重难点专题15 空间中的五种距离问题 练习

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重难点专题15 空间中的五种距离问题 【题型归纳目录】题型一：点线距题型二：异面直线的距离题型三：点面距题型四：线面距题型五：面面距【方法技巧与总结】空间中的距离求点到面的距离转化为三棱锥等体积法求解．【典型例题】题型一：点线距【典例1-1】（2024·高一·山西吕梁·阶段练习）已知四面体的所有棱长均为10，点在直线上，则到的距离的最小值为（    ）A． B． C． D．【典例1-2】（广东省东莞市东莞一中、东莞高级中学2023-2024学年高一学期第二次质量检测数学试题）设所在的平面，，PB、PC分别与成45°和30°角，，点P到BC的距离是_________________．【变式1-1】（2024·高二·四川成都·期中）已知正四棱锥的所有棱长均为为的中点，则线段上的动点到直线的距离的最小值为 ．题型二：异面直线的距离【典例2-1】（2024·高一·山东青岛·期末）如图，正方体的棱长为1，设直线与分别交于点，且，则线段的长为（    ）    A． B． C． D．【典例2-2】（2024·高二·上海黄浦·期中）已知正方体的棱长为1，则异面直线与之间的距离是 .【变式2-1】（2024·高二·上海普陀·阶段练习）在四面体中，若，则异面直线与的距离为 ．【变式2-2】（2024·高二·辽宁·阶段练习）如图所示在三棱锥中，侧面底面，底面是边长为1的正三角形，侧面中，，且为棱中点，则直线上任意一点与上任意一点距离的最小值为 ．  题型三：点面距【典例3-1】（2024·高三·宁夏石嘴山·阶段练习）如图，在长方体中，，和交于点E，F为AB的中点．(1)求证：平面；(2)已知与平面所成角为，求点A到平面CEF的距离．【典例3-2】（2024·全国·模拟预测）如图1，已知直角梯形中，，，，M为CF的中点，将沿DM折起到的位置，使平面平面，N，Q，H，P分别为AF，DM，DE，AE的中点，如图2所示．(1)求证：平面平面；(2)求点D到平面的距离．【变式3-1】（2024·高三·山东·阶段练习）如图，在正三棱锥中，，E，F分别是中点，M是上一点，且满足．(1)证明：平面；(2)求点D到平面的距离．题型四：线面距【典例4-1】（2024·高二·上海闵行·阶段练习）如图，在边长为的正方体中，为底面正方形的中心.(1)求证：直线平面；(2)求直线与平面之间的距离.【典例4-2】（2024·高二·北京丰台·期中）如图，已知直三棱柱，，，，点为的中点.(1)证明：平面；(2)求直线与平面的距离.【变式4-1】（2024·高一·全国·课后作业）如图，在长方体中，，，．(1)求点和点C的距离；(2)求点到棱BC的距离；(3)棱和平面ABCD的距离．题型五：面面距【典例5-1】（2024·高二·江西宜春·期中）如图，已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，AA1=AD=1，求：(1)平面ADD1A1与平面BCC1B1的距离.(2)点D1到直线AC的距离.(3)直线AB与面A1DCB1的距离.【典例5-2】（2024·高二·江西宜春·阶段练习）如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是AA1与CC1的中点.(1)证明：平面EB1D1平面FBD；(2)求平面EB1D1与平面FBD之间的距离.【变式5-1】（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）如图所示的斜三棱柱中，是正方形，且点在平面上的射影恰是AB的中点H，M是的中点．(1)判断HM与面的关系，并证明你的结论；(2)若，，求斜三棱柱两底面间的距离．【过关测试】1．（2024·高三·内蒙古赤峰·期中）如图1，在平面四边形中，．将沿折叠至处．使平面平面（如图2），分别为的中点．(1)求证：平面平面；(2)求点到平面的距离．2．（2024·高二·新疆巴音郭楞·期中）如图，直四棱柱的底面是菱形，，，，E，M，N分别是BC，，的中点.(1)证明：平面平面；(2)求点C到平面的距离．3．（2024·高二·上海静安·期末）如图，正四棱柱的底面边长为1，异面直线AD与BC1所成角的大小为60°，求A1B1到底面ABCD的距离.  4．（2024·全国·模拟预测）如图，在四棱锥中，平面，，，，为的中点.（1）求证：平面；（2）求直线到平面的距离.5．（2024·河北衡水·一模）如图，直角梯形与梯形全等，其中，，且平面，点是的中点．  （1）求证：平面平面；（2）求平面与平面的距离．6．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）如图，四棱锥中，平面，，，，、分别为、的中点．(1)求证：平面；(2)求点到平面的距离．