重难点专题01 妙用奔驰定理解决三角形面积比问题 练习

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重难点专题01 妙用奔驰定理解决三角形面积比问题 【题型归纳目录】题型一：直接使用奔驰定理题型二：三角形面积比问题【方法技巧与总结】奔驰定理---解决面积比例问题重心定理：三角形三条中线的交点.已知的顶点，，，则△ABC的重心坐标为.注意：（1）在中，若为重心，则．（2）三角形的重心分中线两段线段长度比为2:1，且分的三个三角形面积相等．重心的向量表示：．奔驰定理：，则、、的面积之比等于奔驰定理证明：如图，令，即满足，，，故.（3）为内一点，，则.重要结论：，，.结论1：对于内的任意一点， 若、、的面积分别为、、，则：.即三角形内共点向量的线性加权和为零，权系数分别为向量所对的三角形的面积.结论2：对于平面内的任意一点，若点在的外部，并且在的内部或其对顶角的内部所在区域时，则有.结论3：对于内的任意一点， 若，则、、的面积之比为.即若三角形内共点向量的线性加权和为零，则各向量所对的三角形面积之比等于权系数之比.结论4：对于所在平面内不在三角形边上的任一点，，则、、的面积分别为.即若三角形平面内共点向量的线性加权和为零，则各向量所对应的三角形面积之比等于权系数的绝对值之比.各向量所对应的三角形是指另外两个向量所在的三角形.【典型例题】题型一：直接使用奔驰定理【例1】（2024·辽宁沈阳·高一东北育才学校校考期末）点P是所在平面上一点，若，则与的面积之比是（    ）A． B．3 C． D．【变式1-1】（2024·河南商丘·高一商丘市第一高级中学校考阶段练习）已知点P是所在平面内一点，若，则与的面积之比是（    ）A． B． C． D．【变式1-2】（2024·广东深圳·高三深圳外国语学校校考阶段练习）已知点P是所在平面内一点，若，则与的面积之比是（    ）A． B． C． D．【变式1-3】（2024·上海·高三统考期末）已知是三角形内部的一点，，则的面积与的面积之比是（    ）A． B．C．2 D．1题型二：三角形面积比问题【例2】（2024·山东济宁·高一统考期末）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知O是内的一点，的面积分别为，则有．设O是锐角内的一点，分别是的三个内角，以下命题不正确的有（    ）A．若，则O为的重心B．若，则C．若，，则D．若O为的垂心，则【变式2-1】（2024·河南安阳·高一统考期末）已知是内的一点，若的面积分别记为，则.这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的垂心，且，则（    ）A． B． C． D．【变式2-2】（2024·安徽·芜湖一中校联考三模）平面上有及其内一点O，构成如图所示图形，若将，， 的面积分别记作，，，则有关系式．因图形和奔驰车的很相似，常把上述结论称为“奔驰定理”．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足，则O为的（    ）A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心【变式2-3】（2024·四川凉山·高二统考期末）在平面上有及内一点O满足关系式：即称为经典的“奔驰定理”，若的三边为a，b，c，现有则O为的（    ）A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心【变式2-4】（2024·湖北·高一校联考期末）奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，，，则.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.设为三角形内一点，且满足：，则（    ）A． B． C． D．【过关测试】1．（2024·陕西西安·高二陕西师大附中校考开学考试）设点在内部，且，则的面积与的面积之比是（    ）A．3：2 B．3：1 C．4：3 D．2：12．（2024·陕西安康·陕西省安康中学校考三模）在所在的平面内有一点，如果，那么的面积与的面积之比是（    ）A． B． C． D．3．（2024·四川绵阳·高一绵阳中学校考阶段练习）如图所示，设P为所在平面内的一点，并且，则与的面积之比等于（    ）A． B． C． D．14．（2024·江西上饶·高一玉山一中校考期末）如图所示，设为所在平面内的一点，并且，则与的面积之比等于A． B． C． D．5．（2024·广东东莞·高一统考期末）已知在中，是的垂心，点满足：，则的面积与的面积之比是A． B． C． D．6．（2024·四川绵阳·高一阶段练习）设，过作直线分别交（不与端点重合）于，若，，若与的面积之比为，则A． B． C． D．7．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）O是锐角三角形ABC内的一点，A，B，C是的三个内角，且点O满足.请根据“奔驰定理”判断下列命题正确的是（    ）    A．O为的外心B．C．D．8．（多选题）（2024·安徽·高一安徽省宿松中学校联考期末）如图，为内任意一点，角的对边分别为，则总有优美等式成立，此结论称为三角形中的奔驰定理．由此判断以下命题中正确的有（    ）A．若是等边三角形，为内任意一点，且点到三边的距离分别是，则有B．若为内一点，且，则是的内心C．若为内一点，且，则D．若的垂心在内，是的三条高，则9．（多选题）（2024·安徽六安·高一六安市裕安区新安中学校考期末）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车(Mercedesbenz)的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知是内一点，，，的面积分别为，则，是内的一点，∠，∠，∠分别是的三个内角，以下命题正确的有（    ）A．若，则B．若，，且，则C．若，则为的垂心D．若为的内心，且，则 10．（多选题）（2024·河南南阳·高一统考期末）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车(Mercedesbenz)的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知是内一点，、、的面积分别为、、，则.设是锐角内的一点，、、分别是的三个内角，以下命题正确的有（    ）A．若，则B．，，，则C．若为的内心，，则D．若为的重心，则 11．（多选题）（2024·湖南常德·高一临澧县第一中学校考阶段练习）如图.为内任意一点，角的对边分别为，总有优美等式成立，因该图形酯似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理.则以下命题是真命题的有（    ）A．若是的重心，则有B．若成立，则是的内心C．若，则D．若是的外心，，，则12．（多选题）（2024·安徽安庆·高二安徽省宿松中学校考开学考试）如图，为内任意一点，角的对边分别为，则总有优美等式成立,此结论称为三角形中的奔驰定理.由此判断以下命题中，正确的有（    ）A．若是的重心，则有B．若，则是的内心C．若，则D．若是的外心，且，则13．（2024·四川成都·高一四川省成都市新都一中校联考期末）已知O是所在平面内一点，，则与的面积比 ．14．（2024·上海虹口·高一华东师范大学第一附属中学校考期末）我校高一同学发现：若是内的一点，、、的面积分别为、、，则存在结论，这位同学利用这个结论开始研究：若为内的一点且为内心，的内角、、的对边分别为、、，且，若，则的最大值为 .15．（2024·上海杨浦·高一复旦附中校考期末）三角形蕴涵大量迷人性质，例如：若点在内部，用分别代表、、的面积，则有．现在假设锐角三角形顶点所对的边长分别为为其垂心，的单位向量分别为，则 ．16．（2024·河北衡水·高一校考期末）点为内一点，，则的面积之比是 .17．（2024·全国·高三专题练习）请你根据“奔驰定理”对以下命题进行判断：①若P是的重心，则有；②若成立，则P是的内心；③若，则；④若P是的外心，，，则；⑤若的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，O为内的一点且为内心.若，则的最大值为.则正确的命题有 .（填序号）  18．（2024·黑龙江哈尔滨·高一哈九中校考阶段练习）年，戴姆勒公司申请登记了“三叉星”做为奔驰轿车的标志，象征着陆上，水上和空中的机械化，而此圆环中的星形标志演变成今天的图案，沿用至今，并成为世界十大著名的商标之一（图一）.已知为内一点，，，的面积分别为，，，则有，我们称之为“奔驰定理”（图二）.已知的内角的对边分别为，且，为内的一点且为内心.若，则的最大值为 .19．（2024·江苏徐州·高一徐州市第三十六中学（江苏师范大学附属中学）校考阶段练习）定理：如图，已知P为内一点，则有.由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”.这个定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用.已知点在内部，有以下四个推论：①若为的重心，则；②若为的外心，则；③若为的内心，则；备注：若为的内心，则也对.④若为的垂心，则.试用“奔驰定理”或其它方法解决下列问题.(1)点在内部，满足，求的值；(2)点为内一点，若，设，求实数和的值；(3)用“奔驰定理”证明推论②.