福建省福州第二中学2023-2024学年高二下学期期末测试数学试卷(含答案)

这是一份福建省福州第二中学2023-2024学年高二下学期期末测试数学试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合，，则( )
A.或B.C.D.或
2．已知，，三点共线，则m的值为( )
A.B.5C.D.3
3．某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名.从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为( )
A.B.C.D.
4．若椭圆的离心率为，则该椭圆的焦距为( )
A.B.C.或D.或
5．已知圆，过点的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为( )
A.1B.2C.3D.4
6．某校举办了数学知识竞赛，把1000名学生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）按，，，分成四组，并整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的为( )
A.a的值为0.015B.估计这组数据的众数为80
C.估计这组数据的第60百分位数为87D.估计成绩低于80分的有350人
7．设，，，设a，b，c的大小关系为( )
A.B.C.D.
8．已知函数是偶函数，当时，，则曲线在处的切线方程为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知，，且，则( )
A.B.C.D.
10．函数在一个周期内的图象如图所示，则下列说法正确的是( )
A.
B.在上单调递增
C.的图象向右平移个单位长度后得到的函数是奇函数
D.在上的零点有4个
11．设函数，则( )
A.当时，有三个零点
B.当时，是的极大值点
C.存在a，b，使得为曲线的对称轴
D.存在a，使得点为曲线的对称中心
三、填空题
12．已知复数z满足，则z的虚部为________.
13．已知函数是增函数，则实数a的取值范围为________.
14．如图，在直三棱柱中，，，，，点D在棱上，点E在棱上，给出下列三个结论：
①四棱锥的体积为定值；
②三棱锥的体积的最大值为；
③的最小值为.
请写出所有正确结论的序号________.
四、解答题
15．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
(1)试判断的形状；
(2)若，求周长的最大值.
16．在各项均不相等的等差数列中，，且，，等比数列，数列的前n项和满足.
(1)求数列、的通项公式；
(2)求数列的前n项和.
17．已知函数在点处的切线与直线垂直.
(1)求a；
(2)求的单调区间和极值.
18．如图，四棱锥的底面是矩形，底面ABCD，，，M为BC的中点.
(1)求证：平面PBD；
(2)求平面ABCD与平面APM所成角的余弦值；
(3)求D到平面APM的距离.
19．已知抛物线经过点.
(1)求抛物线E的方程；
(2)设直线与E的交点为A，B，直线与倾斜角互补.
（i）求k的值；
（ii）若，求面积的最大值.
参考答案
1．答案：B
解析：，则，且，解得，
则集合，
则
故选：B.
2．答案：D
解析：，，
因为，，三点共线，故，
即，解得.
故选：D
3．答案：D
解析：依题意，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，总的基本事件有件，
其中这2名学生来自不同年级的基本事件有，
所以这2名学生来自不同年级的概率为.
故选：D.
4．答案：D
解析：若椭圆的焦点在x轴，则离心率，得，此时焦距，
若椭圆的焦点在y轴，则离心率，得，此时焦距，
所以该椭圆的焦距为或.
故选：D
5．答案：B
解析：圆化为，所以圆心C坐标为，半径为3，
设，当过点P的直线和直线垂直时，圆心到过点P的直线的距离最大，所求的弦长最短，此时
根据弦长公式得最小值为.
故选：B.
6．答案：C
解析：易知，解得，所以A错误；
由频率分布直方图可知众数落在区间，用区间中点表示众数即85，所以B错误；
由频率分布直方图可知前两组频率之和为，
前三组频率之和为，
故第60百分位数落在区间，设第60百分位数为x，
则，解得，所以C正确；
成绩低于80分的频率为，所以估计总体有，故D错误.
故选：C.
7．答案：A
解析：构造函数，则，
当时，，函数在上为减函数，
而，，，又，
所以，即，
故选：A
8．答案：A
解析：当时，，函数是偶函数，
当时，，，
当时，，
，即曲线在处切线的斜率为-5.
而，所以曲线在处的切线方程为：.
所求即为.
故选：A.
9．答案：ABD
解析：已知，，且，
，当且仅当等号成立，A选项正确；
，当且仅当等号成立，B选项正确；
，，当且仅当等号成立，C选项错误；
，当且仅当，即等号成立，D选项正确；
故选：ABD
10．答案：AD
解析：由图可知，，又，所以，解得，
所以，又函数过点，所以，
即，又，所以，则，
所以，故A正确；
当，则，因为在上不单调，
所以在上不单调，故B错误；
将的图象向右平移个单位长度后得到为非奇非偶函数，故C错误；
令，即，即，，解得，，所以在上的零点有，，，共4个，故D正确.
故选：AD
11．答案：AD
解析：A选项，，由于，
故时，故在上单调递增，
时，，单调递减，
则在处取到极大值，在处取到极小值，
由，，则，
根据零点存在定理在上有一个零点，
又，，则，，
则在，上各有一个零点，于是时，有三个零点，A选项正确；
B选项，，时，，，单调递减，
时，单调递增，
此时在处取到极小值，B选项错误；
C选项，假设存在这样的a，b，使得为的对称轴，
即存在这样的a，b使得，
即，
根据二项式定理，等式右边展开式含有的项为，
于是等式左右两边的系数都不相等，原等式不可能恒成立，
于是不存在这样的a，b，使得为的对称轴，C选项错误；
D选项，
方法一：利用对称中心的表达式化简
，若存在这样的a，使得为的对称中心，
则，事实上，
，
于是
即，解得，即存在使得是的对称中心，D选项正确.
方法二：直接利用拐点结论
任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，
，，，
由，于是该三次函数的对称中心为，
由题意也是对称中心，故，
即存在使得是的对称中心，D选项正确.
故选：AD
12．答案：
解析：因为，所以，
所以z的虚部为.
故答案为：
13．答案：
解析：因为为增函数，
所以，解得，
即实数a的取值范围为.
故答案为：
14．答案：①②
解析：对于①：因为平面，且，
可知点E到平面的距离相等，即四棱锥的高为定值，
且底面为面积为定值，所以四棱锥的体积为定值，故①正确；
对于②：因为点D在棱上，且，
可知当且仅当点D与点C重合时，的面积取到最大值，
又因为点E在棱上，且平面，
可知当且仅当点E与点重合时，三棱锥的高取到最大值2，
所以三棱锥的体积的最大值为，故②正确；
对于③：如图将翻折到与矩形共面，
连接交于点D，此时取得最小值，
因为，，则，可得，
所以的最小值为，故③错误；
故答案为：①②.
15．答案：(1)直角三角形；
(2)
解析：（1）由，和余弦定理得，
即，所以.所以是直角三角形.
（2）由（1）知是直角三角形，且，可得，.
所以周长为，
所以当时，即为等腰直角三角形，周长有最大值为.
16．答案：(1)，；
(2)
解析：（1）设数列的公差为d，则，，
，，成等比数列，，即，
整理得，解得（舍去）或，
，
当时，，
当时，满足上式，
所以数列的通项公式为.
（2），
则数列的前n项和
.
17．答案：(1)；
(2)单调递增区间为、，单调递减区间为，极大值，极小值0
解析：（1），则，
由题意可得，解得；
（2）由，故，
则，，
故当时，，当时，，当时，，
故的单调递增区间为、，的单调递减区间为，
故有极大值，
有极小值.
18．答案：(1)证明过程见解析；
(2)；
(3)
解析：（1）因为，，M为BC的中点，
所以，
因为四棱锥的底面是矩形，
所以，
所以，所以，
而，即，
因为底面ABCD，底面ABCD，
所以，而，平面PBD，
所以平面PBD；
（2）因为平面ABCD，平面ABCD，
所以，，
因为因为四棱锥的底面是矩形，
所以，建立如下图所示的空间直角坐标系，
，，，，
因为平面ABCD，
所以平面ABCD的法向量为，
设平面APM的法向量为，
，，
于是有，
平面ABCD与平面APM所成角的余弦值为；
（3）由（2）可知平面APM的法向量为，，
所以D到平面APM的距离为
19．答案：(1)；
(2)（i）；（ii）.
解析：（1）由题意可知，，所以，
所以抛物线E的方程为.
（2）（i）如图：
设，，将直线的方程代入得：
，所以，，
因为直线与倾斜角互补，
所以，
即，
所以，
即，所以.
（ii）由（i）可知，所以，，
则，
因为，所以，即，
又点P到直线的距离为，
所以，
因为，
所以，当且仅当，即时，等号成立，
所以面积最大值为.