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高中数学苏教版 (2019)必修 第二册13.2 基本图形位置关系精品精练
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这是一份高中数学苏教版 (2019)必修 第二册13.2 基本图形位置关系精品精练，文件包含1321平面的基本性质六大题型练习原卷高中数学苏教版必修二docx、1321平面的基本性质六大题型练习解析卷高中数学苏教版必修二docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共68页， 欢迎下载使用。
知识点01 平面的基本概念
1、平面的概念：
“平面”是一个只描述而不定义的原始概念，常见的桌面、黑板面、平静的水面等都给我们以平面的形象．几何里的平面就是从这些物体中抽象出来的，但是，几何里的平面是无限延展的．
知识点诠释：
（1）“平面”是平的（这是区别“平面”与“曲面”的依据）；
（2）“平面”无厚薄之分；
（3）“平面”无边界，它可以向四周无限延展，这是区别“平面”与“平面图形”的依据．
2、平面的画法：
通常画平行四边形表示平面．
知识点诠释：
（1）表示平面的平行四边形，通常把它的锐角画成，横边长是其邻边的两倍；
（2）两个相交平面的画法：当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，把被遮住的部分的线段画为虚线或者不画；
3、平面的表示法：
（1）用一个希腊字母表示一个平面，如平面、平面、平面等；
（2）用表示平面的平行四边形的四个字母表示，如平面；
（3）用表示平面的平行四边形的相对两个顶点的两个字母表示，如平面或者平面；
4、点、直线、平面的位置关系：
（1）点A在直线a上，记作；点A在直线a外，记作；
（2）点A在平面上，记作；点A在平面外，记作；
（3）直线在平面内，记作；直线不在平面内，记作．
【即学即练1】（2024·高一·全国·课时练习）下面说法中正确的是（ ）
A．任何一个平面图形都是一个平面
B．平静的太平洋面是平面
C．平面就是平行四边形
D．在几何体的直观图中，平面多边形和圆、椭圆都可以表示一个平面
知识点02 平面的基本性质
平面的基本性质即书中的三个公理，它们是研究立体几何的基本理论基础．
1、公理1：
（1）文字语言表述：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内；
（2）符号语言表述：，，，；
（3）图形语言表述：
知识点诠释：
公理1是判断直线在平面内的依据．证明一条直线在某一平面内，只需证明这条直线上有两个不同的点在该平面内．“直线在平面内”是指“直线上的所有点都在平面内”．
2、公理2：
（1）文字语言表述：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面；
（2）符号语言表述：、、三点不共线有且只有一个平面，使得，，；
（3）图形语言表述：
知识点诠释：
公理2的作用是确定平面，是把空间问题化归成平面问题的重要依据．它还可用来证明“两个平面重合”．特别要注意公理2中“不在一条直线上的三点”这一条件．
“有且只有一个”的含义可以分开来理解．“有”是说明“存在”，“只有一个”说明“唯一”，所以“有且只有一个”也可以说成“存在”并且“唯一”，与确定同义．
（4）公理2的推论：
①过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面；
②过两条相交直线，有且只有一个平面；
③过两条平行直线，有且只有一个平面．
（5）作用：确定一个平面的依据．
3、公理3：
（1）文字语言表述：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线；
（2）符号语言表述：且；
（3）图形语言表述：
知识点诠释：
公理3的作用是判定两个平面相交及证明点在直线上的依据．
【即学即练2】（2024·高二·上海虹口·阶段练习）如图，在长方体中，、分别是和的中点．
(1)证明：、、、四点共面；
(2)对角线与平面交于点，交于点，求证：点共线；
(3)证明：、、三线共点．
题型一：平面的概念及其表示
【典例1-1】（2024·高二·新疆阿克苏·阶段练习）用集合符号表示下列语句：
(1)点在直线上，点不在直线上；
(2)平面与平面相交于过点的直线．
【典例1-2】（2024·高一·全国·随堂练习）用符号和图形表示下列语句：
(1)，两点既在平面内，又在平面内，则直线是平面与平面的交线；
(2)两条相交直线和都在平面内；
(3)直线在平面内，直线在平面外，与相交于一点．
【变式1-1】（2024·高二·新疆喀什·阶段练习）用符号表示下列语句，并画出相应的图形．
(1)点A在平面外，但点B在平面内；
(2)直线既在平面内，又在平面内．
【变式1-2】（2024·高二·全国·课时练习）用符号语言改写下列语句：
(1)点A在平面内，点B不在直线l上；
(2)直线l在平面内，直线m与平面有且只有一个公共点M；
(3)直线a和b相交于一点M．
【变式1-3】（2024·高二·全国·课时练习）下列图形表示两个相交平面，其中画法正确的是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-4】（2024·高一·湖南张家界·阶段练习）如图所示，用符号语言可表述为（ ）
A．，，B．，，
C．，，，D．，，，
【方法技巧与总结】（三种语言转换的注意事项）
（1）用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示．
（2）符号语言的意义．如点与直线的位置关系只能用“∈”或“∉”，直线与平面的位置关系只能用“⊂”或“⊄”．
（3）由符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意把被遮挡的部分画成虚线．
题型二：平面的确定
【典例2-1】（2024·高二·全国·课时练习）下列说法中，正确的是（ ）．
A．三点确定一个平面B．过一条直线的平面有无数多个
C．两条直线确定一个平面D．三条两两相交的直线确定三个平面
【典例2-2】（2024·高二·全国·课时练习）下列命题中是真命题的是（ ）
A．三点确定一个平面
B．一条直线和一个点确定一个平面
C．两条直线确定一个平面
D．两两相交且不共点的三条直线，确定一个平面
【变式2-1】（2024·高一·全国·课时练习）空间不重合的三个平面可以把空间分成（ ）
A．4或6或7个部分B．4或6或7或8个部分
C．4或7或8个部分D．6或7或8个部分
【变式2-2】（2024·高一·全国·专题练习）平面α，β，γ不能将空间分成（ ）
A．5部分B．6部分
C．7部分D．8部分
【变式2-3】（2024·高一·江苏镇江·阶段练习）下列命题中正确的是（ ）
A．过三点确定一个圆
B．两个相交平面把空间分成四个区域
C．三条直线两两相交，则确定一个平面
D．四边形一定是平面图形
【变式2-4】（2024·高二·全国·课时练习）一条直线和直线外的三点所确定的平面有（ ）
A．1个或3个B．1个或4个
C．1个，3个或4个D．1个，2个或4个
题型三：点线共面
【典例3-1】（2024·高一·河南洛阳·阶段练习）如图，在正方体中，P，Q分别是棱，的中点，平面平面，则下列结论错误的是（ ）
A．过点B
B．不一定过点B
C．的延长线与的延长线的交点在上
D．的延长线与的延长线的交点在上
【典例3-2】（2024·高一·全国·专题练习）如图所示，在空间四面体中，、分别是、的中点，、分别是、上的点，且，.求证：、、、四点共面；
【变式3-1】（2024·高二·全国·随堂练习）如图，已知E，F，G，H分别为四面体ABCD的棱长AB，BC，CD，AD的中点，求证：E，F，G，H四点共面．
【方法技巧与总结】
所谓点线共面问题就是指证明一些点或直线在同一个平面内的问题．
1、证明点线共面的主要依据：
（1）如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内（公理1）；②经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面（公理2及其推论）．
2、证明点线共面的常用方法：
（1）证明几点共面的问题可先取三点（不共线的三点）确定一个平面，再证明其余各点都在这个平面内；
（2）证明空间几条直线共面问题可先取两条（相交或平行）直线确定一个平面，再证明其余直线均在这个平面内．
题型四：三点共线
【典例4-1】（2024·高三·全国·专题练习）如图所示，在平面外，三边AB，AC，BC所在直线分别交平面于P，Q，R三点．求证：P，Q，R三点在同一直线上．
【典例4-2】（2024·高三·全国·专题练习）若所在的平面和所在平面相交，并且直线相交于一点O，求证：
(1)和、和、和分别在同一平面内；
(2)如果和、和、和分别相交，那么交点在同一直线上（如图）.
【变式4-1】（2024·高一·河南信阳·期中）如图，在正方体中，E，F分别是上的点，且.
(1)证明：四点共面；
(2)设，证明：A，O，D三点共线.
【变式4-2】（2024·高一·全国·专题练习）如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且．设EG与FH交于点P，求证：P，A，C三点共线．
【变式4-3】（2024·高一·全国·课时练习）如图，在长方体中，，截面．
(1)求证：B、P、三点共线；
(2)若，，，求DP的长．
【变式4-4】（2024·高一·全国·课时练习）已知平面平面，点，点，又，过三点确定的平面为，则是（ ）
A．直线B．直线
C．直线D．直线
【变式4-5】（2024·高一·河南开封·期末）如图，在正方体中，为棱的靠近上的三等分点.设与平面的交点为，则（ ）
A．三点共线，且
B．三点共线，且
C．三点不共线，且
D．三点不共线，且
【方法技巧与总结】
所谓点共线问题就是证明三个或三个以上的点在同—条直线上．
1、证明三点共线的依据是公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们还有其他的公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线．也就说一个点若是两个平面的公共点，则这个点在这两个平面的交线上．
对于这个公理应进一步理解下面三点：①如果两个相交平面有两个公共点，那么过这两点的直线就是它们的交线；②如果两个相交平面有三个公共点，那么这三点共线；③如果两个平面相交，那么一个平面内的直线和另一个平面的交点必在这两个平面的交线上．
2、证明三点共线的常用方法
方法1：首先找出两个平面，然后证明这三点都是这两个平面的公共点．根据公理3知，这些点都在交线上．
方法2：选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在其上．
题型五：三线共点问题
【典例5-1】（2024·高一·山东威海·期末）在空间四边形中，若，分别为，的中点，，，且，，则（ ）
A．直线与平行B．直线，，相交于一点
C．直线与异面D．直线，，相交于一点
【典例5-2】（2024·高三·全国·专题练习）如图，在空间四边形中，，分别是，的中点，，分别是边，上的点，且．求证：直线，，相交于一点．
【变式5-1】（2024·高一·陕西·期中）已知分别是正方体中和的中点.
(1)证明：四点共面.
(2)证明：三条直线交于一点.
【变式5-2】（2024·高一·安徽合肥·期中）如图，正四棱柱'．
(1)请在正四棱柱中，画出经过P、Q、R三点的截面（无需证明）；
(2)若Q、R分别为'中点，证明：AQ、CR、三线共点．
【变式5-3】（2024·高一·安徽芜湖·期中）如图，在三棱柱ABC-中，E为棱AB的中点，F为棱BC的中点.
(1)求证：E，F，C1，四点共面；
(2)求证：A1E，F，B交于一点.
【方法技巧与总结】（证明多点共线、多线共点的常用方法）
（1）证明三线共点常用的方法：
先证明两条直线相交于一点，然后证明这个点在两个平面内，第三条线是这两个平面的交线，于是该点在第三条直线上，从而得到三线共点．也可以先证明a，b相交于一点A，b与c相交于一点B，再证明A，B是同一点，从而得到a，b，c三线共点．
（2）类比线共点的证明方法，可得到三点共线的证明方法：
①首先找出两个平面的交线，然后证明这三点都是这两个平面的公共点，根据公理3，可推知这些点都在交线上，即三点共线．
②选择其中两点确定一条直线，然后证明第三个点也在这条直线上．
题型六：截面问题
【典例6-1】（2024·四川南充·一模）如图，正方体的棱长为2，E，F分别为，的中点，则平面截正方体所得的截面面积为（ ）
A．B．C．9D．18
【典例6-2】（2024·全国·模拟预测）如图，在棱长为2的正方体中，E为棱BC的中点，用过点，E，的平面截正方体，则截面周长为（ ）
A．B．9C．D．
【变式6-1】（2024·高二·上海普陀·期中）如图是长方体被一平面截得的几何体，四边形为截面，则四边形的形状为（ ）
A．梯形B．平行四边形
C．矩形D．上述三种图形以外的平面图形
【变式6-2】（2024·高一·黑龙江大庆·期末）在正三棱柱中，，，，，平面CMN截三棱柱所得截面的周长是（ ）
A．B．
C．D．
【变式6-3】（2024·高一·四川凉山·期末）在棱长为2的正方体中，E，F分别为，的中点，则正方体过点E，F，的截面面积为（ ）
A．B．5C．D．
【变式6-4】（2024·高一·重庆渝中·期中）正方体的棱长为2，P为中点，过A，P，三点的平面截正方体为两部分，则截面图形的面积为（ ）
A．B．C．D．
【变式6-5】（2024·新疆·二模）已知在直三棱柱中，E，F分别为，的中点，，，，，如图所示，若过A、E、F三点的平面作该直三棱柱的截面，则所得截面的面积为（ ）
A．B．C．D．
【变式6-6】（2024·高一·河南洛阳·阶段练习）如下图，在正方体中，棱长为分别是的中点．
(1)画出过三点的平面与平面、平面的交线；
(2)设过三点的平面与交于点，求的长．
【变式6-7】（2024·高一·湖南·课时练习）如图，在长方体，P为棱的中点，画出由，，P三点所确定的平面与长方体表面的交线．
【变式6-8】（2024·高一·重庆北碚·阶段练习）如图，在棱长为6的正方体中，P为的中点，Q为的一个三等分点（靠近C）．
(1)经过P，Q两点作平面，平面截正方体所得截面可能是n边形，请根据n的不同取值分别作出截面图形（每种情况作一个代表类型，例如只需要画一种，下面给了四幅图，可以不用完，如果不够请自行增加），保留作图痕迹；
(2)若M为AB的中点，求过点P，Q，M的截面的面积．
【方法技巧与总结】
利用平面的基本性质
一、单选题
1．（2024·高一·江苏苏州·阶段练习）设平面平面，点，点是的中点，当分别在平面内运动时，那么所有的动点C（ ）
A．不共面
B．当且仅当A，B分别在两条直线上移动时才共面
C．当且仅当A，B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面
D．共面
2．（2024·高一·河北石家庄·期中）有下列四个判断：①两条相交直线确定一个平面；②两条平行直线确定一个平面；③三个点确定一个平面；④一条直线和一点确定一个平面.正确的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．（2024·高二·四川乐山·阶段练习）三个平面将空间分成7个部分的示意图是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·高一·湖北黄冈·阶段练习）如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，分别在BC，CD上，且则下面几个说法中正确的个数是（ ）
①E，F，G，H四点共面；②③若直线EG与直线FH交于点P，则P，A，C三点共线．
A．0B．1C．2D．3
5．（2024·高一·湖北黄冈·阶段练习）若点A在平面内，直线l在平面内，点A不在直线l上，下列用集合表示这些语句的描述中，正确的是（ ）
A．且B．且
C．且D．且
6．（2024·高一·广东广州·期中）如图，在棱长为2的正方体中，N是的中点，过B、D、N的平面截该正方体所得截面的面积为（ ）
A．B．C．D．
7．（2024·吉林·模拟预测）在长方体中，直线与平面的交点为为线段的中点，则下列结论错误的是（ ）
A．三点共线B．四点异不共面
C．四点共面D．四点共面
8．（2024·高二·四川乐山·期末）在长方体中，若分别为的中点，过点作长方体的一截面，则该截面的周长为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．（2024·高一·陕西咸阳·阶段练习）下列说法，不正确的有（ ）
A．如果一条直线与另两条直线都相交，那么这三条直线必共面
B．如果三条直线两两都相交，那么它们能确定一个平面
C．如果三条直线相互平行，那么这三条直线在同一个平面上
D．如果一条直线与两条平行直线都相交，那么这三条直线确定一个平面
10．（2024·高三·山西大同·阶段练习）已知正方体中，为的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是（ ）
A．三点共线B．四点共面
C．四点共面D．四点共面
11．（2024·高一·贵州安顺·期末）木工小张在处理如图所示的一块四棱台形状的木块时，为了经过木料表面内一点和棱将木料平整锯开，需要在木料表面过点画直线.则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．与直线相交D．与直线相交
三、填空题
12．（2024·高二·全国·专题练习）设平面与平面相交于直线,直线，直线,,则M （用符号表示）．
13．（2024·高一·河南郑州·阶段练习）在四棱锥中，，，为中点，平面交于，则
14．（2024·高一·河北邯郸·期中）在正方体中，，E为棱上一点，且，则，E，C三点所在的平面截正方体所得截面的周长为 .
四、解答题
15．（2024·高二·上海·专题练习）如图，的各边对应平行于的各边，点E，F分别在边AB，AC上，且，试判断EF与的位置关系，并说明理由．
16．（2024·高一·全国·专题练习）如图，正方体的棱长为6，是的中点，点在棱上，且.作出过点，，的平面截正方体所得的截面，写出作法；
17．（2024·高一·河北唐山·阶段练习）如图，在正方体中，E、F分别是AB、AA1的中点，求证：
(1)证明：E、C、D1、F四点共面；
(2)设，证明：A，O，D三点共线．
18．（2024·高一·湖北武汉·期末）如图，棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，
(1)求作过，，三点的截面（写出作图过程）；
(2)求截面图形的面积
19．（2024·高一·安徽·期中）如图，在长方体中，，截面.
(1)确定点的位置；
(2)若，，，求线段的长.
课程标准
学习目标
（1）能够类比初中描述点、直线的方法，描述平面，感受平面的“平”和“无限延展”两个本质特征，会用图形、符号语言表示平面．
（2）能从实际情境中或借助模型归纳出三个基本事实，能从基本事实中推出3个推论，并用三种语言描述基本事实及其推论；能用自己的语言解释刻画平面基本性质的数学方法（三个基本事实分别从点与平面、直线与平面、平面与平面关系的角度刻画了平面的基本性质）．
（1）了解平面的表示方法，点、直线、平面的位置关系.
（2）掌握关于平面基本性质的三个基本事实.
（3）会用符号表示点、直线、平面之间的位置关系．
知识点01 平面的基本概念
1、平面的概念：
“平面”是一个只描述而不定义的原始概念，常见的桌面、黑板面、平静的水面等都给我们以平面的形象．几何里的平面就是从这些物体中抽象出来的，但是，几何里的平面是无限延展的．
知识点诠释：
（1）“平面”是平的（这是区别“平面”与“曲面”的依据）；
（2）“平面”无厚薄之分；
（3）“平面”无边界，它可以向四周无限延展，这是区别“平面”与“平面图形”的依据．
2、平面的画法：
通常画平行四边形表示平面．
知识点诠释：
（1）表示平面的平行四边形，通常把它的锐角画成，横边长是其邻边的两倍；
（2）两个相交平面的画法：当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，把被遮住的部分的线段画为虚线或者不画；
3、平面的表示法：
（1）用一个希腊字母表示一个平面，如平面、平面、平面等；
（2）用表示平面的平行四边形的四个字母表示，如平面；
（3）用表示平面的平行四边形的相对两个顶点的两个字母表示，如平面或者平面；
4、点、直线、平面的位置关系：
（1）点A在直线a上，记作；点A在直线a外，记作；
（2）点A在平面上，记作；点A在平面外，记作；
（3）直线在平面内，记作；直线不在平面内，记作．
【即学即练1】（2024·高一·全国·课时练习）下面说法中正确的是（ ）
A．任何一个平面图形都是一个平面
B．平静的太平洋面是平面
C．平面就是平行四边形
D．在几何体的直观图中，平面多边形和圆、椭圆都可以表示一个平面
知识点02 平面的基本性质
平面的基本性质即书中的三个公理，它们是研究立体几何的基本理论基础．
1、公理1：
（1）文字语言表述：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内；
（2）符号语言表述：，，，；
（3）图形语言表述：
知识点诠释：
公理1是判断直线在平面内的依据．证明一条直线在某一平面内，只需证明这条直线上有两个不同的点在该平面内．“直线在平面内”是指“直线上的所有点都在平面内”．
2、公理2：
（1）文字语言表述：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面；
（2）符号语言表述：、、三点不共线有且只有一个平面，使得，，；
（3）图形语言表述：
知识点诠释：
公理2的作用是确定平面，是把空间问题化归成平面问题的重要依据．它还可用来证明“两个平面重合”．特别要注意公理2中“不在一条直线上的三点”这一条件．
“有且只有一个”的含义可以分开来理解．“有”是说明“存在”，“只有一个”说明“唯一”，所以“有且只有一个”也可以说成“存在”并且“唯一”，与确定同义．
（4）公理2的推论：
①过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面；
②过两条相交直线，有且只有一个平面；
③过两条平行直线，有且只有一个平面．
（5）作用：确定一个平面的依据．
3、公理3：
（1）文字语言表述：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线；
（2）符号语言表述：且；
（3）图形语言表述：
知识点诠释：
公理3的作用是判定两个平面相交及证明点在直线上的依据．
【即学即练2】（2024·高二·上海虹口·阶段练习）如图，在长方体中，、分别是和的中点．
(1)证明：、、、四点共面；
(2)对角线与平面交于点，交于点，求证：点共线；
(3)证明：、、三线共点．
题型一：平面的概念及其表示
【典例1-1】（2024·高二·新疆阿克苏·阶段练习）用集合符号表示下列语句：
(1)点在直线上，点不在直线上；
(2)平面与平面相交于过点的直线．
【典例1-2】（2024·高一·全国·随堂练习）用符号和图形表示下列语句：
(1)，两点既在平面内，又在平面内，则直线是平面与平面的交线；
(2)两条相交直线和都在平面内；
(3)直线在平面内，直线在平面外，与相交于一点．
【变式1-1】（2024·高二·新疆喀什·阶段练习）用符号表示下列语句，并画出相应的图形．
(1)点A在平面外，但点B在平面内；
(2)直线既在平面内，又在平面内．
【变式1-2】（2024·高二·全国·课时练习）用符号语言改写下列语句：
(1)点A在平面内，点B不在直线l上；
(2)直线l在平面内，直线m与平面有且只有一个公共点M；
(3)直线a和b相交于一点M．
【变式1-3】（2024·高二·全国·课时练习）下列图形表示两个相交平面，其中画法正确的是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-4】（2024·高一·湖南张家界·阶段练习）如图所示，用符号语言可表述为（ ）
A．，，B．，，
C．，，，D．，，，
【方法技巧与总结】（三种语言转换的注意事项）
（1）用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示．
（2）符号语言的意义．如点与直线的位置关系只能用“∈”或“∉”，直线与平面的位置关系只能用“⊂”或“⊄”．
（3）由符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意把被遮挡的部分画成虚线．
题型二：平面的确定
【典例2-1】（2024·高二·全国·课时练习）下列说法中，正确的是（ ）．
A．三点确定一个平面B．过一条直线的平面有无数多个
C．两条直线确定一个平面D．三条两两相交的直线确定三个平面
【典例2-2】（2024·高二·全国·课时练习）下列命题中是真命题的是（ ）
A．三点确定一个平面
B．一条直线和一个点确定一个平面
C．两条直线确定一个平面
D．两两相交且不共点的三条直线，确定一个平面
【变式2-1】（2024·高一·全国·课时练习）空间不重合的三个平面可以把空间分成（ ）
A．4或6或7个部分B．4或6或7或8个部分
C．4或7或8个部分D．6或7或8个部分
【变式2-2】（2024·高一·全国·专题练习）平面α，β，γ不能将空间分成（ ）
A．5部分B．6部分
C．7部分D．8部分
【变式2-3】（2024·高一·江苏镇江·阶段练习）下列命题中正确的是（ ）
A．过三点确定一个圆
B．两个相交平面把空间分成四个区域
C．三条直线两两相交，则确定一个平面
D．四边形一定是平面图形
【变式2-4】（2024·高二·全国·课时练习）一条直线和直线外的三点所确定的平面有（ ）
A．1个或3个B．1个或4个
C．1个，3个或4个D．1个，2个或4个
题型三：点线共面
【典例3-1】（2024·高一·河南洛阳·阶段练习）如图，在正方体中，P，Q分别是棱，的中点，平面平面，则下列结论错误的是（ ）
A．过点B
B．不一定过点B
C．的延长线与的延长线的交点在上
D．的延长线与的延长线的交点在上
【典例3-2】（2024·高一·全国·专题练习）如图所示，在空间四面体中，、分别是、的中点，、分别是、上的点，且，.求证：、、、四点共面；
【变式3-1】（2024·高二·全国·随堂练习）如图，已知E，F，G，H分别为四面体ABCD的棱长AB，BC，CD，AD的中点，求证：E，F，G，H四点共面．
【方法技巧与总结】
所谓点线共面问题就是指证明一些点或直线在同一个平面内的问题．
1、证明点线共面的主要依据：
（1）如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内（公理1）；②经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面（公理2及其推论）．
2、证明点线共面的常用方法：
（1）证明几点共面的问题可先取三点（不共线的三点）确定一个平面，再证明其余各点都在这个平面内；
（2）证明空间几条直线共面问题可先取两条（相交或平行）直线确定一个平面，再证明其余直线均在这个平面内．
题型四：三点共线
【典例4-1】（2024·高三·全国·专题练习）如图所示，在平面外，三边AB，AC，BC所在直线分别交平面于P，Q，R三点．求证：P，Q，R三点在同一直线上．
【典例4-2】（2024·高三·全国·专题练习）若所在的平面和所在平面相交，并且直线相交于一点O，求证：
(1)和、和、和分别在同一平面内；
(2)如果和、和、和分别相交，那么交点在同一直线上（如图）.
【变式4-1】（2024·高一·河南信阳·期中）如图，在正方体中，E，F分别是上的点，且.
(1)证明：四点共面；
(2)设，证明：A，O，D三点共线.
【变式4-2】（2024·高一·全国·专题练习）如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且．设EG与FH交于点P，求证：P，A，C三点共线．
【变式4-3】（2024·高一·全国·课时练习）如图，在长方体中，，截面．
(1)求证：B、P、三点共线；
(2)若，，，求DP的长．
【变式4-4】（2024·高一·全国·课时练习）已知平面平面，点，点，又，过三点确定的平面为，则是（ ）
A．直线B．直线
C．直线D．直线
【变式4-5】（2024·高一·河南开封·期末）如图，在正方体中，为棱的靠近上的三等分点.设与平面的交点为，则（ ）
A．三点共线，且
B．三点共线，且
C．三点不共线，且
D．三点不共线，且
【方法技巧与总结】
所谓点共线问题就是证明三个或三个以上的点在同—条直线上．
1、证明三点共线的依据是公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们还有其他的公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线．也就说一个点若是两个平面的公共点，则这个点在这两个平面的交线上．
对于这个公理应进一步理解下面三点：①如果两个相交平面有两个公共点，那么过这两点的直线就是它们的交线；②如果两个相交平面有三个公共点，那么这三点共线；③如果两个平面相交，那么一个平面内的直线和另一个平面的交点必在这两个平面的交线上．
2、证明三点共线的常用方法
方法1：首先找出两个平面，然后证明这三点都是这两个平面的公共点．根据公理3知，这些点都在交线上．
方法2：选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在其上．
题型五：三线共点问题
【典例5-1】（2024·高一·山东威海·期末）在空间四边形中，若，分别为，的中点，，，且，，则（ ）
A．直线与平行B．直线，，相交于一点
C．直线与异面D．直线，，相交于一点
【典例5-2】（2024·高三·全国·专题练习）如图，在空间四边形中，，分别是，的中点，，分别是边，上的点，且．求证：直线，，相交于一点．
【变式5-1】（2024·高一·陕西·期中）已知分别是正方体中和的中点.
(1)证明：四点共面.
(2)证明：三条直线交于一点.
【变式5-2】（2024·高一·安徽合肥·期中）如图，正四棱柱'．
(1)请在正四棱柱中，画出经过P、Q、R三点的截面（无需证明）；
(2)若Q、R分别为'中点，证明：AQ、CR、三线共点．
【变式5-3】（2024·高一·安徽芜湖·期中）如图，在三棱柱ABC-中，E为棱AB的中点，F为棱BC的中点.
(1)求证：E，F，C1，四点共面；
(2)求证：A1E，F，B交于一点.
【方法技巧与总结】（证明多点共线、多线共点的常用方法）
（1）证明三线共点常用的方法：
先证明两条直线相交于一点，然后证明这个点在两个平面内，第三条线是这两个平面的交线，于是该点在第三条直线上，从而得到三线共点．也可以先证明a，b相交于一点A，b与c相交于一点B，再证明A，B是同一点，从而得到a，b，c三线共点．
（2）类比线共点的证明方法，可得到三点共线的证明方法：
①首先找出两个平面的交线，然后证明这三点都是这两个平面的公共点，根据公理3，可推知这些点都在交线上，即三点共线．
②选择其中两点确定一条直线，然后证明第三个点也在这条直线上．
题型六：截面问题
【典例6-1】（2024·四川南充·一模）如图，正方体的棱长为2，E，F分别为，的中点，则平面截正方体所得的截面面积为（ ）
A．B．C．9D．18
【典例6-2】（2024·全国·模拟预测）如图，在棱长为2的正方体中，E为棱BC的中点，用过点，E，的平面截正方体，则截面周长为（ ）
A．B．9C．D．
【变式6-1】（2024·高二·上海普陀·期中）如图是长方体被一平面截得的几何体，四边形为截面，则四边形的形状为（ ）
A．梯形B．平行四边形
C．矩形D．上述三种图形以外的平面图形
【变式6-2】（2024·高一·黑龙江大庆·期末）在正三棱柱中，，，，，平面CMN截三棱柱所得截面的周长是（ ）
A．B．
C．D．
【变式6-3】（2024·高一·四川凉山·期末）在棱长为2的正方体中，E，F分别为，的中点，则正方体过点E，F，的截面面积为（ ）
A．B．5C．D．
【变式6-4】（2024·高一·重庆渝中·期中）正方体的棱长为2，P为中点，过A，P，三点的平面截正方体为两部分，则截面图形的面积为（ ）
A．B．C．D．
【变式6-5】（2024·新疆·二模）已知在直三棱柱中，E，F分别为，的中点，，，，，如图所示，若过A、E、F三点的平面作该直三棱柱的截面，则所得截面的面积为（ ）
A．B．C．D．
【变式6-6】（2024·高一·河南洛阳·阶段练习）如下图，在正方体中，棱长为分别是的中点．
(1)画出过三点的平面与平面、平面的交线；
(2)设过三点的平面与交于点，求的长．
【变式6-7】（2024·高一·湖南·课时练习）如图，在长方体，P为棱的中点，画出由，，P三点所确定的平面与长方体表面的交线．
【变式6-8】（2024·高一·重庆北碚·阶段练习）如图，在棱长为6的正方体中，P为的中点，Q为的一个三等分点（靠近C）．
(1)经过P，Q两点作平面，平面截正方体所得截面可能是n边形，请根据n的不同取值分别作出截面图形（每种情况作一个代表类型，例如只需要画一种，下面给了四幅图，可以不用完，如果不够请自行增加），保留作图痕迹；
(2)若M为AB的中点，求过点P，Q，M的截面的面积．
【方法技巧与总结】
利用平面的基本性质
一、单选题
1．（2024·高一·江苏苏州·阶段练习）设平面平面，点，点是的中点，当分别在平面内运动时，那么所有的动点C（ ）
A．不共面
B．当且仅当A，B分别在两条直线上移动时才共面
C．当且仅当A，B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面
D．共面
2．（2024·高一·河北石家庄·期中）有下列四个判断：①两条相交直线确定一个平面；②两条平行直线确定一个平面；③三个点确定一个平面；④一条直线和一点确定一个平面.正确的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．（2024·高二·四川乐山·阶段练习）三个平面将空间分成7个部分的示意图是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·高一·湖北黄冈·阶段练习）如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，分别在BC，CD上，且则下面几个说法中正确的个数是（ ）
①E，F，G，H四点共面；②③若直线EG与直线FH交于点P，则P，A，C三点共线．
A．0B．1C．2D．3
5．（2024·高一·湖北黄冈·阶段练习）若点A在平面内，直线l在平面内，点A不在直线l上，下列用集合表示这些语句的描述中，正确的是（ ）
A．且B．且
C．且D．且
6．（2024·高一·广东广州·期中）如图，在棱长为2的正方体中，N是的中点，过B、D、N的平面截该正方体所得截面的面积为（ ）
A．B．C．D．
7．（2024·吉林·模拟预测）在长方体中，直线与平面的交点为为线段的中点，则下列结论错误的是（ ）
A．三点共线B．四点异不共面
C．四点共面D．四点共面
8．（2024·高二·四川乐山·期末）在长方体中，若分别为的中点，过点作长方体的一截面，则该截面的周长为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．（2024·高一·陕西咸阳·阶段练习）下列说法，不正确的有（ ）
A．如果一条直线与另两条直线都相交，那么这三条直线必共面
B．如果三条直线两两都相交，那么它们能确定一个平面
C．如果三条直线相互平行，那么这三条直线在同一个平面上
D．如果一条直线与两条平行直线都相交，那么这三条直线确定一个平面
10．（2024·高三·山西大同·阶段练习）已知正方体中，为的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是（ ）
A．三点共线B．四点共面
C．四点共面D．四点共面
11．（2024·高一·贵州安顺·期末）木工小张在处理如图所示的一块四棱台形状的木块时，为了经过木料表面内一点和棱将木料平整锯开，需要在木料表面过点画直线.则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．与直线相交D．与直线相交
三、填空题
12．（2024·高二·全国·专题练习）设平面与平面相交于直线,直线，直线,,则M （用符号表示）．
13．（2024·高一·河南郑州·阶段练习）在四棱锥中，，，为中点，平面交于，则
14．（2024·高一·河北邯郸·期中）在正方体中，，E为棱上一点，且，则，E，C三点所在的平面截正方体所得截面的周长为 .
四、解答题
15．（2024·高二·上海·专题练习）如图，的各边对应平行于的各边，点E，F分别在边AB，AC上，且，试判断EF与的位置关系，并说明理由．
16．（2024·高一·全国·专题练习）如图，正方体的棱长为6，是的中点，点在棱上，且.作出过点，，的平面截正方体所得的截面，写出作法；
17．（2024·高一·河北唐山·阶段练习）如图，在正方体中，E、F分别是AB、AA1的中点，求证：
(1)证明：E、C、D1、F四点共面；
(2)设，证明：A，O，D三点共线．
18．（2024·高一·湖北武汉·期末）如图，棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，
(1)求作过，，三点的截面（写出作图过程）；
(2)求截面图形的面积
19．（2024·高一·安徽·期中）如图，在长方体中，，截面.
(1)确定点的位置；
(2)若，，，求线段的长.
课程标准
学习目标
（1）能够类比初中描述点、直线的方法，描述平面，感受平面的“平”和“无限延展”两个本质特征，会用图形、符号语言表示平面．
（2）能从实际情境中或借助模型归纳出三个基本事实，能从基本事实中推出3个推论，并用三种语言描述基本事实及其推论；能用自己的语言解释刻画平面基本性质的数学方法（三个基本事实分别从点与平面、直线与平面、平面与平面关系的角度刻画了平面的基本性质）．
（1）了解平面的表示方法，点、直线、平面的位置关系.
（2）掌握关于平面基本性质的三个基本事实.
（3）会用符号表示点、直线、平面之间的位置关系．
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