河南省鹤壁市2023-2024学年八年级下学期期末数学模拟试卷

这是一份河南省鹤壁市2023-2024学年八年级下学期期末数学模拟试卷，共25页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列式子是分式的是（ ）
A．B．C．x+yD．
2．（3分）2023年9月9日，上海微电子研发的28nm浸没式光刻机的成功问世，标志着我国在光刻机领域迈出了坚实的一步．已知28nm为0.000000028米，数据0.000000028用科学记数法表示为（ ）
A．2.8×10﹣10B．2.8×10﹣8C．2.8×10﹣6D．2.8×10﹣9
3．（3分）已知四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AD∥BC，下列判断中错误的是（ ）
A．如果AB＝CD，AC＝BD，那么四边形ABCD是矩形
B．如果AB∥CD，OA＝OB，那么四边形ABCD是矩形
C．如果AD＝BC，AC⊥BD，那么四边形ABCD是菱形
D．如果OA＝OC，AC⊥BD，那么四边形ABCD是菱形
4．（3分）在平面直角坐标系中，点P（m2+2024，﹣2024）一定在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
5．（3分）在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）
A．AB∥DC，AB＝DCB．AB∥DC，AD∥BC
C．AO＝CO，BO＝DOD．AB＝DC，BO＝DO
6．（3分）已知动点P以每秒2cm的速度沿如图甲所示的边框按B﹣C﹣D﹣E﹣F﹣A的路径方向移动，△ABP的面积S与时间t之间的关系图象如图乙所示，若a＝24，则b的值为（ ）
A．15B．16C．17D．18
7．（3分）若点A（x1，﹣3），B（x2，﹣1），C（x3，1）都在反比例函数的图象上，则x1，x2，x3的大小关系为（ ）
A．x1＜x2＜x3B．x2＜x1＜x3C．x2＜x3＜x1D．x3＜x2＜x1
8．（3分）若关于x的分式方程无解，则n＝（ ）
A．﹣1B．0C．1D．
9．（3分）如图，矩形ABOC的边BO、CO分别在x轴、y轴上，点A的坐标是（﹣6，4），点D、E分别为AC、OC的中点，点P为OB上一动点，当PD+PE最小时，点P的坐标为（ ）
A．（﹣1，0）B．（﹣2，0）C．（﹣3，0）D．（﹣4，0）
10．（3分）如图，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，AB∥x轴，BC⊥x轴，垂足为C，连接AC，若△ABC的面积是6，则k的值为（ ）
A．10B．12C．14D．16
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）若分式的值为零，则x的值为 ．
12．（3分）已知两组数据，甲组：3、4、5、6、7，乙组：1、3、5、7、9．若甲组数据的方差记为，乙组数据的方差记为，则 ．（填“＞”、“＜”或“＝”）
13．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，对角线AC与BD交于点O，点E为BC边上的一个动点，EF⊥AC，EF⊥AC，EG⊥BD，垂足分别为点F，G，则EF+EG＝ ．
14．（3分）若关于x的分式方程的解是正数．则m的取值范围是 ．
15．（3分）如图，在▱ABCD中，AB＝6cm，AD＝10cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动．点Q在BC边上以每秒4cm的速度从点C出发，在CB之间往返运动．两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止运动），设运动时间为t秒．当5＜t＜10时，运动时间t＝ 时，以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形．
三、解答题（8个小题，共75分）
16．（10分）（1）计算：；
（2）解方程：﹣1．
17．（8分）解方程与化简求值．
先化简，再从0，1，2，中选择一个合适的数代入并求值．
18．（9分）如图，在▱ABCD中，AB＝2AD，E是CD的中点，连接AE、BE．
（1）求证：AE平分∠DAB；
（2）过点A作AF∥BE，过点B作BF∥AE，AF、BF交于点F，连接EF，求证：EF＝AB．
19．（9分）快递业为商品走进千家万户提供了极大便利，不同的快递公司在配送速度、服务、收费和投递范围等方面各具优势．网店店主小刘打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作，为此，小刘收集了10家网店店主对两家快递公司的相关评价，并整理、描述、分析如下：
①配送速度得分（满分10分）：
甲：7，6，9，6，7，10，8，8，9，9；乙：8，8，6，7，9，7，9，8，8，9．
②服务质量得分统计图（满分10分）：
③配送速度和服务质量得分统计表：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空：m＝ ，n＝ ，比较大小：s甲2 s乙2（填“＞”“＝”或“＜”）；
（2）综合上表中的统计量，你认为小刘应选择哪家公司？请说明理由；
（3）为了从甲、乙两家公司中选出更合适的公司，你认为小刘还应收集什么信息？（列出一条即可）
20．（9分）第31届世界大学生夏季运动会将于今年6月在成都开幕，与吉祥物“蓉宝”有关的纪念品现已上市，某商店调查发现：“蓉宝”熊猫双肩背包和“蓉宝”熊猫斜挎包这两种包深受青少年的喜爱．该商店计划购进这两种包共50个，设购进双肩背包x个，该商店销售完这两种包的总利润为y元，两种包的进价和售价如表：
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）已知该商店购进这两种包的总费用不超过1400元，当购进多少个双肩背包时，才能使销售完这两种包所获总利润最大？最大利润是多少？
21．（10分）如图，已知AC垂直平分BD，DF⊥BD，∠ABC＝∠DCF．
（1）求证：四边形ACFD是平行四边形；
（2）若DF＝CF＝5，CD＝6，求BD的长．
22．（9分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝ax+b的图象与反比例函数的图象交于点A（1，2）和B（﹣2，m）．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）请直接写出y1＜y2时，x的取值范围；
（3）连接OA，OB，求出△AOB的面积．
23．（11分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b与x轴交于点A（4，0）与y轴交于点B（0，8）．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）若点P是线段AB上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，PD⊥y轴于点D，当四边形PCOD的邻边之比为2：1时，求线段PC的长．
（3）若点Q是平面内任意一点，是否存在以A，O，B，Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
一、单选题（每小题3分，共30分）
1．（3分）下列式子是分式的是（ ）
A．B．C．x+yD．
【分析】形如（A，B均为整式，B中含有字母且B≠0）的式子即为分式，据此进行判断即可．
【解答】解：分母中不含字母，
则A不符合题意；
符合分式的定义，
则B符合题意；
x+y是整式，
则C不符合题意；
分母中不含字母，
则D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查分式的定义，熟练掌握并理解分式的定义是解题的关键．
2．（3分）2023年9月9日，上海微电子研发的28nm浸没式光刻机的成功问世，标志着我国在光刻机领域迈出了坚实的一步．已知28nm为0.000000028米，数据0.000000028用科学记数法表示为（ ）
A．2.8×10﹣10B．2.8×10﹣8C．2.8×10﹣6D．2.8×10﹣9
【分析】用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，由此即可得到答案．
【解答】解：0.000000028＝2.8×10﹣8．
故选：B．
【点评】本题考查科学记数法—表示较小的数，关键是掌握用科学记数法表示数的方法．
3．（3分）已知四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AD∥BC，下列判断中错误的是（ ）
A．如果AB＝CD，AC＝BD，那么四边形ABCD是矩形
B．如果AB∥CD，OA＝OB，那么四边形ABCD是矩形
C．如果AD＝BC，AC⊥BD，那么四边形ABCD是菱形
D．如果OA＝OC，AC⊥BD，那么四边形ABCD是菱形
【分析】根据矩形和菱形的判定定理进行判断即可．
【解答】解：A、如果AB＝CD，AC＝BD，那么四边形ABCD是等腰梯形，不一定矩形，符合题意；
B、如果AD∥BC，OA＝OB，则四边形ABCD是平行四边形，又AC＝BD，那么四边形ABCD是矩形；不符合题意；
C、如果AD∥BC，AD＝BC，则四边形ABCD是平行四边形，又AC⊥BD，那么四边形ABCD是菱形；不符合题意；
D、如果AD∥BC，OA＝OC，则四边形ABCD是平行四边形，又AC⊥BD，那么四边形ABCD是菱形；不符合题意；
故选：A．
【点评】此题主要考查了矩形的判定和菱形的判定，关键是熟练掌握矩形和菱形的判定定理．
4．（3分）在平面直角坐标系中，点P（m2+2024，﹣2024）一定在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】判定点P的横纵坐标的符号即可得解．
【解答】解：∵m2≥0，
∴m2+2024≥2024＞0，又﹣2024＜0，
∴点P（m2+2024，﹣2024）一定在第四象限．
故选：D．
【点评】本题考查点横纵坐标与所在象限的关系，水平数轴叫x轴（横轴），竖直数轴叫y轴（纵轴），x轴一般取向右为正方向，y轴一般取象上为正方向，两轴交点叫坐标系的原点．它既属于x轴，又属于y轴．
5．（3分）在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）
A．AB∥DC，AB＝DCB．AB∥DC，AD∥BC
C．AO＝CO，BO＝DOD．AB＝DC，BO＝DO
【分析】利用平行四边形的判定方法依次判断可求解．
【解答】解：A、∵AB∥DC，AB＝DC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A不符合题意；
B、∵AB∥DC，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项B不符合题意；
C、∵AO＝CO，BO＝DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项C不符合题意；
D、由AB＝DC，BO＝DO，不能判定这个四边形是平行四边形，故选项D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
6．（3分）已知动点P以每秒2cm的速度沿如图甲所示的边框按B﹣C﹣D﹣E﹣F﹣A的路径方向移动，△ABP的面积S与时间t之间的关系图象如图乙所示，若a＝24，则b的值为（ ）
A．15B．16C．17D．18
【分析】利用点P运动到点C、点D、点E处时的时间，求出BC、DE等线段，求出点P的总路程，再除以速度即可．
【解答】解：当点P运动到点C处时，t＝4s，
∴BC＝2×4＝8（cm），
∵a＝24＝AB•BC，
∴AB＝6cm，
当点P运动到点D处时，t＝6s，
∴CD＝2×（6﹣4）＝4（cm），
当点P运动到点E处时，t＝9s，
∴DE＝2×（9﹣6）＝6（cm），
∴AF＝BC+DE＝14（cm），
∵CD+EF＝AB＝6（cm），
∴点P的运动总路程为2×14+6＝34（cm），
∴b＝34÷2＝17（s），
故选：C．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，能从图象中得到有用的条件，并判断动点位置进行计算是本题的解题关键．
7．（3分）若点A（x1，﹣3），B（x2，﹣1），C（x3，1）都在反比例函数的图象上，则x1，x2，x3的大小关系为（ ）
A．x1＜x2＜x3B．x2＜x1＜x3C．x2＜x3＜x1D．x3＜x2＜x1
【分析】根据反比例函数的性质，结合“点A（x1，3）、B（x2，﹣1）、C（x3，1）在反比例函数y＝的图象上”，根据各个点纵坐标的正负，即可判断横坐标的正负，当x＞0时，根据反比例函数y＝的增减性，即可判断两个正数横坐标的大小，综上，可得到答案．
【解答】解：∵点A（x1，3）、B（x2，﹣1）、C（x3，1）在反比例函数y＝的图象上，
又∵y＞0时，x＞0，y＜0时，x＜0，
即x1＞0，x3＞0，x2＜0，
当x＞0时，y随x的增大而减小，
∴x1＜x3，
综上可知：x2＜x1＜x3，
故选：B．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正确掌握反比例函数的性质和反比例函数的增减性是解题的关键．
8．（3分）若关于x的分式方程无解，则n＝（ ）
A．﹣1B．0C．1D．
【分析】解分式方程，可得，根据题意可知分式方程的增根为x＝﹣2，即有，，求解即可获得答案．
【解答】解：，
去分母，得 x+x+2＝n﹣1，
合并同类项、系数化为1，得 ，
由题意可知，分式方程的增根为x＝﹣2，
即有，解得n＝﹣1．
故选：A．
【点评】本题主要考查了解分式方程以及分式方程的增根的知识，通过分析确定该分式方程的增根为x＝2是解题关键．
9．（3分）如图，矩形ABOC的边BO、CO分别在x轴、y轴上，点A的坐标是（﹣6，4），点D、E分别为AC、OC的中点，点P为OB上一动点，当PD+PE最小时，点P的坐标为（ ）
A．（﹣1，0）B．（﹣2，0）C．（﹣3，0）D．（﹣4，0）
【分析】取点E关于x轴的对称点E'，连接PE'，连接DE'交x轴于点P'，确定PD+PE最小值为DE'，此时点P位于P'处，再根据待定系数法确定直线DE'的解析式，进而可求出点P'的坐标，即当PD+PE最小时，点P的坐标．
【解答】解：取点E关于x轴的对称点E'，连接PE'，连接DE'交x轴于点P'，
∴PE'＝PE，
∵PD+PE＝PD+PE'≥DE'，
∴PD+PE最小值为DE'，此时点P位于P'处，
∵四边形ABOC是矩形，点A的坐标是（﹣6，4），
∴AC＝6，OC＝4，
∵点D、E分别为AC、OC的中点，
∴D（﹣3，4），E'（0，﹣2），
设直线DE'的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴直线DE'的解析式为y＝﹣2x﹣2，
当y＝0时，0＝﹣2x﹣2，
解得x＝﹣1，
∴P'（﹣1，0），
即当PD+PE最小时，点P的坐标为（﹣1，0），
故选：A．
【点评】本题考查轴对称﹣最短路线问题，解答中涉及坐标与图形性质，矩形的性质，两点之间线段最短，待定系数法确定一次函数解析式，能确定PD+PE最小时，点P的位置是解题的关键．
10．（3分）如图，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，AB∥x轴，BC⊥x轴，垂足为C，连接AC，若△ABC的面积是6，则k的值为（ ）
A．10B．12C．14D．16
【分析】延长BA，交y轴于M，作AN⊥x轴于N，根据反比例函数系数k的几何意义得出S四边形ANCB＝S四边形OMBC﹣S四边形OMAN＝k﹣4＝2S△ABC，由已知条件得出k﹣4＝2×6，解得k＝16．
【解答】解：延长BA，交y轴于M，作AN⊥x轴于N，
∵点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，AB∥x轴，BC⊥x轴，
∴S四边形OMAN＝4，
∵点B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴S四边形OMBC＝k，
∵S四边形ANCB＝S四边形OMBC﹣S四边形OMAN＝k﹣4＝2S△ABC，
∴k﹣4＝2×6，
解得k＝16，
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，明确图中矩形的面积为即为比例系数k的绝对值．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）若分式的值为零，则x的值为 ﹣1 ．
【分析】分式的值为0时：分子等于0，且分母不等于0．
【解答】解：根据题意，得
|x|﹣1＝0，且x﹣1≠0，
解得x＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
12．（3分）已知两组数据，甲组：3、4、5、6、7，乙组：1、3、5、7、9．若甲组数据的方差记为，乙组数据的方差记为，则 ＜ ．（填“＞”、“＜”或“＝”）
【分析】先确定出两组数据的平均数，再根据方差的公式计算判断S甲2和S乙2．
【解答】解：＝（3+4+5+6+7）÷5＝5，
＝（1+3+5+7+9）÷5＝5，
∵s甲2＝[（3﹣5）2+（4﹣5）2+（5﹣5）2+（6﹣5）2+（7﹣5）2]＝2，
S乙2＝[（1﹣5）2+（3﹣5）2+（5﹣5）2+（7﹣5）2+（9﹣5）2]＝8，
∴S甲2＜S乙2，
故答案为：＜．
【点评】本题考查方差，熟练掌握方差的计算方法是解题关键．方差是各数据与其平均数差的平方的平均数，它反映数据波动的大小．
13．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，对角线AC与BD交于点O，点E为BC边上的一个动点，EF⊥AC，EF⊥AC，EG⊥BD，垂足分别为点F，G，则EF+EG＝ 4.8 ．
【分析】作CH⊥BD于点H，连接OE，先由矩形的性质证明OC＝OB，再根据勾股定理求得BD，由三角形的面积公式求出CH，由S△COE+S△BOE＝S△BOC即可求出答案．
【解答】解：作CH⊥BD于点H，连接OE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，，，
∴OC＝OB，
∵∠BCD＝90°，CD＝AB＝6，BC＝AD＝8，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得CH＝4.8，
∵EF⊥AC，EG⊥BD，垂足分别为点F，G，S△COE+S△BOE＝S△BOC，
∴，
∴EF+EG＝CH＝4.8．
故答案为：4.8．
【点评】本题主要考查矩形的性质、勾股定理，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
14．（3分）若关于x的分式方程的解是正数．则m的取值范围是 m＜9且m≠3 ．
【分析】直接解分式方程，进而结合分式方程有解的意义得出答案．
【解答】解：去分母得：
x﹣3（x﹣3）＝m，
解得：x＝，
∵关于x的分式方程的解是正数，
∴＞0，且≠3，
解得：m＜9且m≠3．
故答案为：m＜9且m≠3．
【点评】此题主要考查了分式方程的解以及一元一次不等式的解法，正确表示出方程的解是解题关键．
15．（3分）如图，在▱ABCD中，AB＝6cm，AD＝10cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动．点Q在BC边上以每秒4cm的速度从点C出发，在CB之间往返运动．两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止运动），设运动时间为t秒．当5＜t＜10时，运动时间t＝ 秒或8秒 时，以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形．
【分析】根据P的速度为每秒1cm，可得AP＝t cm，从而得到PD＝（10﹣t）cm，由四边形ABCD为平行四边形可得出PD∥BQ，结合平行四边形的判定定理可得出当PD＝BQ时以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形，当5＜t＜10时，分两种情况考虑，在每种情况中由PD＝BQ即可列出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴PD∥BQ．
若要以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形，则PD＝BQ．
当5＜t≤时，AP＝t cm，PD＝（10﹣t）cm，CQ＝（4t﹣20）cm，BQ＝（30﹣4t）cm，
∴10﹣t＝30﹣4t，
解得：t＝；
当＜t≤10时，AP＝t cm，PD＝（10﹣t）cm，BQ＝（4t﹣30）cm，
∴10﹣t＝4t﹣30，
解得：t＝8．
综上所述：当运动时间为秒或8秒时，以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形．
故答案为：秒或8秒．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质以及一元一次方程的应用，弄清Q在BC上往返运动情况是解决此题的关键．
三、解答题（8个小题，共75分）
16．（10分）（1）计算：；
（2）解方程：﹣1．
【分析】（1）根据绝对值，算术平方根，负整数指数幂以及零指数幂的运算性质进行计算即可；
（2）将分式方程的两边都乘以3（x﹣2）化为整式方程，再求出整式方程的解，最后进行检验即可．
【解答】解：（1）原式＝
＝4；
（2）方程两边都乘以3（x﹣2）得，
3（5x﹣4）＝4x+10﹣3x+6，
解得x＝2，
经检验，x＝2是原方程的增根，
所以原分式方程无解．
【点评】本题考查绝对值，算术平方根，负整数指数幂，零指数幂以及解分式方程，掌握绝对值，算术平方根，负整数指数幂，零指数幂的运算性质以及分式方程的解法是正确解答的关键．
17．（8分）解方程与化简求值．
先化简，再从0，1，2，中选择一个合适的数代入并求值．
【分析】先计算括号，分式化简后，通分即可．
【解答】解：原式＝+
＝+
＝．
当x＝0时，上式＝0．
【点评】本题考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算法则．
18．（9分）如图，在▱ABCD中，AB＝2AD，E是CD的中点，连接AE、BE．
（1）求证：AE平分∠DAB；
（2）过点A作AF∥BE，过点B作BF∥AE，AF、BF交于点F，连接EF，求证：EF＝AB．
【分析】（1）由平行四边形的性质得出∠EAB＝∠DEA，证出AD＝DE，由等腰三角形的性质得出∠DAE＝∠DEA，得出∠DAE＝∠EAB即可；
（2）证四边形AFBE是平行四边形，由（1）得AE平分∠DAB，同理BE平分∠ABC，证∠AEB＝90°，则四边形AFBE是矩形，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD，
∴∠EAB＝∠DEA，
∵E是CD的中点，AB＝2AD，
∴AD＝DE，
∴∠DAE＝∠DEA，
∴∠DAE＝∠EAB，
∴AE平分∠DAB；
（2）证明：∵AF∥BE，BF∥AE，
∴四边形AFBE是平行四边形，
由（1）得：AE平分∠DAB，
同理：BE平分∠ABC，
∴∠DAE＝∠EAB，∠CBE＝∠ABE，
∵AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABC＝180°，
∴∠EAB+∠ABE＝×180°＝90°，
∴∠AEB＝90°，
∴四边形AFBE是矩形，
∴EF＝AB．
【点评】此题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
19．（9分）快递业为商品走进千家万户提供了极大便利，不同的快递公司在配送速度、服务、收费和投递范围等方面各具优势．网店店主小刘打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作，为此，小刘收集了10家网店店主对两家快递公司的相关评价，并整理、描述、分析如下：
①配送速度得分（满分10分）：
甲：7，6，9，6，7，10，8，8，9，9；乙：8，8，6，7，9，7，9，8，8，9．
②服务质量得分统计图（满分10分）：
③配送速度和服务质量得分统计表：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空：m＝ 8 ，n＝ 9 ，比较大小：s甲2 ＜ s乙2（填“＞”“＝”或“＜”）；
（2）综合上表中的统计量，你认为小刘应选择哪家公司？请说明理由；
（3）为了从甲、乙两家公司中选出更合适的公司，你认为小刘还应收集什么信息？（列出一条即可）
【分析】（1）根据中位数、众数和方差的概念即可解答；
（2）综合分析表中的统计量，即可解答；
（3）根据已有的数据，合理提出建议即可，答案不唯一．
【解答】解：（1）将甲数据从小到大排列为：6，6，7，7，8，8，9，9，9，10，
从中可以看出一共10个数据，第5个和第6个数据均为8，所以这组数据的中位数为（8+8）÷2＝8，即m＝8，
其中9出现的次数最多，所以这组数据的众数为9，即n＝9，
从折线统计图中可以看出，甲的服务质量得分分布于5﹣8，乙的服务质量得分分布于4﹣10，
从中可以看出甲的数据波动更小，数据更稳定，即s甲2＜s乙2，
故答案为：8，9，＜．
（2）小刘应选择甲公司，理由如下：
配送速度方面，甲乙两公司的平均分相同，中位数相同，但甲的众数高于乙公司，这说明甲在配送速度方面可能比乙公司表现的更好，
服务质量方面，二者的平均相同，但甲的方差明显小于乙，说甲的服务质量更稳定，因此应该选择甲公司．
（3）根据题干可知，不同的快递公司在配送速度、服务、收费和投递范围等方面各具优势，
所以除了配送速度和服务质量，还应该收集两家公司的收费情况和投递范围（答案不唯一，言之有理即可）．
【点评】本题主要考查了中位数、众数和方差的概念，理解并掌握它们的概念和意义并能结合题干分析问题是解题的关键．
20．（9分）第31届世界大学生夏季运动会将于今年6月在成都开幕，与吉祥物“蓉宝”有关的纪念品现已上市，某商店调查发现：“蓉宝”熊猫双肩背包和“蓉宝”熊猫斜挎包这两种包深受青少年的喜爱．该商店计划购进这两种包共50个，设购进双肩背包x个，该商店销售完这两种包的总利润为y元，两种包的进价和售价如表：
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）已知该商店购进这两种包的总费用不超过1400元，当购进多少个双肩背包时，才能使销售完这两种包所获总利润最大？最大利润是多少？
【分析】（1）根据“总利润＝“蓉宝”熊猫双肩背包的利润+蓉宝”熊猫斜挎包的利润”可以列出函数关系式．
（2）确定自变量取值范围，再应用一次函数性质讨论最值．
【解答】解：（1）由题意可得：y＝（40﹣25）x+（60﹣30）（50﹣x）＝﹣15x+1500，
即y与x之间的函数关系式为y＝﹣15x+1500；
（2）∵该商店购进这两种包的总费用不超过1400元，
∴25x+30（50﹣x）≤1400，
解得x≥20，
在y＝﹣15x+1500中，﹣15＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x＝20时，y取最大值，最大值为﹣15×20+1500＝1200，
答：当购进20个双肩背包时，才能使销售完这两种包所获总利润最大，最大利润是1200元．
【点评】本题考查了一次函数的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）根据数量关系列出关于x的一元一次不等式；（2）根据数量关系找出y关于x的函数关系式．
21．（10分）如图，已知AC垂直平分BD，DF⊥BD，∠ABC＝∠DCF．
（1）求证：四边形ACFD是平行四边形；
（2）若DF＝CF＝5，CD＝6，求BD的长．
【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质、平行线的性质得出AF∥CD，进而利用平行四边形的判定解答即可；
（2）根据平行四边形和菱形的性质分析，再根据勾股定理解答即可．
【解答】（1）证明：∵AC垂直平分BD，
∴AB＝AD，BC＝DC，
在△ABC与△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠ABC＝∠ADC，
∵∠ABC＝∠DCF，
∴∠ADC＝∠DCF，
∴AD∥CF，
∵AC⊥BD，DF⊥BD，
∴DF∥AC，
∴四边形ACFD是平行四边形；
（2）解：∵四边形ACDF是平行四边形，DF＝CF＝5，
∴▱ACDF是菱形，
∴AD＝5，
设CE＝x，则AE＝5﹣x，
∴CD2﹣CE2＝AD2﹣AE2
即62﹣x2＝52﹣（5﹣x）2
解得：x＝3.6，即CE＝3.6，
∴DE＝，
∴BD＝2DE＝9.6．
【点评】此题考查平行四边形的判定和性质，关键是根据全等三角形的判定和平行四边形的判定分析．
22．（9分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝ax+b的图象与反比例函数的图象交于点A（1，2）和B（﹣2，m）．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）请直接写出y1＜y2时，x的取值范围；
（3）连接OA，OB，求出△AOB的面积．
【分析】（1）由点A的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出k值，由点B的横坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出m值，进而可得出点B的坐标，根据点A，B的坐标，利用待定系数法即可求出一次函数解析式；
（2）观察函数图象，由两函数图象的上下位置关系结合两交点的坐标，即可找出y1＜y2时x的取值范围；
（3）求出点C的坐标，利用三角形的面积公式求出面积即可．
【解答】解：（1）∵点A（1，2）在反比例函数y2＝的图象上，
∴2＝，
∴k＝1×2＝2，
∴反比例函数的解析式为y2＝．
∵点B（﹣2，m）在反比例函数y2＝的图象上，
∴m＝＝﹣1，
∴点B的坐标为（﹣2，﹣1）．
把A（1，2），B（﹣2，﹣1）代入y1＝ax+b得：，
解得：，
∴一次函数解析式为y1＝x+1．
（2）由函数图象可知：当x＜﹣2或0＜x＜1时，y1＜y2．
（3）如图，当x＝0时，y＝0+1＝1，
∴点C（0，1），
∴OC＝1，
∴△AOB的面积为：＝．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式．
23．（11分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b与x轴交于点A（4，0）与y轴交于点B（0，8）．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）若点P是线段AB上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，PD⊥y轴于点D，当四边形PCOD的邻边之比为2：1时，求线段PC的长．
（3）若点Q是平面内任意一点，是否存在以A，O，B，Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用待定系数法可求解析式；
（2）设点P（x，﹣2x+8），可得OC＝x，PC＝﹣2x+8，由线段的数量关系可求解；
（3）分三种情况讨论，利用平行四边形的性质可求解．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b与x轴交于点A（4，0）与y轴交于点B（0，8），
∴，
解得：，
∴一次函数的解析式为y＝﹣2x+8；
（2）设点P（x，﹣2x+8），
∴OC＝x，PC＝﹣2x+8，
∵四边形PCOD的邻边之比为2：1，
∴OC＝2PC或PC＝2OC，
∴x＝2（﹣2x+8）或﹣2x+8＝2x，
∴x＝或x＝2，
∴PC＝4或；
（3）设点Q（m，n），
当AB是对角线时，∵四边形AOBQ是平行四边形，
∴AB与OQ互相平分，
∴，，
∴m＝4，n＝8，
∴点Q（4，8）；
当AO是对角线时，∵四边形ABOQ是平行四边形，
∴AO与BQ互相平分，
∴，，
∴m＝4，n＝﹣8，
∴点Q（4，﹣8）；
当OB是对角线时，∵四边形AOQB是平行四边形，
∴AQ与BO互相平分，
∴，，
∴m＝﹣4，n＝8，
∴点Q（﹣4，8），
综上所述：点Q的坐标为（4，8）或（4，﹣8）或（﹣4，8）．
【点评】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，平行四边形的性质，中点坐标公式等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
快递公司统计量
配送速度得分
服务质量得分
平均数
中位数
众数
平均数
方差
甲
7.9
m
n
7
s甲2
乙
7.9
8
8
7
s乙2
“蓉宝”熊猫双肩背包
“蓉宝”熊猫斜挎包
进价（元/个）
25
30
售价（元/个）
40
60
快递公司统计量
配送速度得分
服务质量得分
平均数
中位数
众数
平均数
方差
甲
7.9
m
n
7
s甲2
乙
7.9
8
8
7
s乙2
“蓉宝”熊猫双肩背包
“蓉宝”熊猫斜挎包
进价（元/个）
25
30
售价（元/个）
40
60