重难点专题04 妙用等和线解决平面向量系数和、差、商问题 练习

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重难点专题04 妙用等和线解决平面向量系数和、差、商问题 【题型归纳目录】题型一：问题（系数为1）题型二：问题（系数不为1）题型三：问题题型四：问题题型五：问题题型六：问题【知识点梳理】（1）平面向量共线定理 已知，若，则三点共线；反之亦然。（2）等和线平面内一组基底及任一向量，，若点在直线上或者在平行于的直线上，则（定值），反之也成立，我们把直线以及与直线平行的直线称为等和线。①当等和线恰为直线时，；②当等和线在点和直线之间时，；③当直线在点和等和线之间时，；④当等和线过点时，；⑤若两等和线关于点对称，则定值互为相反数；【典型例题】题型一：问题（系数为1）【例1】在中，M为BC边上任意一点，N为线段AM上任意一点，若（，），则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意，设，，当时，，所以，所以，从而有；当时，因为（，），所以，即，因为、、三点共线，所以，即.综上，的取值范围是.故选：C.【变式1-1】（2024·陕西西安·高一西北工业大学附属中学校考阶段练习）在中，为边上的任意一点，点在线段上，且满足，若，则的值为　　A． B． C．1 D．4【答案】A【解析】设，将用、表示出来，即可找到和的关系，从而求出的值．设，，所以，又，所以．故选：．【变式1-2】（2024·重庆铜梁·高一统考期末）在中，点是线段上任意一点，点满足，若存在实数和，使得，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意，，且，而，所以，即，由已知，则，选项D正确.故选：D题型二：问题（系数不为1）【例2】（2024·山东潍坊·高一统考期中）已知是内一点，且，点在内（不含边界），若，则的取值范围是A． B． C． D．【答案】B【解析】根据可知O为的重心；根据点M在内，判断出当M与O重合时，最小；当M与C重合时，的值最大，因不含边界，所以取开区间即可．因为是内一点，且所以O为的重心在内（不含边界），且当M与O重合时，最小，此时 所以，即当M与C重合时，最大，此时 所以，即因为在内且不含边界所以取开区间，即所以选B【变式2-1】（2024·山东烟台·统考三模）如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆，为圆上任一点，若，则的最大值为（    ）A． B．2 C． D．1【答案】A【解析】作BC的平行线与圆相交于点P，与直线AB相交于点E，与直线AC相交于点F，设，则，∵BC//EF，∴设，则∴，∴∴故选：A.【变式2-2】（2024·江苏南京·高一南京师大附中校考期末）在扇形中，，，为弧上的一个动点，且．则的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，令，则，因为，则，,，又，则，则，则，又，易知为减函数，由单调性易得其值域为.故选：B.题型三：问题【例3】（2024·上海嘉定·高二校考期末）如图,，点在由射线、线段及的延长线围成的区域内(不含边界)运动,且.当时，的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】如图，，点在由射线、线段及的延长线围成的区域内(不含边界)运动，且.，由向量加法的平行四边形法则，为平行四边形的对角线，该四边形应是以与的反向延长线为两邻边，当时，要使点落在指定区域内，即点应落在上，，的取值范围为.故选：B【变式3-1】（2024·河南平顶山·高一统考期末）如图所示，点P在由线段AB，AC的延长线及线段BC围成的阴影区域内（不含边界），则下列说法中正确的是 ．（填写所有正确说法的序号）①存在点P，使得；②存在点P，使得；③存在点P，使得；④存在点P，使得．【答案】①④【解析】设，由图可知：且，∴①④正确，故答案为：①④【变式3-2】（2024·高一课时练习）已知△ABC中，，若点P为四边形AEDF内一点(不含边界)且，则实数x的取值范围为 .【答案】【解析】如图所示，在线段BD上取一点G，使得，设DC=3a，则DG=a，BC=5a，BG=a；过点G作GH∥DE，分别交DF､AE于K､H，连接FH，则点K､H为临界点；GH∥DE，所以HEEC，AHEC，HGDE，，所以FH∥BC；所以FHBC，所以，所以KGHK，KGHGDE.所以实数x的取值范围是().故答案为：().题型四：问题【例4】（2024·江苏·高三专题练习）在中，点是的三等分点，，过点的直线分别交直线于点，且，，若的最小值为，则正数的值为 【答案】【解析】因为点是的三等分点，则，又由点三点共线，所以，所以 ，可得，所以，当且仅当时，等号成立，即的最小值为，则有，即，所以，因为，所以， 故答案为：.【变式4-1】（2024·山东菏泽·高一统考期末）在中，点是线段上的点，且满足，过点的直线分别交直线于点，且，，其中且，若的最小值为 .【答案】【解析】依题意，作出图形如下，因为，，，则，所以 ，因为三点共线，所以，因为，，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为.故答案为：.【变式4-2】（2024·广东惠州·高一校联考阶段练习）在中，点是线段上的点，且满足，过点的直线分别交直线、于点、，且，，其中且，若的最小值为3，则正数的值为(    )A．2 B．3 C． D．【答案】B【解析】，∵E、O、F三点共线，∴，∵m>0，n>0，t>0，∴，当且仅当时取等号，∴．故选：B．题型五：问题【例5】（2024·山西·高一统考期末）已知在中，点满足，点在线段(不含端点，)上移动，若，则 .【答案】3【解析】如图，由题意得存在实数，使得.又，所以，又∵，且不共线，故由平面向量的分解的唯一性得所以.故答案为：3.【变式5-1】（2024·黑龙江哈尔滨·高三哈师大附中校考期末）在中，点满足，当点在线段（不包含端点）上移动时，若，则的取值范围是A． B． C． D．【答案】C【解析】如图所示，△ABC中，，∴（），又点E在线段AD（不含端点）上移动，设k，0＜k＜1，∴，又，∴，∴．∵在（0，1）上单调递减，∴λ的取值范围为（，+∞），故选C．【变式5-2】（2024·天津·高三校联考阶段练习）如图，在中，，点在线段上移动（不含端点），若，则 ，的最小值为 .【答案】 2 【解析】因为在中，，所以,即.因为点在线段上移动（不含端点），所以设.所以，对比可得.代入，得；代入可得，根据二次函数性质知当时，.故答案为：题型六：问题【例6】（2024·江苏泰州·高一泰州中学阶段练习）在中，点满足，当点在射线（不含点）上移动时，若，则 的 取值范围为 ．【答案】【解析】因为点在射线（不含点）上，设，又，所以，所以 ，，故的取值范围.  【变式6-1】（2024·福建福州·高三校考期末）在△ABC中，点D满足BD＝BC，当E点在线段AD上移动时，若，则的最小值是(　　)A． B． C． D．【答案】C【解析】如图，存在实数使得 ，，所以，所以 ，原式 ，当时，函数取得最小值，故选：C【变式6-2】（2024·重庆北碚·高三西南大学附中校考阶段练习）在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM中点，且满足，则的最小值为（    ）A． B． C． D．1【答案】C【解析】在△ABC中，M为边BC上任意一点，则，于是得，而，且与不共线，则，即有，因此，，当且仅当时取“=”，此时M为BC中点，所以的最小值为.故选：C【过关测试】一、单选题1．（2024·高三课时练习）在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM中点，，则的值为（    ）A． B． C． D．1【答案】A【解析】由题可设，则，N为AM中点，,又，，.故选：A.2．（2024·四川成都·高三阶段练习）在中，为边上任意一点，为的中点，，则的值为A． B． C． D．【答案】A【解析】.考点：平面向量.3．（2024·河南南阳·高三统考期末）如图，在中，为线段上异于，的任意一点，为的中点，若，则(    )A． B． C． D．【答案】B【解析】中，不共线，点D在BC上，则，存在唯一实数t使，因为为的中点，，而，所以，所以.故选：B4．（2024·山东日照·高三山东省日照实验高级中学校考阶段练习）如图，，点P在由射线、线段及的延长线围成的阴影区域内（不含边界），且，则实数对可以是（    ）  A． B． C． D．【答案】D【解析】根据向量加法的几何意义可知，当时，由可知，点应落在区域1，不符合题意；当时，由可知，点应落在区域2，不符合题意；当时，由可知，点应落在区域3，不符合题意；当时，由可知，点应落在区域4，符合题意.又当时，根据向量加法的几何意义可知，此时点应落在阴影区域之外，所以.故选：D.二、填空题5．（2024·福建三明·高二三明一中校考开学考试）如图，在扇形中，，C为弧AB上的一个动点，若，则的取值范围是 .【答案】【解析】如图所示，以为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，则根据题意可知，，，设，．由，得，，，点在弧上由运动，在，上逐渐变大，变小，逐渐变大， 当时取得最大值4，当时取得最小值．的取值范围是，．故答案为：．6．（2024·江西上饶·统考三模）在扇形中，，为弧上的一个动点.若，则的取值范围是 .【答案】【解析】由题意可知，在扇形中，，为弧上的一个动点.不妨设，以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，令，则，，,，又，则，则，则，又，则，则，即，故答案为：.7．（2024·江西南昌·统考二模）如图,在扇形OAB中,,C为弧AB上的一个动点.若，则的取值范围是 ．【答案】【解析】如图，过C分别作OB,OA的平行线，交OA,OB与M,N，不妨设圆半径为1.则，∵，，由图可知.将两边平方得1所以,显然得:,（负值舍去),故. 不妨令显然在上单调递减,,得.故答案为：[1,3].8．（2024·四川绵阳·高一统考期中）在扇形中，，为弧上的一动点，若，则的取值范围是 ．【答案】【解析】以O为原点，分别为x，y轴正方向建立平面直角坐标系.则.不妨设.因为，所以，解得：，所以.因为在上单调递减，在上单调递减，所以在上单调递减.所以当时最大；当时最小.所以的取值范围是.故答案为：.9．（2024·吉林·高一阶段练习）如图，在中，分别为上的点，且，，.设为四边形内一点（点不在边界上），若，则实数的取值范围为 【答案】【解析】取BD中点M,过M作MH//DE交DF,AC分别为G,H,如图：则由可知,P点在线段GH上运动（不包括端点）当与重合时，根据,可知，当与重合时,由共线可知，即，结合图形可知.10．（2024·全国·高三专题练习）如图，经过的重心G的直线与分别交于点，，设，，则的值为 ．【答案】3【解析】设，由题意知，，由P，G，Q三点共线，得存在实数使得，即，从而消去，得．故答案为：311．（2024·山东潍坊·高三开学考试）在中，点D满足，当点E在射线AD（不含点A）上移动时，若，则的最小值为 ．【答案】/【解析】由，得，即，因为点E在射线AD（不含点A）上移动，所以，又因为，所以，则（当且仅当，即时取等号），所以的最小值为.故答案为：．12．（2024·重庆万州·高一万州外国语学校天子湖校区校考期中）如图，在中，，点在线段上移动（不含端点），若，则的取值范围是 ．【答案】【解析】由题可知，，设，则，所以，而，可得：，所以，设，由双钩函数性质可知，在上单调递减，则，所以的取值范围是.故答案为：.13．（2024·浙江宁波·高一统考期末）半径为1的扇形的圆心角为，点在弧上，，若，则 .   【答案】【解析】建立直角坐标系，如图所示，，，，即，，即，，解得．．故答案为：14．（2024·重庆北碚·高一西南大学附中校考阶段练习）如图，半径为1的扇形AOB的圆心角为，点C在AB上，且，若，则 ．【答案】【解析】建立直角坐标系，如图所示，，，，即，，即，，解得．．故答案为：三、解答题15．（2024·上海浦东新·高二华师大二附中校考阶段练习）小郭是一位热爱临睡前探究数学问题的同学，在学习向量三点共线定理时，我们知道当P、A、B三点共线，O为直线外一点，且时，x+y=1（如图1)第二天，小郭提出了如下三个问题，请同学帮助小郭解答.  （1）当x+y>1或x+y