第11章 解三角形 章末题型归纳总结

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第11章 解三角形 章末题型归纳总结 章末题型归纳目录模块一：本章知识思维导图模块二：典型例题经典题型一：应用正弦、余弦定理解三角形经典题型二：判断三角形的形状经典题型三：正弦、余弦定理在实际中的应用经典题型四：三角形多解问题经典题型五：三角形范围与最值问题经典题型六：图形类问题经典题型七：角平分线问题、中线问题、高问题模块三：数学思想与方法①分类讨论思想②转化与化归思想③函数与方程思想模块一：本章知识思维导图模块二：典型例题经典题型一：应用正弦、余弦定理解三角形例1．（2024·全国·高一假期作业）在中，内角的对边分别为，，则的值为（    ）A． B． C． D．例2．（2024·全国·高一假期作业）已知的外接圆半径为2，且内角满足，，则（    ）A． B． C． D．例3．（2024·江苏连云港·高一统考期末）在中，若，，，则（    ）A．或 B． C． D．或例4．（2024·浙江·高一校联考阶段练习）在中，角的对边分别为，若，则b＝（　　）A． B． C． D．例5．（2024·天津宝坻·高一校考期末）在中，，，，则的面积为（　　）A． B． C． D．例6．（2024·福建龙岩·高一校考期末）在中，，，，则的值为（    ）A． B． C． D．例7．（2024·辽宁铁岭·高一校考期末）在中，内角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，若，，，则（    ）A．2 B．3 C．4 D．5例8．（2024·全国·高一假期作业）在中，角所对的边分别为，若，则角（    ）A． B． C． D．例9．（2024·全国·高一假期作业）在中角所对边满足，则（    ）A．4 B．5 C．6 D．6或经典题型二：判断三角形的形状例10．（2024·全国·高一假期作业）在中，、、分别为角、、的对边，若，则的形状为（    ）A．正三角形 B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形例11．（2024·黑龙江绥化·高一校考阶段练习）设的内角、、所对的边分别为、、，若，则的形状是（    ）A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．三边比为1：2：3的三角形例12．（2024·辽宁锦州·高一渤海大学附属高级中学校考阶段练习）中，分别是角的对边，且，则的形状为（    ）A．直角三角形 B．钝角三角形C．直角或钝角三角形 D．锐角三角形例13．（2024·福建福州·高一校联考期末）的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的形状是（    ）A．等腰非直角三角形 B．直角非等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形例14．（2024·四川成都·高一统考期末）在中，若，，则的形状为（    ）A．等边三角形 B．等腰直角三角形C．钝角三角形 D．有一个内角为的直角三角形例15．（2024·高一课时练习）在中，若，则的形状一定是（ ）A．等腰三角形 B．钝角三角形C．等边三角形 D．直角三角形例16．（2024·天津滨海新·高一统考期末）在中，，则的形状为（    ）A．等边三角形 B．等腰三角形或直角三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形例17．（2024·江苏宿迁·高一统考期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的形状是（    ）A．等腰三角形或直角三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．等边三角形经典题型三：正弦、余弦定理在实际中的应用例18．（2024·天津·高一天津市蓟州区第一中学校联考期末）一艘轮船沿北偏东方向，以18海里/时的速度沿直线航行，一座灯塔原来在轮船的南偏东方向上，经过10分钟的航行，此时轮船与灯塔的距离为海里，则灯塔与轮船原来的距离为 海里.例19．（2024·新疆乌鲁木齐·高一乌市八中校考期末）如图，某货轮在处看灯塔在货轮的北偏东，距离为，货轮由处向正北航行到处时，再看灯塔在北偏东，则与间的距离为 .例20．（2024·河南·高一校联考期末）位于河北省承德避暑山庄西南十公里处的双塔山，因1300多年以前，契丹人在双塔峰顶建造的两座古塔增添了诸多神秘色彩．双塔山无法攀登，现准备测量两峰峰顶处的两塔塔尖的距离．如图，在与两座山峰、山脚同一水平面处选一点A，从A处看塔尖的仰角是，看塔尖的仰角是，又测量得，若塔尖到山脚底部的距离为米，塔尖到山脚底部的距离为米，则两塔塔尖之间的距离为 米．例21．（2024·陕西咸阳·高一咸阳市实验中学校考阶段练习）某中学研究性学习小组为测量四门通天铜雕高度，在和它底部位于同一水平高度的共线三点A，B，C处测得铜雕顶端P处仰角分别为，，，且，则四门通天铜雕的高度为 m．  例22．（2024·高一单元测试）落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色，滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》而名传千古，如图所示，在滕王阁旁的水平地面上共线的三点A，B，C处测得其顶点P的仰角分别为30°，60°，45°，且AB＝BC＝75米，则滕王阁的高度OP＝ 米．例23．（2024·江苏南京·高一校联考阶段练习）天文学家设计了一种方案可以测定流星的高度．如图，将地球看成一个球，半径为，两个观察者在地球上，两地同时观察到一颗流星，仰角分别是和（，表示当地的地平线），由平面几何相关知识，，，，设弧长为，，，则流星高度为 ．（流星高度为减去地球半径，结果用表示）  例24．（2024·新疆巴音郭楞·高一校考阶段练习）如图，两座相距的建筑物、的高度分别为、，为水平面，求从建筑物的顶端A看建筑物的张角的大小．例25．（2024·山西临汾·高一统考阶段练习）游客从某旅游景区的景点A处至景点C处有两条线路．线路1是从A沿直线步行到C，线路2是先从A沿直线步行到景点B处，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处同时出发匀速步行，甲的速度是乙的速度的倍，甲走线路2，乙走线路1，最后他们同时到达C处．经测量，AB＝1 040 m，BC＝500 m，则sin∠BAC等于 ．例26．（2024·高一课时练习）若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则点A在点B的 方向上.例27．（2024·广东东莞·高一东莞市东莞中学松山湖学校校考阶段练习）在海岸A处，发现北偏东45°方向，距A处海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的缉私船奉命以海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30°的方向逃窜，缉私船要最快追上走私船，所需的时间约是 分钟．（注：）经典题型四：三角形多解问题例28．（2024·上海·高一假期作业）下列条件判断三角形解的情况，正确的是 （填序号）；①，，，有两解；②，，，有一解；③，，，无解；④，，，有一解．例29．（2024·河南驻马店·高一统考期末）在中，已知角的对边分别为，且，若有两解，则的取值范围是 ．例30．（2024·河北石家庄·高一石家庄市第十七中学校考期末）设的角，，所对的边分别为，，，且，，当有两个解时，的取值范围是 .例31．（2024·四川泸州·高一统考期末）已知a，b，c分别是的内角A，B，C的对边，写出“使满足，的唯一”的a的一个取值为 ．例32．（2024·广东佛山·高一统考期末）在中，角的对边分别为，已知，，，则使该三角形有唯一解的的值可以是 ．（仅需填写一个符合要求的数值）例33．（2024·浙江台州·高一统考期末）在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知，，，若有两解，则的取值范围是 .例34．（2024·浙江杭州·高一浙江大学附属中学校考期末）符合下列条件的三角形有且只有一个的是（　　）A．，， B．，，C．，， D．，例35．（2024·重庆北碚·高一西南大学附中校考阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，，，若满足条件的三角形有两个，则x的取值范围为（    ）A． B． C． D．例36．（多选题）（2024·辽宁铁岭·高一西丰县高级中学校考期末）在中，内角所对的边分别为，则下列说法正确的是（    ）A．B．若，且，则为等边三角形C．若，则是等腰三角形D．在中，，则使有两解的的范围是经典题型五：三角形范围与最值问题例37．（多选题）（2024·重庆沙坪坝·高一重庆一中校考期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则下列说法正确的有（    ）A．B．若，且的面积为，则的最小边长为2C．若时，是唯一的，则D．若时，周长的范围为例38．（2024·全国·高一专题练习）已知函数.(1)若为函数一个零点，求.(2)锐角中，角，，对应边分别为，，，，上的高为2，求面积范围.例39．（2024·安徽马鞍山·高一马鞍山市红星中学校考期末）在锐角中，，，(1)求角A；(2)求的周长l的范围.例40．（2024·安徽滁州·高一校联考阶段练习）在中，角所对的边分别为，且满足.(1)已知为线段上一点，且满足，若，求的长；(2)若为锐角三角形，求面积的范围.例41．（2024·全国·高一专题练习）的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，若，，当仅有一解时，写出x的范围，并求的取值范围.例42．（2024·山西吕梁·高一校联考阶段练习）如图，在平面凸四边形中，为边的中点．  (1)若，求的面积；(2)求的最大值．例43．（2024·全国·高一专题练习）如图，在四边形中，，，，.  (1)若，求；(2)求的最大值.例44．（2024·河北石家庄·高一石家庄市第十七中学校考期末）已知中，角所对的边分别为，且的面积为.(1)若，求的值.(2)当为何值时，取得最大值，并求出该值.例45．（2024·四川资阳·高一四川省安岳中学校考阶段练习）在中，角，，的对边分别为，，，．(1)求；(2)若点是上的点，平分，且，求面积的最小值．例46．（2024·全国·高一专题练习）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．(1)若，求C；(2)若，且，求的最小值．例47．（2024·江苏连云港·高一校考阶段练习）的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点D在上，(1)若，，求c；(2)若是的角平分线，，求周长的最小值．经典题型六：图形类问题例48．（2024·河南开封·高一统考期末）已知四边形是由与拼接而成，如图所示，，.  (1)求证：；(2)若，，求的长.例49．（2024·重庆铜梁·高一铜梁中学校校考期末）如图，在梯形中，，.(1)求证：；(2)若，，求的长度.例50．（2024·山东·高一滨州一中校联考期末）如图，在四边形中，，，，.(1)若，求；(2)若，，求.例51．（2024·浙江·高一台州中学校联考期末）在平面四边形中，．(1)若在锐角中，，求周长的取值范围；(2)若，求的长．例52．（2024·河北石家庄·高一石家庄市第二十四中学校考阶段练习）某市准备规划一条平面示意图如图所示的五边形赛道，为赛道（不考虑宽度），为赛道内的一条服务通道，．(1)求服务通道的长度；(2)若，求赛道的长度．例53．（2024·陕西西安·高一西安市第八十三中学校考期末）如图，在平面四边形中，，，.(1)求的大小；(2)求边的长度.例54．（2024·湖北武汉·高一武汉市第一中学校考阶段练习）记的内角、、的对边分别为、、，已知.(1)求；(2)若点在边上，且，，求.经典题型七：角平分线问题、中线问题、高问题例55．（2024·江苏盐城·高一统考期末）已知三角形ABC，，(1)若且AD为的平分线，D为BC上点，求的值.(2)若，，求AD的长例56．（2024·全国·高一专题练习）已知函数，其图像上相邻的最高点和最低点间的距离为．(1)求函数的解析式；(2)记的内角的对边分别为，，，．若角的平分线交于，求的长．例57．（2024·高一课时练习）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．(1)求A；(2)若D为的中点，E为的平分线与的交点，且，求的值．例58．（2024·全国·高一专题练习）的内角A，B，C的对边分别为a，b，C，已知．（1）求角C；（2）若CD是角C的平分线，，，求CD的长．例59．（2024·江苏淮安·高一统考期末）如图，中，，的平分线AD交BC于．  (1)若，求的余弦值；(2)若，求AD的取值范围．例60．（2024·湖南长沙·高一雅礼中学校考期末）在锐角中，角的对边分别是，，，若(1)求角的大小；(2)若，求中线长的范围（点是边中点）.例61．（2024·辽宁大连·高一校联考期末）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，.(1)求；(2)若的面积为，求边上的中线的长.例62．（2024·浙江湖州·高一湖州中学校考阶段练习）在中，已知，，，，边上的两条中线，相交于点P．(1)求的长度；(2)求的余弦值．例63．（2024·全国·高一专题练习）已知中，为中线，，.(1)若，求边的长；(2)当面积最大时，求的值.例64．（2024·福建·高一福建省福清第一中学校考阶段练习）的内角，，的对边分别为，，，已知，.(1)求及；(2)若，求边上的高.例65．（2024·安徽安庆·高一统考期末）已知锐角三角形ABC中，sin(A+B)=，sin(A- B)=（1）求证: tanA=2tanB（2）设AB=3，求AB边上的高CD.例66．（2024·山西长治·高一山西省长治市第二中学校校考阶段练习）（1）在中，已知，，，求；（2）在中，,,，求边AC上的高．模块三：数学思想方法①分类讨论思想例67．（2024·重庆北碚·高一西南大学附中校考期末）中，角的对边分别为，若，，，则（    ）A．30° B．60° C．120° D．150°例68．（2024·江苏南通·高二统考期末）在中，设角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，，，的面积，则a等于（    ）A． B． C．或 D．例69．（2024·山东菏泽·高三山东省郓城第一中学校考期末）在解三角形中，如何由三角形的三边求出三角形的面积，在古代一直是个困难的问题．古希腊数学家海伦在他的著作《测地术》中证明了公式其中这个公式叫海伦公式．如果一个周长等于12的等腰三角形的最长边比最短边大3，则这个三角形的面积（    ）A． B． C． D．例70．（2024·江苏徐州·高三学业考试）在锐角三角形中，点为延长线上一点，且，则三角形的面积为（    ）A． B．C． D．例71．（2024·江苏无锡·高一江苏省梅村高级中学校考期末）有一道解三角形的题，因为纸张破损，在划横线地方有一个已知条件看不清．具体如下：在中角所对的边长分别为，已知角，，________，求角．若已知正确答案为，且必须使用所有已知条件才能解得，请你选出一个符合要求的已知条件是（    ）A． B．C． D．②转化与化归思想例72．（2024·高一校考单元测试）在中，内角、、所对的边分别为、、，若、、，则（    ）A． B． C． D．例73．（2024·四川眉山·统考三模）在中，分别是角所对的边，若，则（    ）A． B． C． D．例74．（2024·高一课时练习）在中，，则的值为（    ）A． B．－ C．－ D．例75．（2024·贵州黔东南·高一统考期末）在中，，，，则的外接圆半径为（    ）A． B． C．3 D．例76．（2024·上海·高考真题）在中，若，则一定是（    ）A．等腰直角三角形 B．等腰三角形C．直角三角形 D．等边三角形例77．（2024·河南郑州·高二郑州一中校考开学考试）在钝角中，已知，，，则的面积是（    ）A． B． C． D．③数形结合思想例78．（2024·陕西咸阳·高二咸阳市实验中学校考阶段练习）如图，某次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇在处发现在北偏东方向，相距的水面上的处，有蓝方一艘小艇正以每小时的速度沿南偏东方向前进，红方侦察艇立即以每小时的速度，沿北偏东方向拦截蓝方的小艇，则红方侦察艇拦截住蓝方小艇最少需要 小时．例79．（2024·全国·高三专题练习）在中，角A，B，C所对边分别为，，，则面积的最大值为 ．例80．（2024·北京·高三北京四中校考期末）如图，为了测量湖两侧的，两点之间的距离，某观测小组的三位同学分别在点，距离点30km处的点，以及距离点10km处的点进行观测.甲同学在点测得，乙同学在点测得，丙同学在点测得，则，两点间的距离为 km.例81．（2024·浙江嘉兴·高一校联考期末）彬塔，又称开元寺塔､彬县塔，民间称“雷峰塔”，位于陕西省彬县城内西南紫薇山下.某同学为测量彬塔的高度，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点测得塔顶的仰角为，则塔高 .例82．（2024·浙江杭州·高一浙江省杭州第二中学校考期末）一艘轮船按照北偏东40°方向，以18海里/小时的速度直线航行，一座灯塔原来在轮船的南偏东20°方向上，经过20分钟的航行，轮船与灯塔的距离为海里，则灯塔与轮船原来的距离为 海里.例83．（2024·河北·高三校联考阶段练习）如图，某商家欲在广场播放露天电影，幕布最高点A处离地面，最低点B处离地面．胡大爷的眼睛到地面的距离为，他带着高的小板凳去观影，由于观影人数众多，胡大爷决定站在板凳上观影，为了获得最佳观影效果（视角最大），胡大爷离幕布的水平距离应为 ．例84．（2024·福建厦门·高一厦门双十中学校考开学考试）如图，在中，，，点是延长线上的一点，且，则 .