高中数学苏教版 (2019)必修 第二册13.2 基本图形位置关系精品课后复习题

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知识点01 平行线的传递性
基本事实4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．
符号表示：a∥b，b∥c⇒a∥c．
【即学即练1】（2024·高一·河南洛阳·阶段练习）下列命题中，真命题有（ ）
①如果两条相交直线与另外两条相交直线分别平行，那么这两条相交直线和另外两条相交直线所成的锐角或直角相等；
②如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补；
③分别在两个不同的平面内且没有公共点的直线互相平行；
④，若，，则或.
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【解析】由等角定理知，①正确，④正确；对于②，如图正方体中，
对于和，显然有，，
但是，，故②错误；
当两直线没有公共点且它们位于不同的平面内，则也可以平行，也可以异面，故③错误.
故正确的只有①④.
故选：B
知识点02 等角定理
空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
【即学即练2】（2024·高二·上海长宁·期末）已知和且，则 ．
【答案】或
【解析】如图1，此时，
如图2，此时，
故答案为：或.
知识点03 异面直线
1、定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．
2、画法：
3、两异面直线所成角的常用方法
平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：
（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；
（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；
（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；
（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．
【即学即练3】（2024·高一·河南周口·期末）如图，在三棱锥中，，都为等边三角形，，，M为中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）

A．B．C．D．0
【答案】D
【解析】M为中点，取中点为N，连接，如图所示，
则，即为异面直线与所成角，
，都为等边三角形，，，则，
在中，，，，
故.
故选：D.
知识点04 空间两条直线的位置关系
【即学即练4】（2024·高二·黑龙江·学业考试）如图，在正方体中，与平行的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】根据题意可知：、与相交，与平行，与异面，
故ABD错误，C正确.
故选：C.
题型一：基本事实4的应用
【典例1-1】（2024·全国·高一课时练习）已知棱长为的正方体中，，分别为，的中点．求证：四边形是梯形．
【解析】
证明：如图所示：
连接AC，
由正方体的性质可知：
AA′=CC′，AA′CC′，
∴四边形AA′C′C为平行四边形，
∴A′C′=AC．A′C′AC，
又∵M，N分别是CD，AD的中点，
∴MN∥AC，且MN＝AC，
∴MN∥A′C′且MN≠A′C′．
∴四边形MNA′C′是梯形．
【典例1-2】（2024·全国·高一课时练习）如图，在三棱锥中，M，N，E，F分别为棱SA，SC，AB，BC的中点，试判断直线MN与直线EF是否平行．
【解析】
在三棱锥中，M，N分别为棱SA，SC的中点，则有MN//AC，
而E，F分别为棱AB，BC的中点，则有EF//AC，
由平行公理得：MN//EF，
所以直线MN与直线EF平行．
【变式1-1】（2024·全国·高一课时练习）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中的平面A1C1内有一点P，经过点P作棱BC的平行线，应该怎样画?并说明理由.
【解析】
如图，在平面A1B1C1D1内过P作直线EF∥B1C1，交A1B1于E，交C1D1于F，
∴直线EF即为所求.
理由如下：由EF∥B1C1，BC∥B1C1，则EF∥BC.
【方法技巧与总结】（证明两直线平行的常用方法）
（1）利用平面几何的结论，如平行四边形的对边，三角形的中位线与底边；
（2）定义法：即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点；
（3）利用基本事实4：找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行．
题型二：等角定理的应用
【典例2-1】（2024·高一·新疆伊犁·期末）已知，的两边EF、FM分别平行于的两边AB与BC.则 ．
【答案】或
【解析】由等角定理，如果一个角的两边与另一个角的两边平行，则两个角相等或互补，所以或.
故答案为：或.
【典例2-2】（2024·高一·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知空间中两个角，，且角与角的两边分别平行，若，则 ．
【答案】或
【解析】根据等角定理知：或，
若，则或.
故答案为：或
【变式2-1】（2024·高一·广西玉林·期末）设与的两边分别平行，若，则 .
【答案】或
【解析】根据等角定理：一个角的两边平行于另外一个角的两边，则这两个角相等或互补．
所求角为或.
故答案为：或.
【变式2-2】（2024·高一·全国·课时练习）已知角的两边和角的两边分别平行且，则 .
【答案】或.
【解析】由等角定理可知，或，或.
故答案为：或.
【变式2-3】（2024·高一·江苏常州·阶段练习）已知空间中两个角，且，若，则 .
【答案】或
【解析】因为两个角，且，
则的两边分别平行，
所以相等或互补，
又，所以或
故答案为：或
【方法技巧与总结】（应用等角定理的注意事项）
空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．注意观察两角的方向是否相同，若相同，则两角相等；若不同，则两角互补．
题型三：直线与直线的位置关系
【典例3-1】（2024·高二·北京·学业考试）在空间中，若两条直线与没有公共点，则a与b（ ）
A．相交B．平行C．是异面直线D．可能平行，也可能是异面直线
【答案】D
【解析】由题意知在空间中，两条直线与没有公共点，即与不相交，
则a与b可能平行，也可能是异面直线，
故选：D
【典例3-2】（2024·高二·上海·期末）如果直线a和b没有公共点，那么a与b（ ）
A．共面B．平行
C．可能平行，也可能是异面直线D．是异面直线
【答案】C
【解析】∵直线a和b没有公共点，
∴直线a与b不是相交直线．
∴直线a与b可能是相交直线或异面直线．
故选：C．
【变式3-1】（2024·高二·重庆铜梁·阶段练习）如图，在正方体中，M、N分别为棱、的中点，有以下四个结论：①直线AM与是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与是异面直线；④直线AM与是异面直线．其中正确的结论为（ ）
A．③④B．①②C．①③D．②④
【答案】A
【解析】∵A、M、三点共面，且在平面，但平面，，
∴直线AM与是异面直线，故①错误；
因为平面，平面，但平面，，
所以直线AM与BN也是异面直线，故②错误；
因为平面，平面，但平面，，
所以直线BN与是异面直线，故③正确；
因为平面，平面，但平面，，
所以直线AM与是异面直线，故④正确．
故选：A．
【方法技巧与总结】（判定两直线异面的常用方法）
（1）定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内；
（2）排除法（反证法）：排除两直线共面（平行或相交）的情况．
题型四：异面直线所成的角
【典例4-1】（2024·高二·重庆·期末）在正方体中，点是棱的中点，则异面直线与所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】如图所示，取中点，连接，取中点，连接，
则，
所以四边形是平行四边形，所以，
所以或其补角是异面直线与所成角，
设正方体棱长为2，则，
在等腰中，是中点，所以，
所以，
即异面直线与所成角的正弦值为.
故选：C
【典例4-2】（2024·高二·四川达州·阶段练习）如图，在正方体 中，为线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
如图，连接，，
因为，，
所以四边形是平行四边形，
，因此是异面直线与所成的角或其补角，
设正方体的棱长为2，则，，
在直角三角形中，，
，即三角形是直角三角形，
，
即异面直线与所成角的余弦值为.
故选：C.
【变式4-1】（2024·高三·河北邯郸·阶段练习）如图，已知圆柱的底面半径和母线长均为1，分别为上、下底面圆周上的点，若异面直线所成的角为，则（ ）
A．1B．C．1或2D．2或
【答案】D
【解析】如图，过点作平面于点，则是母线，
连接底面，，
则四边形是平行四边形，，
与所成的角就是或其补角．
当时，是等边三角形，，
在中，；
当时，在中，，
在中，．
综上，或.
故选：D．
【变式4-2】（2024·高一·陕西宝鸡·阶段练习）如图，在四面体中，、分别为、的中点，若、所成的角为，且，则的长为（ ）

A．B．C．D．或
【答案】D
【解析】取线段的中点，连接、，
因为、分别为、的中点，则且，
同理可得且，
所以，异面直线、所成的角为或其补角，
①若，则是边长为的等边三角形，故；
②若，因为，则为等腰三角形，且，
取的中点，则，且.
综上所述，或.
故选：D.
【变式4-3】（2024·湖南岳阳·模拟预测）如图，已知长方体的底面是边长为2的正方形，为其上底面的中心，在此长方体内挖去四棱锥后所得的几何体的体积为.
(1)求线段的长；
(2)求异面直线与所成的角.
【解析】（1）依题意，得，
解得；
（2）如图，取的中点，连接，则，
所以是两异面直线与所成的角，
因为平面，所以平面，
又平面，所以，
在中，，
则，所以，
所以异面直线与所成的角为.
【方法技巧与总结】（两异面直线所成角的常用方法）
平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：
（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；
（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；
（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；
（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．
一、单选题
1．（2024·高二·北京昌平·期末）如图，在正方体中，直线与直线所成角的大小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
连接，，在正方体中，易得，
故直线与直线所成角的大小与直线与直线所成角大小相等，
又，故为等边三角形，故，
即直线与直线所成角的大小为.
故选：C.
2．（2024·高一·新疆喀什·期末）正方体中，点分别是的中点，则与所成角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】正方体中，连接，
由分别是的中点，得，四边形是正方体的对角面，
则四边形是矩形，于是，即有，
因此是异面直线与所成角或其补角，
在中，，则，
所以与所成角为.
故选：C
3．（2024·高一·新疆阿克苏·阶段练习）如下图，是正方体面对角线上的动点，下列直线中，始终与直线异面的是（ ）
A．直线B．直线C．直线D．直线
【答案】D
【解析】当P位于中点时，易知，由正方体的特征可知四边形为平行四边形，此时、面，故A错误；
当P与重合时，此时、面，故B错误；
当P与重合时，由正方体的特征可知四边形为平行四边形，此时，故C错误；
由正方体的特征可知四边形为平行四边形，
而平面，平面，、平面，，
故与始终异面，即D正确.
故选：D
4．（2024·高二·福建厦门·期中）如图，在正方体中，M是的中点，则异面直线，所成角的余弦值是（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【解析】连接,取，的中点,连接;
在正方体内，因为分别为的中点，
所以,故四边形为平行四边形；
所以;
又因为，的中点为，所以;
所以为异面直线，所成的角或其补角.
设正方体的棱长为2，则, ，
在直角中，，
在中，利用余弦定理可得：.
故选：D.
5．（2024·上海·模拟预测）如图，在正方体中，点是线段上的动点，下列与始终异面的是（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由正方体的性质易知当为的中点时，此时，
而，所以共面，
则、在平面上，故A不符题意；
同上，，即共面，
易知平面，而平面，故B符合题意；
当重合时，易知，则四边形是平行四边形，
则此时，故C不符合题意；
同上当重合时，显然，相交，故D不符合题意.
故选：B
6．（2024·高二·四川内江·阶段练习）如图是正方体的展开图，则还原图形后，下列说法正确的是（ ）
A．与平行B．与异面
C．与平行D．与相交
【答案】B
【解析】
如图为还原图，由图可知与为异面直线，与为异面直线，
故选：B
7．（2024·全国·模拟预测）在正方体中，，，，分别为，，，的中点，则异面直线与所成角的大小是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】在正方体中，连接，由分别为的中点，得分别为中点，
而分别为的中点，则，，
因此或其补角是异面直线与所成的角，
在中，，则，
所以异面直线与所成角的大小是.
故选：C
8．（2024·全国·模拟预测）如图,在圆锥中,,为圆上的点,且,,若为的中点,为的中点,则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】如图,取的中点,取的中点,连接
则,且,,则就是异面直线与所成的角或其补角．
易知平面,所以平面,所以.
因为,,所以,
所以由勾股定理得,
又,,
所以在△中,由余弦定理得,
故异面直线与所成角的余弦值为．
故选:A．
二、多选题
9．（2024·高一·河南·期中）已知正方体中，M为的中点，则下列直线中与直线是异面直线的有（ ）
A．B．C．D．
【答案】CD
【解析】由题意可知M为的中点，故，，
故，与均为相交直线，A，B错误；
平面，平面直线，
故与直线为异面直线，同理可说明与直线为异面直线，C，D正确，
故选：CD
10．（2024·高一·陕西西安·期末）如图是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中，下列说法中正确的序号是（ ）
A．直线与直线相交；
B．直线与直线平行；
C．直线BM与直线是异面直线；
D．直线与直线成角.
【答案】CD
【解析】如图所示，将正方体的平面展开图，复原为正方体，
对于A中，直线与不同在任何一个平面内，否则四点共面，（矛盾），
所以直线与为异面直线，所以A不正确；
对于B中，直线与不同在任何一个平面内，否则四点共面，（矛盾），
所以直线与为异面直线，所以B不正确；
对于C中，平面平面，平面，平面，
所以直线与不相交，连接，则，而与相交，
所以与不平行，否则，不合题意，
所以直线与是异面直线，所以C正确；
对于D中，连接，则为正三角形，可得，
又由，则为直线与直线所成的角，
即直线与直线所成的角为，所以D正确.
故选：CD.
11．（2024·高二·山东德州·阶段练习）已知，分别是三棱锥的棱，的中点，且，.若异面直线与所成角的大小为，则线段EF的长可能为（ ）
A．B．C．5D．
【答案】BD
【解析】
取中点，连接，，
因为，分别为，的中点，，，
所以，，，，
所以异面直线与所成角与直线和所成角相等，即或，
当时，根据余弦定理得，，解得；
当时，根据余弦定理得，，解得.
故答案为：BD.
三、填空题
12．（2024·高二·安徽合肥·期末）已知正方体 的棱长为 ，则异面直线 与 所成的角的余弦值 ．

【答案】/
【解析】
如图所示连接，根据正方体的特征易知，且为等边三角形，
所以即异面直线 与 所成的角，且，.
故答案为：
13．（2024·高二·北京海淀·期末）如图，已知E，F分别为三棱锥的棱的中点，则直线与的位置关系是 （填“平行”，“异面”，“相交”）．
【答案】异面
【解析】假设直线共面，平面，
由，则平面，
同理，平面，故共面，
这与是三棱锥矛盾，故假设错误，故直线异面.
故答案为：异面.
14．（2024·高二·北京海淀·阶段练习）如图所示，在正方体中，点为边上的动点，则下列直线中，始终与直线异面的是 .
①②③④
【答案】②
【解析】由正方体的性质易知当为的中点时，此时，
而，所以共面，则、在平面上，故①不符题意；
因为，即共面，易知平面，而平面， ，，
故与异面，故②符合题意；
当重合时，易知，则四边形是平行四边形，
则此时，故③不符合题意；
当重合时，显然，相交，故④不符合题意.
故答案为：②
四、解答题
15．（2024·高三·全国·专题练习）已知正方体中，棱长为2，点E是棱AD的中点．连接CE，求证：直线CE与直线是异面直线．
【解析】因为平面，平面，,平面，
所以与是异面直线．
16．（2024·高三·全国·专题练习）四面体ABCD中，对棱，E，F，G，H是它们所在棱的中点，求证：四边形EFGH是矩形．
【解析】如图，EF，HG分别是和的中位线，
∴，所以，
∴四边形EFGH是平行四边形，又EH是的中位线，∴，
故是异面直线AD与BC所成的角或其补角，∵，∴，∴，因此四边形EFGH是矩形．
17．（2024·高一·全国·随堂练习）如图，在长方体中，底面是边长为a的正方形，高为，点M，N分别是和的中点．

(1)判断四边形的形状；
(2)求四边形的面积．
【解析】（1）
点M，N分别是和的中点，
，
，四边形是平行四边形，
，，
故四边形为梯形；
（2）由题意可得，，
则，
故梯形的高为，
故四边形的面积.
18．（2024·高一·全国·课堂例题）如图，已知是棱长为a的正方体．

(1)求异面直线与BC所成的角；
(2)求异面直线与AC所成的角．
【解析】（1）在中，因为，则即为直线与BC所成的角或其补角，
因为，所以直线与BC所成的角为90°．
（2）在中，连接，，，
则四边形为平行四边形，所以，
因此直线与AC所成的角就是直线与所成的角或其补角，
因为，，，即，
所以直线与所成的角为60°，即直线与AC所成的角为60°．
19．（2024·高二·四川自贡·阶段练习）如图，在正方体中，点E，F分别为棱，AB的中点．

(1)求证：E、F、C、四点共面：
(2)求异面直线与BC所成角的余弦值．
【解析】（1）连接.
在中，点E，F分别为棱，AB的中点，
则，
在正方体中，，
，且，
四边形是平行四边形，
，则，
故、、、四点共面.
（2）由（1）知，，
则即为所求异面直线与BC所成的角，
设正方体的棱长为，
在中，，
则，
所以.
故所求异面直线与BC所成角的余弦值为．
课程标准
学习目标
（1）能借助长方体，通过直观感知、操作确认，得出空间两条直线的位置关系.
（2）理解异面直线的定义及判定，能判断两条直线是不是异面直线.
（1）会判断空间两条直线的位置关系.
（2）能用基本事实4和等角定理解决一些简单的相关问题．
（3）理解异面直线所成的角的概念．
位置关系
共面情况
有无公共点
相交
在同一平面内
有且只有一个公共点
平行
在同一平面内
没有公共点
异面
不同在任何一个平面内
没有公共点