山东省济南市槐荫区2023-2024学年七年级下学期期末数学试卷

这是一份山东省济南市槐荫区2023-2024学年七年级下学期期末数学试卷，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）下列校徽的图案是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（4分）华为公司上市的Mate60手机搭载的是自主研发的麒麟9000处理器，这款处理器是华为首款采用5nm制程技术的手机芯片，1nm＝0.000000001m，则0.000000005m用科学记数法表示为（ ）
A．5×10﹣9mB．0.5×10﹣8mC．5×10﹣8mD．0.5×10﹣9m
3．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．（2a）2＝2a2B．（a2）3＝a8
C．a4•a2＝a6D．2a8÷a4＝2a2
4．（4分）如图，直线a∥b，若∠1＝130°，则∠2等于（ ）
A．60°B．50°C．40°D．30°
5．（4分）如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，则∠B的度数为（ ）
A．30°B．50°C．90°D．100°
6．（4分）将一把直尺和一块含30°和60°角的三角板ABC按如图所示的位置放置，如果∠CDE＝45°，那么∠BAF的大小为（ ）
A．15°B．10°C．20°D．25°
7．（4分）在地球某地，温度T（℃）与海拔d（m）的关系可以近似的用来表示，根据这个关系式，当海拔d＝600m时的温度T（℃）为（ ）
A．5B．6C．7D．8
8．（4分）下列说法错误的是（ ）
A．三角形的三条高所在的直线交于一点
B．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
C．三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边
D．三角形三条高线的交点叫做三角形的重心
9．（4分）用尺规作一个角等于已知角．已知∠AOB．求作：∠DEF，使∠DEF＝∠AOB．作法如下：
（1）作射线EG；
（2）以①为圆心，任意长为半径画弧，交OA于点P、交OB于点Q；
（3）以点E为圆心，以②为半径画弧交EG于点D；
（4）以点D为圆心，以③为半径画弧交前面的弧于点F；
（5）过点F作④，∠DEF即为所求作的角．
以上作图步骤中，序号代表的内容错误的是（ ）
A．①表示点OB．②表示OP
C．③表示OQD．④表示射线EF
10．（4分）“杨辉三角”是杨辉留给后世宝贵的数学遗产．如图，在“杨辉三角”中，两边上的数都是1，其余每个数为它的上方（左右）两数之和．如2＝1+1，10＝4+6…在“杨辉三角”中，若从第三行的“2”开始，按图示箭头所指依次构成一列数：2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则这列数中第24个数是（ ）
A．8B．28C．56D．70
二、填空题（本大题共6个小题.每小题4分，共24分．把答案填在答题卡的横线上．）
11．（4分）在直角三角形ABC中，∠C＝90°，若∠A＝40°，则∠B＝ 度．
12．（4分）如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）在图中，若测量得A'B'＝10cm，则工件内槽宽AB为 cm．
13．（4分）一名老师带领x名学生到动物园参观，已知成人票每张30元，学生票每张10元，设门票的总费用为y元，则y与x的函数关系式为 ．
14．（4分）如图，△ABC中，∠B＝55°，∠C＝30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N作直线MN，交BC于点D，连结AD，则∠BAD的度数为 ．
15．（4分）如果一个等腰三角形的两边长分别为4cm和9cm，则此等腰三角形的周长 cm．
16．（4分）如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，点N、P、Q分别为边AB，AC，BC上的动点，连接NQ，NP，PQ，若BC＝6，S△ABC＝24，则△NPQ的周长的最小值为 ．
三、解答题（本大题共10个小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17．（6分）计算：．
18．（6分）先化简，再求值：（a﹣2）（a+2）﹣a（a﹣2），其中a＝3．
19．（6分）如图，点A、F、C、D在一条直线上，AB⊥BC，DE⊥EF，垂足分别为B、E，AB＝DE，∠A＝∠D．求证：AC＝DF．（推理过程请注明理由）
20．（8分）如图，AD∥BC，∠1＝∠C，∠B＝60°，DE平分∠ADC交BC于点E，
试说明AB∥DE．请完善解答过程，并在括号内填写相应的理论依据．
解：∵AD∥BC，（已知）
∴∠1＝∠ ＝60°．（ ）
∵∠1＝∠C，（已知）
∴∠C＝∠B＝60°．（等量代换）
∵AD∥BC，（已知）
∴∠C+∠ ＝180°．（ ）
∴∠ ＝180°﹣∠C＝180°﹣60°＝120°．（等式的性质）
∵DE平分∠ADC，（已知）
∴∠ADE＝∠ADC＝×120°＝60°．（ ）
∴∠1＝∠ADE．（等量代换）
∴AB∥DE．（ ）
21．（8分）如图，在11×11的正方形网格中，网格中有一个格点△ABC（即三角形的顶点都在格点上）．
（1）在图中作出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1（要求A与A1，B与B1，C与C1相对应）；
（2）在直线l上找一点P，使得△PAC的周长最小；
（3）△ABC的面积为 ．
22．（8分）星期五晚饭后，小红从家里出去散步，如图所示，描述了她散步过程中离家的距离s（m）与散步所用的时间t（min）之间的关系，该图象反映的过程是：小红从家出发，到了一个公共阅报栏，看了一会报后，继续向前走了一段走到邮亭，然后回家了，依据图象回答下列问题：
（1）在这个变化过程中，自变量是 ，因变量是 ．
（2）公共阅报栏离小红家有 m，小红在公共阅报栏看报一共用了 min；
（3）求小红从家走到公共阅报栏的速度和从邮亭返回家的速度．
23．（10分）如图，已知△ABC中，D为BC上一点，AB＝AD，E为△ABC外部一点，满足AC＝AE，连结DE，与AC交于点O，且∠CAE＝∠BAD．
（1）求证：△ABC≌△ADE；
（2）若∠BAD＝25°，求∠EDC的度数．
24．（10分）在张老师的课堂上，张老师引导学生证明“三角形内角和定理”．
如图1，已知：△ABC．求证：∠A+∠B+∠ACB＝180°．
如何证明这个定理呢？
下面是两种添加辅助线的方法，请按要求解决下列问题．
方法一：如图1，延长BC作射线CM，过点C作射线CN∥AB．
方法二：如图2，过点A作直线PQ∥BC．
（1）某同学写出了方法一的证明过程，请补充完整．
证明：如图1，延长BC作射线CM，过点C作射线CN∥AB，
∴∠A＝ （两直线平行，内错角相等），
∠B＝∠2（ ）．
∵∠1+∠2+∠ACB＝180°（平角的定义），
∴∠A+∠B+∠ACB＝180°（等量代换）．
（2）请写出方法二的证明过程．
（3）在回顾解题思路时，张老师带领同学们重点总结了转化思想，指出两种解题思路都利用了“平行线”进行等角转化；为了帮助同学们更好地感悟转化思想，张老师又提出了下面的问题，请你解答．
如图3，已知△ABC，过点A作直线PQ∥BC，R为线段AB上一点，连接RQ、RC，若∠1＝53°，∠2＝29°，∠3＝24°，求∠QRC的度数．
25．（12分）“数缺形时少直观，形缺数时难入微．数形结合百般好，隔裂分家万事休．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．如图1，是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）用两种不同的方法表示图2中小正方形（阴影部分）的面积：
方法一：S小正方形＝ ；
方法二：S小正方形＝ ；
（2）（m+n）2，（m﹣n）2，mn这三个代数式之间的等量关系为 ；
（3）应用（2）中发现的关系式解决问题：若x+y＝8，xy＝15，求（x﹣y）2的值；
（4）已知（2024﹣a）2+（a﹣2023）2＝8，求（2024﹣a）（a﹣2023）的值．
26．（12分）【模型呈现】
（1）如图1，C、A、E在一条直线上，∠BAD＝90°，AB＝AD，BC⊥CA于点C，DE⊥AE于点E．求证：BC＝AE．
【模型应用】
（2）如图2，EA⊥AB且AE＝AB，BC⊥CD且BC＝CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形ABCDE的面积．
【深入探究】
（3）如图3，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，连接BC、DE，且BC⊥AF于点F，DE与直线AF交于点G．
①求证：DG＝GE；
②若BC＝21，AF＝12，求△ADG的面积．
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（4分）下列校徽的图案是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A．选项中的图形不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，故不符合题意；
B．选项中的图形不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，故不符合题意；
C．选项中的图形不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，故不符合题意；
D．选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，故符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（4分）华为公司上市的Mate60手机搭载的是自主研发的麒麟9000处理器，这款处理器是华为首款采用5nm制程技术的手机芯片，1nm＝0.000000001m，则0.000000005m用科学记数法表示为（ ）
A．5×10﹣9mB．0.5×10﹣8mC．5×10﹣8mD．0.5×10﹣9m
【分析】绝对值小于1的数可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.000000005m＝5×10﹣9．
故选：A．
【点评】本题考查科学记数法﹣表示较小的数，对于一个绝对值小于1的非0小数，用科学记数法写成a×10﹣n的形式，其中1≤|a|＜10，n是正整数，n等于原数中第一个非0数字前面所有0的个数（包括小数点前面的0）．
3．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．（2a）2＝2a2B．（a2）3＝a8
C．a4•a2＝a6D．2a8÷a4＝2a2
【分析】根据整式的相关运算法则逐项分析判断即可．
【解答】解：A、（2a）2＝4a2，故错误，不符合题意；
B、（a2）3＝a6，故错误，不符合题意；
C、a4•a2＝a6，故正确，符合题意；
D、2a8÷a4＝2a4，故错误，不符合题意，
故选：C．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方积的乘方，整式的除法，熟练掌握以上运算法则是关键．
4．（4分）如图，直线a∥b，若∠1＝130°，则∠2等于（ ）
A．60°B．50°C．40°D．30°
【分析】先由对顶角线段得到∠3＝∠1＝130°，再由两直线平行，同旁内角互补即可得到∠2＝180°﹣∠3＝50°．
【解答】解：如图，
∵∠1＝130°，
∴∠3＝∠1＝130°，
∵a∥b，
∴∠2＝180°﹣∠3＝50°，
故选：B．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，对顶角相等，解答本题的关键是熟练掌握平行线的性质．
5．（4分）如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，则∠B的度数为（ ）
A．30°B．50°C．90°D．100°
【分析】由已知条件，根据轴对称的性质可得∠C＝∠C′＝30°，利用三角形的内角和等于180°可求答案．
【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，
∴∠A＝∠A′＝50°，∠C＝∠C′＝30°；
∴∠B＝180°﹣80°＝100°．
故选：D．
【点评】主要考查了轴对称的性质与三角形的内角和是180度；求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°．
6．（4分）将一把直尺和一块含30°和60°角的三角板ABC按如图所示的位置放置，如果∠CDE＝45°，那么∠BAF的大小为（ ）
A．15°B．10°C．20°D．25°
【分析】由DE∥AF得∠AFD＝∠CDE＝45°，再根据三角形的外角性质可得答案．
【解答】解：由题意知DE∥AF，
∴∠AFD＝∠CDE＝45°，
∵∠B＝30°，
∴∠BAF＝∠AFD﹣∠B＝45°﹣30°＝15°，
故选：A．
【点评】本题主要考查平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行同位角相等与三角形外角的性质．
7．（4分）在地球某地，温度T（℃）与海拔d（m）的关系可以近似的用来表示，根据这个关系式，当海拔d＝600m时的温度T（℃）为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【分析】把d的值代入关系式进行计算即可得解．
【解答】解：d＝600时，T＝10﹣＝10﹣4＝6（℃）．
故选：B．
【点评】本题考查了有理数的减法，准确计算是解题的关键．
8．（4分）下列说法错误的是（ ）
A．三角形的三条高所在的直线交于一点
B．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
C．三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边
D．三角形三条高线的交点叫做三角形的重心
【分析】根据三角形中线、高线和角平分线的定义及性质，线段垂直平分线的性质及三角形三边的关系，依次对所给选项进行判断即可解决问题．
【解答】解：因为三角形的三条高线所在的直线相交于一点，
所以A选项不符合题意．
由线段垂直平分线的性质可知，
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，
所以B选项不符合题意．
根据三角形三边的关系可知，
三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，
所以C选项不符合题意．
根据重心的定义可知，
三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，
所以D选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查了三角形的重心、三角形的角平分线、中线和高、三角形三边关系及线段垂直平分线的性质，熟知三角形三边的关系、三角形中线、高线和角平分的定义及线段垂直平分线的性质是解题的关键．
9．（4分）用尺规作一个角等于已知角．已知∠AOB．求作：∠DEF，使∠DEF＝∠AOB．作法如下：
（1）作射线EG；
（2）以①为圆心，任意长为半径画弧，交OA于点P、交OB于点Q；
（3）以点E为圆心，以②为半径画弧交EG于点D；
（4）以点D为圆心，以③为半径画弧交前面的弧于点F；
（5）过点F作④，∠DEF即为所求作的角．
以上作图步骤中，序号代表的内容错误的是（ ）
A．①表示点OB．②表示OP
C．③表示OQD．④表示射线EF
【分析】根据作一个角等于已知角的作图步骤可得答案．
【解答】解：作法：（1）作射线EG；
（2）以O为圆心，任意长为半径画弧，交OA于点P、交OB于点Q；
（3）以点E为圆心，以OP为半径画弧交EG于点D；
（4）以点D为圆心，以PQ为半径画弧交前面的弧于点F；
（5）过点F作EF，∠DEF即为所求作的角．
∴内容错误的是“③”．
故选：C．
【点评】本题考查作图—基本作图，熟练掌握作一个角等于已知角的方法是解答本题的关键．
10．（4分）“杨辉三角”是杨辉留给后世宝贵的数学遗产．如图，在“杨辉三角”中，两边上的数都是1，其余每个数为它的上方（左右）两数之和．如2＝1+1，10＝4+6…在“杨辉三角”中，若从第三行的“2”开始，按图示箭头所指依次构成一列数：2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则这列数中第24个数是（ ）
A．8B．28C．56D．70
【分析】由1+2+3+4+5+6＝21＜24，1+2+3+4+5+6+7＝28＞24，得所求这列数中第24个数在从2开始的第7行的第3个数，由从2开始的第7行的依次为：8，28，56，70，56，28，8，故所求这列数中第24个数是56．
【解答】解：由1+2+3+4+5+6＝21＜24，1+2+3+4+5+6+7＝28＞24，
得所求这列数中第24个数在从2开始的第7行的第3个数，
由从2开始的第7行的依次为：8，28，56，70，56，28，8，
故所求这列数中第24个数是56．
故选：C．
【点评】本题主要考查了数列，解题关键是正确应用找到的规律．
二、填空题（本大题共6个小题.每小题4分，共24分．把答案填在答题卡的横线上．）
11．（4分）在直角三角形ABC中，∠C＝90°，若∠A＝40°，则∠B＝ 50 度．
【分析】根据三角形内角和定理求出∠A+∠B+∠C＝180°，和∠B＝180°﹣∠A﹣∠C求出∠B即可．
【解答】解：∵∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝180°﹣90°＝90°，
∵∠B＝90°﹣∠A＝90°﹣40°＝50°，
故答案为：50．
【点评】本题考查了三角形内角和定理的应用，直角三角形的性质，关键掌握三角形的内角和等于180°，直角三角形的两锐角互余．
12．（4分）如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）在图中，若测量得A'B'＝10cm，则工件内槽宽AB为 10 cm．
【分析】根据全等的SAS定理证得△AOB≌△A′OB′，即可得到A′B′＝AB，进而得出答案．
【解答】解：连接A′B′，如图，
∵点O分别是AA′、BB′的中点，
∴OA＝OA′，OB＝OB′，
在△AOB和△A′OB′中，
，
∴△AOB≌△A′OB′（SAS）．
∴A′B′＝AB，
∵A'B'＝10cm，
∴AB＝10cm，
故答案为：10．
【点评】本题考查全等三角形的应用，根据已知条件可用边角边定理判断出全等．
13．（4分）一名老师带领x名学生到动物园参观，已知成人票每张30元，学生票每张10元，设门票的总费用为y元，则y与x的函数关系式为 y＝10x+30 ．
【分析】根据学生人数乘以学生票价，可得学生的总票价，根据师生的总票价，可得函数关系式．
【解答】解：由题意，得
y＝10x+30，
故答案为：y＝10x+30．
【点评】本题考查了函数关系式，利用了学生的票价加老师的票价等于总票价．
14．（4分）如图，△ABC中，∠B＝55°，∠C＝30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N作直线MN，交BC于点D，连结AD，则∠BAD的度数为 65° ．
【分析】先根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数，再由线段垂直平分线的性质得出∠C＝∠CAD，进而可得出结论．
【解答】解：∵△ABC中，∠B＝55°，∠C＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣55°﹣30°＝95°．
∵直线MN是线段AC的垂直平分线，
∴∠C＝∠CAD＝30°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝95°﹣30°＝65°．
故答案为：65°．
【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知线段垂直平分线的作法是解答此题的关键．
15．（4分）如果一个等腰三角形的两边长分别为4cm和9cm，则此等腰三角形的周长 22 cm．
【分析】题中没有指明哪个是底哪个腰，则应该分两种情况进行分析．
【解答】解：当腰长为4cm时，则三边分别为4cm，4cm，9cm，因为4+4＜9，所以不能构成直角三角形；
当腰长为9cm时，三边长分别为4cm，9cm，9cm，符合三角形三边关系，此时其周长＝4+9+9＝22cm．
故答案为22．
【点评】本题考查等腰三角形的概念，要注意三角形“两边之和大于第三边”这一定理．
16．（4分）如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，点N、P、Q分别为边AB，AC，BC上的动点，连接NQ，NP，PQ，若BC＝6，S△ABC＝24，则△NPQ的周长的最小值为 8 ．
【分析】分别作点Q关于AB，AC的对称点G、H，连接GH分别交AB、AC于点N、P，连接AG、AH、GQ、HQ、AQ，由对称性可知△AGH是等边三角形，则GH＝QA，当AQ⊥BC时，AQ最短，即GH最短，此时△NPQ的周长最小，进而解决问题．
【解答】解：如图，分别作点Q关于AB，AC的对称点G、H，连接GH分别交AB、AC于点N、P，连接AG、AH、GQ、HQ、AQ，
由对称性可知，NG＝NQ，PH＝PQ，AQ＝AG＝AH，
∴△NPQ的周长＝PN+NQ+PQ＝PN+NG+PH＝GH，
∵∠GAN＝∠QAN，∠HAP＝∠QAP，∠BAC＝30°，
∴∠GAH＝2∠BAC＝60°，
∴△AGH是等边三角形，
∴GH＝QA，
当AQ⊥BC时，AQ最短，即GH最短，
此时△NPQ的周长最小，
∵BC＝6，S△ABC＝24，
∴AQ＝8，
即△NPQ的周长的最小值为8，
故答案为：8．
【点评】本题主要考查了轴对称﹣最短路线问题，等边三角形的判定与性质，将△NPQ的周长的最小值转化为AQ的长是解题的关键．
三、解答题（本大题共10个小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17．（6分）计算：．
【分析】利用有理数的乘方，零指数幂，二次根式的性质及绝对值的性质计算即可．
【解答】解：原式＝1+1﹣2+3＝3．
【点评】本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
18．（6分）先化简，再求值：（a﹣2）（a+2）﹣a（a﹣2），其中a＝3．
【分析】先去括号，再合并同类项，然后把a的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
【解答】解：（a﹣2）（a+2）﹣a（a﹣2）
＝a2﹣4﹣a2+2a
＝2a﹣4，
当a＝3时，原式＝2×3﹣4
＝6﹣4
＝2．
【点评】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
19．（6分）如图，点A、F、C、D在一条直线上，AB⊥BC，DE⊥EF，垂足分别为B、E，AB＝DE，∠A＝∠D．求证：AC＝DF．（推理过程请注明理由）
【分析】利用ASA证明△ABC≌△DEF，根据全等三角形的性质即可得到结论．
【解答】证明：∵AB⊥BC，DE⊥EF，
∴∠B＝∠E＝90°，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（ASA），
∴AC＝DF．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，利用ASA证明△ABC≌△DEF是解题的关键．
20．（8分）如图，AD∥BC，∠1＝∠C，∠B＝60°，DE平分∠ADC交BC于点E，
试说明AB∥DE．请完善解答过程，并在括号内填写相应的理论依据．
解：∵AD∥BC，（已知）
∴∠1＝∠ B ＝60°．（ 两直线平行，同位角相等 ）
∵∠1＝∠C，（已知）
∴∠C＝∠B＝60°．（等量代换）
∵AD∥BC，（已知）
∴∠C+∠ ADC ＝180°．（ 两直线平行，同旁内角互补 ）
∴∠ ADC ＝180°﹣∠C＝180°﹣60°＝120°．（等式的性质）
∵DE平分∠ADC，（已知）
∴∠ADE＝∠ADC＝×120°＝60°．（ 角平分线定义 ）
∴∠1＝∠ADE．（等量代换）
∴AB∥DE．（ 内错角相等，两直线平行 ）
【分析】根据平行线的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】解：∵AD∥BC，（已知）
∴∠1＝∠B＝60°．（ 两直线平行，同位角相等）
∵∠1＝∠C，（已知）
∴∠C＝∠B＝60°．（等量代换）
∵AD∥BC，（已知）
∴∠C+∠ADC＝180°．（两直线平行，同旁内角互补）
∴∠ADC＝180°﹣∠C＝180°﹣60°＝120°．（等式的性质）
∵DE平分∠ADC，（已知）
∴∠ADE＝∠ADC＝×120°＝60°．（角平分线的定义）
∴∠1＝∠ADE．（等量代换）
∴AB∥DE．（内错角相等，两直线平行．）
故答案为：B；两直线平行，同位角相等；ADC；两直线平行，同旁内角互补；ADC；角平分线的定义；内错角相等，两直线平行．
【点评】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质定理是解题的关键．
21．（8分）如图，在11×11的正方形网格中，网格中有一个格点△ABC（即三角形的顶点都在格点上）．
（1）在图中作出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1（要求A与A1，B与B1，C与C1相对应）；
（2）在直线l上找一点P，使得△PAC的周长最小；
（3）△ABC的面积为 5 ．
【分析】（1）分别作出点A、B、C关于直线l对称的点，然后顺次连接；
（2）连接AC1与l的交点即为点P，此时△PAC的周长最小．
（3）利用割补法求解即可．
【解答】解：（1）所作图形如图1所示；
（2）点P即为所求的点．
由轴对称知PC＝PC1，又AC的长为定值，
∴△PAC的周长为PA+PC+AC＝PA+PC1+AC，
∴当A，P，C1共线时，△PAC的周长最小．
（3）△ABC的面积＝3×4﹣×2×2﹣×1×4﹣×2×3＝12﹣2﹣2﹣3＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了根据轴对称变换作图，解答本题的关键是根据网格结构作出点A、B、C关于直线l对称的点，然后顺次连接．
22．（8分）星期五晚饭后，小红从家里出去散步，如图所示，描述了她散步过程中离家的距离s（m）与散步所用的时间t（min）之间的关系，该图象反映的过程是：小红从家出发，到了一个公共阅报栏，看了一会报后，继续向前走了一段走到邮亭，然后回家了，依据图象回答下列问题：
（1）在这个变化过程中，自变量是 散步所用的时间t ，因变量是 散步过程中离家的距离s ．
（2）公共阅报栏离小红家有 300 m，小红在公共阅报栏看报一共用了 6 min；
（3）求小红从家走到公共阅报栏的速度和从邮亭返回家的速度．
【分析】（1）根据函数的相关概念结合实际问题求解；
（2）由图象中可以直接得出结果；
（3）分别用两段的路程除以对应时间即可．
【解答】解：（1）在这个变化过程中，自变量是散步所用的时间t，因变量是散步过程中离家的距离s．
故答案为：散步所用的时间t，散步过程中离家的距离s；
（2）结合图象的纵轴可知，公共阅报栏离小红家有300m；
小红在公共阅报栏看报一共用了：10﹣4＝6（min）；
故答案为：300，6；
（3）小红从家走到公共阅报栏的速度为：＝75（m/min）；
从邮亭返回家的速度为：＝100（m/min）．
【点评】本题考查函数的图象，应充分理解图象中的每个量及每条线段的意义，从图象中寻找关键点，结合实际进行求解．
23．（10分）如图，已知△ABC中，D为BC上一点，AB＝AD，E为△ABC外部一点，满足AC＝AE，连结DE，与AC交于点O，且∠CAE＝∠BAD．
（1）求证：△ABC≌△ADE；
（2）若∠BAD＝25°，求∠EDC的度数．
【分析】（1）由∠CAE＝∠BAD推导出∠BAC＝∠DAE，而AB＝AD，AC＝AE，即可根据“SAS”证明△ABC≌△ADE；
（2）由全等三角形的性质得∠C＝∠E，则∠EDC＝∠COE﹣∠C＝∠COE﹣∠E＝∠CAE，而∠CAE＝∠BAD＝25°，则∠EDC＝25°．
【解答】（1）证明：∵∠CAE＝∠BAD，
∴∠CAE+∠CAD＝∠BAD+∠CAD，
∴∠DAE＝∠BAC，
在△ABC和△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（SAS）．
（2）解：∵△ABC≌△ADE，
∴∠C＝∠E，
∴∠EDC＝∠COE﹣∠C＝∠COE﹣∠E＝∠CAE，
∵∠CAE＝∠BAD＝25°，
∴∠EDC＝25°，
∴∠EDC的度数是25°．
【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，由∠CAE＝∠BAD推导出∠DAE＝∠BAC，并且适当选择全等三角形的判定定理证明△ABC≌△ADE是解题的关键．
24．（10分）在张老师的课堂上，张老师引导学生证明“三角形内角和定理”．
如图1，已知：△ABC．求证：∠A+∠B+∠ACB＝180°．
如何证明这个定理呢？
下面是两种添加辅助线的方法，请按要求解决下列问题．
方法一：如图1，延长BC作射线CM，过点C作射线CN∥AB．
方法二：如图2，过点A作直线PQ∥BC．
（1）某同学写出了方法一的证明过程，请补充完整．
证明：如图1，延长BC作射线CM，过点C作射线CN∥AB，
∴∠A＝ ∠1 （两直线平行，内错角相等），
∠B＝∠2（ 两直线平行，同位角相等 ）．
∵∠1+∠2+∠ACB＝180°（平角的定义），
∴∠A+∠B+∠ACB＝180°（等量代换）．
（2）请写出方法二的证明过程．
（3）在回顾解题思路时，张老师带领同学们重点总结了转化思想，指出两种解题思路都利用了“平行线”进行等角转化；为了帮助同学们更好地感悟转化思想，张老师又提出了下面的问题，请你解答．
如图3，已知△ABC，过点A作直线PQ∥BC，R为线段AB上一点，连接RQ、RC，若∠1＝53°，∠2＝29°，∠3＝24°，求∠QRC的度数．
【分析】（1）①由平行线的性质，得到∠A＝∠1，∠DCE＝∠B，再结合平角求解即可；
②由平行线的性质，得到∠C＝∠CAQ，∠B＝∠BAP，再结合平角求解即可；
（2）作RH∥BC，则∠CRH＝∠2＝29°，推出RH∥PQ，得到∠ARH＝∠1＝53°，进而得到∠QRH＝29°，即可求出∠QRC的度数．
【解答】（1）证明：如图1，延长BC作射线CM，过点C作射线CN∥AB，
∴∠A＝∠1（两直线平行，内错角相等），
∠B＝∠2（ 两直线平行，同位角相等）．
∵∠1+∠2+∠ACB＝180°（平角的定义），
∴∠A+∠B+∠ACB＝180°（等量代换）．
∠1，两直线平行，同位角相等；
故答案为：∠1，两直线平行，同位角相等；
（2）证明：如图2，过点A作直线PQ∥BC，
∵PQ∥BC，
∴∠PAB＝∠B，∠QAC＝∠C，
∵∠PAB+∠BAC+∠QAC＝180°，
∴∠BAC+∠B+∠C＝180°，
（3）解：如图，作RH∥BC，
则∠CRH＝∠2＝29°，
∵PQ∥BC，
∴RH∥PQ，
∠ARH＝∠1＝53°
∠3＝24°，
∴∠QRH＝∠ARH﹣∠3＝53°﹣24°＝29°，
∴∠QRC＝∠QRH+∠CRH＝29°+29°＝58°．
【点评】本题考查了平行线的判定和性质，三角形内角和的证明和应用，三角形外角的性质，根据题意找出角度之间的数量关系是解题关键．
25．（12分）“数缺形时少直观，形缺数时难入微．数形结合百般好，隔裂分家万事休．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．如图1，是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）用两种不同的方法表示图2中小正方形（阴影部分）的面积：
方法一：S小正方形＝ （m﹣n）2 ；
方法二：S小正方形＝ （m+n）2﹣4mn ；
（2）（m+n）2，（m﹣n）2，mn这三个代数式之间的等量关系为 （m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn ；
（3）应用（2）中发现的关系式解决问题：若x+y＝8，xy＝15，求（x﹣y）2的值；
（4）已知（2024﹣a）2+（a﹣2023）2＝8，求（2024﹣a）（a﹣2023）的值．
【分析】（1）从“整体”和“部分”两个方面分别用代数式表示图2中阴影部分的面积即可；
（2）由（1）中两种方法所表示的面积相等得出答案；
（3）由（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy代入计算即可；
（4）设p＝2024﹣a，q＝a﹣2023，由题意得到p+q＝1，p2+q2＝8，由pq＝进行计算即可．
【解答】解：（1）图2中阴影部分是边长为m﹣n的正方形，因此面积为（m﹣n）2，
图2中阴影部分的面积也可以看作是从边长为m+n的正方形面积中减去4个长为m，宽为n的面积，即（m+n）2﹣4mn，
故答案为：（m﹣n）2，（m+n）2﹣4mn；
（2）由（1）可得（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn，
故答案为：（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn；
（3）由（2）得（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy，
∵x+y＝8，xy＝15，
∴（x﹣y）2＝82﹣4×15＝4；
（4）设p＝2024﹣a，q＝a﹣2023，则p+q＝1，
p2+q2＝（2024﹣a）2+（a﹣2023）2＝8，
∴（2024﹣a）（a﹣2023）
＝pq
＝
＝
＝﹣．
【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．
26．（12分）【模型呈现】
（1）如图1，C、A、E在一条直线上，∠BAD＝90°，AB＝AD，BC⊥CA于点C，DE⊥AE于点E．求证：BC＝AE．
【模型应用】
（2）如图2，EA⊥AB且AE＝AB，BC⊥CD且BC＝CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形ABCDE的面积．
【深入探究】
（3）如图3，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，连接BC、DE，且BC⊥AF于点F，DE与直线AF交于点G．
①求证：DG＝GE；
②若BC＝21，AF＝12，求△ADG的面积．
【分析】（1）证明△ABC≌△DAE，根据全等三角形的对应边相等得到BC＝AE；
（2）根据全等三角形的性质得到AP＝BG＝3，AG＝EP＝6，CH＝DH＝4，CG＝BG＝3，根据梯形和三角形的面积公式计算，得到答案；
（3）①过点D作DP⊥AG于P，过点E作EQ⊥AG交AG的延长线于Q，推导出DP＝EQ，∠DPG＝∠EQG＝90°，利用AAS推导出△DPG≌△EQG，进而得证；
②根据全等三角形的性质推导出BC＝BF+FC＝AP+AQ＝21，AP+AQ＝21，AP+AP+PG+GQ＝21，进而求出AG，根据三角形的面积公式计算即可．
【解答】（1）证明：∵∠BAD＝90°
∴∠BAC+∠DAE＝90°，
∵BC⊥AC，DE⊥AC，
∴∠ACB＝∠DEA＝90°，
∴∠BAC+∠ABC＝90°，
∴∠ABC＝∠DAE，
在△ABC和△DAE中，
，
∴△ABC≌△DAE（AAS），
∴BC＝AE；
（2）解：由【模型呈现】可知，△AEP≌△BAG，△CBG≌△DCH，
∴AP＝BG＝3，AG＝EP＝6，CG＝DH＝4，CH＝BG＝3，
则S实线围成的图形ABCDE＝（4+6）×（3+6+4+3）﹣×3×6﹣×3×6﹣×3×4﹣×3×4＝50；
（3）①证明：过点D作DP⊥AG于P，过点E作EQ⊥AG交AG的延长线于Q，
由【模型呈现】可知，△AFB≌△DPA，△AFC≌△EQA，
∴DP＝AF，EQ＝AF，
∴DP＝EQ，
∵DP⊥AG，EQ⊥AG，
∴∠DPG＝∠EQG＝90°，
在△DPG和△EQG中，
，
∴△DPG≌△EQG（AAS），
∴DG＝GE；
②解：由①可知，BF＝AP，FC＝AQ，
∴BC＝BF+FC＝AP+AQ，
∵BC＝21，
∴AP+AQ＝21，
∴AP+AP+PG+GQ＝21，
由①△DPG≌△EQG得：
∴PG＝GQ，
∴AP+AP+PG+PG＝21，
∴AP+PG＝10.5，
∴AG＝10.5，
∴S△ADG＝×10.5×12＝63．
【点评】本题主要考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的面积计算，熟记三角形全等的判定定理是解题的关键．