重庆市第八中学校2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷(含答案)

这是一份重庆市第八中学校2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合,,则( )
A.B.C.D.
2．函数的图象在点处的切线的倾斜角为( )
A.B.C.D.
3．设随机变量,则( )
A.3B.4C.12D.13
4．如图所示,太极图是由黑白两个鱼纹组成的图形图案,充分体现了相互转化､对称统一的形式美､和谐美.定义：能够将圆O的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆O的一个“太极函数”,则下列说法错误的是( )
A.对于任意一个圆,其“太极函数”有无数个
B.函数可以是某个圆的“太极函数”
C.函数可以是某个圆的“太极函数”
D.是“太极函数”的充要条件为“的图象是中心对称图形”
5．过点的直线l与圆交于A,B两点,则的最小值为( )
A.B.C.4D.2
6．已知甲同学从学校的4个科技类社团,3个艺术类社团,2个体育类社团中选择报名参加,若甲报名了两个社团,则在仅有一个是科技类社团的条件下,另一个是体育类社团的概率( )
A.B.C.D.
7．已知,,则( )
A.B.C.D.
8．若对任意的,,,恒成立,则a的最小值为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．函数与在同一直角坐标系中的图象可能为( )
A.B.
C.D.
10．某科技企业为了对一种新研制的专利产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格进行试销,得到如下数据：
由表中数据,求得线性回归方程为,则下列说法正确的是( )
A.产品的销量与单价成负相关
B.为了获得最大的销售额（销售额单价销量,单价应定为70元或80元
C.
D.若在这些样本点中任取一点,则它在线性回归直线左下方的概率为
11．已知各项均不为0的数列的前n项和为,且,,对于任意,成立,则下列说法正确的是( )
A.
B.数列的通项公式为
C.
D.实数的取值范围为
三、填空题
12．已知,,的导函数分别为,,且,则__________.
13．已知a,b均为实数且,,,则的最小值为__________.
四、双空题
14．如图,为我国数学家赵爽验证勾股定理的示意图,用五种颜色（其中一种为黄色）对图中四个区域进行染色,每个区域只能用一种染色.若必须使用黄色,则四个区域中有且只有一组相邻区域同色的染色方法有__________种;若不使用黄色,则四个区域中所有相邻区域都不同色的染色方法有__________种.
五、解答题
15．设数列是各项均为正实数的等比数列,且,.
（1）求数列的通项公式;
（2）令,求数列的前n项和.
16．已知函数,.
（1）若,求不等式的解集;
（2）若,对,,使得成立,求b的取值范围.
17．已知函数.
（1）若关于x的方程有且只有一个实数根,求实数k的取值范围;
（2）若关于x的不等式对恒成立,求实数a的取值范围.
18．学校举行数学知识竞赛,分为个人赛和团体赛.
个人赛规则：每位参赛选手只有一次挑战机会.电脑同时给出2道判断题,（判断对错）和4道连线题（由电脑随机打乱给出的四个数学定理,,,和与其相关的数学家,,,要求参赛者将它们连线配对,配对正确一对数学定理和与其相关的数学家记为答对一道连线题）,要求参赛者全都作答,若有4道或4道以上答对,则该选手挑战成功.
团体赛规则：以班级为单位,每班参赛人数不少于20人,且参赛人数为偶数,参赛方式有如下两种可自主选择其中之一参赛：
方式一：将班级选派的个人平均分成组,每组2人,电脑随机分配给同组两个人一道相同试题,两人同时独立答题,若这两人中至少有一人回答正确,则该小组闯关成功.若这n个小组都闯关成功,则该班级挑战成功.
方式二：将班级选派的个人平均分成2组,每组人,电脑随机分配给同组n个人一道相同试题,各人同时独立答题,若这n个人都回答正确,则该小组闯关成功.若这两个小组至少有一个小组闯关成功则该班级挑战成功.
（1）在个人赛中若一名参赛选手全部随机作答,求这名选手恰好答对一道判断题并且配对正确两道连线题的概率.
（2）甲同学参加个人赛,他能够答对判断题并且配对正确与,其余题目只能随机作答,求甲同学挑战成功的概率.
（3）在团体赛中,假设某班每位参赛同学对给出的试题回答正确的概率均为常数,为使本班团队挑战成功的可能性更大,应选择哪种参赛方式？说明理由.
19．已知椭圆经过点,离心率.
（1）求椭圆C的标准方程;
（2）设过点倾斜角为的直线l与x轴,y轴分别交于点M,N,点R为椭圆C上任意一点,求三角形面积的最小值.
（3）如图,过点作两条直线,分别与椭圆C相交于点A,B,C,D,设直线和相交于点Q.证明点Q在定直线上.
参考答案
1．答案：B
解析：集合,,
则.
故选：B.
2．答案：C
解析：根据题意,函数,,当时,,
所以函数在点处的切线斜率为.
故选：C.
3．答案：C
解析：由题意得,
故.
故选：C.
4．答案：D
解析：任意一个圆是关于圆心的中心对称图形,其“太极函数”有无数个,故A正确;
函数,是奇函数,其图象关于原点对称,将圆的圆心放在坐标原点上,则,是该圆的“太极函数”,故B,C正确;
函数的图象是中心对称图形,则是“太极函数”,但函数是“太极函数”时,图象不一定是中心对称图形,如图,故D错误.
故选：D.
5．答案：C
解析：将圆化为,圆心,半径,
因为,所以点在圆C内,记圆心C到直线l的距离为d,
则,
由图可知,当,即时,取得最小值,
因为,
所以的最小值为.
故选：C.
6．答案：B
解析：根据题意,设事件A为“所报的两个社团中仅有一个是科技类”,
事件B为“所报两个社团中有一个是体育类”,
则,,
则.
故选：B.
7．答案：A
解析：与比大小,
先比较6与的大小,再比较与的大小.
,.
与比大小.
先比较8与的大小,再比较与的大小,,.即,
故选：A.
8．答案：D
解析：因为,所以,则可化为,
整理得,因为,所以,
令,则函数在上递减,则在上恒成立,
所以在上恒成立,令,则在上恒成立,则在上递减,所以,故只需满足：.
故选：D.
9．答案：ABC
解析：对于A,二次函数开口向上,所以,此时在为增函数,符合;
对于B,二次函数开口向下,所以,此时存在与图中符合;
对于C,二次函数开口向上,所以,此时在为增函数,符合;
对于D,二次函数开口向上,所以,此时在为增函数,不符合.
故选：ABC.
10．答案：ACD
解析：：由线性回归方程中的回归系数,
可知产品的销量与单价成负相关,故A正确;
由,得,则销售额,
为了获得最大的销售额,单价应定为82.5元,故B错误;
由表中数据得,
,
可得样本点的中心的坐标为,则该回归直线过点,代入,得
故C正确;
将分别代入线性回归方程,
得到的预测值分别为50,46,42,38,34,30,
由,,故和在线性回归直线的左下方,满足条件的样本点只有2个,故所求概率为,故D正确.
故选：ACD.
11．答案：ACD
解析：当时,由及,解得,故A正确
因为数列的前n项和为,且,,即,
当时,可得,
两式相减得,因为,故,
所以,,,,及,,,,均为公差为4的等差数列：
当时,由及,解得,
所以,
所以数列的通项公式为.故B错误
由B知,可得,故C正确;
因为对于任意,成立,所以恒成立,
设,则,
时,,,,时,,
所以,故,所以,
即实数的取值范围为,
故选：ACD.
12．答案：8
解析：由函数,可得,
令,可得.
故答案为：8.
13．答案：1
解析：因为,所以,
所以
,
当且仅当,即,,
所以的最小值为1.
故答案为：1.
14．答案：144;84
解析：根据题意,要求四个区域A,B,C,E中有且只有一组相邻区域同色,而同色的相邻区域共有4种,不妨假设为A,B同色,
①若A,B同时染黄色,则另外两个区域共有种染色方法,因此这种情况共有种染色方法;
②若A,B同时染的不是黄色,则它们的染色有4种,另外两个区域一个必须染黄色,所以这两个区域共有,因此这种情况共有种染色方法.
综上可知有且只有一组相邻区域同色的染色方法的种数为种;
根据题意,因为不用黄色,则只有四种颜色可选,
分3种情况讨论：
①､若一共使用了四种颜色,则共有种染色方法;
②､若只使用了三种颜色,则必有一种颜色使用了两次,且染在相对的区域,所以一共有种染色方法;
③､若只使用了两种颜色,则两种颜色都使用了两次,且各自染在一组相对区域,所以共有种染色方法.综上可知所有相邻区域都不同色的染色方法的种数为84种.
故答案为：144;84.
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）设等比数列的公比为q,,,
或,,,.
（2）
,
,.
16．答案：（1）时,不等式的解集为时,不等式的解集为;时,不等式的解集为
（2）
解析：（1）令,解得或,
①当时,,不等式的解集为,
②当时,,不等式的解集为,
③当时,,不等式的解集为.
综上所述：时,不等式的解集为时,不等式的解集为;时,不等式的解集为.
（2）由,
代入整理得,令,
①当,即时,对任意,.
所以此时不等式组无解.
②当,即时,对任意,.
所以解得
③当,即时,对任意,.
所以.此时不等式组无解.
④当,即时,对任意,.
所以此时不等式组无解.
综上,实数b的取值范围是.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）的定义域为R,,又
当时,,则单调递减;当时,,
则单调递增,即的单调减区间为,单调增区间为;又,时,,故;
（2）设,
,,,
,单调递增,,在上单调递增,
,,即实数a的取值范围为.
18．答案：（1）
（2）
（3）应选择方式一参赛
解析：（1）记事件S为恰好答对一道判断题并且配对正确两道连线题,
（2）记事件A：甲同学挑战成功,则事件包含以下几种情况：
①事件“共答对四道”,即答对余下的判断题,答错两道连线题,则,
②事件“共答对五道”,即答错余下的判断题,答对余下的三道连线题,则,
③事件“共答对六道”,即答对余下的四道问题,,
所以;
（3）设选择方式一､二的班级团队挑战成功的概率分别为,.
当选择方式一时,因为两人都回答错误的概率为,
则两人中至少有一人回答正确的概率为,所以,
当选择方式二时,因为一个小组闯关成功的概率为,则一个小组闯关不成功的概率为,
所以,
所以,
构造,则
,因为,则,
,可得,所以,即,所以单调递增,
又因为,且,所以,
从而,即,所以为使本班挑战成功的可能性更大,应选择方式一参赛.
19．答案：（1）
（2）（i）（ii）点Q在定直线上
解析：（1）由题意,点在椭圆上得,可得①
又由,所以②,
由①②联立且,可得,,,
故椭圆C的标准方程为.
（2）（i）易知,,设,联立与C有,解得（舍负）,l到的
距离h即为三角形在边上高的最小值,,
此时三角形面积的最小值
（ii）设,则,即,又由,得,
整理得,再代入得,
即,所以,
同理令,,,则,则,,,
则直线的方程为
同理直线的方程为
两式相减,
整理得,即点Q在定直线上.
单价x（元）
40
50
60
70
80
90
销量y（件）
50
44
43
m
35
28