中考数学一轮复习考点（全国通用）考向18 二次函数综合专题特训（含答案）

这是一份中考数学一轮复习考点（全国通用）考向18 二次函数综合专题特训（含答案），共96页。

考查二次函数的综合应用，运用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，相似三角形的判定和性质，三角函数的应用，角平分线的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，根据解析式表示点的坐标，再由点的坐标表示线段的长，利用等量关系列方程或方程组求解，利用方程组确定两个函数图像的交点．分类讨论的应用是解题的关键．
【题型探究】
题型一：线段问题
1．（2022·山东淄博·山东省淄博第六中学校考模拟预测）如图，抛物线与x轴交于点 、点B与y轴相交于点，下列结论：①；②B点坐标为；③抛物线的顶点坐标为；④直线与抛物线交于点D、E，若，则h的取值范围是；⑤在抛物线的对称轴上存在一点Q，使的周长最小，则Q点坐标为．其中正确的有（ ）
A．个B．个C．个D．个
2．（2022·云南文山·统考三模）已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），顶点坐标为点．
(1)求m的值；
(2)设点P在抛物线的对称轴上，连接，求的最小值．
3．（2022·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第四十九中学校校考模拟预测）如图，抛物线交x轴于A、B，交y轴于点C，点D为抛物线第三象限上一点，且∠BOD＝135°，OD＝，
(1)求a的值；
(2)点P为第一象限抛物线上一点，连接PD，交y轴于点E，过点P作PF⊥y轴，垂足为F，求的值；
(3)在（2）的条件下，连接PB，若PE＋PB＝DE，求点P的坐标．
题型二：面积问题
4．（2023·陕西咸阳·校考一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，连接，，对称轴为直线．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点D是第三象限内抛物线上的动点，连接和，求面积的最大值．
5．（2022·山东日照·校考一模）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，是抛物线轴下方的抛物线上一点，连接、、，若的面积是面积的3倍，求点的坐标
(3)如图3，连接､，在抛物线上是否存在点（不与点重合），使得？若存在求出点的横坐标，若不存在说明理由
6．（2022·山东济宁·校考二模）已知抛物线与直线交于、两点，如果点，．
(1)求抛物线和直线的解析式．
(2)长度为的线段在线段上移动，点与点在上述抛物线上，且线段与始终平行于轴．连接，求四边形的面积的最大值，并求出对应点的坐标，判断此时四边形的形状．
题型三：角度问题
7．（2022·四川绵阳·东辰国际学校校考模拟预测）如图，以的边和边上高所在直线建立平面直角坐标系，已知，，，抛物线经过A，B，C三点．
(1)求抛物线解析式．
(2)点G是x轴上一动点，过点G作轴交抛物线于点H，抛物线上有一点Q，若以C，G，Q，H为顶点的四边形为平行四边形，求点G的坐标．
(3)点P是抛物线上的一点，当时，求点P的坐标．
8．（2022·山东菏泽·统考中考真题）如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点，连接AC、BC．
(1)求抛物线的表达式；
(2)将沿AC所在直线折叠，得到，点B的对应点为D，直接写出点D的坐标．并求出四边形OADC的面积；
(3)点P是抛物线上的一动点，当时，求点P的坐标．
9．（2022·广东深圳·深圳市宝安第一外国语学校校考模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中．抛物线与x轴交于和，与y轴交于点C，连接．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)如图2，点M为直线上方的抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交于点N，过点M作x轴的平行线，交直线于点Q，求周长的最大值；
(3)点P为抛物线上的一动点，且，请直接写出满足条件的点P的坐标．
题型四：特殊三角形问题
10．（2022·山东菏泽·菏泽一中校考模拟预测）如图，已知抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知A点的坐标为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求线段所在直线的解析式；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，求出符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．
11．（2022·江苏无锡·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，二次函数的图象与x轴交于A、B（点A在点B左侧）两点，与y轴交于点C，已知点，P点为抛物线的顶点，连接PC，作直线．
(1)点A的坐标为 ；
(2)若射线平分，求二次函数的表达式；
(3)在（2）的条件下，如果点是线段（含A、B）上一个动点，过点D作x轴的垂线，分别交直线和抛物线于E、F两点，当m为何值时，为直角三角形？
12．（2022秋·浙江嘉兴·九年级校考期中）如图1，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，点P为x轴上方抛物线上的动点，点F为y轴上的动点，连接PA，PF，AF．
(1)求该抛物线所对应的函数解析式；
(2)如图1，当点F的坐标为，求出此时△AFP面积的最大值；
(3)如图2，是否存在点F，使得△AFP是以AP为腰的等腰直角三角形？若存在，求出所有点F的坐标；若不存在，请说明理由
题型五：特殊四边形问题
13．（2023秋·浙江温州·九年级期末）如图， 拋物线交轴于点，交轴于点、C两点，点为线段上的一个动点（不与重合)，过点作轴，交于点，交抛物线于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)连接和，当的面积最大时，求出点的坐标及的最大面积；
(3)在平面内是否存在一点，使得以点A，M，N，P为顶点，以为边的四边形是菱形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
14．（2022秋·九年级课时练习）如图，二次函数的图象与x轴交于O（O为坐标原点），A两点，且二次函数的最小值为，点是其对称轴上一点，y轴上一点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)二次函数在第四象限的图象上有一点P，连结，，设点P的横坐标为t，的面积为S，求S与t的函数关系式；
(3)在二次函数图象上是否存在点N，使得以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有符合条件的点N的坐标，若不存在，请说明理由．
15．（2022·山西·山西实验中学校考模拟预测）综合与探究：
已知：二次函数的图象的顶点为，与轴交于，A两点，与轴交于点，如图：
(1)求二次函数的表达式；
(2)在抛物线的对称轴上有一点，使得的周长最小，求出点的坐标；
(3)若点在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点，使得以A、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
题型五：相似三角形问题
16．（2022·江苏无锡·无锡市天一实验学校校考模拟预测）如图，抛物线与轴的一个交点为，与轴的交点为，对称轴与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点为轴正半轴上的一个动点，连接，过点作的垂线，与抛物线的对称轴交于点，连接．
①若与相似，求点的坐标；
②若点在轴正半轴上运动到某一位置时，有一边与线段相等，并且此时有一边与线段具有对称性，我们把这样的点称为“对称点”，请直接写出“对称点”的坐标．
17．（2022·辽宁丹东·校考一模）已知抛物线经过点，，与x轴交于另一点C，连接．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，P是第一象限内抛物线上一点，且，求直线的表达式；
(3)在抛物线上是否存在点D，直线交x轴于点E，使与以A，B，C，E中的三点为顶点的三角形相似（不重合）？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
18．（2022·四川成都·成都市树德实验中学校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与两坐标轴分别相交于三点．
(1)求证：；
(2)点是第一象限内抛物线上的动点，过点作轴的垂线交于点，交轴于点．
①求的最大值；
②点是的中点，若以点为顶点的三角形与相似，求点的坐标．
题型六：二次函数综合问题
19．（2022·河北沧州·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，点，与直线交于点．
(1)求二次函数的解析式；
(2)当时，函数有最小值，求m的值；
(3)过点作轴，点的横坐标为．已知点与点不重合，且线段的长度随的增大而减小．
①求m的取值范围；
②当时，直接写出线段PQ与二次函数的图象有一个交点时m的取值范围．
20．（2022·内蒙古包头·模拟预测）如图，已知正方形的边，分别在x轴和y轴的正半轴上，点B的坐标为．二次函数的图象经过点A，B，且x轴的交点为E，F．点P在线段上运动，过点O作于点H．直线交直线于点D，连接．
(1)求，的值及点E和点F的坐标；
(2)在点P运动的过程中，当与以A，B，D为顶点的三角形相似时，求点P的坐标；
(3)当点P运动到的中点时，能否将绕平面内某点旋转后使得的两个顶点落在x轴上方的抛物线上？若能，请直接写出旋转中心M的坐标；若不能，请说明理由．
21．（2022·吉林长春·校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于、两点，交轴正半轴于点，直线经过、两点．点是射线上一动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点在线段上时，点的横坐标为，过点向轴作垂线交第一象限抛物线于点，交轴于点，设线段的长为，求与之间的函数关系式；
(3)当点在线段延长线上时，连接，取中点，连接并延长交抛物线于点，当时，求点的坐标．
【必刷基础】
一、单选题
22．（2022·山东济南·统考一模）在抛物线 ）上，若对于 ， ，都有 ，则t的取值范围是（ ）
A． B． 或
C． D． 或
23．（2022·广东云浮·校联考三模）如图，抛物线与轴交于点，交轴的正半轴于点，对称轴交抛物线于点，交轴于点，则下列结论：①；②；③（为任意实数）；④若点是抛物线上第一象限上的动点，当的面积最大时，，其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
24．（2022·湖南岳阳·统考二模）定义：我们将某函数图象在x轴上方的部分沿x轴翻折，其余部分不变，从而形成新图象的过程称为“非正变换”．已知抛物线y＝﹣x2﹣2x＋3的图象如图所示，则将其进行“非正变换”后得到的图象与直线y＝x＋m有四个交点时m的范围是（ ）
A．B．C．D．
25．（2023·河北·九年级专题练习）如图，在中，，边在x轴上，．点P是边上一点，过点P分别作于点E，于点D，当四边形的面积最大时，点P的坐标为（ ）
A．B．C．D．
26．（2023·广西玉林·一模）已知二次函数的图象经过点．
(1)求该二次函数的表达式；
(2)二次函数图象与轴的另一个交点为，与轴的交点为，点从点出发在线段上以每秒个单位长度的速度向点运动，同时点从点出发，在线段上以每秒个单位长度的速度向点运动，直到其中一点到达终点时，两点停止运动，求面积的最大值；
(3)在点、运动的过程中，是否存在使与相似的时刻，如果存在，求出运动时间，如果不存在，请说明理由．
27．（2022·四川绵阳·东辰国际学校校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于、两点，抛物线经过、两点，与轴负半轴交于点，连接，且．
(1)求抛物线解析式．
(2)点是抛物线上的一点．
①当点在第一象限时，过点作轴交于点，过点作轴交于点，连接，当和相似时，求点的坐标．
②当时，求点的坐标．
【必刷培优】
一、单选题
28．（2022·陕西西安·校考三模）如图，的三个顶点A、C、D都在二次函数的图象上，斜边平行于x轴，若斜边上的高长为h，则（ ）
A．B．C．D．
29．（2022春·九年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，点是抛物线的图象的顶点，点，的坐标分别为，，将沿轴向下平移使点平移到点，再绕点逆时针旋转，若此时点，的对应点，恰好落在抛物线上，则的值为（ ）
A．B．－1C．D．－2
30．（2022·山东济南·统考二模）定义：对于已知的两个函数，任取自变量x的一个值，当x≥0时，它们对应的函数值相等；当x＜0时，它们对应的函数值互为相反数，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：正比例函数，它的相关函数为．已知点M，N的坐标分别为，，连接MN，若线段MN与二次函数的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为（ ）
A．或B．或
C．或D．或
31．（2022春·九年级课时练习）如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在与之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：
①；②若点，点是函数图象上两点，则；③当时，将抛物线先向上平移4个单位，再向右平移1个单位，得到抛物线；④；⑤．其中正确的有（ ）
A．①②③B．①③④C．①④⑤D．①③④⑤
32．（2021·浙江湖州·模拟预测）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：y＝a1x2（a1≠0）与抛物线C2：y＝a2x2+bx（a2≠0）的交点P在第三象限，过点P作x轴的平行线，与物线C1，C2分别交于点M，N．若＝，则的值是（ ）
A．B．n﹣1C．nD．
二、填空题
33．（2022·四川绵阳·东辰国际学校校考模拟预测）如图，直线与抛物线交于A、B两点，则线段的长是______．
34．（2022·安徽合肥·校联考三模）如图，抛物线交x轴于点A、B，交y轴于点，其中点B坐标为，同时抛物线还经过点．
（1）抛物线的解析式为_____________；
（2）设抛物线的对称轴与抛物线交于点E，与x轴交于点H，连接，将抛物线向下平移n个单位，当平分时，则n的值为_____________．
35．（2022·浙江宁波·校考模拟预测）在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于y轴对称，则把该函数称之为“Y函数”，其图象上关于y轴对称的不同两点叫做一对“Y点”．若关于x的“Y函数”（，且a，b，c是常数）经过坐标原点O，且与直线l：（，且m，n是常数）交于两点，当满足时，则直线l经过的定点为 _____．
36．（2022·吉林长春·校考二模）已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）与y轴交于点C，点在抛物线上，E是该抛物线对称轴上一动点，当BE十DE的值最小时，的面积为是____
37．（2022·广东东莞·校考一模）如图，抛物线交轴于、两点在的左侧，交轴于点，点是线段的中点，点是线段上一个动点，沿折叠得，则线段的最小值是______．
三、解答题
38．（2022·广东佛山·校考三模）已知抛物线交轴于点A，在的左侧），交轴于点．
(1)求点A的坐标；
(2)若经过点A的直线交抛物线于点．
①当且时交线段于，交轴于点，求的最大值；
②当且时，设为抛物线对称轴上一动点，点是抛物线上的动点，那么以A，，，为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点的坐标，若不能，请说明理由．
39．（2022·广东广州·校考二模）在平面直角坐标系中，点的坐标为（其中为常数），点与点关于轴对称．在实数范围内定义函数（其中为常数）的图象为．
(1)当点在上时，则的值是 ；
(2)求点在上时，求的值；
(3)当最小值的取值范围是时，请直接写出的取值范围．
40．（2022·黑龙江绥化·校考二模）如图，抛物线与直线交于，两点，且点是它的顶点，在轴上有一点．
(1)求出抛物线的解析式及直线的解析式；
(2)点在直线上运动，若是等腰三角形时，求点的坐标；
(3)设点是抛物线上一动点，若，求点的坐标．
41．（2022·重庆璧山·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，连接，点为线段下方抛物线上一动点，过点作轴交线段于点，连接，记的面积为，的面积为，求的最大值及此时点的坐标；
(3)如图2，在（2）问的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，动点在原抛物线的对称轴上，点为新抛物线上一点，直接写出所有使得以点、、、为顶点的四边形是平行四边形的点的坐标，并把求其中一个点的坐标的过程写出来．
42．（2022秋·河南信阳·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线（m、b均为常数）交于点和点B．
(1)求m和b的值；
(2)求点B的坐标，并结合图象写出不等式的解集；
(3)点M是直线AB上的一个动点，点N在点M正下方（即轴），且，若线段MN与抛物线只有一个公共点，请直接写出点M的横坐标的取值范围．
43．（2022·海南海口·海南华侨中学校联考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点C，与x轴交于、两点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点M从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点N从B点出发，在线段BC上以每秒2个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设的面积为S，点M运动时间为t秒，试求S与t的函数关系，并求S的最大值；
(3)在点M运动过程中，是否存在某一时刻t，使为直角三角形﹖若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
参考答案：
1．A
【分析】①代入点的坐标即可求出参数的值；②函数值为0时，可求出与横轴的交点坐标；③代入公式即可求出抛物线的顶点坐标；④把带入后，即可表示出，进而求出h的取值范围；⑤连接交对称轴于点Q，此时的周长最小，再列出方程组即可求出Q点坐标．
【详解】解：①∵抛物线与x轴交于点，与y轴相交于点，
∴可得：，
∴，故①正确；
②∵函数函数值为0，
∴，
∴，
∴时，，
∴B点坐标为，故②正确；
③抛物线的顶点坐标为，故③错误；
④把带入后，，
解得：，
∴h的取值范围是，故④正确；
⑤连接交对称轴于点Q，此时的周长最小，
直线和对称轴联立方程组，
可得，
解得，
∴Q点坐标为，故⑤正确．
综上所述，正确的结论为：①②④⑤，共有4个．
故选：A
【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，难度较大，熟练记忆理解二次函数相关性质和充分利用数形结合思想是解题的关键．
2．(1)
(2)8
【分析】（1）根据题意可得，求出a的值，即可求解；
（2）过B作，且，过K作轴于S，过K作轴交于T，设抛物线对称轴交x轴于R，先求出，可得，再证得，可得，即K为直线上的动点，从而得到，进而得到，可得到当K运动到T时，，此时取最小值，最小值即是的长，即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线顶点坐标为点，
，
解得，
∴，
∴顶点坐标为，
∴m的值是；
（2）解：过B作，且，过K作轴于S，过K作轴交于T，设抛物线对称轴交x轴于R，如图：
由（1）知抛物线对称轴为直线，顶点，
在中，
令，得∶ ，
解得：或3，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
，
∵，
∴，
即K为直线上的动点，
∴，
∵，
，
，
由垂线段最短可得，当K运动到T时，，此时取最小值，最小值即是的长，如图：
∵，
∴，
的最小值为8．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，相似三角形的判定与性质，解题的关键是添加辅助线，构造相似三角形，转化成．
3．(1)
(2)2
(3)（1，6）
【分析】（1）如图所示，过点D作DH⊥x轴于E，先证明DH=OH，然后利用勾股定理求出OH=DH=4，从而求出点D的坐标，然后代入抛物线解析式即可求出a的值；
（2）先求出点C的坐标为（0，6），设点P的坐标为（m，），求出直线PD的解析式为，则点E的坐标为（0，），即可推出，由此即可得到答案；
（3）如图所示，在DE上取一点M使得，EM=EP，过点E作y轴的平行线交过点D与x轴平行的直线于Q，过点P作PN⊥x轴于N，直线PQ与x轴交于点T，设点P的坐标为（m，），同理可以求出直线PD的解析式为，点E的坐标为（0，），然后证明Rt△BPN≌Rt△DMQ，从而推出∠PTB=∠MDQ=∠PBN，得到PT=PB，进而推出点T的坐标为（2m-4，0），令，则，解得，则，由此即可得到答案．
(1)
解：如图所示，过点D作DH⊥x轴于E，
∵∠BOD=135°，
∴∠HOD=45°，
又∵DH⊥OH，即∠DHO=90°，
∴∠HDO=∠HOD=45°，
∴DH=OH，
∵，
∴OH=DH=4，
又∵点D在第三象限，
∴点D的坐标为（-4，-4），
∴，
∴；
(2)
解：由（1）可知，抛物线解析式为，
∴点C的坐标为（0，6），
设点P的坐标为（m，），直线PD的解析式为，
∴，
∴，
∴直线PD的解析式为，
∴点E的坐标为（0，），
∴
，
又∵PF⊥y轴，
∴，
∴；
(3)
解：如图所示，在DE上取一点M使得，EM=EP，过点E作y轴的平行线交过点D与x轴平行的直线于Q，过点P作PN⊥x轴于N，直线PQ与x轴交于点T，
设点P的坐标为（m，），
同理可以求出直线PD的解析式为，
∴点E的坐标为（0，），
∵ME=PE，DE=PE+PB，
∴E为MP的中点，DM=BP，
∴点M的横坐标为-m，
∴点Q的横坐标为-m，
∴DQ=-m-（-4）=4-m，
∵点B是抛物线与x轴靠右边的一个交点，
∴点B的坐标为（4，0），
∴BN=4-m=DQ，
在Rt△BPN和Rt△DMQ中，
，
∴Rt△BPN≌Rt△DMQ（HL），
∴∠PBN=∠MDQ，
∵轴，
∴∠PTB=∠MDQ=∠PBN，
∴PT=PB，
又∵PN⊥TB，
∴点N为TB的中点，
∴点T的坐标为（2m-4，0），
令，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵点P在第一象限，
∴，
∴，
∴，
∴点P的坐标为（1，6）．
【点睛】本题主要考查了二次函数与几何综合，等腰直角三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，一次函数与几何综合等等，正确作出辅助线利用属性结合的思想求解是解题的关键．
4．(1)；
(2)．
【分析】（1）由得，结合对称轴建立方程组求解即可；
（2）如图，由（1）求出即，即设是第三象限内抛物线上的动点，根据，用坐标表示三角形面积即可求解．
【详解】（1）解：，
，
对称轴为，
，
解得：，
抛物线解析式为：；
（2）如图，抛物线与x轴交于点，
对称轴为，
即，
抛物线解析式为：，
,即，
设是第三象限内抛物线上的动点，
则且，
，
开口向下，
当时有最大值，
面积的最大值为．
【点睛】本题考查了代入法求二次函数解析式、二次函数的图像和性质求三角形最大面积；解题的关键是熟练掌握二次函数的图像和性质．
5．(1)；
(2)
(3)抛物线上存在一点N，使得，点N的坐标是
【分析】（1）利用待定系数法即可求得抛物线的解析式；
（2）先用待定系数法求出直线的解析式为，设点M的坐标是，过点M作直线轴交于点N，则点P的是，求出，得到，，根据的面积是面积的3倍，列方程求得m的值，即可求得点M的坐标；
（3）抛物线上存在一点N，使得，过点B作交于点E，则，证明得到，求出点E的坐标是，待定系数法求出直线的解析式，联立直线的解析式与抛物线的解析式即可求出点N的坐标．
【详解】（1）解：把，代入得，
，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）如图，
对于，
当时，，
∴点C的坐标为，
设直线的解析式为，代入，得，
，解得，
∴直线的解析式为，
设点M的坐标是，过点M作直线轴交于点N，
则点P的是，
∴，
∵，，，
∴，，，
∵的面积是面积的3倍，
∴，
解得（不合题意，舍去）或，
当时，，
∴点M的坐标是；
（3）抛物线上存在一点N，使得，过点B作交于点E，则，
∵，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴点E的坐标是，
设直线的解析式为，代入，得，
，解得，
∴直线的解析式为，
联立与得，
，
解得或（不合题意，舍去），
∴抛物线上存在一点N，使得，点N的坐标是．
【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了利用待定系数法求函数解析式、二次函数与一次函数的交点问题、全等三角形的判定和性质等知识，关键是添加合适的辅助线解决问题．
6．(1)，；
(2)最大为，，四边形为平行四边形．
【分析】（1）将两点坐标代入二次函数求解即可，设直线解析式为，将两点坐标代入求解即可；
（2）延长交轴于点，作，设直线交轴于点，设，确定出点坐标，表示出四边形的面积，利用二次函数的性质，求解即可．
【详解】（1）解：将，代入二次函数可得
解得
即
设直线解析式为，将，代入可得
，解得
即；
（2）解：延长交轴于点，作，设直线交轴于点，如下图：
设，则，
由题意可得：轴，，，，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，，即
，
线段在线段上移动，则，解得，
由题意可得：
由此可得，时，最大，为，此时
此时，
又∵，
∴四边形为平行四边形．
综上，最大为，，四边形为平行四边形．
【点睛】此题考查了二次函数与几何的综合应用，涉及了待定系数法求解析式，二次函数的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，解题的关键熟练掌握相关基本性质．
7．(1)
(2)G的坐标为或
(3)当时，点P的坐标为（4，5）或
【分析】（1）先求出，再根据正切的定义得到，结合求出，，再利用待定系数法求出对应的函数解析式即可；
（2）先证明只存在以为对角线的平行四边形，设，，则，根据平移的特点建立方程进行求解即可；
（3）先求出，，如图②，作，过点B作交于点，过点作轴于点M，可得为等腰直角三角形，，再由，得到，则点的坐标为，求出直线的解析式为，联立，可得的坐标为．如图②，延长至，使得，连接交抛物线于点，过点作轴于点N，则，求出直线的解析式为，联立，可得点的坐标为．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
由，
可得，
解得或（舍去），
∴，，
将，，代入可得，
解得，
∴抛物线解析式为．
（2）解：如图①，∵轴，点Q在抛物线上，
∴以为边的平行四边形不存在，只存在以为对角线的平行四边形，
设，，则，
由点的平移可得，消元整理可得，解得，，
∴点G的坐标为或．
（3）解：∵，
∴，，
如图②，作，过点B作交于点，过点作轴于点M，
∴，
∴为等腰直角三角形，，
∵，
∴，，
∴，
∴点的坐标为，
由，可得直线的解析式为，
联立，
解得（舍去），，
∴的坐标为．
如图②，延长至，使得，连接交抛物线于点，过点作轴于点N，
∴，
由，可得直线的解析式为，
联立，
解得（舍去），，
∴点的坐标为．
综上可得当时，点P的坐标为或．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质与判断，解直角三角形等等，灵活运用所学知识并利用数形结合的思想求解是解题的关键．
8．(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）直接利用待定系数法求抛物线解析式即可；
（2）先利用勾股定理的逆定理证明为直角三角形，再根据折叠的性质得出点B、C、D三点共线，继而通过证明，利用相似三角形的性质即可得出点D的坐标，根据四边形OADC的面积进行求解即可；
（3）分两种情况讨论：当点P在x轴上方时，当点P在x轴下方时，分别求解即可．
【详解】（1）将，，代入抛物线，得
，解得，
所以，抛物线的表达式为；
（2）如图，过点D作DE⊥x轴于E，
，
∵，，，
，
，
为直角三角形且，
将沿AC所在直线折叠，得到，点B的对应点为D，
此时，点B、C、D三点共线，BC=DC，，
，
，
，
，
，
∴四边形OADC的面积
；
（3）
当点P在x轴上方时，
∵，
∴轴，
点P的纵坐标为4，即，
解得或0（舍去）
；
当点P在x轴下方时，设直线CP交x轴于F，
∵，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，
即，
解得，
，
，
∴设直线CF的解析式为，
即，解得，
∴直线CF的解析式为，
令，解得或0（舍去），
当时，
；
综上，或．
【点睛】本题考查了二次函数的综合题目，涉及待定系数法求二次函数解析式，勾股定理的逆定理，折叠的性质，相似三角形的判定和性质，求一次函数的解析式，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握知识点并能够灵活运用是解题的关键．
9．(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）利用待定系数法解答，即可求解；
（2）先利用勾股定理求出，再求出直线解析式为：，设，则，可得，再由，可得，从而得到周长，再利用二次函数的性质，即可求解；
（3）在x轴负半轴上取点E，使，连接交抛物线于点P，可得，然后求出直线解析式为，再求出直线CE与抛物线的交点坐标；作E关于直线的对称点F，连接并延长交抛物线于，连接EF交AC于点T，则，设，根据，可得．再求出直线CF的解析式，即可求解．
（1）
解：把和代入，得：
，解得，
∴抛物线解析式为；
（2）
解：令y=0，则，
∴，
∴OC=2，
∵点A（-4，0），
∴OA=4，
∴，
∴可设直线解析式为，
把代入得：，
解得：，
∴直线解析式为：，
设，则，
∴，
∵轴，轴，
∴，，
∴，
∴，即，
∴，
∴周长
∵，
∴当时，周长最大值为．
（3）
解：在x轴负半轴上取点E，使，连接交抛物线于点P，如图．
∴OE=2，
∴，
此时，即P是满足条件的点．
∵，
∴可设直线解析式为，
把点E（-2，0）代入得：
，解得：，
∴直线解析式为，
联立，解得：（舍去）或
∴此时点
∴；
作E关于直线的对称点F，连接并延长交抛物线于，连接EF交AC于点T，则，
∴是满足条件的点，
设，
根据对称性得：，
∴
解得或（舍去），
∴．
∵，
∴可设直线解析式为，
把点，代入得：，
解得：，
∴直线解析式为，
联立，解得或，
∴，
综上，为或．
【点睛】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质，二次函数与一次函数的交点问题，利用数形结合思想解答是解题的关键．
10．(1)
(2)
(3)符合条件的点P存在，点P的坐标为：（2，2）或（2，-2）或（2，0）或（2，）
【详解】（1）解：将点代入中，
得，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）当时，，
∴点C的坐标为，
当时，，
解得：，
∴点B的坐标为，
设直线的解析式为，
将点，点代入解析式，得：
，
解得：，
∴直线BC的解析式为；
（3）∵抛物线与x轴相交于、两点，
∴抛物线的对称轴为x=，
假设存在点P，设P（2，t），
则AC==，
AP==，
CP==，
∵△ACP为等腰三角形，
故可分三种情况：
①当AC=AP时，，
解得：t=±2，
∴点P的坐标为（2，2）或（2，-2）；
②当AC=CP时，，
解得：t=0或t=8，
∴点P的坐标为（2，0）或（2，8），
设直线AC的解析式为y=mx+n，
将点A（-2，0）、C（0，4）代入得，
解得：，
∴直线AC的解析式为y=2x+4，
当x=2时，y=4+4=8，
∴点（2，8）在直线AC上，
∴A、C、P在同一直线上，点（2，8）应舍去；
③当AP=CP时，，
解得：t=，
∴点P的坐标为（2，）；
综上可得，符合条件的点P存在，点P的坐标为：（2，2）或（2，-2）或（2，0）或（2，）．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式和一次函数解析式，等腰三角形的定义等知识点，解决此题的关键是要分类讨论．
11．(1)
(2)
(3)当或时，为直角三角形
【分析】（1）把代入，得出a与b的关系，然后令解方程即可；
（2）先求出直线的解析式，再根据列方程求出a的值即可；
（3）分和两种情况求解即可．
【详解】（1）解：把代入，得，
∴，
∴，
当时，
，
∵，
∴，解得．
∴，
故答案为：；
（2）解：由（1）知，，
∴对称轴为直线．
设对称轴与交于点G，
∵，
∴，
当时，，
∴，
设直线的解析式为，
∴，解得，
∴，
当时，，
∴．
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）∵轴，
∴，，
∵，
∴，
①当时，，
∵对称轴为直线，
∴此时；
②当时，设直线交x轴于点，
当时，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴H与A重合，
∴此时；
综上，当或时，为直角三角形．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，等腰三角形的判定，两点间的距离公式，以及锐角三角函数的知识，熟练掌握二次函数的图象与性质、锐角三角函数是解答本题的关键．
12．(1)
(2)△AFP面积的最大值为
(3)存在，点F的坐标为（0，）或（0，）或（0，）
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）过点P作PQy轴交直线AF于点Q，用待定系数法求出直线AF的解析式，利用抛物线解析式设出点P坐标，从而得出点Q的坐标，利用求面积，再配成顶点式从而可求△AFP面积的最大值；
（3）∠PAF90°与∠APF90°两种情况讨论，通过作垂线构造全等三角形，从而得出边相等，列出方程求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点，
∴ ，
解得：，
∴该抛物线所对应的函数解析式为；
（2）如图1，过点P作PQy轴交直线AF于点Q，
设直线AF的解析式为，
∵，
∴，
解得：，
∴直线AF的解析式为，
设，则Q，
∴，
∴，
∵＜0，，
∴当t时，△AFP面积的最大值为；
（3）设P（m，）（），F（0，n），
∵A（3，0），
∴OA3，OF|n|，
①当APAF，∠PAF90°时，如图2，过点P作PD⊥x轴于点D，
则∠ADP90°∠AOF，
∴∠PAD+∠APD90°，
∵∠PAD+∠FAO90°，
∴∠APD∠FAO，
在△APD和△FAO中，
，
∴△APD≌△FAO（AAS），
∴PDOA，ADOF，
∵PD，AD，OA，
∴，
解得：m0或2，
当m0时，P（0，3），AD3，
∴OF3，即|n|3，
∵点F在y的负半轴上，
∴，
∴F；
当m2时，P（2，3），AD1，
∴OF＝1，即|n|1，
∵点F在y的负半轴上，
∴，
∴F（0，）；
②当APPF，∠APF90°时，如图3，过点P作PD⊥x轴于点D，PG⊥y轴于点G，
则∠PDA∠PDO∠PGF90°，
∵∠PDO∠PGF∠DOG90°，
∴四边形PDOG是矩形，
∴∠FPG+∠FPD90°，
∵∠APD+∠FPD∠APF90°，
∴∠FPG∠APD，
在△FPG和△APD中，
，
∴△FPG≌△APD（AAS），
∴PGPD，FGAD，
∵PD，AD3﹣m，PGm，
∴m，
解得： （舍去）， ，
当m＝时，P（，），
∴＝，
∴F（0，）；
综上所述，点F的坐标为（0，）或（0，）或（0，）．

【点睛】本题考查待定系数法，三角形的面积求法，等腰直角三角形的讨论，二次函数的图象与性质，难度比较大，根据题意正确作出辅助线是解题的关键．
13．(1)；
(2)当时，有最大值，最大值为8，此时D；
(3)P或．
【分析】（1）将A，B的坐标代入抛物线的解析式组成二元一次方程组，求解即可；
（2）设D，根据坐标的特点，可得出点M，N的坐标，再根据三角形的面积公式可表达的面积，根据二次函数的性质可得出结论；
（3）根据题意，易证，由此得出和的长，再根据题意需要分两种情况讨论：①当时，②当时，分别求解即可．
【详解】（1）解：将点，点代入抛物线，
∴，
∴．
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：∵点，点，
∴直线的解析式为：；
设D，
∵轴，点M在直线上，点N在抛物线上，
∴，
∴，
∴的面积，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为8，此时D；
（3）解：存在，如图，过点M作轴于点E，
∴，
∴，
∴，
∴，
中，，
∴，
∴，
∴．
根据题意，需要分两种情况讨论：
①时，如图，
此时，
解得或t=0（舍），
∴，
∴，
∵，
∴点P在y轴上，
∴，
∴P；
②当时，如图，此时与互相垂直平分，设与交于点F，
∴，
∵，
∴，
解得或（舍），
∴，
∴P．
综上，存在点P，使得以点A，M，N，P为顶点，以为边的四边形是菱形，此时P或．
【点睛】此题主要考查了二次函数解析式的确定、菱形的判定和性质、分类讨论的思想等知识，能力要求较高，难度较大，关键是掌握菱形的对称性和进行正确的分类讨论．
14．(1)
(2)
(3)存在，或或
【分析】（1）由二次函数的最小值为，点是其对称轴上一点，得二次函数顶点为，设顶点式，将点代入即可求出函数解析式；
（2）连接，根据求出S与t的函数关系式；
（3）设，分三种情况：当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时，由中点坐标公式求出n即可．
【详解】（1）解：二次函数的最小值为，点是其对称轴上一点，
二次函数顶点为，
设二次函数解析式为，
将点代入得，，
，
；
（2）如图，连接，
当时，，
或2，，
点P在抛物线上，
点P的纵坐标为，
；
（3）设，
当为对角线时，由中点坐标公式得，，，，
当为对角线时，由中点坐标公式得，，，，
当为对角线时，由中点坐标公式得，，，，
综上：或或．
【点睛】此题考查了待定系数法求抛物线的解析式，抛物线与图形面积，平行四边形的性质，熟练掌握待定系数法及平行四边形是性质是解题的关键．
15．(1)；
(2)；
(3)或或.
【分析】（1）利用待定系数法，设顶点式求出二次函数的表达式；
（2）根据轴对称最短路径问题得到点E的位置，利用待定系数法求出直线的函数解析式，令代入计算得到答案；
（3）根据平行四边形的判定定理画出可能的图形，根据二次函数图象上点的坐标特征解答．
【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为，
∴设函数表达式为.
∵图象过点，
∴当时，，
∴，
解得，，
∴函数表达式为，即；
（2）解方程，
得：，，
∴点的坐标为，点A的坐标为．
如图1，连接，
∵A、关于对称轴对称，点在对称轴上，
∴，
∴的周长，
当、、在同一直线上时，的周长最小．
设直线的函数解析式为.
则，解得，
∴直线的函数解析式为.
∵点的横坐标为，
所以点的坐标为；
（3）如图2，当点与点重合，点与点关于轴对称时，四边形的对角线互相平分，
∴四边形是平行四边形，此时点的坐标为.
当，时，四边形是平行四边形，
此时点的横坐标为，
∴的纵坐标为：，
∴点的坐标为.
当，时，四边形是平行四边形，
此时点的横坐标为，
的纵坐标为：，
∴点的坐标为.
∴以A、、、四点为顶点的四边形为平行四边形，点的坐标为：或或.
【点睛】本题考查了二次函数的性质、平行四边形的判定、灵活运用分情况讨论思想、掌握待定系数法求二次函数解析式的一般步骤是解题的关键．
16．(1)
(2)①M点的坐标为或 ；②M点的坐标为或或
【分析】（1）利用待定系数法去求抛物线解析式；
（2）①先求出抛物线的对称轴为，作直线于点D，作于E，根据相似三角形的判定和性质进行如下的分类讨论即可：（1）当时，（2）当时进行求解即可；
②先确定进行如下的分类讨论即可：（1）当时，（2）当时，（3）当时进行求解即可．
【详解】（1）将点，分别代入得，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）①抛物线的对称轴为直线，
作直线于点D，作于E，
∵，
∴当，即，
∴，如图1，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
而，
∴，
此时M点的坐标为，
∴当，即，
∴，如图2，
同理可得，
∴，
而，
∴，
此时M点的坐标为，
综上所述，M点的坐标为或；
②∵，
∴，
当时，，此时点M的坐标为；
当时，点N与点P重合，则，
∴，此时M点的坐标为；
当时，在中，，
∵，
∴，即，
解得，此时点M的坐标为，
综上所述，M点的坐标为或或．
【点睛】本题考查了二次函数的综合题，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式；会灵活应用相似三角形的判定和性质进行几何计算；理解坐标与图形的性质；会利用分类讨论的思想解决数学问题．
17．(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）利用待定系数法求抛物线的解析式；
（2）令求抛物线与x轴的交点C的坐标，作和的高线，根据面积相等可得，证明，则，根据三角函数列式可得P的坐标，利用待定系数法求一次函数的解析式；
（3）先利用概率的知识分析A，B，C，E中的三点为顶点的三角形，有两个三角形与有可能相似，即和，
①当与以A，B，C中的三点为顶点的三角形相似，如图2，根据存在公共角，可得，列比例式可得E的坐标，利用待定系数法求直线BE的解析式，与抛物线列方程组可得交点D的坐标；
②当与以B，C、E中的三点为顶点的三角形相似，如图3，同理可得结论．
【详解】（1）解：把点代入，得
，解得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：当时，，
解得：或4，
∴，
如图1，过O作于E，过C作于F，设交x轴于G，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，过P作轴于M，
，
∴，
∴，
∴，
∴（舍），，
∴，
∴，
设直线AP的解析式为，
∴，
∴
∴；
（3）解：以A，B，C，E中的三点为顶点的三角形有共4个，其中重合，不符合条件，不能构成三角形，
∴当与以A，B，C，E中的三点为顶点的三角形相似，存在两个三角形：和，
①当与以A，B，C中的三点为顶点的三角形相似，如图2，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
∴，
∵，
∴由待定系数法可求的解析式为：，
则，
（舍），，
∴；
②当与以B，C、E中的三点为顶点的三角形相似，如图3，此时E在C的左边，
∵，
∴当时，，
∴，
设，
中，由勾股定理得：，
∴，
，
，
∴或，
∵，或是钝角，此时与以B，C、E中的三点为顶点的三角形不相似，如图4，
∴；
由待定系数法可求的解析式为：，
，
或0（舍）
∴；
同理可得E在C的右边时，，
∴，
设，
中，由勾股定理得：，
∴，
，
，
∴（舍）或，
∵，∠BEC是钝角，此时△ABE与以B，C、E中的三点为顶点的三角形不相似，
综上，点D的坐标为或．
【点睛】本题考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式，一次函数的解析式，相似三角形的性质和判定，一元二次方程的解法，三角形面积以及勾股定理，分类讨论是解（3）的关键．
18．(1)见解析
(2)①；②或．
【分析】（1）分别计算三点的坐标，再利用勾股定理求得的长，最后利用勾股定理逆定理解题；
（2）①先解出直线的解析式，设，得出，由，得出利用二次函数的配方法求最值；
②根据直角三角形斜边的中线性质，解得的长，再证明，再分两种情况讨论以点为顶点的三角形与相似，结合相似三角形对应边成比例性质解题即可．
【详解】（1）解：令，得，
，
令得，
，
，
，，
，
，
，
，
（2）①设直线的解析式为：，代入，得
，
，
，
设，
，
，
∴，
∴，
，
，
，
，
，
，
即的最大值为9；
②点是的中点，
在中，，
即为等腰三角形，
，
，
，
，
，
若以点为顶点的三角形与相似，
则①，
，
又，
，
，
，，
，
，，
或，
经检验：不符合题意，舍去，
②，
又，
，
，
，
整理得，，
，，
或，
同理：不合题意，舍去，
综上所述，或．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线的性质、勾股定理及其逆定理、二次函数的最值、解一元二次方程等知识，掌握相关知识是解题关键．
19．(1)
(2)
(3)①；②或
【分析】（1）用待定系数法可得二次函数的解析式为；
（2）由抛物线的对称轴为直线，根据当时，函数有最小值，可得时，，即可解得的值为；
（3）①，根据的长度随的增大而减小，可得，即可解得解得；
②由，得，（Ⅰ）当时，在二次函数的图象的最高点，与抛物线只有1交点，（Ⅱ）当时，、都在直线的右侧，与抛物线只有1交点；（Ⅲ）直线关于对称轴直线的对称直线为，当时，与抛物线只有1交点．
【详解】（1）解：将，点代入得：
，
解得，
，
答：二次函数的解析式为；
（2）抛物线的对称轴为直线，
在时，随的增大而减小，
而当时，函数有最小值，
时，，
即，
解得或（不合题意，舍去），
的值为；
（3）①，
当时，，的长度随的增大而减小，
当时，，的长度随增大而增大，
满足题意，
解得；
②，
，
解得，
（Ⅰ）当时，在二次函数的图象的最高点，与抛物线只有1交点，如图：
（Ⅱ）当时，如图：
此时、都在直线的右侧，与抛物线只有1交点；
（Ⅲ）直线关于对称轴直线的对称直线为，
当时，如图：
此时与抛物线只有1交点；
综上所述，当或时，与抛物线只有一个交点．
【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，二次函数图象上点坐标特征，抛物线与线段的交点等，解题的关键是数形结合思想的应用．
20．(1)，，，；
(2)当与以A，B，D为顶点的三角形相似时，点P的坐标为或或；
(3)旋转中心M的坐标为或或或．
【分析】（1）先由点B的坐标和正方形的性质得到点A的坐标，然后将点A和点B的坐标代入函数解析式，求得b和c的值，得到二次函数的解析式，再令求得点E和点F的坐标；
（2）分三种情况讨论，①当点P在线段上，由结合三角形相似得到与全等，求得，即可得到点P的坐标；②点P在线段上，通过与相似，以及和全等即可求得点P的坐标；③点P在线段上通过与相似，以及与全等得到点P的坐标；
（3）分四种情况讨论，设绕点M顺时针旋转得到，且点、两点在抛物线上，设，则，，然后将、代入抛物线的解析式，求得x、y的值，最后通过即可求得点M的坐标．同法可求得其他情况下点M的坐标．
【详解】（1）解：∵正方形的边，分别在x轴和y轴的正半轴上，点B的坐标为，
∴A，C，
将点A，B分别代入，得
，解得：，
∴二次函数的解析式为，
令，则，
解得：或，
∴点E，F；
（2）解：∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，
①当点P在线段上时，如图所示，
则，，
∵与相似，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点P的坐标为；
②点P在线段上时，如图所示，
∵，，
∴，
∵与相似，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：（舍）或，
∴点P的坐标为；
③点P在线段上时，如图所示，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：或（舍），
∴点P的坐标为；
综上所述，当与以A，B，D为顶点的三角形相似时，点P的坐标为或或；
（3）解：①绕点顺时针旋转时，点A与点B重合，点O与点A重合，
∵点A和点B在x轴上方的抛物线上，
∴旋转中心M的坐标为；
②绕点M逆时针旋转时，点O与点B重合，
∵点A和点B在x轴上方的抛物线上，
∴旋转中心M的坐标为；
③如图3所示，设绕点M顺时针旋转得到，且点、两点在抛物线上，
设，则，，
∴，解得：，
∴，
过点M作轴，交于点H，交于点G，连接、，
则，，
∴，，
∴，
∴，
设，则，，
∴，解得：，
∴点M的坐标为；
④如图4所示，设绕点M逆时针旋转得到，且、两点在抛物线上，
设，则，，
同③理可证，M的坐标为；
综上所述，旋转中心M的坐标为或或或．
【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法求二次函数的解析式、正方形的性质、相似三角形的性质、全等三角形的判定与性质，会用待定系数法求得二次函数的解析式是解题的关键．
21．(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）、先求出点A，C的坐标，再代入二次函数关系式，求出解即可；
（2）、先设点P和点Q的坐标，再表示的长度可得答案；
（3）、设点P的坐标，根据中点的坐标特点表示点M的坐标，点R的坐标，然后代入二次函数的关系式求出答案即可．
【详解】（1）由直线经过点A，C，
令，则；，，
∴点，．
∵抛物线经过点A，C，
∴，
解得，
∴抛物线的关系式为；
（2）∵点P在线段上时，P点的横坐标是t，
∴．
过点P作x轴的垂线交第一象限的抛物线于点Q，
∴点，
∴；
（3）∵，，点M是的中点，
∴．
∵，
∴．
∵点R在抛物线上，
∴，
解得或，
∴或．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数关系式，求中点的坐标等，理解用纵坐标的差表示线段的长是解题的关键．
22．B
【分析】先求出二次函数的对称轴，二次函数的对称轴是 ，再从和两种情况讨论，分别得出t的取值范围．
【详解】∵对于 ， ，都有
∴①当 时，需满足 时的函数值不大于时的函数值
即 .
解得
②当 时，需满足 时的函数值不小于时的函数值
即 .
解得
综上： 或
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，数形结合思想的解题的关键．
23．A
【分析】根据二次函数图像与性质，由抛物线与轴交于点，得到对称轴，从而得到，①正确；由①中，抛物线开口向下及抛物线交轴的正半轴即可确定②错误；根据二次函数最值即可得到，③错误；根据平面直角坐标系中三角形面积的求法，得到，利用二次函数图像与性质即可确定④错误．
【详解】解：∵抛物线与轴交于点，
∴对称轴为直线，即，
∴，故①正确，符合题意；
∵抛物线开口向下，
∴，
∴，
∵抛物线交轴的正半轴，
∴，
∴，故②错误，不符合题意；
∵抛物线的对称轴，开口向下，
∴当时，有最大值，最大值为，
∴（为任意实数），
∴（为任意实数），故③错误，不符合题意；
∵，
设直线的解析式为，
∴，解得，
∴，
将点代入，
∴，
∴，
过点作轴交于点，如图所示：
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴当时，的面积最大，故④不正确，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数图像与性质，熟练掌握二次函数图形与性质，平面直角坐标系中求三角形面积等是解决问题的关键．
24．A
【分析】先根据函数解析式画出图形，然后结合图形找出抛物线与x轴有四个交点的情形，最后求得直线的解析式，从而可求得m的值．
【详解】解：由y=0可知，抛物线与c轴交于A(-3，0)，B(1，0)两点，
“非正变换”后的图像如下图所示：
当x＜-3或c＞1时，由图像可得函数解析式仍为y=-x2-2x+3，
当-3≤x≤1时，计算可得函数解析式为y=x2+2x-3．
当直线与抛物线交于A点时，此时交点数为1；在AB点中间交点数为2；
向下移动至B点时，交点数为3，再向下移动则交点为4；
∴m＜-1．
向下移动至与抛物线相切时交点为3，在这之前交点为4个．
联立抛物线与直线，
得x2+x-3-m=0，
抛物线与直线只有一个交点，所以方程有两个相等的实数根，
∴△=1-4×（-3-m)=0，
∴m=-，
∴m>-．
综上，-故选：A．
【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，根据题意画出如图，找出新图象与直线y=x+m有四个不同公共点的条件是解题的关键．
25．D
【分析】先求出直线AB的解析式为，然后设点P的坐标为，可得，从而得到四边形的面积为，再根据二次函数的性质，即可求解．
【详解】解：设直线AB的解析式为
，
把点代入得：
，解得：，
∴直线AB的解析式为，
设点P的坐标为，
∵，
∴点C（-1，0），
∵于点E，于点D，
∴，
∴四边形的面积为

，
∴当m=3时，四边形的面积最大，此时点P（3，2）．
故选：D
【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，二次函数的应用，熟练掌握一次函数的图象和性质，二次函数的图象和性质是解题的关键．
26．(1)
(2)存在，当时，面积的最大值为
(3)的值为或
【分析】把点代入解析式，求出的值，即可得到解析式；
过点作于点，利用表示出的高，然后表示出的面积，利用二次函数的性质求出最大面积；
由，，知与相似只需为直角三角形，分两种情况：当时，是等腰直角三角形，，有，解得；当时，，解得．
【详解】（1）把点代入得：，
解得：，
二次函数的表达式为：．
（2）过作于，如图：

在中，令得，令得，，
，，，
，，，
设运动时间为，则，，
，
，
，即，
，
，
，
当时，面积的最大值为．
（3）在点、运动的过程中，存在使与相似的时刻，理由如下：
，，
与相似只需为直角三角形，
当时，如图：

，，
，
是等腰直角三角形，，
，
解得；
当时，如图：

同理可知，
，
解得，
综上所述，的值为或．
【点睛】．本题考查二次函数的综合应用，涉及二次函数解析式、抛物线与坐标轴的交点坐标、三角形面积等知识，解题的关键是数形结合和分类讨论思想的应用．
27．(1)
(2)①或；②或
【分析】（1）先根据直线的解析式求出点和的坐标，再利用待定系数法求抛物线的解析式；
（2）①设出点的横坐标为，用的代数式表示和，然后根据相似三角形的两种情况，由两组对应角相等，利用相等的三角函数值列出关于的方程即可；
②过点作平分，交拋物线于点，过点作轴，交于点，可得到，利用勾股定理和等腰三角形的性质得到，可确定点G的坐标，进而求出直线BG与抛物线的交点坐标，便可得出其中一个满足条件的点坐标；利用翻折，设与轴的交点为点，关于轴的对称点为，进而求得直线BN与抛物线的交点坐标，便可得出另一个满足条件的点坐标．
【详解】（1）解：∵直线与轴，轴分别交于、两点，
当时，，
∴，，
当时，得，解得：，
∴，，
∵，设，，
∵，
∴，
解得：，（舍去），
∴，
∴，
∵抛物线经过、两点，与轴负半轴交于点，
∴，
解得：．
∴拋物线的解析式为．
（2）①设，
∵轴交于点，轴交于点，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴和相似分以下两种情况：
当时，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴；
当时，，
∴，
解得：，
∴，
∴．
综上所述，当和相似时，点的坐标为或．
②如图，过点作平分，交拋物线于点，
∴，
∴，
过点作轴，交于点，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴点G的坐标为，
又∵，
设直线BG的解析式为，
∴，
∴直线BG的解析式为，
由，
解得：，，
∴；
将直线沿轴翻折，交拋物线于点，
∴，
设与轴的交点为点，关于轴的对称点为，
∵直线BG的解析式为，
当时，，
∴，
∴，
∴设直线BN的解析式为，
∴
∴，
由，
解得：，，
∴．
综上所述，当时，点坐标为或．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，运用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，相似三角形的判定和性质，三角函数的应用，角平分线的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，根据解析式表示点的坐标，再由点的坐标表示线段的长，利用等量关系列方程或方程组求解，利用方程组确定两个函数图像的交点．分类讨论的应用是解题的关键．
28．D
【分析】设斜边与y轴交于点E，连接AE，设点C(-a，4a2)，D(a，4a2)，A(-b，4b2)，则h=4a2-4b2，再利用勾股定理，即可求解．
【详解】解：设斜边与y轴交于点E，连接AE，如图，
设点C(-a，4a2)，D(a，4a2)，A(-b，4b2)，
∴h=4a2-4b2，，
∵的三个顶点A、C、D都在二次函数的图象上，斜边平行于x轴，
∴点E为斜边的中点，
∴，
在中，，即，
∴，
解得．
故选D．
【点睛】本题主要考查了二次函数与三角形的综合、勾股定理．
29．A
【分析】先根据题意确定抛物线顶点的坐标，过作于，得到，的长，再根据题意，与重合，进而得到和的长，于是得到的坐标，由于在抛物线上，进而求解．
【详解】过作于，如图
∵抛物线的解析式：，
∴其顶点是，对称轴
∵
∴，
根据题意，与重合，
∵
∴
∴，
∴
∵，在抛物线上
∴
∴
故选：A
【点睛】本题考查了二次函数与几何图形的综合，几何图形的平移与旋转的性质，掌握数形结合的思想方法和灵活运用所学知识是解本题的关键．
30．B
【分析】求出二次函数的相关函数的解析式，结合图像分析选项中的几个关键点，，再解方程结合图象判断即可．
【详解】二次函数的相关函数为，
大致函数图像如下：
如图1所示，当线段MN与二次函数的相关函数的图象有1个公共点时，
∴当x=2时，，则-4+8+n=1,解得n=-3，
如图2所示，当线段MN与二次函数的相关函数的图象有3个公共点时，
∵抛物线y=与y轴交点纵坐标为1，
∴-n=1，解得n=-1；
∴当时，线段MN与二次函数的相关函数的图象有2个公共点；
如图3所示：线段MN与二次函数的相关函数的图象有3个公共点，
∵二次函数经过点（0，1），
∴n=1，
如图4所示：线段MN与二次函数的相关函数的图象有2个公共点，
∵抛物线y=经过点，
∴+2-n=1，解得n=，
∴时，线段MN与二次函数的相关函数的图象有2个公共点．
综上所述，n的取值范围是或．
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数与一元二次方程的关系，理解互为相关函数的定义是解题的关键，本题是选择题使用排除法更简单．
31．C
【分析】根据二次函数图象的开口方向，对称轴的位置，与y轴交点的位置判断①符合题意；根据点N坐标和二次函数的对称轴确定二次函数图象过点，再根据二次函数的增减性即可判断②不符合题意；使用待定系数法求出抛物线解析式，再根据二次函数图象平移规律即可判断③不符合题意；把点A坐标和点A关于对称轴对称的点的坐标代入二次函数解析式，然后用a表示c，再根据点C的位置和不等式的性质即可判断④符合题意；根据二次函数的最值得到不等式，再根据不等式的性质和等价代换思想即可判断⑤符合题意．
【详解】解：∵二次函数图象开口方向向下，对称轴在y轴右侧，与y轴的交点在y轴的正半轴，
∴a<0，，c>0．
∴b>0．
∴abc<0．
故①符合题意．
∵点是函数图象上一点，对称轴是直线x=2，
∴二次函数图象经过点．
∵二次函数图象开口方向向下，
∴当时，y随x的增大而增大．
∵函数图象上一点，
∴．
故②不符合题意．
∵，二次函数图象对称轴是直线x=2，
∴设二次函数解析式为．
把点坐标代入二次函数解析式得．
解得．
∴二次函数解析式为．
∴抛物线先向上平移4个单位，再向右平移1个单位得到抛物线为．
故③不符合题意．
∵二次函数图象过点，二次函数对称轴是直线x=2，
∴二次函数图象过点．
把点和代入二次函数解析式中得
用a来表示b和c得
∵二次函数图象与y轴的交点B在与之间（不包括这两点），
∴．
∴．
∴．
故④符合题意．
∵二次函数图象开口方向向下，对称轴为直线x=2，
∴二次函数在x=2时取得最大值．
∴当x=m（）时，，即．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
故⑤符合题意．
故①④⑤符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的图象与系数关系，二次函数的对称性，二次函数的增减性，二次函数图象平移规律，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值，不等式的性质，综合应用这些知识点是解题关键．
32．B
【分析】令，求得P的横坐标，然后根据两抛物线的对称轴求得PM＝﹣，PN＝2（﹣）＝﹣﹣，由＝，得到＝，整理即可得到，即可求得＝n﹣1．
【详解】解：令a1x2＝a2x2+bx，
解得x1＝0，x2＝，
∴P的横坐标为，
∵抛物线：的对称轴为y轴，抛物线的对称轴为直线x＝﹣，
∴PM＝﹣，PN＝2（﹣）＝﹣﹣，
∵＝，
∴＝，
∴＝，
∴＝
，
∴＝，
∴＝n﹣2，
∴﹣1＝n﹣2，
∴＝n﹣1，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，求得P的横坐标，表示出PM、PN是解题的关键．
33．
【分析】联立两个函数解析式得到A、B两点的坐标，再利用勾股定理求出两点之间的距离．
【详解】解：联立，
得，
解得，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了一次函数与二次函数交点问题，勾股定理求两点之间的距离，正确理解一次函数与二次函数交点问题是解题的关键．
34． 或
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求出平移后点E的坐标为，平移后点C的坐标为，再证明，得到，则，据此求解即可．
【详解】解：（1）由题意得，
∴，
∴抛物线解析式为，
故答案为：；
（2）∵原抛物线解析式为，
∴平移后的抛物线解析式为，
∴平移后点E的坐标为，平移后点C的坐标为，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴或，
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数综合，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．
35．
【分析】先根据过原点得出，再由“Y函数”得出b的值，确定二次函数解析式后，和直线联立求出交点的横坐标，写出l的解析式，确定经过的定点即可．
【详解】解：∵过原点，
∴，
∵是“Y函数”，
∴，
∴，
联立直线l和抛物线得：
，
即：
∴，
又∵，
化简得：
∴，
即，
∴，
当时，，
∴直线l必过定点．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查与二次函数有关的新定义的概念，关键是要理解新定义的函数的特点，对于过定点的问题，一般要先写出解析式，然后取适当的x求出对应的y．
36．
【分析】解方程得，则抛物线的对称轴为直线，再确定，连接交直线于E，交y轴于点，如图，利用两点之间线段最短可判断此时的值最小，接着利用待定系数法求出直线的解析式为，则，然后根据三角形面积公式计算．
【详解】解：当时，，解得，，则，，
抛物线的对称轴为直线，
当时，，则，
当时，，则，
连接交直线于E，交y轴于点，如图，
∵，
∴此时的值最小，
设直线的解析式为,
把，代入得，
解得，
∴直线的解析式为，
当时，，则，
当时，，则，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数（是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和最短路径问题．
37．##
【分析】先根据抛物线解析式求出点A，B，坐标，从而得出，，，再根据勾股定理求出的长度，然后根据翻折的性质得出在以为圆心，为半径的圆弧上运动，当，，在同一直线上时，最小；过点作，垂足为，由中位线定理得出，的长，然后由勾股定理求出，从而得出结论．
【详解】解：令，则，
解得，，
，，
，，
令，则，
，
，
，
为中点，
，
由沿折叠所得，
，
在以为圆心，为半径的圆弧上运动，
当，，在同一直线上时，最小，
过点作，垂足为，
，，
，
，
又，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点，翻折变换、勾股定理以及求线段最小值等知识，关键是根据抛物线的性质求出，，的坐标．
38．(1)
(2)①；②P点坐标为或．
【分析】（1）令，则，可求点坐标；
（2）①联立方程组，求出点坐标，求出直线的解析式，联立方程组，求出点坐标，过点作轴交于点，则可知，求出，可求，由此可求的最大值；
②设，，联立方程组，求出点，分三种情况讨论：①当为矩形对角线时，，；②当为矩形对角线时，，；③当为矩形对角线时，，此时无解．
【详解】（1）令，则，
解得或，
，；
（2）①，
，
令，则，
，
联立方程组，
整理得，，
解得或，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
，
过点作轴交于点，
，
，
联立方程组，
解得，
，，
在中，时，，
，
，，
，
当时，的最大值为；
②以A，，，为顶点的四边形能成为矩形，理由如下：
，
抛物线的对称轴为直线，
设，，
，
，
联立方程组，
解得或（舍，
，
①当为矩形对角线时，，
，，
，
，
，
解得，
，
，
，
；
②当为矩形对角线时，，
，，
，
，
，
解得，
，
，
，
；
③当为矩形对角线时，，
，，
，
，
，
此时无解；
综上所述：点坐标为或．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，矩形的性质，直角三角形勾股定理，分类讨论是解题的关键．
39．(1)2
(2)
(3)或
【分析】（1）直接代入求值即可；
（2）求得点的坐标，分两种求得代入求值即可；
（3）分两种情况：图形上最低点落在左侧函数部分的图象上，根据题意解不等式组即可，图形上最低点落在右侧部分的图象上时，解不等式组即可．
【详解】（1）解：把点代入，则，
；
（2）解：点的坐标为（其中为常数），点与点关于轴对称，
点的坐标为，
当时，即时，
把点代入，则，解得（舍去），
当时，即时，
把点代入，则，解得（负值舍去），
综上，；
（3）解：当图形上最低点落在函数的图象上时，则最低点坐标为，
，
解得：；
当图形上最低点落在函数的图象上时，
同理：，
的顶点，
当时，的点，
，
解得，
当时，为最低点，
当时，为最低点，
综上所述，的取值范围为：或．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，其中（3）要确定临界点的情况，进而求解．
40．(1)，
(2)或或或
(3)或
【分析】（1）用待定系数法求出一次函数解析式和二次函数解析式即可；
（2）设，然后分三种情况，，求出点E的坐标即可；
（3）设点的坐标为，求出，，求出直线直线的解析式为，过点作平行轴，交于，则，，表示出，求出a的值，即可得出答案．
【详解】（1）解：把，代入抛物线的解析式，
得：，
解得：，
抛物线的解析式为，
设直线的解析式为，把，代入直线的解析式，
得：，
解得：，
直线的解析式为；
（2）解：设，
若，
则，
解得或，
∴或；
若，
则，
解得或（舍，
，
若，
则，
解得，
∴；
综上，的坐标为或或或．
（3）解：设点的坐标为，由（1）知，
，
，
设直线的解析式为，把点，代入得：
，
解得：，
直线的解析式为，
过点作平行轴，交于，
则，，
，
，
解得或，
当时，，
当时，，
或．
【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数的综合应用，求一次函数解析式，等腰三角形的定义，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，注意进行分类讨论．
41．(1)
(2)当时，取得最大值，最大值为1，此时点的坐标为
(3)点的坐标为，，
【分析】（1）将，代入抛物线，列方程组求解即可得到答案；
（2）延长交轴于点，设直线的函数表达式为，将，代入列方程组求解得出解析式，设，根据轴得到，，根据三角形面积公式用t表示出，利用函数性质即可得到最值；
（3）根据，得到，结合抛物线沿射线方向平移个单位长度，得到抛物线向右平移个单位长度，向上平移3个单位长度，得到新抛物线解析式，设点，根据平行四边形对角线互相平分分类讨论根据中点坐标公式即可得到答案．
【详解】（1）解：将，代入抛物线得，
，
解得，
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：如图，延长交轴于点，
设直线的函数表达式为，
∵，，
∴，解得，
∴直线的函数表达式为，
设，其中，
∴，，
∴，
∵，
，
∴，
∴当时，取得最大值，最大值为1，此时点的坐标为；
（3）解：∵，，
∴，
∵抛物线沿射线方向平移个单位长度，
∴抛物线向右平移个单位长度，向上平移3个单位长度，
∴平移后的抛物线解析式为，
∵点在原抛物线对称轴上，
∴设点，
①当以为对角线时，，即，
∴，
∵点为新抛物线上一点，
∴，
②当以为对角线时，，即，
，
∵点为新抛物线上一点，
∴，
③当以为对角线时，，即，
，
∵点为新抛物线上一点，
∴，
综上所述，点的坐标为，，．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，二次函数图像上点坐标的特征，平行四边形等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度．
42．(1)，
(2)或
(3)点M的横坐标的取值范围为或
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）求出点的坐标为，再观察函数图象即可求解；
（3）根据题意确定出且，根据二次函数与不等式的关系求出的取值范围即可．
【详解】（1）解：将点A的坐标代入抛物线表达式得：，解得：，
将点A的坐标代入直线表达式得：，解得；
故，；
（2）解：由（1）得，直线和抛物线的表达式为：，，
联立上述两个函数表达式并解得，或（不符合题意，舍去），
即点B的坐标为，
从图象看，不等式的解集为或；
（3）解：由题意设点M的坐标为，则点，
∵线段MN与抛物线只有一个公共点，
∴，解得：或，
∴点M的横坐标的取值范围为或．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查一次函数的性质、二次函数的性质、根据图像的交点坐标解不等式，其中（3），求不等式组的解集是解题的关键．
43．(1)
(2)；当时，
(3)存在，或时，为直角三角形，理由见解答过程
【详解】（1）解：把点、点分别代入得：
，
解得，
所以该抛物线的解析式为：；
（2）解：设运动时间为秒，则，，
，
由题意得，点的坐标为，
在中，，
如图，过点作于点，
，
，
，即，
，
，
，，、中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，
当存在时，，
当时，，
答：运动1秒使的面积最大，最大面积是；
（3）解：存在，理由：如图，在中，，
设运动时间为秒，则，，，
当时，，即，
化简，得：，
解得：；
当时，，
（即在图中，当时，
化简，得：，
解得，
综上所述：或时，为直角三角形．