：，整理得，则，
所以为正三角形.
19．（2024·全国·高一随堂练习）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
(1)若，求A；
(2)若，求证：.
【解析】（1）因为，
所以由余弦定理得，
所以，得，
因为，所以，得，
所以由余弦定理得，
因为，所以；
（2）证明：因为，所以，
化简整理得，
，解得或（舍去），
所以由余弦定理得，所以，
因为，
所以由余弦定理得，
整理得，
所以，
所以，得，
所以.
课程标准
学习目标
（1）学生能用向量等知识证明余弦定理．
（2）能初步运用余弦定理及其推论解三角形，能解决三角形的计算问题．
（3）提高运用所学知识解决实际问题的能力，会从数学角度对某些日常生活中和其他学科中出现的问题进行研究探索．
（1）掌握余弦定理的表示形式及推论、证明方法．
（2）会运用余弦定理解决基本的解三角形问题．
（3）能用余弦定理解决简单的实际问题．
知识点01 余弦定理
三角形任意一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．即：
余弦定理的变形公式：
【即学即练1】（2024·湖南长沙·高一长沙一中校考期末）在中，，，，则最长边（ ）
A．B．C．或D．
【答案】B
【解析】在中，，，，
由余弦定理得，，
化简得，解得或，
因为是最长的边，所以，
故选：B
知识点02 利用余弦定理解三角形
利用余弦定理可以解决下列两类三角形的问题：
①已知三角形的两条边及夹角，求第三条边及其他两个角；
②已知三角形的三条边，求其三个角．
知识点诠释：在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的观点，可以知三求一．
【即学即练2】根据下列条件解三角形（边长精确到0.01，角度精确到0.1°，）：
(1)已知，，，求a；
(2)已知，，，求．
【解析】（1）由余弦定理，得，
所以．
（2）由余弦定理，得，
所以．
知识点03 解三角形
我们把三角形的三个角和三条边叫作三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫作解三角形．
【即学即练3】（1）在△ABC中，已知a=2，b=2，c=，求A，B，C；
（2）在△ABC中，已知a=8，B=60°，c=4(+1)，解此三角形.
【解析】（1）由余弦定理的推论，得：
，又，
=60°.
，又，
B=45°.
∴；
（2）由余弦定理，得
又，
A=45°，
∴．
题型一：已知两边及一角解三角形
【典例1-1】（2024·全国·高一随堂练习）在中，角的对边分别是，已知，，，则等于（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】B
【解析】由余弦定理，
将，，，代入得，
则有，且，解得．
故选：B．
【典例1-2】（2024·江西萍乡·高一统考期末）设内角，，所对的边分别为，，，若，，，则边（ ）
A．1B．2C．1或2D．
【答案】C
【解析】在中，由余弦定理得：
整理得，，解得：或．
检验或满足题意，
故选：C．
【变式1-1】（2024·宁夏石嘴山·高一石嘴山市第三中学校考期末）在中，角，，所对的边分别为，，，若，且，，求的值（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】A
【解析】，
即，解得，负值舍去．
故选：A
【变式1-2】（2024·浙江嘉兴·高一校联考期末）在中，若，，，则（ ）
A．6B．5C．4D．3
【答案】C
【解析】中，若，，，由余弦定理，
，则．
故选：C
【变式1-3】（2024·全国·高一假期作业）在中，内角的对边分别为．若，，且则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为，，且
由余弦定理知，
，
解得，
故选：
【方法技巧与总结】
已知三角形的两边及一角解三角形的方法
已知三角形的两边及一角解三角形，必须先判断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边的夹角．若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；若是给出两边中一边的对角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边．
题型二：已知三边解三角形
【典例2-1】（2024·全国·高一假期作业）在中角A、B、C所对边a、b、c满足，，，则（ ）．
A．4B．5C．6D．6或
【答案】C
【解析】由得，即，
又，，故，（舍），
故选：C
【典例2-2】（2024·江西宜春·高一统考期末）在中，分别是，，的对边．若，且，则的大小是
（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为，且，
所以，
所以 ，
因为 ，所以 ，
故选：A
【变式2-1】（2024·全国·高一随堂练习）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，则角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，
所以，
又，
所以．
故选：B
【变式2-2】（2024·上海徐汇·高一位育中学校考期末）在钝角中，角所对的边分别为，若，则最大边的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为是钝角三角形，，且是最大边，
由余弦定理可得，于是可得，且，解得，
又，所以边的取值范围是．
故选：D
【变式2-3】（2024·吉林通化·高一校考阶段练习）在中，已知，则角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由及余弦定理的推论，得，
因为，
所以．
故选：B．
【变式2-4】（2024·河北邢台·高一统考期末）在中，，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由余弦定理得．
故选：A
【方法技巧与总结】
已知三角形的三边解三角形的方法
利用余弦定理求出三个角的余弦值，进而求出三个角．
题型三：利用余弦定理判断三角形的形状
【典例3-1】（2024·河南郑州·高一中牟县第一高级中学校考阶段练习）在中，角的对边分别为，若，则的形状为（ ）
A．直角三角形B．等腰直角三角形C．等边三角形D．钝角三角形
【答案】A
【解析】由，得，
化简得，
所以由余弦定理得，
因为，所以，
所以，令，则
，得，得，
所以，
所以为直角三角形，
故选：A
【典例3-2】（2024·全国·高一假期作业）在中，内角的对边分别为.若，则的形状为（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．钝角三角形
【答案】B
【解析】根据余弦定理知，
，
所以，则,
故三角形为直角三角形，
故选：
【变式3-1】（2024·北京·高一东直门中学校考期末）中，，，分别是内角，，的对边，若且，则的形状是（ ）
A．底角是的等腰三角形B．等边三角形
C．三边均不相等的直角三角形D．等腰直角三角形
【答案】A
【解析】在，上分别取，，使，，
以，为邻边作平行四边形，则四边形为菱形，连接，，
则平分，
，，
，，，
又，，且，
，即，
，
由余弦定理得，，
，，
是底角是的等腰三角形．
故选：A．
【变式3-2】（2024·广西钦州·高一浦北中学校考阶段练习）在中，角对边为，且，则的形状为（ ）
A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形
【答案】B
【解析】因为，
所以，即，
所以，
在中，由余弦定理：，
代入得，，即，
所以.
所以直角三角形.
故选：B
【变式3-3】（2024·江苏常州·高一校联考期末）在中，，，，则的形状是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法判断
【答案】C
【解析】在中,由余弦定理以及，，可知:,故为钝角，因此是钝角三角形
故选：C
【变式3-4】（2024·全国·高一专题练习）在中，分别为角的对边，且满足，则的形状为（ ）
A．直角三角形B．等边三角形
C．直角三角形或等腰三角形D．等腰直角三角形
【答案】A
【解析】由题知，，
所以，
所以，得，
所以，得，
所以的形状为直角三角形，
故选：A
【方法技巧与总结】
（1）利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，需要从“统一”入手，即使用转化思想解决问题，一般有两条思考路线
①先化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系．
②先化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间的数量关系．
（2）判断三角形的形状时，经常用到以下结论
①为直角三角形或或．
②为锐角三角形，且，且．
③为钝角三角形或或．
④若，则或．
题型四：余弦定理在实际问题中的应用
【典例4-1】（2024·天津西青·高一天津市西青区杨柳青第一中学校考期末）《九章算术》是中国古代一部数学专著，其中的“邪田”为直角梯形，上、下底称为“畔”，高称为“正广”，非高腰边称为“邪”．如图所示，邪长为，东畔长为，在A处测得C，D两点处的俯角分别为49°和19°，则正广长约为（注：）（ ）
A．6.6B．3.3C．4D．7
【答案】A
【解析】由题意知：，
在中，由余弦定理可得：，
代入得：，即，
因为，故，
故.
故选：A.
【典例4-2】（2024·河南商丘·高一商丘市实验中学校联考阶段练习）位于灯塔处正西方向相距海里的处有一艘甲船燃油耗尽，需要海上加油．位于灯塔处北偏东30°方向有一艘乙船（在处），乙船与甲船（在处）相距海里，乙船为了尽快给甲船进行海上加油，则乙船航行的最佳方向是（ ）
A．西偏南15°B．西偏南30°
C．南偏西45°D．南偏西65°
【答案】A
【解析】如图，
，由正弦定理得，
解得．因为，所以，因为，
所以乙船航行的最佳方向为西偏南.
故选：A.
【变式4-1】（2024·河南周口·高一校考阶段练习）两游艇自某地同时出发，一艇以的速度向正北方向行驶，另一艇以的速度向北偏东（）角的方向行驶.若经过，两艇相距，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】如图，设点为出发点，点为的船后到达的点，点为的船后到达的点，
则，
则，
又因，所以.
故选：C.
【变式4-2】（2024·江苏盐城·高一校考阶段练习）《墨经·经说下》中有这样一段记载：“光之人，煦若射，下者之人也高，高者之人也下，足蔽下光，故成景于上；首蔽上光，故成影于下.在远近有端，与于光，故景库内也.”这是中国古代对小孔成像现象的第一次描述.如图为一次小孔成像实验，若物距：像距，则像高为 .
【答案】/1.5
【解析】由 ，则，
又，
则,
即，
又物距∶像距，
则，即像高为，
故答案为：．
【变式4-3】（2024·全国·高一专题练习）我国古代数学著作《九章算术》中用“圭田”一词代指等腰三角形田地，若一“圭田”的腰长为4，顶角的余弦值为，则该“圭田”的底边长为 ．
【答案】
【解析】设“圭田”的底边长为，则
由余弦定理可得，
解得，
即该“圭田”的底边长为.
故答案为：.
【变式4-4】（2024·全国·高一专题练习）为提高执法效能，国家决定组建国家海洋局，国家海洋局以中国海警局名义开展海上维权执法.某海警船从海岛出发，沿南偏东的方向航行40海里后到达海岛，然后再从海岛出发，沿北偏东的方向航行了海里到达海岛.如果海警船直接从海岛出发到海岛，则航行的路程为 海里.
【答案】
【解析】根据题意作出图形，
由图得，海里，海里，
根据余弦定理得，代入数据得
即，解得，则航行的路程为海里.
故答案为：.
【变式4-5】（2024·高一课时练习）如图，某住宅小区的平面呈扇形AOC，小区的两个出入口设置在点A和点C处，小区里有两条笔直的小路AD，DC，且拐弯处的转角为120°.已知某人从C沿CD走到D用了10分钟，从D沿DA走到A用了6分钟，若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径OA的长约为 米.（结果保留整数）
【答案】445
【解析】设该扇形的半径为r米，由题意，得米，米，.
在△CDO中，由余弦定理得，即，解得.
故扇形的半径OA的长约为445米.
故答案为：445.
【变式4-6】（2024·广东佛山·高一统考竞赛）在一个圆心角为，半径为1米的扇形铁板中按如图方式截出一块矩形，则该矩形的面积的最大值为 平方米.
【答案】
【解析】设，则，连接，
于是在中，由余弦定理，
从而，当且仅当，即时取等号.
所以该矩形面积的最大值为平方米.
故答案为：.
【方法技巧与总结】
解决实际问题其实只比解三角形多一步，即把实际问题中涉及的量纳入到图形中．这一过程中要特别注意准确理解和翻译相关术语．
题型五：利用余弦定理求最值
【典例5-1】（2024·全国·高一随堂练习）在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，，则的最大值为 ．
【答案】/
【解析】由题意，
, 所以消去 得
，
由, 得 ，当且仅当时等号成立，
∴，
∴原式
故答案为：.
【典例5-2】（2024·四川成都·高一石室中学校考期末）在平面四边形中，，，，则的最大值为 .
【答案】
【解析】设，，则，代入数据得，
，，
在中运用余弦定理得，
即
，，
所以当，即时，的最大值为3，则的最大值为.
故答案为：.
【变式5-1】（2024·江苏淮安·高一统考期末）在中，点是边BC的中点，，，则的最大值为 ．
【答案】
【解析】因为，所以，
设，
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
所以，
当且仅当，即时等号成立.
故答案为：
【变式5-2】（2024·福建南平·高一统考期末）在中，点D在边BC上，，，．当取得最小值时， .
【答案】
【解析】设，
则在中，，
在中，，
所以，
当且仅当即时，等号成立，
所以当取最小值时，.
故答案为：.
【变式5-3】（2024·上海杨浦·高一复旦附中校考期末）在△ABC中，边a，b，c满足，，则边c的最小值为 .
【答案】
【解析】由余弦定理可得
当且仅当时，即取等号，所以.
故答案为：.
【变式5-4】（2024·山东淄博·高一山东省淄博实验中学校考期末）已知在中，AD为BC边上的中线，且，，则的最小值为 ．
【答案】/0.6
【解析】依题意，，，如图，
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
而，即，
两式相加得，于是，当且仅当时取等号，
在中，，
所以的最小值为.
故答案为：
一、单选题
1．（2024·四川资阳·高一四川省安岳中学校考阶段练习）设是钝角三角形的三边长，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由于是钝角三角形的三边长，
所以，且，所以.
设最长边对的角为，
则，
解得.
故选：B
2．（2024·河南驻马店·高一校联考期末）在中，若，则角的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，由余弦定理可得，
因为，所以.
故选：C.
3．（2024·吉林通化·高一校考阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则角B的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题知，，
在中，
，
当且仅当时取等号，
又不是三角形的最大边，所以为锐角，
所以的取值范围是.
故选：B.
4．（2024·高一校考单元测试）在中，内角、、所对的边分别为、、，若、、，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，
又因为，
则，
故选：C
5．（2024·高一单元测试）中，，且，，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为，由余弦定理得，所以，
又因为，且，可得，解得，
所以的面积为.
故选：A.
6．（2024·四川凉山·高一统考期末）在中，角，，的对边分别是，，，若，，，则（ ）
A．2B．2或6C．6D．
【答案】C
【解析】在中，，，，由余弦定理得，
得，即，而，解得，
所以.
故选：C
7．（2024·河南洛阳·高一栾川县第一高级中学校考阶段练习）如图，是等腰直角斜边的三等分点，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意及图形：设三角形的直角边为3，则斜边为，又由于为三等分点，
所以，又，
在中有余弦定理得：，
在中，利用余弦定理得：，
在中利用同角间的三角函数关系可知：．
故选：D.
8．（2024·安徽滁州·高一校考阶段练习）若钝角的内角，，满足，且最大边长与最小边长的比值为，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设三角形的三边从小到大依次为，，，
因为，则，故可得，
根据余弦定理得：，于是，
因为为钝角三角形，故，于是，即，
则，即.
故选：B.
二、多选题
9．（2024·山西朔州·高一校考阶段练习）在中，已知，且，则的值为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】BD
【解析】由，得，，又，
利用余弦定理可得，即，
整理得，解得或．
故选：BD
10．（2024·广东东莞·高一统考期末）在中，，，，则可能的取值有（ ）
A．B．2C．3D．4
【答案】BD
【解析】在中，，，，
则由余弦定理得，
，整理得，
解得或，
故选：BD
11．（2024·江苏南京·高一南京市宁海中学校联考期末）在中，角所对的边分别为，且，则下列关系可能成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【解析】因为，，将代入，
得到，所以，故，，
故选：ACD.
三、填空题
12．（2024·广东东莞·高一东莞实验中学校考期末）在中，角对应的边分别为，则
【答案】
【解析】因为，
由余弦定理可得，
解得或（舍）.
故答案为：.
13．（2024·黑龙江绥化·高一校考阶段练习）如图所示，点A是等边外一点，且，，，则的周长为 ．
【答案】/
【解析】在中，由余弦定理可知，
整理可得，解得，所以，
又是等边三角形，所以，，
由勾股定理可得，，所以的周长为．
故答案为：.
14．（2024·全国·高一随堂练习）如图为一角槽示意图，已知，，并量得mm，mm，mm，则 ， ．（精确到0.1°）
【答案】 ; 67.7°
【解析】在中由余弦定理可得：
,
又因为 所以
,,
故答案为：;.
四、解答题
15．（2024·全国·高一随堂练习）在长江某渡口处，江水以5km/h的速度向东流．一渡船从长江南岸的A码头出发，预定要在0.1h后到达北岸的B码头（如图）．设为正北方向，已知B码头在A码头北偏东的方向上，并与A码头相距1.2km．该渡船应按什么方向航行？速度是多少（角度精确到，速度确到0.1km/h）？
【解析】如图所示，船按方向开出，方向为水流方向，
以AC为边，AB为对角线作，其中，．
在中，由余弦定理，得
，
所以．
因此，船的航行速度为．
在中，由余弦定理，得
，
所以．
因此．
即渡船应按北偏西的方向，并以11.7km/h的速度航行．
16．（2024·全国·高一随堂练习）在中，．
(1)求的值；
(2)若，求的最大值．
【解析】（1）
；
（2）根据余弦定理,
即，
得，当且仅当时等号成立，
所以的最大值为.
17．（2024·全国·高一专题练习）的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且A＝，若，试问能否成立？若能成立，求此时的周长；若不能成立，请说明理由.
【解析】假设成立，则有，
在中，由余弦定理得：，即，整理得，
即，，因此，
显然是方程的两个根，而，即方程无实根，
所以不成立.
18．（2024·黑龙江哈尔滨·高一校考期末）在中，内角所对的边分别为，，，已知.
(1)若，，求的值；
(2)若，判断的形状.
【解析】（1）在中，，，，由余弦定理得：
，
所以.
（2）在中，，而，则，
由及余弦定理得：，整理得，则，
所以为正三角形.
19．（2024·全国·高一随堂练习）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
(1)若，求A；
(2)若，求证：.
【解析】（1）因为，
所以由余弦定理得，
所以，得，
因为，所以，得，
所以由余弦定理得，
因为，所以；
（2）证明：因为，所以，
化简整理得，
，解得或（舍去），
所以由余弦定理得，所以，
因为，
所以由余弦定理得，
整理得，
所以，
所以，得，
所以.
课程标准
学习目标
（1）学生能用向量等知识证明余弦定理．
（2）能初步运用余弦定理及其推论解三角形，能解决三角形的计算问题．
（3）提高运用所学知识解决实际问题的能力，会从数学角度对某些日常生活中和其他学科中出现的问题进行研究探索．
（1）掌握余弦定理的表示形式及推论、证明方法．
（2）会运用余弦定理解决基本的解三角形问题．
（3）能用余弦定理解决简单的实际问题．
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