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苏教版 (2019)必修 第二册12.2 复数的运算精品达标测试
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这是一份苏教版 (2019)必修 第二册12.2 复数的运算精品达标测试，文件包含122复数的运算七大题型练习原卷高中数学苏教版必修二docx、122复数的运算七大题型练习解析卷高中数学苏教版必修二docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共40页， 欢迎下载使用。
知识点01 复数的加减运算
1、复数的加法、减法运算法则：
设，（），我们规定：
知识点诠释：
（1）复数加法中的规定是实部与实部相加，虚部与虚部相加，减法同样．很明显，
两个复数的和（差）仍然是一个复数，复数的加（减）法可以推广到多个复数相加（减）的情形．
（2）复数的加减法，可模仿多项式的加减法法则计算，不必死记公式．
2、复数的加法运算律：
交换律：
结合律：
【即学即练1】（2024·高一·全国·专题练习）化简下列复数
(1)
(2)
知识点02 复数的乘除运算
1、乘法运算法则：
设，（），我们规定：
知识点诠释：
（1）两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把换成，并且把实部与虚部分别合并．两个复数的积仍然是一个复数．
（2）在进行复数除法运算时，通常先把除式写成分式的形式，再把分子与分母都乘以分母的共轭复数（分母实数化），化简后写成代数形式．
2、乘法运算律：
（1）交换律：
（2）结合律：
（3）分配律：
【即学即练2】（2024·高一·全国·专题练习）计算
(1)
(2)
(3)
题型一：复数代数形式的加、减运算
【典例1-1】（22-23高一·全国·随堂练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
【典例1-2】（22-23高一·全国·随堂练习）计算下列各式的值．
(1)；
(2)；
(3)．
【变式1-1】（22-23高一·全国·随堂练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【变式1-2】（22-23高一·全国·随堂练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【方法技巧与总结】
解决复数加减运算的思路
两个复数相加（减），就是把两个复数的实部相加（减），虚部相加（减）．复数的减法是加法的逆运算．当多个复数相加（减）时，可将这些复数的所有实部相加（减），所有虚部相加（减）．
题型二：复数代数形式的乘法运算
【典例2-1】（2024·高一·全国·专题练习）计算
(1)
(2)
(3)
【典例2-2】（22-23高一·全国·随堂练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【变式2-1】（22-23高一·全国·随堂练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【变式2-2】（22-23高一·全国·随堂练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【变式2-3】（22-23高一·全国·课堂例题）计算
【方法技巧与总结】
（1）两个复数代数形式乘法的一般方法
①首先按多项式的乘法展开．
②再将换成．
③然后再讲行复数的加、减运簯．
（2）常用公式
①．
②．
③．
题型三：共轭复数的概念
【典例3-1】（2024·高三·北京·开学考试）已知复数的共轭为，若，则的实部为（ ）
A．1B．C．D．i
【典例3-2】（2024·海南海口·模拟预测）已知，则复数的共轭复数的虚部为（ ）
A．B．C．D．
【变式3-1】（2024·高一·黑龙江大庆·期末）若复数z满足：，则的共轭复数的虚部为（ ）
A．-2B．iC．0D．2
【变式3-2】（多选题）（2024·高一·浙江绍兴·期末）已知i是虚数单位，，复数，共轭，则以下正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式3-3】（22-23高一·全国·课时练习）对于任意虚数z，的共轭一定是 ，一定是 ，一定是 ，一定是
【变式3-4】（2024·高三·四川绵阳·阶段练习）已知i是虚数单位，若复数满足，则的共轭复数的虚部为 .
【方法技巧与总结】
（1）有关复数及其共轭复数的题目，注意共轨复数的性质：（1）设，则
（2）紧紧抓住复数相等的充要条件，把复数问题转化成实数问题是解决本题的关键，正确熟练地进行复数运算是解题的基础．
题型四：复数代数形式的除法运算
【典例4-1】（2024·高三·天津南开·阶段练习）已知是虚数单位，复数 ．
【典例4-2】（2024·四川成都·模拟预测）已知i为虚数单位，计算： ．
【变式4-1】（2024·高三·天津·期中）已知为实数，若复数为纯虚数，则的值为 .
【变式4-2】（2023高三·广东·学业考试）已知i是虚数单位，则复数的虚部为 .
【变式4-3】（2024·高一·浙江嘉兴·期中）复数，则z的虚部为 .
【方法技巧与总结】
（1）两个复数代数形式的除法运算步骤
①首先将除式写为分式．
②再将分子、分母同乘以分母的共轭复数．
③然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式．
（2）常用公式
①；②；③．
题型五：的运算特征
【典例5-1】（2024·高一·湖南湘西·期末） .（为虚数单位）
【典例5-2】（2024·高一·江苏·专题练习）计算.
【变式5-1】（22-23高一·全国·随堂练习）计算（其中）：
(1)；
(2)．
【变式5-2】（22-23高一·全国·随堂练习）化简：，，，，，，，．
【变式5-3】（2024·高一·河北张家口·阶段练习）已知复数，其中.
(1)若，求实数的值；
(2)若且是纯虚数，求.
【变式5-4】（2024·高一·全国·课时练习）计算：
(1)；
(2).
【变式5-5】（2024·高一·全国·单元测试）已知i是虚数单位，，设复数，求的值.
【方法技巧与总结】
（1）虚数单位的性质
①．
②．
（2）复数的乘方运算，要充分使用及乘方运算律简化运算．
题型六：复数四则运算的综合应用
【典例6-1】（2024·高一·河南焦作·阶段练习）计算：
(1)；
(2).
【典例6-2】（22-23高一·全国·课堂例题）已知复数，，求及．
【变式6-1】（2024·高一·全国·单元测试）计算：
(1)；
(2)
【变式6-2】（2023高一·全国·专题练习）计算．
(1)；
(2)．
(3)；
(4)；
(5).
【变式6-3】（22-23高一·全国·课时练习）复数，其中为虚数单位．
(1)求及；
(2)若，求实数，的值．
【变式6-4】（21-22高一·全国·课时练习）计算：
(1)；
(2)．
【方法技巧与总结】
(1)进行复数四则混合运算时，要先算乘方，再算乘除，最后计算加减．
(2)复数乘法、除法运算中注意一些结论的应用．
题型七：在复数范围内解方程
【典例7-1】（2024高三·全国·专题练习）已知关于的二次方程．
(1)当为何值时，这个方程有一个实根？
(2)是否存在，使得原方程有纯虚数根？若存在，求出的值；若不存在，试说明理由．
【典例7-2】（2024·高三·江苏徐州·阶段练习）已知复数，为z的共轭复数，且．
(1)求m的值；
(2)若是关于x的实系数一元二次方程的一个根，求该一元二次方程的另一复数根．
【变式7-1】（2024·高三·广东深圳·阶段练习）已知复数，，其中i为虚数单位，且满足，且为纯虚数.
(1)若复数，在复平面内对应点在第一象限，求复数z；
(2)求；
(3)若在（1）中条件下的复数z是关于x的方程的一个根，求实数m，n的值.
【变式7-2】（2024·高一·青海海东·阶段练习）已知复数，在复平面内对应的点分别为，，其中．
(1)若m＝1，求；
(2)若是关于x的方程的一个复数根，求m的值及．
【变式7-3】（2024·高一·全国·单元测试）已知i是虚数单位，，.
(1)求的值；
(2)若复数是关于的方程的一个根，求实数的值．
【方法技巧与总结】
在复数范围内，实系数一元二次方程的求解方法
(1)求根公式法
①当时，.
②当时，.
(2)利用复数相等的定义求解
设方程的根为，将此根代入方程，化简后利用复数相等的定义求解．
一、单选题
1．（2024·湖南岳阳·模拟预测）已知为虚数单位，是关于的方程的一个根，则实数（ ）
A．2B．3C．4D．5
2．（2024·全国·模拟预测）已知复数的实部为3，则实数的值为（ ）
A．B．1C．2D．5
3．（2024·全国·一模）若，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·高三·浙江·开学考试）已知复数满足，则（ ）
A．-2B．C．D．2
5．（2024·高三·河北·阶段练习）若，则（ ）
A．B．
C．D．
6．（2024·高三·河北廊坊·期末）若复数为纯虚数，则（ ）
A．-1B．0C．1D．2
7．（2024·高三·安徽·阶段练习）若是关于的实系数方程的一个复数根，且，则（ ）
A．B．C．D．
8．（2024·高三·江苏·期末）已知复数（为虚数单位），则复数（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．（2024·高二·河北石家庄·阶段练习）下面四个命题中的真命题为（ ）
A．若复数z满足，则
B．若复数z满足，则
C．若复数，满足，则
D．若复数，则
10．（2024·高一·山东枣庄·阶段练习）下列四个命题中，真命题为（ ）
A．若复数满足，则B．若复数满足，则
C．若复数满足，则D．若复数满足，则
11．（2024·高三·重庆·期中）复数，其共轭复数为，则下列叙述正确的是（ ）
A．对应的点在复平面的第四象限B．是一个纯虚数
C．D．
三、填空题
12．（2024·高三·上海闵行·期中）已知为虚数单位，复数是关于的实系数方程的一个复数根，则 .
13．（2024·高一·全国·单元测试）复数的虚部为 “”是虚数单位
14．（2024·高一·河北衡水·期末）若复数：，则 ．
四、解答题
15．（2024·高一·陕西西安·期中）计算下列各题:
(1)；
(2).
16．（2024·高二·山东日照·阶段练习）已知.
(1)求的值；
(2)设,求的值.
17．（22-23高一·全国·随堂练习）设复数，若复数的虚部减去其实部的差等于，求复数．
18．（2024·高一·浙江嘉兴·期中）已知复数，且为纯虚数.
(1)求复数；
(2)若，求实数的值.
19．（2024·高一·广西南宁·阶段练习）已知复数，，其中i为虚数单位.
(1)若复数z为纯虚数，求m的值；
(2)若，求m的值.
课程标准
学习目标
（1）能在数系扩充基本思想指导下探索复数的加法法则，能用自己的语言阐释复数的加法法则，说明法则的合理性；能证明复数的加法满足交换律、结合律；会依据复数的加法法则进行运算；能说明复数的减法法则的合理性．
（2）能在数系扩充基本思想指导下探索复数的乘法法则，能用自己的语言解释复数的乘法法则；会依据复数的乘法法则进行运算；能说出共轭复数的性质．
（3）能类比实数除法的法则，探索复数除法的法则，能说明复数除法法则的合理性；会依据复数除法的法则进行复数除法运算．
（1）掌握复数代数表示式的四则运算．
知识点01 复数的加减运算
1、复数的加法、减法运算法则：
设，（），我们规定：
知识点诠释：
（1）复数加法中的规定是实部与实部相加，虚部与虚部相加，减法同样．很明显，
两个复数的和（差）仍然是一个复数，复数的加（减）法可以推广到多个复数相加（减）的情形．
（2）复数的加减法，可模仿多项式的加减法法则计算，不必死记公式．
2、复数的加法运算律：
交换律：
结合律：
【即学即练1】（2024·高一·全国·专题练习）化简下列复数
(1)
(2)
知识点02 复数的乘除运算
1、乘法运算法则：
设，（），我们规定：
知识点诠释：
（1）两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把换成，并且把实部与虚部分别合并．两个复数的积仍然是一个复数．
（2）在进行复数除法运算时，通常先把除式写成分式的形式，再把分子与分母都乘以分母的共轭复数（分母实数化），化简后写成代数形式．
2、乘法运算律：
（1）交换律：
（2）结合律：
（3）分配律：
【即学即练2】（2024·高一·全国·专题练习）计算
(1)
(2)
(3)
题型一：复数代数形式的加、减运算
【典例1-1】（22-23高一·全国·随堂练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
【典例1-2】（22-23高一·全国·随堂练习）计算下列各式的值．
(1)；
(2)；
(3)．
【变式1-1】（22-23高一·全国·随堂练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【变式1-2】（22-23高一·全国·随堂练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【方法技巧与总结】
解决复数加减运算的思路
两个复数相加（减），就是把两个复数的实部相加（减），虚部相加（减）．复数的减法是加法的逆运算．当多个复数相加（减）时，可将这些复数的所有实部相加（减），所有虚部相加（减）．
题型二：复数代数形式的乘法运算
【典例2-1】（2024·高一·全国·专题练习）计算
(1)
(2)
(3)
【典例2-2】（22-23高一·全国·随堂练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【变式2-1】（22-23高一·全国·随堂练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【变式2-2】（22-23高一·全国·随堂练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【变式2-3】（22-23高一·全国·课堂例题）计算
【方法技巧与总结】
（1）两个复数代数形式乘法的一般方法
①首先按多项式的乘法展开．
②再将换成．
③然后再讲行复数的加、减运簯．
（2）常用公式
①．
②．
③．
题型三：共轭复数的概念
【典例3-1】（2024·高三·北京·开学考试）已知复数的共轭为，若，则的实部为（ ）
A．1B．C．D．i
【典例3-2】（2024·海南海口·模拟预测）已知，则复数的共轭复数的虚部为（ ）
A．B．C．D．
【变式3-1】（2024·高一·黑龙江大庆·期末）若复数z满足：，则的共轭复数的虚部为（ ）
A．-2B．iC．0D．2
【变式3-2】（多选题）（2024·高一·浙江绍兴·期末）已知i是虚数单位，，复数，共轭，则以下正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式3-3】（22-23高一·全国·课时练习）对于任意虚数z，的共轭一定是 ，一定是 ，一定是 ，一定是
【变式3-4】（2024·高三·四川绵阳·阶段练习）已知i是虚数单位，若复数满足，则的共轭复数的虚部为 .
【方法技巧与总结】
（1）有关复数及其共轭复数的题目，注意共轨复数的性质：（1）设，则
（2）紧紧抓住复数相等的充要条件，把复数问题转化成实数问题是解决本题的关键，正确熟练地进行复数运算是解题的基础．
题型四：复数代数形式的除法运算
【典例4-1】（2024·高三·天津南开·阶段练习）已知是虚数单位，复数 ．
【典例4-2】（2024·四川成都·模拟预测）已知i为虚数单位，计算： ．
【变式4-1】（2024·高三·天津·期中）已知为实数，若复数为纯虚数，则的值为 .
【变式4-2】（2023高三·广东·学业考试）已知i是虚数单位，则复数的虚部为 .
【变式4-3】（2024·高一·浙江嘉兴·期中）复数，则z的虚部为 .
【方法技巧与总结】
（1）两个复数代数形式的除法运算步骤
①首先将除式写为分式．
②再将分子、分母同乘以分母的共轭复数．
③然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式．
（2）常用公式
①；②；③．
题型五：的运算特征
【典例5-1】（2024·高一·湖南湘西·期末） .（为虚数单位）
【典例5-2】（2024·高一·江苏·专题练习）计算.
【变式5-1】（22-23高一·全国·随堂练习）计算（其中）：
(1)；
(2)．
【变式5-2】（22-23高一·全国·随堂练习）化简：，，，，，，，．
【变式5-3】（2024·高一·河北张家口·阶段练习）已知复数，其中.
(1)若，求实数的值；
(2)若且是纯虚数，求.
【变式5-4】（2024·高一·全国·课时练习）计算：
(1)；
(2).
【变式5-5】（2024·高一·全国·单元测试）已知i是虚数单位，，设复数，求的值.
【方法技巧与总结】
（1）虚数单位的性质
①．
②．
（2）复数的乘方运算，要充分使用及乘方运算律简化运算．
题型六：复数四则运算的综合应用
【典例6-1】（2024·高一·河南焦作·阶段练习）计算：
(1)；
(2).
【典例6-2】（22-23高一·全国·课堂例题）已知复数，，求及．
【变式6-1】（2024·高一·全国·单元测试）计算：
(1)；
(2)
【变式6-2】（2023高一·全国·专题练习）计算．
(1)；
(2)．
(3)；
(4)；
(5).
【变式6-3】（22-23高一·全国·课时练习）复数，其中为虚数单位．
(1)求及；
(2)若，求实数，的值．
【变式6-4】（21-22高一·全国·课时练习）计算：
(1)；
(2)．
【方法技巧与总结】
(1)进行复数四则混合运算时，要先算乘方，再算乘除，最后计算加减．
(2)复数乘法、除法运算中注意一些结论的应用．
题型七：在复数范围内解方程
【典例7-1】（2024高三·全国·专题练习）已知关于的二次方程．
(1)当为何值时，这个方程有一个实根？
(2)是否存在，使得原方程有纯虚数根？若存在，求出的值；若不存在，试说明理由．
【典例7-2】（2024·高三·江苏徐州·阶段练习）已知复数，为z的共轭复数，且．
(1)求m的值；
(2)若是关于x的实系数一元二次方程的一个根，求该一元二次方程的另一复数根．
【变式7-1】（2024·高三·广东深圳·阶段练习）已知复数，，其中i为虚数单位，且满足，且为纯虚数.
(1)若复数，在复平面内对应点在第一象限，求复数z；
(2)求；
(3)若在（1）中条件下的复数z是关于x的方程的一个根，求实数m，n的值.
【变式7-2】（2024·高一·青海海东·阶段练习）已知复数，在复平面内对应的点分别为，，其中．
(1)若m＝1，求；
(2)若是关于x的方程的一个复数根，求m的值及．
【变式7-3】（2024·高一·全国·单元测试）已知i是虚数单位，，.
(1)求的值；
(2)若复数是关于的方程的一个根，求实数的值．
【方法技巧与总结】
在复数范围内，实系数一元二次方程的求解方法
(1)求根公式法
①当时，.
②当时，.
(2)利用复数相等的定义求解
设方程的根为，将此根代入方程，化简后利用复数相等的定义求解．
一、单选题
1．（2024·湖南岳阳·模拟预测）已知为虚数单位，是关于的方程的一个根，则实数（ ）
A．2B．3C．4D．5
2．（2024·全国·模拟预测）已知复数的实部为3，则实数的值为（ ）
A．B．1C．2D．5
3．（2024·全国·一模）若，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·高三·浙江·开学考试）已知复数满足，则（ ）
A．-2B．C．D．2
5．（2024·高三·河北·阶段练习）若，则（ ）
A．B．
C．D．
6．（2024·高三·河北廊坊·期末）若复数为纯虚数，则（ ）
A．-1B．0C．1D．2
7．（2024·高三·安徽·阶段练习）若是关于的实系数方程的一个复数根，且，则（ ）
A．B．C．D．
8．（2024·高三·江苏·期末）已知复数（为虚数单位），则复数（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．（2024·高二·河北石家庄·阶段练习）下面四个命题中的真命题为（ ）
A．若复数z满足，则
B．若复数z满足，则
C．若复数，满足，则
D．若复数，则
10．（2024·高一·山东枣庄·阶段练习）下列四个命题中，真命题为（ ）
A．若复数满足，则B．若复数满足，则
C．若复数满足，则D．若复数满足，则
11．（2024·高三·重庆·期中）复数，其共轭复数为，则下列叙述正确的是（ ）
A．对应的点在复平面的第四象限B．是一个纯虚数
C．D．
三、填空题
12．（2024·高三·上海闵行·期中）已知为虚数单位，复数是关于的实系数方程的一个复数根，则 .
13．（2024·高一·全国·单元测试）复数的虚部为 “”是虚数单位
14．（2024·高一·河北衡水·期末）若复数：，则 ．
四、解答题
15．（2024·高一·陕西西安·期中）计算下列各题:
(1)；
(2).
16．（2024·高二·山东日照·阶段练习）已知.
(1)求的值；
(2)设,求的值.
17．（22-23高一·全国·随堂练习）设复数，若复数的虚部减去其实部的差等于，求复数．
18．（2024·高一·浙江嘉兴·期中）已知复数，且为纯虚数.
(1)求复数；
(2)若，求实数的值.
19．（2024·高一·广西南宁·阶段练习）已知复数，，其中i为虚数单位.
(1)若复数z为纯虚数，求m的值；
(2)若，求m的值.
课程标准
学习目标
（1）能在数系扩充基本思想指导下探索复数的加法法则，能用自己的语言阐释复数的加法法则，说明法则的合理性；能证明复数的加法满足交换律、结合律；会依据复数的加法法则进行运算；能说明复数的减法法则的合理性．
（2）能在数系扩充基本思想指导下探索复数的乘法法则，能用自己的语言解释复数的乘法法则；会依据复数的乘法法则进行运算；能说出共轭复数的性质．
（3）能类比实数除法的法则，探索复数除法的法则，能说明复数除法法则的合理性；会依据复数除法的法则进行复数除法运算．
（1）掌握复数代数表示式的四则运算．
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