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高中数学苏教版 (2019)必修 第二册11.3 余弦定理、正弦定理的应用精品课时训练
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这是一份高中数学苏教版 (2019)必修 第二册11.3 余弦定理、正弦定理的应用精品课时训练，文件包含113余弦定理正弦定理的应用六大题型练习原卷高中数学苏教版必修二docx、113余弦定理正弦定理的应用六大题型练习解析卷高中数学苏教版必修二docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共66页， 欢迎下载使用。
知识点01 测量中的常用角
【即学即练1】（2024·安徽·高一校联考阶段练习）一艘轮船航行到A处时看灯塔B在A的北偏东，距离海里，灯塔C在A的北偏西，距离为海里，该轮船由A沿正北方向继续航行到D处时再看灯塔B在其南偏东方向，则 ．
知识点02 常见问题的测量方案
1、距离问题
2、高度问题
【即学即练2】（2024·全国·高一假期作业）岳阳楼与湖北武汉黄鹤楼，江西南昌滕王阁并称为“江南三大名楼”，是“中国十大历史文化名楼”之一，小李为测量岳阳楼的高度选取了与底部水平的直线AC，如图，测得，，米，则岳阳楼的高度CD约（ ）（，）
A．18米B．19米C．20米D．21米
题型一：距离问题
【典例1-1】（2024·江苏无锡·高一江苏省南菁高级中学校考阶段练习）如图，位于我国南海海域的某直径为海里的圆形海域上有四个小岛，已知小岛B与小岛C相距为5海里（小岛的大小忽略不计，测量误差忽略不计），经过测量得到数据：．小岛C与小岛D之间的距离为 海里．
【典例1-2】（2024·黑龙江牡丹江·高一牡丹江一中校考阶段练习）如图，设M，N为某海边相邻的两座山峰，到海平面的距离分别为 100米，50米.现欲在M、N之间架设高压电网，须计算 M，N之间的距离.勘测人员在海平面上选取一点 ，利用测角仪从P点测得的M，N点的仰角分别为，，并从P点观测到M，N点的视角（即角 ）为，则 M，N之间的距离为 米.
【变式1-1】（2024·全国·高一专题练习）海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球给人类保留宇宙秘密的遗产”，若要测量如图所示某蓝洞口边缘，两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点，，测得海里，，，，则，两点的距离为 海里.
【变式1-2】（2024·北京怀柔·高一统考期末）神舟十五号返回舱于北京时间2023年6月4日6时在东风着陆场成功着陆，着陆地点在航天搜救队A组北偏东的方向60公里处，航天搜救队B组位于A组东偏南的方向80公里处，则航天搜救队B组距着陆点 公里．
【变式1-3】（2024·辽宁·高一校联考期末）抚仙湖，位于澄江市、江川区、华宁县之间，湖面积仅次于滇池和洱海，为云南省第三大湖，也是我国最大的深水型淡水湖泊．如图所示，为了测量抚仙湖畔M，N两点之间的距离，现取两点E，F，测得公里，，，，则M，N两点之间的距离为 公里．
【变式1-4】（2024·四川自贡·高一统考期末）如图，为山脚两侧共线的三点，在山顶处观测三点的俯角分别为．现测得．计划沿直线开通一条穿山隧道，则隧道的长度为 ．
【方法技巧与总结】
求两个不可到达的点之间的距离问题，一般是把问题转化为求三角形的边长问题，基本方法是
(1)认真理解题意，正确作出图形，根据条件和图形特点寻找可解的三角形．
(2)把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边和角，利用正、余弦定理求解．
题型二：高度问题
【典例2-1】（2024·全国·高一随堂练习）灵运塔，位于九江市都昌县东湖南山滨水区，踞南山之巅，南望鄱湖，当代新建仿古塔．某校开展数学建模活动，有建模课题组的学生选择测量灵运塔的高度，为此，他们设计了测量方案．如图，灵运塔垂直于水平面，他们选择了与灵运塔底部D在同一水平面上的A，B两点，测得米，在A，B两点观察塔顶C点，仰角分别为和，，则灵运塔的高度CD是（ ）
A．45米B．50米C．55米D．60米
【典例2-2】（2024·江苏南京·高一校联考阶段练习）如图，小明欲测校内某旗杆高MN，选择地面A处和他所在教学楼四楼C处为测量观测点（其中A处、他所在的教学楼、旗杆位于同一水平地面）．从A点测得M点的仰角，C点的仰角以及，从C点测得．已知C处距地面10m，则旗杆高（ ）
A．12mB．15mC．16mD．18m
【变式2-1】（2024·陕西商洛·高一校考期末）如图，八卦桥（图1）是洛南县地标性建筑之一，它是一个八边形人行天桥，桥的中心处建有一座五层高的宝塔（图2），晚上宝塔上的霓虹灯流光溢彩非常美丽.某同学为了测量宝塔的高度，在塔底部同一水平线上选取了C，D两点，测得塔的仰角分别为和，C，D间的距离是12米.则宝塔的高度AB是（ ）米.（结果保留根号）
A．B．
C．D．
【变式2-2】（2024·浙江嘉兴·高一校联考期末）如图所示，某数学兴趣小组为了测量嘉兴某地“智标塔”高度，在地面上点处测得塔顶点的仰角为，塔底点的仰角为. 已知山岭高为米，则塔高为（ ）
A．米B．米
C． 米D． 米
【变式2-3】（2024·辽宁鞍山·高一校考期末）如图，小明想测量自己家所在楼对面的电视塔的高度，他在自己家阳台M处，M到楼地面底部点N的距离为，假设电视塔底部为E点，塔顶为F点，在自己家所在的楼与电视塔之间选一点P，且E，N，P三点共处同一水平线，在P处测得阳台M处、电视塔顶处的仰角分别是和，在阳台M处测得电视塔顶F处的仰角，假设，和点P在同一平面内，则小明测得的电视塔的高为（ ）
A．B．C．D．
【方法技巧与总结】
测量高度问题的解题策略
(1)“空间”向“平面”的转化：测量高度问题往往是空间中的问题，因此先要选好所求线段所在的平面，将空间问题转化为平面问题．
(2)“解直角三角形”与“解非直角三角形”结合，全面分析所有三角形，仔细规划解题思路．
题型三：角度问题
【典例3-1】（2024·安徽铜陵·高一铜陵一中校考阶段练习）如图，为测塔高，在塔底所在的水平面内取一点C，测得塔顶的仰角为θ，由C向塔前进30米后到点D，测得塔顶的仰角为2θ，再由D向塔前进米后到点E，测得塔顶的仰角为4θ，则θ＝ ，塔高为 米．
【典例3-2】（2024·全国·高一专题练习）瀑布是庐山的一大奇观，唐代诗人李白曾在《望庐山瀑布中》写道：日照香炉生紫烟，遥看瀑布挂前川，飞流直下三千尺，疑是银河落九天.为了测量某个瀑布的实际高度，某同学设计了如下测量方案：沿一段水平山道步行至与瀑布底端在同一水平面时，在此位置测得瀑布顶端的仰角正切值为，沿山道继续走20，测得瀑布顶端的仰角为.已知该同学沿山道行进的方向与他第一次望向瀑布底端的方向所成角为.根据这位同学的测量数据，可知该瀑布的高度为 ；若第二次测量后，继续行进的山道有坡度，坡角大小为，且两段山道位于同一平面内，若继续沿山道行进，则该同学望向瀑布顶端与底端的视角正切值为 .（此人身高忽略不计）
【变式3-1】（2024·福建泉州·高一校联考期末）如图，某人身高1.73m，他站的地点A和云南大理文笔塔塔底O在同水平线上，他直立时，测得塔顶M的仰角（点E在线段上，忽略眼睛到头顶之间的距离，下同）.他沿线段向塔前进100m到达点B，在点B直立时，测得塔顶M的仰角：塔尖的视角（N是塔尖底，在线段上）.
（1）求塔高 ；
（2）此人在线段上离点O 米，他直立看塔尖的视角最大？
参考数据：，，.
【变式3-2】（2024·辽宁沈阳·高一沈阳市第八十三中学校考阶段练习）通信卫星与经济、军事等密切关联，它在地球静止轨道上运行，地球静止轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球（球心为，半径为），地球上一点的纬度是指与赤道平面所成角的度数，点处的水平面是指过点且与垂直的平面，在点处放置一个仰角为的地面接收天线（仰角是天线对准卫星时，天线与水平面的夹角），若点的纬度为北纬，则 ．
【变式3-3】（2024·高一课时练习）“一带一路”国际合作高峰论坛（于2017年5月14日至15日）在北京举行，会议期间达成了多项国际合作协议，其中有一项是在某国投资建设一个深水港码头，如图所示，工程师为了了解深水港码头海域海底的构造，在海平面内一条直线上的A，B，C三点进行测量.已知AB=60m，BC=120m，于A处测得水深AD=120m，于B处测得水深BE=200m，于C处测得水深CF=150m，则cs∠DEF= .
【方法技巧与总结】
测量角度问题的基本思路
测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解．
题型四：物理问题
【典例4-1】（2024·山东聊城·高一统考期末）若平面上的三个力，，作用于一点，且处于平衡状态.已知，，与的夹角为120°，则的大小为（ ）
A．1B．C．D．3
【典例4-2】（2024·湖北武汉·高一华中科技大学附属中学校考阶段练习）如图，一条河的两岸平行，河的宽度d＝0.6 km，一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B.已知AB=1km，水的流速为2，若客船从码头A驶到码头B所用的时间为6min，则客船在静水中的速度为 ．
【变式4-1】（2024·湖南长沙·高一校考阶段练习）一条东西方向的河流两岸平行，河宽，河水的速度为向东．一艘小货船准备从河的这一边的码头A处出发，航行到位于河对岸B（与河的方向垂直）的正东方向并且与B相距的码头C处卸货．若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为，则当小货船的航程最短时：
（1）求合速度的方向；
（2）求小货船航行速度的大小及方向．
【变式4-2】（2024·高一课时练习）如图，用两根绳子牵引重为的物体，两根绳子的拉力分别为，，此时平衡．如果，与的夹角．
(1)求的大小（精确到1N）；
(2)求与的夹角的值（精确到0.1°）．
【变式4-3】（2024·全国·高三专题练习）如图，一条河的两岸平行，河的宽度，一艘客船从码头出发匀速驶往河对岸的码头.已知，水流速度为，若客船从码头驶到码头所用的最短时间为，则客船在静水中的速度大小为（ ）
A．B．
C．D．
【方法技巧与总结】
物理中很多矢量如速度、力等的计算大多可以归为解三角形．解决此类问题的办法是结合物理知识把涉及的量用图形表示出来，转化为解三角形的问题．
题型五：三角形边长、面积、周长最值与范围问题
【典例5-1】（多选题）（2024·全国·高一假期作业）设的内角的对边分别为，，，下列结论正确的是（ ）
A．若，则满足条件的三角形只有1个
B．面积的最大值为
C．周长的最大值为
D．若为锐角三角形，则的取值范围是
【典例5-2】（多选题）（2024·山东菏泽·高一统考期末）的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且.若D是外一点，DC＝1，AD＝2，则下列说法中正确（ ）
A．B．
C．四边形ABCD面积有最小值D．四边形ABCD面积有最大值
【变式5-1】（多选题）（2024·山西朔州·高一校考阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，D为AB的中点，且，，则（ ）．
A．B．面积的取值范围为
C．周长的取值范围为D．CD长度的取值范围为
【变式5-2】（2024·全国·高一假期作业）已知的内角的对边分别为，且.
(1)求边长和角A；
(2)求的周长的取值范围.
【变式5-3】（2024·全国·高一假期作业）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中并作答．
问题：在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且____．
(1)求角C；
(2)若，求的取值范围．
【变式5-4】（2024·湖南岳阳·高一校考阶段练习）在平面直角坐标系中，锐角、的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆的交点分别为，.已知点的纵坐标为，点的横坐标为.
(1)求的值；
(2)记的内角，，的对边分别为，，.若，且，求周长的最大值.
【变式5-5】（2024·四川眉山·高一校联考期末）在中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且．
(1)求角A的大小；
(2)若的周长为6，求面积S的最大值．
【变式5-6】（2024·江西景德镇·高一景德镇一中校考期末）锐角中，内角的边分别对应，已知.
(1)求；
(2)若，求的取值范围.
【变式5-7】（2024·甘肃白银·高一校考期末）的内角的对边分别为，，，且．
(1)求；
(2)若为的角平分线，且，求面积的最小值．
【变式5-8】（2024·江苏南京·高一南京市江宁高级中学校联考期末）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
(1)求A；
(2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.
题型六：三角形中的图形类问题
【典例6-1】（2024·广东东莞·高一东莞市东华高级中学校考期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)求B；
(2)已知，D为边上的一点，若，，求的长．
【典例6-2】（2024·广东湛江·高一湛江市第二中学校考期末）在中，是上的点，平分，.
(1)求的值；
(2)若，，求的长.
【变式6-1】（2024·四川遂宁·高一四川省蓬溪中学校校考阶段练习）如图，的内角、、的对边分别为、、，且.
(1)求角B的大小；
(2)若，.
（i）求的值；
（ii）求的角平分线的长.
【变式6-2】（2024·海南省直辖县级单位·高一校考期末）如图，是等边三角形，是等腰直角三角形，，交于，.
(1)求的度数；
(2)求的面积.
【变式6-3】（2024·山东枣庄·高一枣庄市第三中学校考期末）如图，在中，，，为内一点，．
(1)若，求；
(2)若，求的面积．
【变式6-4】（2024·山东临沂·高一统考期末）如图，在平面四边形中，，，，，．
(1)求的值；
(2)求的长．
一、单选题
1．（2024·重庆·高一重庆市大学城第一中学校校考期末）一艘游轮航行到处时看灯塔在的北偏东，距离为海里，灯塔在的北偏西，距离为海里，该游轮由沿正北方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏东方向，则此时灯塔位于游轮的（ ）
A．正西方向B．南偏西方向C．南偏西方向D．南偏西方向
2．（2024·全国·高一专题练习）某地为响应习近平总书记关于生态文明建设的号召，大力开展“青山绿水”工程，造福于民，拟对该地某湖泊进行治理，在治理前，需测量该湖泊的相关数据.如图所示，测得∠C＝120°，米，米，则A，B间的直线距离约为（ ）
A．60米B．130米C．150米D．300米
3．（2024·全国·高一专题练习）如图，某人在河南岸的点A处，想要测量河北岸的点与点A的距离，现取南岸一点，得，，，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·全国·高一专题练习）如图，、两点在河的同侧，且、两点均不可到达．现需测、两点间的距离，测量者在河对岸选定两点、，测得，同时在、两点分别测得，，，则、两点间的距离为（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·江苏连云港·高一校考阶段练习）在中，若，，的面积为，则（ ）
A．12B．C．2D．4
6．（2024·广东东莞·高一东莞市厚街中学校考阶段练习）如图，设两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在的同侧，在所在的河岸边选定一点，测出的距离为，，则两点间的距离为（ ）
A．B．C．D．
7．（2024·云南保山·高一校考期末）已知的三个内角分别为，，，若，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
8．（2024·江苏连云港·高一连云港高中校考期末）已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若且外接圆半径为，则△ABC周长的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．（2024·全国·高一随堂练习）某货轮在处看灯塔在货轮北偏东，距离为nmile；在处看灯塔在货轮的北偏西，距离为nmile．货轮由处向正北航行到处时，再看灯塔在南偏东，则下列说法正确的是（ ）
A．处与处之间的距离是
B．灯塔与处之间的距离是
C．灯塔在处的西偏南
D．在灯塔的北偏西
10．（2024·江西·高一校联考期末）一货轮在A处，测得灯塔S在它的北偏东方向，之后它以每小时24的速度继续沿正北方向匀速航行，40分钟后到达处，此时测得货轮与灯塔S相距，则灯塔S可能在处的（ ）
A．北偏东方向B．南偏东方向
C．北偏东方向D．南偏东方向
11．（2024·福建龙岩·高一期末）如图，的内角，所对的边分别为，，.若，且，是外一点，，，则下列说法正确的是（ ）
A．是等边三角形
B．若，则四点共圆
C．四边形面积最大值为
D．四边形面积最小值为
三、填空题
12．（2024·江西·高一统考期末）2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.如图，为了测量山顶处的海拔高度，从山脚处沿斜坡到达处，在处测得山顶的仰角为45°，山脚的俯角为15°.已知两地的海拔高度分别为100m和200m.记在水平面的射影分别为，则山顶的海拔高度为 m.
13．（2024·河北邢台·高一统考期末）罗星塔位于福建省福州市马尾区南部的闽江之滨，是国际公认的航标、闽江门户标志，有“中国塔"之誉．如图，为测量罗星塔的塔高，选取与塔底在同一水平面的两个测量基点与．现测得，，，在点处测得塔顶的仰角为60°，则估计罗星塔的塔高 m．（参考数据：取，结果精确到0.1m）
14．（2024·上海·高一假期作业）锐角中，，，则的取值范围是 .
四、解答题
15．（2024·全国·高一假期作业）在中，，，分别为角，，的对边，且.
(1)求角A的大小；
(2)若，且，求的面积.
16．（2024·全国·高一随堂练习）如图，某日中午12：00甲船以24km/h的速度沿北偏东40°的方向驶离码头，下午3：00到达地．下午1：00乙船沿北偏东125°的方向匀速驶离码头，下午3：00到达地．若在的正南方向，则乙船的航行速度是多少？（精确到1km/h）
17．（2024·河南濮阳·高一濮阳一高校考阶段练习）某海域的东西方向上分别有A，B两个观测点（如图），它们相距海里．现有一艘轮船在D点发出求救信号，经探测得知D点位于A点北偏东，B点北偏西，这时位于B点南偏西且与B相距80海里的C点有一救援船，其航行速度为35海里/小时．
(1)求B点到D点的距离BD；
(2)若命令C处的救援船立即前往D点营救，求该救援船到达D点需要的时间．
18．（2024·江苏徐州·高一统考期末）某海域的东西方向上分别有，两个观测点（如图），它们相距海里．现有一艘轮船在点发出求救信号，经探测得知点位于点北偏东，点北偏西，这时位于点南偏西且与相距海里的点有一救援船，其航行速度为海里/小时．
(1)求点到点的距离；
(2)若命令处的救援船立即前往点营救，求该救援船到达点需要的时间．
19．（2024·全国·高一假期作业）已知的内角的对边分别为，若．
(1)求的值；
(2)若的面积为，求周长的取值范围．
课程标准
学习目标
（1）能够运用正弦定理、余弦定理解决有关测量距离、高度、角度的实际问题．
（2）掌握用正弦定理、余弦定理解三角形实际问题的一般方法．
（1）能运用解三角形的知识解决简单的测量问题.
（2）能用解三角形的知识解决物理问题.
（3）加强正弦定理、余弦定理的综合应用能力．
名称
定义
示例
方位角
从指北方向线顺时针转到目标方向线的角
点A的方位角为225°
方向角
正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角
点A的方向角为南偏西45°（或称西南方向）
类型
简图
测量
两点A，B均可达
先选定适当的位置C，用测角器测出角α，再分别测出AC，BC的长b，a，则可求出A，B两点间的距离，即
两点A，B可视，但有一点不可达
在A所在的岸边选定一点C，可以测出AC的距离m，再借助仪器，测出，，那么在△ABC中，已知两角及一边，运用正弦定理就可以求出AB
两点A，B可视，均不可达
测量者可以在河岸选定两点C，D，测得，同时在C，D两点分别测得，，，．在和中，由正弦定理计算出AC和BC后，再在中，应用余弦定理计算出A，B两点间的距离
类型
简图
测量方案
底部可达
测得，，
底部不可达
点B与C，D共线
测得及C与的度数
先由正弦定理求出AC或AD，再解直角三角形得AB的值．
点B与C，D不共线
测得及∠BCD，∠BDC，∠ACB的度数．
在△BCD中由正弦定理求得BC，再解直角三角形得AB的值
知识点01 测量中的常用角
【即学即练1】（2024·安徽·高一校联考阶段练习）一艘轮船航行到A处时看灯塔B在A的北偏东，距离海里，灯塔C在A的北偏西，距离为海里，该轮船由A沿正北方向继续航行到D处时再看灯塔B在其南偏东方向，则 ．
知识点02 常见问题的测量方案
1、距离问题
2、高度问题
【即学即练2】（2024·全国·高一假期作业）岳阳楼与湖北武汉黄鹤楼，江西南昌滕王阁并称为“江南三大名楼”，是“中国十大历史文化名楼”之一，小李为测量岳阳楼的高度选取了与底部水平的直线AC，如图，测得，，米，则岳阳楼的高度CD约（ ）（，）
A．18米B．19米C．20米D．21米
题型一：距离问题
【典例1-1】（2024·江苏无锡·高一江苏省南菁高级中学校考阶段练习）如图，位于我国南海海域的某直径为海里的圆形海域上有四个小岛，已知小岛B与小岛C相距为5海里（小岛的大小忽略不计，测量误差忽略不计），经过测量得到数据：．小岛C与小岛D之间的距离为 海里．
【典例1-2】（2024·黑龙江牡丹江·高一牡丹江一中校考阶段练习）如图，设M，N为某海边相邻的两座山峰，到海平面的距离分别为 100米，50米.现欲在M、N之间架设高压电网，须计算 M，N之间的距离.勘测人员在海平面上选取一点 ，利用测角仪从P点测得的M，N点的仰角分别为，，并从P点观测到M，N点的视角（即角 ）为，则 M，N之间的距离为 米.
【变式1-1】（2024·全国·高一专题练习）海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球给人类保留宇宙秘密的遗产”，若要测量如图所示某蓝洞口边缘，两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点，，测得海里，，，，则，两点的距离为 海里.
【变式1-2】（2024·北京怀柔·高一统考期末）神舟十五号返回舱于北京时间2023年6月4日6时在东风着陆场成功着陆，着陆地点在航天搜救队A组北偏东的方向60公里处，航天搜救队B组位于A组东偏南的方向80公里处，则航天搜救队B组距着陆点 公里．
【变式1-3】（2024·辽宁·高一校联考期末）抚仙湖，位于澄江市、江川区、华宁县之间，湖面积仅次于滇池和洱海，为云南省第三大湖，也是我国最大的深水型淡水湖泊．如图所示，为了测量抚仙湖畔M，N两点之间的距离，现取两点E，F，测得公里，，，，则M，N两点之间的距离为 公里．
【变式1-4】（2024·四川自贡·高一统考期末）如图，为山脚两侧共线的三点，在山顶处观测三点的俯角分别为．现测得．计划沿直线开通一条穿山隧道，则隧道的长度为 ．
【方法技巧与总结】
求两个不可到达的点之间的距离问题，一般是把问题转化为求三角形的边长问题，基本方法是
(1)认真理解题意，正确作出图形，根据条件和图形特点寻找可解的三角形．
(2)把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边和角，利用正、余弦定理求解．
题型二：高度问题
【典例2-1】（2024·全国·高一随堂练习）灵运塔，位于九江市都昌县东湖南山滨水区，踞南山之巅，南望鄱湖，当代新建仿古塔．某校开展数学建模活动，有建模课题组的学生选择测量灵运塔的高度，为此，他们设计了测量方案．如图，灵运塔垂直于水平面，他们选择了与灵运塔底部D在同一水平面上的A，B两点，测得米，在A，B两点观察塔顶C点，仰角分别为和，，则灵运塔的高度CD是（ ）
A．45米B．50米C．55米D．60米
【典例2-2】（2024·江苏南京·高一校联考阶段练习）如图，小明欲测校内某旗杆高MN，选择地面A处和他所在教学楼四楼C处为测量观测点（其中A处、他所在的教学楼、旗杆位于同一水平地面）．从A点测得M点的仰角，C点的仰角以及，从C点测得．已知C处距地面10m，则旗杆高（ ）
A．12mB．15mC．16mD．18m
【变式2-1】（2024·陕西商洛·高一校考期末）如图，八卦桥（图1）是洛南县地标性建筑之一，它是一个八边形人行天桥，桥的中心处建有一座五层高的宝塔（图2），晚上宝塔上的霓虹灯流光溢彩非常美丽.某同学为了测量宝塔的高度，在塔底部同一水平线上选取了C，D两点，测得塔的仰角分别为和，C，D间的距离是12米.则宝塔的高度AB是（ ）米.（结果保留根号）
A．B．
C．D．
【变式2-2】（2024·浙江嘉兴·高一校联考期末）如图所示，某数学兴趣小组为了测量嘉兴某地“智标塔”高度，在地面上点处测得塔顶点的仰角为，塔底点的仰角为. 已知山岭高为米，则塔高为（ ）
A．米B．米
C． 米D． 米
【变式2-3】（2024·辽宁鞍山·高一校考期末）如图，小明想测量自己家所在楼对面的电视塔的高度，他在自己家阳台M处，M到楼地面底部点N的距离为，假设电视塔底部为E点，塔顶为F点，在自己家所在的楼与电视塔之间选一点P，且E，N，P三点共处同一水平线，在P处测得阳台M处、电视塔顶处的仰角分别是和，在阳台M处测得电视塔顶F处的仰角，假设，和点P在同一平面内，则小明测得的电视塔的高为（ ）
A．B．C．D．
【方法技巧与总结】
测量高度问题的解题策略
(1)“空间”向“平面”的转化：测量高度问题往往是空间中的问题，因此先要选好所求线段所在的平面，将空间问题转化为平面问题．
(2)“解直角三角形”与“解非直角三角形”结合，全面分析所有三角形，仔细规划解题思路．
题型三：角度问题
【典例3-1】（2024·安徽铜陵·高一铜陵一中校考阶段练习）如图，为测塔高，在塔底所在的水平面内取一点C，测得塔顶的仰角为θ，由C向塔前进30米后到点D，测得塔顶的仰角为2θ，再由D向塔前进米后到点E，测得塔顶的仰角为4θ，则θ＝ ，塔高为 米．
【典例3-2】（2024·全国·高一专题练习）瀑布是庐山的一大奇观，唐代诗人李白曾在《望庐山瀑布中》写道：日照香炉生紫烟，遥看瀑布挂前川，飞流直下三千尺，疑是银河落九天.为了测量某个瀑布的实际高度，某同学设计了如下测量方案：沿一段水平山道步行至与瀑布底端在同一水平面时，在此位置测得瀑布顶端的仰角正切值为，沿山道继续走20，测得瀑布顶端的仰角为.已知该同学沿山道行进的方向与他第一次望向瀑布底端的方向所成角为.根据这位同学的测量数据，可知该瀑布的高度为 ；若第二次测量后，继续行进的山道有坡度，坡角大小为，且两段山道位于同一平面内，若继续沿山道行进，则该同学望向瀑布顶端与底端的视角正切值为 .（此人身高忽略不计）
【变式3-1】（2024·福建泉州·高一校联考期末）如图，某人身高1.73m，他站的地点A和云南大理文笔塔塔底O在同水平线上，他直立时，测得塔顶M的仰角（点E在线段上，忽略眼睛到头顶之间的距离，下同）.他沿线段向塔前进100m到达点B，在点B直立时，测得塔顶M的仰角：塔尖的视角（N是塔尖底，在线段上）.
（1）求塔高 ；
（2）此人在线段上离点O 米，他直立看塔尖的视角最大？
参考数据：，，.
【变式3-2】（2024·辽宁沈阳·高一沈阳市第八十三中学校考阶段练习）通信卫星与经济、军事等密切关联，它在地球静止轨道上运行，地球静止轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球（球心为，半径为），地球上一点的纬度是指与赤道平面所成角的度数，点处的水平面是指过点且与垂直的平面，在点处放置一个仰角为的地面接收天线（仰角是天线对准卫星时，天线与水平面的夹角），若点的纬度为北纬，则 ．
【变式3-3】（2024·高一课时练习）“一带一路”国际合作高峰论坛（于2017年5月14日至15日）在北京举行，会议期间达成了多项国际合作协议，其中有一项是在某国投资建设一个深水港码头，如图所示，工程师为了了解深水港码头海域海底的构造，在海平面内一条直线上的A，B，C三点进行测量.已知AB=60m，BC=120m，于A处测得水深AD=120m，于B处测得水深BE=200m，于C处测得水深CF=150m，则cs∠DEF= .
【方法技巧与总结】
测量角度问题的基本思路
测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解．
题型四：物理问题
【典例4-1】（2024·山东聊城·高一统考期末）若平面上的三个力，，作用于一点，且处于平衡状态.已知，，与的夹角为120°，则的大小为（ ）
A．1B．C．D．3
【典例4-2】（2024·湖北武汉·高一华中科技大学附属中学校考阶段练习）如图，一条河的两岸平行，河的宽度d＝0.6 km，一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B.已知AB=1km，水的流速为2，若客船从码头A驶到码头B所用的时间为6min，则客船在静水中的速度为 ．
【变式4-1】（2024·湖南长沙·高一校考阶段练习）一条东西方向的河流两岸平行，河宽，河水的速度为向东．一艘小货船准备从河的这一边的码头A处出发，航行到位于河对岸B（与河的方向垂直）的正东方向并且与B相距的码头C处卸货．若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为，则当小货船的航程最短时：
（1）求合速度的方向；
（2）求小货船航行速度的大小及方向．
【变式4-2】（2024·高一课时练习）如图，用两根绳子牵引重为的物体，两根绳子的拉力分别为，，此时平衡．如果，与的夹角．
(1)求的大小（精确到1N）；
(2)求与的夹角的值（精确到0.1°）．
【变式4-3】（2024·全国·高三专题练习）如图，一条河的两岸平行，河的宽度，一艘客船从码头出发匀速驶往河对岸的码头.已知，水流速度为，若客船从码头驶到码头所用的最短时间为，则客船在静水中的速度大小为（ ）
A．B．
C．D．
【方法技巧与总结】
物理中很多矢量如速度、力等的计算大多可以归为解三角形．解决此类问题的办法是结合物理知识把涉及的量用图形表示出来，转化为解三角形的问题．
题型五：三角形边长、面积、周长最值与范围问题
【典例5-1】（多选题）（2024·全国·高一假期作业）设的内角的对边分别为，，，下列结论正确的是（ ）
A．若，则满足条件的三角形只有1个
B．面积的最大值为
C．周长的最大值为
D．若为锐角三角形，则的取值范围是
【典例5-2】（多选题）（2024·山东菏泽·高一统考期末）的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且.若D是外一点，DC＝1，AD＝2，则下列说法中正确（ ）
A．B．
C．四边形ABCD面积有最小值D．四边形ABCD面积有最大值
【变式5-1】（多选题）（2024·山西朔州·高一校考阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，D为AB的中点，且，，则（ ）．
A．B．面积的取值范围为
C．周长的取值范围为D．CD长度的取值范围为
【变式5-2】（2024·全国·高一假期作业）已知的内角的对边分别为，且.
(1)求边长和角A；
(2)求的周长的取值范围.
【变式5-3】（2024·全国·高一假期作业）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中并作答．
问题：在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且____．
(1)求角C；
(2)若，求的取值范围．
【变式5-4】（2024·湖南岳阳·高一校考阶段练习）在平面直角坐标系中，锐角、的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆的交点分别为，.已知点的纵坐标为，点的横坐标为.
(1)求的值；
(2)记的内角，，的对边分别为，，.若，且，求周长的最大值.
【变式5-5】（2024·四川眉山·高一校联考期末）在中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且．
(1)求角A的大小；
(2)若的周长为6，求面积S的最大值．
【变式5-6】（2024·江西景德镇·高一景德镇一中校考期末）锐角中，内角的边分别对应，已知.
(1)求；
(2)若，求的取值范围.
【变式5-7】（2024·甘肃白银·高一校考期末）的内角的对边分别为，，，且．
(1)求；
(2)若为的角平分线，且，求面积的最小值．
【变式5-8】（2024·江苏南京·高一南京市江宁高级中学校联考期末）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
(1)求A；
(2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.
题型六：三角形中的图形类问题
【典例6-1】（2024·广东东莞·高一东莞市东华高级中学校考期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)求B；
(2)已知，D为边上的一点，若，，求的长．
【典例6-2】（2024·广东湛江·高一湛江市第二中学校考期末）在中，是上的点，平分，.
(1)求的值；
(2)若，，求的长.
【变式6-1】（2024·四川遂宁·高一四川省蓬溪中学校校考阶段练习）如图，的内角、、的对边分别为、、，且.
(1)求角B的大小；
(2)若，.
（i）求的值；
（ii）求的角平分线的长.
【变式6-2】（2024·海南省直辖县级单位·高一校考期末）如图，是等边三角形，是等腰直角三角形，，交于，.
(1)求的度数；
(2)求的面积.
【变式6-3】（2024·山东枣庄·高一枣庄市第三中学校考期末）如图，在中，，，为内一点，．
(1)若，求；
(2)若，求的面积．
【变式6-4】（2024·山东临沂·高一统考期末）如图，在平面四边形中，，，，，．
(1)求的值；
(2)求的长．
一、单选题
1．（2024·重庆·高一重庆市大学城第一中学校校考期末）一艘游轮航行到处时看灯塔在的北偏东，距离为海里，灯塔在的北偏西，距离为海里，该游轮由沿正北方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏东方向，则此时灯塔位于游轮的（ ）
A．正西方向B．南偏西方向C．南偏西方向D．南偏西方向
2．（2024·全国·高一专题练习）某地为响应习近平总书记关于生态文明建设的号召，大力开展“青山绿水”工程，造福于民，拟对该地某湖泊进行治理，在治理前，需测量该湖泊的相关数据.如图所示，测得∠C＝120°，米，米，则A，B间的直线距离约为（ ）
A．60米B．130米C．150米D．300米
3．（2024·全国·高一专题练习）如图，某人在河南岸的点A处，想要测量河北岸的点与点A的距离，现取南岸一点，得，，，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·全国·高一专题练习）如图，、两点在河的同侧，且、两点均不可到达．现需测、两点间的距离，测量者在河对岸选定两点、，测得，同时在、两点分别测得，，，则、两点间的距离为（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·江苏连云港·高一校考阶段练习）在中，若，，的面积为，则（ ）
A．12B．C．2D．4
6．（2024·广东东莞·高一东莞市厚街中学校考阶段练习）如图，设两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在的同侧，在所在的河岸边选定一点，测出的距离为，，则两点间的距离为（ ）
A．B．C．D．
7．（2024·云南保山·高一校考期末）已知的三个内角分别为，，，若，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
8．（2024·江苏连云港·高一连云港高中校考期末）已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若且外接圆半径为，则△ABC周长的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．（2024·全国·高一随堂练习）某货轮在处看灯塔在货轮北偏东，距离为nmile；在处看灯塔在货轮的北偏西，距离为nmile．货轮由处向正北航行到处时，再看灯塔在南偏东，则下列说法正确的是（ ）
A．处与处之间的距离是
B．灯塔与处之间的距离是
C．灯塔在处的西偏南
D．在灯塔的北偏西
10．（2024·江西·高一校联考期末）一货轮在A处，测得灯塔S在它的北偏东方向，之后它以每小时24的速度继续沿正北方向匀速航行，40分钟后到达处，此时测得货轮与灯塔S相距，则灯塔S可能在处的（ ）
A．北偏东方向B．南偏东方向
C．北偏东方向D．南偏东方向
11．（2024·福建龙岩·高一期末）如图，的内角，所对的边分别为，，.若，且，是外一点，，，则下列说法正确的是（ ）
A．是等边三角形
B．若，则四点共圆
C．四边形面积最大值为
D．四边形面积最小值为
三、填空题
12．（2024·江西·高一统考期末）2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.如图，为了测量山顶处的海拔高度，从山脚处沿斜坡到达处，在处测得山顶的仰角为45°，山脚的俯角为15°.已知两地的海拔高度分别为100m和200m.记在水平面的射影分别为，则山顶的海拔高度为 m.
13．（2024·河北邢台·高一统考期末）罗星塔位于福建省福州市马尾区南部的闽江之滨，是国际公认的航标、闽江门户标志，有“中国塔"之誉．如图，为测量罗星塔的塔高，选取与塔底在同一水平面的两个测量基点与．现测得，，，在点处测得塔顶的仰角为60°，则估计罗星塔的塔高 m．（参考数据：取，结果精确到0.1m）
14．（2024·上海·高一假期作业）锐角中，，，则的取值范围是 .
四、解答题
15．（2024·全国·高一假期作业）在中，，，分别为角，，的对边，且.
(1)求角A的大小；
(2)若，且，求的面积.
16．（2024·全国·高一随堂练习）如图，某日中午12：00甲船以24km/h的速度沿北偏东40°的方向驶离码头，下午3：00到达地．下午1：00乙船沿北偏东125°的方向匀速驶离码头，下午3：00到达地．若在的正南方向，则乙船的航行速度是多少？（精确到1km/h）
17．（2024·河南濮阳·高一濮阳一高校考阶段练习）某海域的东西方向上分别有A，B两个观测点（如图），它们相距海里．现有一艘轮船在D点发出求救信号，经探测得知D点位于A点北偏东，B点北偏西，这时位于B点南偏西且与B相距80海里的C点有一救援船，其航行速度为35海里/小时．
(1)求B点到D点的距离BD；
(2)若命令C处的救援船立即前往D点营救，求该救援船到达D点需要的时间．
18．（2024·江苏徐州·高一统考期末）某海域的东西方向上分别有，两个观测点（如图），它们相距海里．现有一艘轮船在点发出求救信号，经探测得知点位于点北偏东，点北偏西，这时位于点南偏西且与相距海里的点有一救援船，其航行速度为海里/小时．
(1)求点到点的距离；
(2)若命令处的救援船立即前往点营救，求该救援船到达点需要的时间．
19．（2024·全国·高一假期作业）已知的内角的对边分别为，若．
(1)求的值；
(2)若的面积为，求周长的取值范围．
课程标准
学习目标
（1）能够运用正弦定理、余弦定理解决有关测量距离、高度、角度的实际问题．
（2）掌握用正弦定理、余弦定理解三角形实际问题的一般方法．
（1）能运用解三角形的知识解决简单的测量问题.
（2）能用解三角形的知识解决物理问题.
（3）加强正弦定理、余弦定理的综合应用能力．
名称
定义
示例
方位角
从指北方向线顺时针转到目标方向线的角
点A的方位角为225°
方向角
正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角
点A的方向角为南偏西45°（或称西南方向）
类型
简图
测量
两点A，B均可达
先选定适当的位置C，用测角器测出角α，再分别测出AC，BC的长b，a，则可求出A，B两点间的距离，即
两点A，B可视，但有一点不可达
在A所在的岸边选定一点C，可以测出AC的距离m，再借助仪器，测出，，那么在△ABC中，已知两角及一边，运用正弦定理就可以求出AB
两点A，B可视，均不可达
测量者可以在河岸选定两点C，D，测得，同时在C，D两点分别测得，，，．在和中，由正弦定理计算出AC和BC后，再在中，应用余弦定理计算出A，B两点间的距离
类型
简图
测量方案
底部可达
测得，，
底部不可达
点B与C，D共线
测得及C与的度数
先由正弦定理求出AC或AD，再解直角三角形得AB的值．
点B与C，D不共线
测得及∠BCD，∠BDC，∠ACB的度数．
在△BCD中由正弦定理求得BC，再解直角三角形得AB的值
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