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中考数学一轮复习考点（全国通用）考向22 角平分线 垂直平分线和直角三角形专题特训（含答案）
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这是一份中考数学一轮复习考点（全国通用）考向22 角平分线 垂直平分线和直角三角形专题特训（含答案），共58页。
一：角平分线
（1）角平分线的性质：在角平分线上的点到角的两边的距离相等
（2）角平分线推论（或称判定）：角的内部到角的两边的距离相等的点在叫的平分线上。
二：直角三角形
8.直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
9．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
三、最短路径为题：
如图1，已知点A、B在直线l的同侧，现在l上求一点C，使CA＋CB最小，作法如下：
作点B（或点A）关于l的对称点B，连接AB，交l于C，则点C就可使AC+BC最短。
四：垂直平分线
（1）线段垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离相等。
（2）与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
【题型探究】
题型一：角平分线的性质
1．（2022·山东济南·校考模拟预测）如图，在中，，的平分线交于点，于，如果，，，且，那么的长度是（ ）
A．2B．3C．4D．5
2．（2022·云南昆明·云大附中校考模拟预测）如图，在中，，AD平分，于点E，若，则BE的长为（ ）
A．5B．C．D．2
3．（2022·内蒙古鄂尔多斯·统考中考真题）如图，∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，DE∥OB交OA于点D，EC⊥OB，垂足为C．若EC＝2，则OD的长为（ ）
A．2B．2C．4D．4+2
题型二：角平分线的判定
4．（2022·河北·一模）如图，E、F分别为矩形ABCD边AB、AD上的两点，BE、DF相交于G点，且BE＝FD，∠FGB＝19°，则∠BGC＝（ ）
A．71°B．80.5°C．81°D．71.5°
5．（2022·四川南充·南充市实验中学校考模拟预测）如图，等腰直角△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D为AC边上一动点（不与A、C重合），过点A作AE垂直BD于点E，延长AE交BC的延长线于点F，连接CE，则 为（ ）
A．30°B．36°C．45°D．60°
6．（2022·贵州贵阳·统考二模）如图，在△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，若AQ＝PQ，PD＝PE，则下列结论：①AE＝AD；②∠B＝∠C；③∠BAP＝∠CAP；④△ABP≌△ACP．其中正确的有（ ）
A．①②B．①③C．①②④D．①③④
题型三：垂直平分线问题
7．（2022·贵州黔西·统考中考真题）在中，用尺规作图，分别以点A和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N．作直线交于点D，交于点E，连接．则下列结论不一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
8．（2022·山东淄博·统考中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°．分别以点A和C为圆心，以大于AC的长度为半径作弧，两弧相交于点P和点Q，作直线PQ分别交BC，AC于点D和点E．若CD=3，则BD的长为（ ）
A．4B．5C．6D．7
9．（2022·吉林长春·校考模拟预测）如图所示，AB＝AD，∠ABC＝∠ADC＝90°，则①AC平分∠BAD；②CA平分∠BCD；③AC垂直平分BD；④BD平分∠ABC，其中正确的结论有（ ）
A．①②B．①②③C．①②③④D．②③
题型四：直角三角形两角互余问题
10．（2022·吉林长春·统考中考真题）如图，在中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
11．（2022·陕西西安·校联考二模）如图，点是的垂直平分线与边的交点，作于点，若，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
12．（2022·海南省直辖县级单位·统考二模）如图，是的直径，点，在上，点是的中点，过点画的切线，交的延长线于点，连接．若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
题型五：含30°的直角三角形问题
13．（2022·四川绵阳·东辰国际学校校考模拟预测）如图，在中，，，，D为BC边上一个动点，过点D作于点E，于点F，连接，则的最小值为（ ）
A．B．2C．D．
14．（2022·浙江宁波·校考三模）两个直角三角板如图摆放，其中，，，且过点，点为中点，已知，则的长为（ ）
A．15B．C．D．
15．（2022·广东广州·广州市第一中学校考模拟预测）如图，点C在以AB为直径的半圆上，AB=2，∠CBA=30°，点D到线段AB上运动，点E与点D关于AC对称，DF⊥DE，DF交EC的延长线于点F，当点D从点A运动到点B时，线段EF扫过的面积是（ ）
A．B．C．D．
题型六：直角三角形斜边上中线问题
16．（2022·宁夏银川·校考一模）如图，在中，，是边的中点，是内一点，且 连接并延长，交于点若，则的长为（ ）
A．B．C．D．
17．（2022·浙江宁波·统考中考真题）如图，在中，D为斜边的中点，E为上一点，F为中点．若，，则的长为（ ）
A．B．3C．D．4
18．（2022·广西河池·统考三模）如图，在中，，，，D为AC边上的一个动点，连接BD，E为BD上的一个动点，连接AE，CE，当时，线段AE的最小值是（ ）
A．B．1C．2D．
题型七：直角.角平分和垂直平分综合问题
19．（2022·江苏连云港·校考三模）已知：如图，是的角平分线，，垂足分别为E、F．
(1)求证：垂直平分；
(2)若，求四边形的面积．
20．（2022·浙江温州·温州市第三中学校考模拟预测）如图，四边形是平行四边形，分别以，为边向外构造等边和等边，连接，，．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)若与交于点，且，，，求的面积．
21．（2022·四川南充·南充市实验中学校考模拟预测）如图，已知点E是射线上的一点，以、为边作正方形和正方形，连接，取的中点M，连接、．
(1)如图1，判断线段和的数量关系是______，位置关系是______；
(2)如图2，在图中的正方形绕点C逆时针旋转的过程中，其他条件不变，（1）中的结论是否成立？说明理由；
(3)已知，正方形绕点C旋转的过程中，当A、F、E共线时，直接写出的面积．
【必刷基础】
一、单选题
22．（2022·江苏苏州·模拟预测）如图，已知平分，，，，若，则为（ ）
A．B．C．D．
23．（2022·吉林长春·校考模拟预测）如图，在中，，，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交，于点M和N，再分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D，则下列说法中错误的是（ ）
A．点D在的中垂线上
B．
C．点D到两边的距离相等
D．
24．（2022·山东菏泽·菏泽一中校考模拟预测）如图，在中，，平分交AC于D，是的垂直平分线，若，则等于（ ）
A．B．C．D．
25．（2023秋·湖南张家界·九年级统考期末）如图，在中，的垂直平分线交于点O，交于点D，连接，下列结论错误的是（ ）
A．B．平分
C．D．
26．（2022·山东济南·模拟预测）如图，在中，，，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连结并延长交于点D，则下列说法中不正确的是（ ）
A．是的平分线B．
C．点D在的中垂线上D．
27．（2022·河北沧州·统考二模）如图，在菱形中，，点F为的中点，于E，则的长为（ ）
A．B．C．D．
28．（2022·四川南充·模拟预测）如图，在中，，，直角的顶点是的中点，将绕顶点旋转，两边，分别交，于点，．下列四个结论：①；②是等腰直角三角形；③；④．在旋转过程中，上述四个结论始终正确的有（ ）
A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④
29．（2022·贵州铜仁·模拟预测）如图，某温室屋顶结构外框为，立柱垂直平分横梁，，斜梁，为增大向阳面的面积，将立柱增高并改变位置，使屋顶结构外框变为点在的延长线上，立柱，如图所示，若，则斜梁增加部分的长为（ ）
A．B．C．D．
30．（2022·北京海淀·中关村中学校考模拟预测）如图，在中，平分，的垂直平分线分别交，，于点，F，G，连接，．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，，求的长．
31．（2022·四川德阳·德阳五中校考三模）如图，在四边形中，，于点O，点E是延长线上一点，，于点F．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若平分，，，求．
32．（2022·山东济南·济南育英中学校考模拟预测）如图1，在△ABC中，∠BAC的平分线AD与∠BCA的平分线CE交于点O．
(1)求证：∠AOC＝90°＋∠ABC；
(2)当∠ABC＝90°时，且AO＝3OD（如图2），判断线段AE，CD，AC之间的数量关系，并加以证明．
【必刷培优】
一、单选题
33．（2022·浙江台州·统考中考真题）如图，点在的边上，点在射线上（不与点，重合），连接，．下列命题中，假命题是（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
34．（2023·河北·九年级专题练习）如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点，连接，．给出下列说法：①；②垂直平分；③平分；④．其中正确的有（ ）
A．①②B．②③C．③④D．②④
35．（2022·云南昆明·昆明八中校考模拟预测）如图，是的角平分线，垂直平分，且交于点D，判断以下结论错误的是（ ）
A．B．C．是的平分线D．四边形是矩形
36．（2022秋·重庆丰都·九年级校考期中）如图，正方形的边长为6，点，分别在，上，，连接、，与相交于点，连接，取的中点，连接，则的长为（ ）
A．B．C．5D．
37．（2022·河北石家庄·校考模拟预测）如图，正方形中，与直线的夹角为，延长交直线于点，作正方形，延长交直线于点，作正方形，延长交直线于点，作正方形，依此规律，则（ ）
A．2B．3C．2D．2
二、填空题
38．（2022·广东东莞·东莞市光明中学校考一模）如图，在中．，平分交于，将沿所在直线折叠，使点A恰好与点重合，若，则的值为______．
39．（2022·湖南郴州·统考中考真题）如图．在中，，．以点A为圆心，以任意长为半径作弧交AB，AC于D，E两点；分别以点D，E为圆心，以大于长为半径作弧，在内两弧相交于点P；作射线AP交BC于点F，过点F作，垂足用G．若，则的周长等于________cm．
40．（2022·湖南永州·统考二模）如图，已知，是角平分线且，作的垂直平分线交于点F，作，则的周长为 ______．
41．（2022·宁夏银川·银川九中校考二模）如图，已知．以点为圆心，以适当长为半径画弧，交于点，交于点．分别以，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点．作射线交于点．分别以，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于，两点．作直线，交，分别于点，．根据以上作图，若，，，则的长是______．
42．（2022·山东青岛·山东省青岛第二十六中学校考二模）如图所示，在扇形中，，半径．点位于的处、且靠近点的位置，点、分别在线段、上，．为的中点．连接、．在滑动过程中（长度始终保持不变），当取最小值时，阴影部分的周长为___________．
43．（2022·湖北省直辖县级单位·校考一模）在直角坐标系中，直线与x轴交于点，以为边长作等边，过点作平行于x轴，交直线l于点，以为边长作等边，过点作平行于x轴，交直线l于点，以为边长作等边，…，则等边的边长是 _____．
44．（2022·河南郑州·河南省实验中学校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点，和分别在直线和x轴上，都是等腰直角三角形，如果点，那么点的纵坐标是______．
三、解答题
45．（2022秋·广东梅州·九年级校考开学考试）在中，，为延长线上一点，点为线段，的垂直平分线的交点，连接，，．
(1)如图1，当时，则______°；
(2)当时，
①如图2，连接，判断的形状，并证明；
②如图3，直线与交于点，满足．为直线上一动点．当的值最大时，用等式表示，与之间的数量关系为______，并证明．
46．（2022·江苏淮安·统考模拟预测）如图，中，，为中点，点在直线上（点不与点，重合），连接，过点作交直线于点，连接．
(1)如图1，当点与点重合时，请直接写出线段与的数量关系 ；
(2)如图2，当点不与点重合时，请写出线段，，之间的数量关系，并说明理由；
(3)若，，，请直接写出线段的长 ．
47．（2023·福建福州·统考一模）在中，，两条高，交于点H，F是的中点，连接并延长交边于点G．
(1)如图1，若是等边三角形．
①求证：；
②求的长．
(2)如图2，若，，求的面积．
48．（2023·湖北省直辖县级单位·校考一模）【基础巩固】
（1）如图1，在中，D，E，F分别为，，上的点，，，交于点G，求证：．
【尝试应用】
（2）如图2，在（1）的条件下，连接，．若，，，求的值．
【拓展提高】
（3）如图3，在中，，与交于点O，E为上一点，交于点G，交于点F．若，平分，，求的长．
参考答案：
1．D
【分析】作交于点E，作交于点F，连接，证明，再利用即可求出的长度．
【详解】解：作交于点E，作交于点F，连接，
∵平分，平分，
∴，
∵，即，
∴．
故选：D
【点睛】本题考查角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线的性质定理，证明．
2．B
【分析】由角平分线的性质可得DE=CD，在利用勾股定理即可求解．
【详解】解：∵AD平分，，于点E，
∴DE=CD=3，∠DEB=90°，
在Rt△DEB中，∠DEB=90°，DE=3，BD=4，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了角平分线的性质及勾股定理的应用，熟练掌握角平分线上的点到两边的距离相等及勾股定理是解题的关键．
3．C
【分析】过点E作EH⊥OA于点H，根据角平分线的性质可得EH＝EC，再根据平行线的性质可得∠ADE的度数，再根据含30°角的直角三角形的性质可得DE的长度，再证明OD＝DE，即可求出OD的长．
【详解】解：过点E作EH⊥OA于点H，如图所示：
∵OE平分∠AOB，EC⊥OB，
∴EH＝EC，
∵∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，
∴∠AOC＝2∠AOE＝30°，
∵DE∥OB，
∴∠ADE＝30°，
∴DE＝2HE＝2EC，
∵EC＝2，
∴DE＝4，
∵∠ADE＝30°，∠AOE＝15°，
∴∠DEO＝15°，
∴∠AOE＝∠DEO，
∴OD＝DE＝4，
故选：C．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，含30°角的直角三角形的性质，平行线的性质等，熟练掌握这些性质是解题的关键．
4．B
【分析】过点C作CH⊥BE于点H，CQ⊥DF于点Q，根据S△CDF＝S矩形ABCD，S△BCE＝S矩形ABCD，可得S△CDF＝S△BCE，然后证明点C在∠BGD的平分线上，进而可以解决问题．
【详解】解：如图，过点C作CH⊥BE于点H，CQ⊥DF于点Q，
∵S△CDF＝S矩形ABCD，S△BCE＝S矩形ABCD，
∴S△CDF＝S△BCE，
∴DF•CQ＝BE•CH，
∵BE＝FD，
∴CQ＝CH，
∵CH⊥BE，CQ⊥DF，
∴点C在∠BGD的平分线上，
∴∠BGC＝∠DGC．
∵∠FGB＝19°，
∴∠BGC＝（180°﹣19°）＝80.5°．
故选：B．
【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形的面积，角平分线的性质，解决本题的关键是得到∠BGC＝∠DGC．
5．C
【分析】如图所示，过点C作CH⊥AF于H，CG⊥BE于G，证明△AHC≌△BCG得到CH=CG，即可证明CE平分∠BEF，即可得到∠BEC= ．
【详解】解：如图所示，过点C作CH⊥AF于H，CG⊥BE于G，
∴∠AHC=∠BGC=90°，
∵∠ACB=90°，AF⊥BE，
∴∠AEB=∠BCD=∠BEF=90°，
又∵∠ADE=∠BDC，
∴∠CAH=∠CBG，
又∵AC=BC，
∴△AHC≌△BCG（AAS），
∴CH=CG，
∵CH⊥EF，CG⊥BE，
∴CE平分∠BEF，
∴∠BEC=．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，角平分线的判定，角平分线的定义，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键．
6．B
【分析】由，，，得出是的角平分线，则；由证得，得出；由是BC上的点，并没有说是中点，所以无法得出∠B=∠C，在和中，缺少全等条件，即可得出故②、④不正确．
【详解】解：，，，
是的角平分线，
，故③正确；
在和中，，
（HL），
，故①正确；
由是BC上的点，并没有说是中点，所以无法得出∠B=∠C，
在和中，缺少全等条件，故②、④不正确；
故选B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定、角平分线的判定、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
7．A
【分析】利用线段的垂直平分线的性质判断即可．
【详解】由作图可知，垂直平分线段，
∴，，，
故选项B，C，D正确，
故选：A．
【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质，正确掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．
8．C
【分析】连接AD，由作图知：DE是线段AC的垂直平分线，得到AD=CD=3，∠DAC=∠C=30°，求得∠BAD=90°，再利用含30度角的直角三角形的性质即可求解．
【详解】解：连接AD，
由作图知：DE是线段AC的垂直平分线，
∴AD=CD=3，
∴∠DAC=∠C，
∵AB=AC，∠A=120°，
∴∠B=∠C=30°，则∠DAC=∠C=30°，
∴∠BAD=120°-∠DAC=90°，
∴BD=2AD=6，
故选：C．
【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质．
9．B
【分析】本题的关键是证明Rt△ABC≌Rt△ADC，易求解．
【详解】解：在Rt△ABC和Rt△ADC中，AB＝AD，AC＝AC，所以Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）．
所以∠ACB＝∠ACD，∠BAC＝∠DAC，即AC平分∠BAD，CA平分∠BCD．
故①②正确；
在△ABD中，AB＝AD，∠BAO＝∠DAO，
所以BO＝DO，AO⊥BD，即AC垂直平分BD．
故③正确；
不能推出∠ABO＝∠CBO，故④不正确．
故选：B．
【点睛】此题主要考查线段的垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．难度一般．
10．B
【分析】根据尺规作图痕迹，可得DF垂直平分AB，BE是的角平分线，根据垂直平分线的性质和角平分线的定义，直角三角形两锐角互余，等边对等角的性质进行判断即可．
【详解】根据尺规作图痕迹，可得DF垂直平分AB，BE是的角平分线，
，
，
，
综上，正确的是A、C、D选项，
故选：B．
【点睛】本题考查了垂直平分线和角平分线的作图，垂直平分线的性质，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余，等边对等角的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
11．B
【分析】首先根据线段垂直平分线性质定理可得，其次根据等边对等角可得，再根据角的差可得。进而利用互余进行计算即可．
【详解】∵点是的垂直平分线与边的交点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，直角三角形两锐角互余，等腰三角形的性质与判定，根据角的差可得是解本题的关键．
12．D
【分析】根据切线的性质得到BA⊥AD，根据直角三角形的性质求出∠B，根据圆周角定理得到∠ACB=90°，进而求出∠BAC，根据垂径定理得到BA⊥EC，进而得出答案．
【详解】解：∵AD是⊙O的切线，
∴BA⊥AD，
∵∠ADB=58°，
∴∠B=90°-∠ADB=32°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠BAC=90°-∠B=58°，
∵点A是的中点，
∴BA⊥EC，
∴∠ACE=90°-∠BAC=32°，
故选：D．
【点睛】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、垂径定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
13．D
【分析】连接，取的中点O，连接，可得，从而得，，再求出的最小值，进而即可求解．
【详解】解：连接，取的中点O，连接，
∵中，，，
∴，
∵，
∴分别是斜边上的中线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即当最小时，的值最小，
∵当时，最小，此时，是等腰直角三角形，，
∴最小值，
故选D．
【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，添加合适的辅助线，构造顶角为的等腰三角形，是解题的关键．
14．B
【分析】过点作，过点作，证明四边形为矩形，可得，然后利用直角三角形的性质即可得出答案．
【详解】解：过点作，过点作，如图所示
∴四边形为矩形
即
，，点为中点
，
即为等边三角形
在直角中，
，
为等腰直角三角形
即
故选：B．
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，矩形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，灵活运用所学的知识是解本题的关键．
15．C
【分析】由题意画出图形，可知EF扫过的图形就是图中的阴影部分，线段EF扫过的面积是面积的2倍，继而求出答案．
【详解】如图，EF扫过的图形就是图中的阴影部分，线段EF扫过的面积是面积的2倍，
∵AB是半圆O的直径，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴线段EF扫过的面积是，
故选：C．
【点睛】此题考查了圆周角定理以及含30°角的直角三角形的性质，解题关键是掌握数形结合思想的应用．
16．D
【分析】依据直角三角形斜边上中线的性质，即可得到的长，再得到的长，进而得出的长．
【详解】解：是边的中点，且，
∴中，，
，，是边的中点，
是的中点，
可得，
，
又，
，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理、梯形的中位线定理、直角三角形斜边上中线的性质等知识，熟练掌握相关定理是解题的关键．
17．D
【分析】根据三角形中位线可以求得AE的长，再根据AE＝AD，可以得到AD的长，然后根据直角三角形斜边上的中线和斜边的关系，可以求得BD的长．
【详解】解：∵D为斜边AC的中点，F为CE中点，DF＝2，
∴AE＝2DF＝4，
∵AE＝AD，
∴AD＝4，
在Rt△ABC中，D为斜边AC的中点，
∴BD＝AC＝AD＝4，
故选：D．
【点睛】本题考查直角三角线斜边上的中线和斜边的关系、三角形的中位线，解答本题的关键是求出AD的长．
18．C
【分析】取BC的中点T，连接AT、ET，先证明，求出AT、ET，根据求解即可．
【详解】
取BC的中点T，连接AT、ET，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
线段AE的最小值是2，
故选：C．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，勾股定理等，熟练掌握知识点并准确作出辅助线是解题的关键．
19．(1)见解析
(2)四边形AEDF的面积为75
【分析】（1）先根据角平分线的性质得到，则证明得到，然后根据线段垂直平分线的判定定理得到结论；
（2）利用勾股定理求得，证明，利用相似三角形的性质求得，根据面积公式计算即可．
【详解】（1）证明：∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴垂直平分；
（2）解：∵垂直平分，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质以及角平分线的性质和线段垂直平分线的判断，关键是根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等解答．
20．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据平行四边形的性质和等边三角形的性质证得，即，进而利用平行四边形的判定即可得证；
（2）先求得，进而求得，，过G作于H，利用等腰直角三角形的性质和含角的直角三角形的性质求得、、，进而求得即可得所求面积．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵等边和等边，
∴，，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵，，
∴，又，
∴，
∴，，
∴，
过G作于H，
在中，，，，
∴，
中，，，
∴，
∴，
∴，
∴的面积为．
【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质、等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、含角的直角三角形的性质、平行线的判定与性质、三角形的内角和定理等知识，熟练掌握相关的知识的联系与运用，证得是解答 的关键．
21．(1)，
(2)结论成立：，
(3)满足条件的的面积为20或34．
【分析】（1）延长交于H，证明，得到，根据直角三角形的性质得到，等量代换得到答案；
（2）如图2中，延长使得，连接，延长交的延长线于N，交于O．利用全等三角形的性质，想办法证明是等腰直角三角形即可；
（3）分两种情形根据题意画出完整的图形，利用勾股定理解决问题即可．
【详解】（1）解：如图1，延长交于H，
∵，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，，
故答案为：，；
（2）解：结论成立：，，
理由：如图2中，延长使得，连接，延长交的延长线于N，交于O．
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴；
（3）①如图3-1中，连接．
在中，，
在中，，
∴，
∴，
在中，，
∴；
②如图3-2中，连接．
同法可得，，
∴，
综上所述，满足条件的的面积为20或34．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
22．C
【分析】过点P作于点E，根据平行线的性质得出，根据直角三角形的性质可得,由角平分线的性质可得出答案
【详解】过点P作于点E，且平分，，
∴，
∵，且，
∴，
∴在中有：，
故选：C
【点睛】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的性质及直角三角形的性质，辅助线的作出是解决本题的关键
23．D
【分析】由作图方法可知是的平分线，根据角平分线的性质、直角三角形的性质以及线段垂直平分线性质定理的逆定理逐项判断即可.
【详解】解：由图可知：是的平分线，
∴点D到的两边距离相等；C选项正确，不符合题意；
∵在中，，
∴
∴
∴
∴点D在的中垂线上；A选项正确，不符合题意；
∵，
∴；B选项正确，不符合题意；
∴，
∴；D选项错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了角平分线的尺规作图以及性质、线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质等知识点；熟练掌握上述基础知识是解题的关键．
24．B
【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，再根据等边对等角的性质求出，然后根据角平分线的定义与直角三角形两锐角互余求出，再根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半求出，然后求解即可．
【详解】解：∵点D在的垂直平分线上，
∴，
∴，
∵是角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，题目难度稍微复杂，熟记性质是解题的关键．
25．C
【分析】求出的度数即可判断A；求出和的度数，求出的度数，即可判断B；根据三角形面积即可判断C；证得是等腰三角形，，则可判断D．
【详解】解：A.∵，
∴，
∴，故选项A不符合题意；
B.∵是垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
∴是的角平分线，故选项B不符合题意；
C.过D作于E，则，
∵，
∴，
∵，，
∴，故选项C符合题意；
D.∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，故选项D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、线段垂直平分线性质、角平分线的性质以及三角形面积等知识；熟练掌握等腰三角形的判定与性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键．
26．D
【分析】A根据作图的过程可以判定是的角平分线；
B利用角平分线的定义可以推知，则由直角三角形的性质来求的度数；
C利用等角对等边可以证得，由线段垂直平分线的判定可以证明点D在的中垂线上；
D利用角所对的直角边是斜边的一半求出，进而可得．
【详解】解：根据作图方法可得是的平分线，故A正确；
∵，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，故B正确；
∵，
∴，
∴点D在的中垂线上，故C正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，故D错误，
故选：D．
【点睛】本题主要考查角平分线的尺规作图，角平分线的定义，等角对等边，线段垂直平分线的判定，含直角三角形的性质等知识，能够熟练通过尺规作图的痕迹得出是角平分线是解题关键．
27．C
【分析】连接，根据菱形的性质可得，则是等边三角形，根据等边三角形三线合一和勾股定理，求出的长度，最后根据含角的直角三角形，角所对的边是斜边的一半，即可求解．
【详解】解：如图，连接，
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵点F为的中点，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C。
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质以及勾股定理，解题的关键是掌握菱形四条边都相等，等边三角形三线合一，以及直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
28．D
【分析】根据等腰直角三角形的性质得：，平分．可证，，即证得与全等，根据全等三角形性质判断结论是否正确．
【详解】解：∵，直角的顶点P是的中点，
∴，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，故①正确；
∴是等腰直角三角形，故②正确；
∵是等腰直角三角形，P是的中点，
∴，
∵不一定是的中位线，
∴不一定成立，故③错误；
∵，
∴，
又∵，
∴，
即，故④正确．
故选：D．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的面积，掌握等腰直角三角形的性质是解题的关键．
29．D
【分析】根据已知条件证明，得到，即可得解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵垂直平分横梁，
∴，
∵，，
∴
∴，
解得，
∴，
故选D．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，含30度角的直角三角形的性质，证明，得到是解题的关键．
30．(1)见解析
(2)
【分析】(1)由角平分线的定义和垂直平分线的性质可证，可得，，由菱形的判定定理可证得结论；
(2)过点D作，由菱形的性质可得，，由直角三角形的性质可得，，据此即可求得的长．
【详解】（1）证明：平分，
，
垂直平分，
，，
，，
，
，，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是茥形；
（2）解: 如图， 过点D作，
四边形是菱形，
，
，
又，
，，
又，，
，
，
．
【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，角平分线的定义，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，熟练运用菱形的判定和性质是解决本题的关键．
31．(1)证明见解析
(2)33
【分析】（1）先证明它是平行四边形，再证明是菱形；
（2）先设，再用x表示AE，利用勾股定理建立方程即可求解．
(1)
∵，于点O，
∴，
∵，
∴四边形AECD是平行四边形，
由AD=CD，
∴四边形AECD是菱形．
(2)
如图，∵于点F，
∴∠AFC=90°，
又∵AC⊥BD，
∴∠BOA=90°，
∵平分，，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∴设，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∵菱形AECD中，OD=OE，
∴，
∴．
．
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质等内容，解题关键是牢记相关概念，能利用勾股定理建立方程．
32．(1)见解析
(2)AE+CD=AC，证明见解析
【分析】（1）求出∠BAC+∠BCA=180°-∠ABC，根据角平分线定义求出∠OAC=∠BAC，∠OCA=∠BCA，即可求出∠OAC+∠OCA的度数，根据三角形内角和定理求出即可；
（3）在AC上分别截取AM、CN，使AM=AE，CN=CD，连接OM，ON，证△AEO≌△AMO，△DCO≌△NCO，推出∠EOA=∠MOA，∠CON=∠COD，OD=ON，求出∠MON=∠MOA=45°，根据角平分线性质求出MK=ML，据此计算即可求解．
【详解】（1）证明：∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，
∴∠BAC+∠BCA=180°-∠ABC，
∵∠BAC的平分线AD与∠BCA的平分线CE交于点O．
∴∠OAC=∠BAC，∠OCA=∠BCA，
∴∠OAC+∠OCA=（∠BAC+∠BCA）=（180°-∠ABC）=90°-∠ABC，
∴∠AOC=180°-（∠OAC+∠OCA）=180°-（90°-∠ABC），
即∠AOC=90°+∠ABC；
（2）解：AE+CD=AC，
证明：如图2，∵∠AOC=90°+∠ABC=135°，
∴∠EOA=45°，
在AC上分别截取AM、CN，使AM=AE，CN=CD，连接OM，ON，
则在△AEO和△AMO中，，
∴△AEO≌△AMO，
同理△DCO≌△NCO，
∴∠EOA=∠MOA，∠CON=∠COD，OD=ON，
∴∠EOA=∠MOA=∠CON=∠COD=45°，
∴∠MON=∠MOA=45°，
过M作MK⊥AD于K，ML⊥ON于L，
∴MK=ML，
S△AOM=AO×MK，S△MON=ON×ML，
∴，
∵，
∴，
∵AO=3OD，
∴，
∴，
∴AN=AM=AE，
∵AN+NC=AC，
∴AE+CD=AC．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线定义和性质，三角形的面积，三角形内角和定理的应用，熟练掌握各性质定理是解答此题的关键．
33．D
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质证明PD是否是BC的垂直平分线，判断即可．
【详解】因为AB=AC，且AD⊥BC，得AP是BC的垂直平分线，所以PB=PC，则A是真命题；
因为PB=PC，且AD⊥BC，得AP是BC的垂直平分线，所以AB=AC，则B是真命题；
因为AB=AC，且∠1=∠2，得AP是BC的垂直平分线，所以PB=PC，则C是真命题；
因为PB=PC，△BCP是等腰三角形，∠1=∠2，不能判断AP是BC的垂直平分线，所以AB和AC不一定相等，则D是假命题．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，掌握性质定理是解题的关键．
34．A
【分析】由尺规作图过程，即为的角平分线，由此可判断说法是否正确．
【详解】解：由尺规作图过程，可知即为的角平分线，
，
为等腰三角形，
垂直平分，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了尺规作图及垂直平分线到两端点的距离相等，本题的关键在于熟悉尺规作图的过程．
35．D
【分析】根据角平分线，可以的∠MAP=∠NAP，根据垂直平分线，可以证AN=PN，MA=PM，再证明出四边形AMPN为菱形即可得出结果．
【详解】解：∵垂直平分，
∴，，
∵平分，∴，
∵，∴，
∴，∴，
同理可知，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴平行四边形是菱形，
∴，是的平分线．
综上所述，选项A、B、C结论正确，不符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查角平分线、垂直平分线的性质、矩形的判断等，灵活运用角平分线和垂直平分线的性质是解题的关键．
36．B
【分析】根据先证明，进而得，用勾股定理求得，便可得．
【详解】解：四边形为正方形，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
点为的中点，
，
，，
，
，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是证明．
37．A
【分析】由四边形是正方形，得到，于是得到，根据平行线的性质得到，解直角三角形得到，同理：，找出规律，答案即可求出．
【详解】解：四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
同理：，
，
，
．
故选：A．
【点睛】本题考查了正方形的性质，含直角三角形的性质，平行线的性质的综合应用，求出后一个正方形的边长是前一个正方形的边长的倍是解题的关键．
38．
【分析】根据平分交于，将沿所在直线折叠，使点A恰好与点重合，可得，又，即得，从而，在中，．
【详解】解：平分交于，
，
将沿所在直线折叠，使点A恰好与点重合，
，
，
，
，
，
在中，，
在中，，
故答案为：．
【点睛】本题考查直角三角形中的翻折问题、角平分线，解题的关键是掌握翻折的性质，熟练应用含角的直角三角形三边关系．
39．8
【分析】由角平分线的性质，得到，然后求出的周长即可．
【详解】解：根据题意，
在中，，，
由角平分线的性质，得，
∴的周长为：
；
故答案为：8
【点睛】本题考查了角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线的性质．
40．
【分析】根据含30°角的直角三角形的性质求出、根据勾股定理求出，根据线段垂直平分线的性质、三角形的周长公式计算，得到答案．
【详解】解：∵，是角平分线，
∴，
在中，，
∴，
由勾股定理得：，
∵的垂直平分线交于点F，
∴，
∴的垂直，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是直角三角形的性质、勾股定理、线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
41．####
【分析】根据做法得平分，垂直平分，所以，，，再证明四边形为菱形得到，再利用平行线分线段成比例定理计算的长．
【详解】解：由题可知，平分，垂直平分，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
∴四边形为平行四边形，
又，
∴四边形为菱形，
∴，
∵，
∴，即，
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了作图——复杂作图，解题的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
42．
【分析】连接，，，取的中点，连接，求出弧的长，再求出当，，共线时，的值最小，此时点与点重合，分别求出，的长．
【详解】解：如图，连接，，，取的中点，连接．
，，
，
的长，
，
，
，
，
当，，共线时，的值最小，此时点与点重合，
此时，
，，
是等边三角形，
，
，
，
此时阴影部分的周长为．
故答案为：．
【点睛】本题考查弧长，线段最小值问题，解题的关键是明确当，，共线时，的值最小，此时点与点重合．
43．
【分析】由直线l：，得的边长为1，直线与x轴的夹角为30°，根据直角三角形的性质，得的边长是2，以此类推，可得边长是，进而即可求解．
【详解】解：∵直线l：与x轴交于点，
∴，
∴的边长为1，
∵直线与x轴的夹角为30°（可通过该直线与坐标轴的交点求出），，
∴．
∵轴，
∴，
∴的边长是2，
同理可得：的边长是，
以此类推：边长是，
∴的边长是．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查一次函数图象和三角形的综合，掌握一次函数的图象和性质以及含30°角直角三角形的性质，是解题的关键．
44．
【分析】把代入，求出函数解析式，分别过点作垂直x轴，垂足分别为D，E，则，设，根据等腰直角三角形的性质可得，，从而得到，继而得到点的纵坐标为，同理点的纵坐标为，点的纵坐标为，……由此发现规律，进而解题．
【详解】解：∵在直线，
∴，即，
∴该函数解析式为，
如图，分别过点作垂直x轴，垂足分别为D，E，则，
设，
∵都是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，解得：，
∴，即点的纵坐标为，
同理点的纵坐标为，
点的纵坐标为，
……
由此发现，的纵坐标为，
∴点的纵坐标是．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了 一次函数点坐标特点，等腰直角三角形的性质，准确得到规律是解题的关键．
45．(1)100；
(2)①时等边三角形，证明见解析；
②．证明见解析．
【分析】（1）利用线段的垂直平分线的性质以及三角形内角和定理，四边形内角和定理解决问题即可；
（2）①时等边三角形，证明，即可；②结论：．如图，作点关于直线的对称点，连接，，．当点在的延长线上时，的值最大，此时，利用全等三角形的性质证明，可得结论．
【详解】（1）解：∵点为线段，的垂直平分线的交点，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：100．
（2）解：①结论：时等边三角形．
理由：∵点是线段，的垂直平分线的交点，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴时等边三角形；
②结论：．
理由：如图，作点关于直线的对称点，连接，，．
∵
则，点在的延长线上时，的值最大，此时，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴时等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴（SAS），
∴，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．
46．(1)EF＝BE；
(2)，理由见解析；
(3)或1．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质可得结论；
（2）如图2中，过点A作AJ⊥AC交ED的延长线于J，连接FJ．证明△AJD≌△BED（AAS），推出AJ＝BE，DJ＝DE，再证明FJ＝EF，根据勾股定理可得结论；
（3）分两种情形：如图3−1中，当点E在线段BC上时，如图3−2中，当点E在线段BC的延长线上时，设AF＝x，则CF＝5−x，根据（2）中结论和勾股定理构建方程求解即可．
（1）
解：∵AD＝DB，，点与点A重合，
∴ED垂直平分FB，
∴EF＝BE，
故答案为：EF＝BE；
（2）
结论：；
理由：如图2中，过点A作AJ⊥AC交ED的延长线于J，连接FJ．
∵AJ⊥AC，EC⊥AC，
∴AJBE，
∴∠AJD＝∠DEB，
在△AJD和△BED中，，
∴△AJD≌△BED（AAS），
∴AJ＝BE，DJ＝DE，
∵DF⊥EJ，
∴FJ＝EF，
∵∠FAJ＝90°，
∴，
∴；
（3）
解：如图3−1中，当点E在线段BC上时，设AF＝x，则CF＝5−x，
∵BC＝3，CE＝1，
∴BE＝2，
∵，
∴，
解得：x＝，即AF＝；
如图3−2中，当点E在线段BC的延长线上时，设AF＝x，则CF＝5−x，
∵BC＝3，CE＝1，
∴BE＝4，
∵，
∴，
解得：x＝1，即AF＝1，
综上所述，满足条件的AF的长为或1，
故答案为：或1．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．
47．(1)①见解析；②；
(2)．
【分析】（1）①根据等边三角形的性质可得， 从而得到，，即可；②过点作交于点，可得，，从而得到，，进而得到，即可；
（2）过点作交于点，可得，，从而得到，进而得到，再证明，根据相似三角形的性质，即可求解．
【详解】（1）①证明：，是等边三角形的高，
，，，分别平分和，
，
，，
；
②解：过点作交于点，
，，
，，
，是的中点，
，，
，，
，
，等边三角形的边长为8，
，
；
（2）解：过点作交于点，
，，
，，
∵是的中点，
∴，
，
，
．
，
，
．
，
，，
．
，，
，
，
，
即，
，
．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质是解题的关键．
48．（1）见解析；（2）；（3）
【分析】（1）利用，证明，，利用相似三角形的性质可证得，结合可的结论；
（2）由（1）得，，根据垂直平分线的性质可得，依据的性质即可求出 的值；
（3）遵循第（1）、（2）小问的思路，延长交于M，连接，过点M作于N，根据角平分线和等腰三角形性质构造出含、角的特殊直角三角形，求出、的值，即可得出的长．
【详解】（1）证明：∵，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：延长交于M，连接，过点M作于N，
∵四边形为平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
一：角平分线
（1）角平分线的性质：在角平分线上的点到角的两边的距离相等
（2）角平分线推论（或称判定）：角的内部到角的两边的距离相等的点在叫的平分线上。
二：直角三角形
8.直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
9．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
三、最短路径为题：
如图1，已知点A、B在直线l的同侧，现在l上求一点C，使CA＋CB最小，作法如下：
作点B（或点A）关于l的对称点B，连接AB，交l于C，则点C就可使AC+BC最短。
四：垂直平分线
（1）线段垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离相等。
（2）与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
【题型探究】
题型一：角平分线的性质
1．（2022·山东济南·校考模拟预测）如图，在中，，的平分线交于点，于，如果，，，且，那么的长度是（ ）
A．2B．3C．4D．5
2．（2022·云南昆明·云大附中校考模拟预测）如图，在中，，AD平分，于点E，若，则BE的长为（ ）
A．5B．C．D．2
3．（2022·内蒙古鄂尔多斯·统考中考真题）如图，∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，DE∥OB交OA于点D，EC⊥OB，垂足为C．若EC＝2，则OD的长为（ ）
A．2B．2C．4D．4+2
题型二：角平分线的判定
4．（2022·河北·一模）如图，E、F分别为矩形ABCD边AB、AD上的两点，BE、DF相交于G点，且BE＝FD，∠FGB＝19°，则∠BGC＝（ ）
A．71°B．80.5°C．81°D．71.5°
5．（2022·四川南充·南充市实验中学校考模拟预测）如图，等腰直角△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D为AC边上一动点（不与A、C重合），过点A作AE垂直BD于点E，延长AE交BC的延长线于点F，连接CE，则 为（ ）
A．30°B．36°C．45°D．60°
6．（2022·贵州贵阳·统考二模）如图，在△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，若AQ＝PQ，PD＝PE，则下列结论：①AE＝AD；②∠B＝∠C；③∠BAP＝∠CAP；④△ABP≌△ACP．其中正确的有（ ）
A．①②B．①③C．①②④D．①③④
题型三：垂直平分线问题
7．（2022·贵州黔西·统考中考真题）在中，用尺规作图，分别以点A和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N．作直线交于点D，交于点E，连接．则下列结论不一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
8．（2022·山东淄博·统考中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°．分别以点A和C为圆心，以大于AC的长度为半径作弧，两弧相交于点P和点Q，作直线PQ分别交BC，AC于点D和点E．若CD=3，则BD的长为（ ）
A．4B．5C．6D．7
9．（2022·吉林长春·校考模拟预测）如图所示，AB＝AD，∠ABC＝∠ADC＝90°，则①AC平分∠BAD；②CA平分∠BCD；③AC垂直平分BD；④BD平分∠ABC，其中正确的结论有（ ）
A．①②B．①②③C．①②③④D．②③
题型四：直角三角形两角互余问题
10．（2022·吉林长春·统考中考真题）如图，在中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
11．（2022·陕西西安·校联考二模）如图，点是的垂直平分线与边的交点，作于点，若，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
12．（2022·海南省直辖县级单位·统考二模）如图，是的直径，点，在上，点是的中点，过点画的切线，交的延长线于点，连接．若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
题型五：含30°的直角三角形问题
13．（2022·四川绵阳·东辰国际学校校考模拟预测）如图，在中，，，，D为BC边上一个动点，过点D作于点E，于点F，连接，则的最小值为（ ）
A．B．2C．D．
14．（2022·浙江宁波·校考三模）两个直角三角板如图摆放，其中，，，且过点，点为中点，已知，则的长为（ ）
A．15B．C．D．
15．（2022·广东广州·广州市第一中学校考模拟预测）如图，点C在以AB为直径的半圆上，AB=2，∠CBA=30°，点D到线段AB上运动，点E与点D关于AC对称，DF⊥DE，DF交EC的延长线于点F，当点D从点A运动到点B时，线段EF扫过的面积是（ ）
A．B．C．D．
题型六：直角三角形斜边上中线问题
16．（2022·宁夏银川·校考一模）如图，在中，，是边的中点，是内一点，且 连接并延长，交于点若，则的长为（ ）
A．B．C．D．
17．（2022·浙江宁波·统考中考真题）如图，在中，D为斜边的中点，E为上一点，F为中点．若，，则的长为（ ）
A．B．3C．D．4
18．（2022·广西河池·统考三模）如图，在中，，，，D为AC边上的一个动点，连接BD，E为BD上的一个动点，连接AE，CE，当时，线段AE的最小值是（ ）
A．B．1C．2D．
题型七：直角.角平分和垂直平分综合问题
19．（2022·江苏连云港·校考三模）已知：如图，是的角平分线，，垂足分别为E、F．
(1)求证：垂直平分；
(2)若，求四边形的面积．
20．（2022·浙江温州·温州市第三中学校考模拟预测）如图，四边形是平行四边形，分别以，为边向外构造等边和等边，连接，，．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)若与交于点，且，，，求的面积．
21．（2022·四川南充·南充市实验中学校考模拟预测）如图，已知点E是射线上的一点，以、为边作正方形和正方形，连接，取的中点M，连接、．
(1)如图1，判断线段和的数量关系是______，位置关系是______；
(2)如图2，在图中的正方形绕点C逆时针旋转的过程中，其他条件不变，（1）中的结论是否成立？说明理由；
(3)已知，正方形绕点C旋转的过程中，当A、F、E共线时，直接写出的面积．
【必刷基础】
一、单选题
22．（2022·江苏苏州·模拟预测）如图，已知平分，，，，若，则为（ ）
A．B．C．D．
23．（2022·吉林长春·校考模拟预测）如图，在中，，，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交，于点M和N，再分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D，则下列说法中错误的是（ ）
A．点D在的中垂线上
B．
C．点D到两边的距离相等
D．
24．（2022·山东菏泽·菏泽一中校考模拟预测）如图，在中，，平分交AC于D，是的垂直平分线，若，则等于（ ）
A．B．C．D．
25．（2023秋·湖南张家界·九年级统考期末）如图，在中，的垂直平分线交于点O，交于点D，连接，下列结论错误的是（ ）
A．B．平分
C．D．
26．（2022·山东济南·模拟预测）如图，在中，，，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连结并延长交于点D，则下列说法中不正确的是（ ）
A．是的平分线B．
C．点D在的中垂线上D．
27．（2022·河北沧州·统考二模）如图，在菱形中，，点F为的中点，于E，则的长为（ ）
A．B．C．D．
28．（2022·四川南充·模拟预测）如图，在中，，，直角的顶点是的中点，将绕顶点旋转，两边，分别交，于点，．下列四个结论：①；②是等腰直角三角形；③；④．在旋转过程中，上述四个结论始终正确的有（ ）
A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④
29．（2022·贵州铜仁·模拟预测）如图，某温室屋顶结构外框为，立柱垂直平分横梁，，斜梁，为增大向阳面的面积，将立柱增高并改变位置，使屋顶结构外框变为点在的延长线上，立柱，如图所示，若，则斜梁增加部分的长为（ ）
A．B．C．D．
30．（2022·北京海淀·中关村中学校考模拟预测）如图，在中，平分，的垂直平分线分别交，，于点，F，G，连接，．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，，求的长．
31．（2022·四川德阳·德阳五中校考三模）如图，在四边形中，，于点O，点E是延长线上一点，，于点F．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若平分，，，求．
32．（2022·山东济南·济南育英中学校考模拟预测）如图1，在△ABC中，∠BAC的平分线AD与∠BCA的平分线CE交于点O．
(1)求证：∠AOC＝90°＋∠ABC；
(2)当∠ABC＝90°时，且AO＝3OD（如图2），判断线段AE，CD，AC之间的数量关系，并加以证明．
【必刷培优】
一、单选题
33．（2022·浙江台州·统考中考真题）如图，点在的边上，点在射线上（不与点，重合），连接，．下列命题中，假命题是（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
34．（2023·河北·九年级专题练习）如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点，连接，．给出下列说法：①；②垂直平分；③平分；④．其中正确的有（ ）
A．①②B．②③C．③④D．②④
35．（2022·云南昆明·昆明八中校考模拟预测）如图，是的角平分线，垂直平分，且交于点D，判断以下结论错误的是（ ）
A．B．C．是的平分线D．四边形是矩形
36．（2022秋·重庆丰都·九年级校考期中）如图，正方形的边长为6，点，分别在，上，，连接、，与相交于点，连接，取的中点，连接，则的长为（ ）
A．B．C．5D．
37．（2022·河北石家庄·校考模拟预测）如图，正方形中，与直线的夹角为，延长交直线于点，作正方形，延长交直线于点，作正方形，延长交直线于点，作正方形，依此规律，则（ ）
A．2B．3C．2D．2
二、填空题
38．（2022·广东东莞·东莞市光明中学校考一模）如图，在中．，平分交于，将沿所在直线折叠，使点A恰好与点重合，若，则的值为______．
39．（2022·湖南郴州·统考中考真题）如图．在中，，．以点A为圆心，以任意长为半径作弧交AB，AC于D，E两点；分别以点D，E为圆心，以大于长为半径作弧，在内两弧相交于点P；作射线AP交BC于点F，过点F作，垂足用G．若，则的周长等于________cm．
40．（2022·湖南永州·统考二模）如图，已知，是角平分线且，作的垂直平分线交于点F，作，则的周长为 ______．
41．（2022·宁夏银川·银川九中校考二模）如图，已知．以点为圆心，以适当长为半径画弧，交于点，交于点．分别以，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点．作射线交于点．分别以，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于，两点．作直线，交，分别于点，．根据以上作图，若，，，则的长是______．
42．（2022·山东青岛·山东省青岛第二十六中学校考二模）如图所示，在扇形中，，半径．点位于的处、且靠近点的位置，点、分别在线段、上，．为的中点．连接、．在滑动过程中（长度始终保持不变），当取最小值时，阴影部分的周长为___________．
43．（2022·湖北省直辖县级单位·校考一模）在直角坐标系中，直线与x轴交于点，以为边长作等边，过点作平行于x轴，交直线l于点，以为边长作等边，过点作平行于x轴，交直线l于点，以为边长作等边，…，则等边的边长是 _____．
44．（2022·河南郑州·河南省实验中学校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点，和分别在直线和x轴上，都是等腰直角三角形，如果点，那么点的纵坐标是______．
三、解答题
45．（2022秋·广东梅州·九年级校考开学考试）在中，，为延长线上一点，点为线段，的垂直平分线的交点，连接，，．
(1)如图1，当时，则______°；
(2)当时，
①如图2，连接，判断的形状，并证明；
②如图3，直线与交于点，满足．为直线上一动点．当的值最大时，用等式表示，与之间的数量关系为______，并证明．
46．（2022·江苏淮安·统考模拟预测）如图，中，，为中点，点在直线上（点不与点，重合），连接，过点作交直线于点，连接．
(1)如图1，当点与点重合时，请直接写出线段与的数量关系 ；
(2)如图2，当点不与点重合时，请写出线段，，之间的数量关系，并说明理由；
(3)若，，，请直接写出线段的长 ．
47．（2023·福建福州·统考一模）在中，，两条高，交于点H，F是的中点，连接并延长交边于点G．
(1)如图1，若是等边三角形．
①求证：；
②求的长．
(2)如图2，若，，求的面积．
48．（2023·湖北省直辖县级单位·校考一模）【基础巩固】
（1）如图1，在中，D，E，F分别为，，上的点，，，交于点G，求证：．
【尝试应用】
（2）如图2，在（1）的条件下，连接，．若，，，求的值．
【拓展提高】
（3）如图3，在中，，与交于点O，E为上一点，交于点G，交于点F．若，平分，，求的长．
参考答案：
1．D
【分析】作交于点E，作交于点F，连接，证明，再利用即可求出的长度．
【详解】解：作交于点E，作交于点F，连接，
∵平分，平分，
∴，
∵，即，
∴．
故选：D
【点睛】本题考查角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线的性质定理，证明．
2．B
【分析】由角平分线的性质可得DE=CD，在利用勾股定理即可求解．
【详解】解：∵AD平分，，于点E，
∴DE=CD=3，∠DEB=90°，
在Rt△DEB中，∠DEB=90°，DE=3，BD=4，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了角平分线的性质及勾股定理的应用，熟练掌握角平分线上的点到两边的距离相等及勾股定理是解题的关键．
3．C
【分析】过点E作EH⊥OA于点H，根据角平分线的性质可得EH＝EC，再根据平行线的性质可得∠ADE的度数，再根据含30°角的直角三角形的性质可得DE的长度，再证明OD＝DE，即可求出OD的长．
【详解】解：过点E作EH⊥OA于点H，如图所示：
∵OE平分∠AOB，EC⊥OB，
∴EH＝EC，
∵∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，
∴∠AOC＝2∠AOE＝30°，
∵DE∥OB，
∴∠ADE＝30°，
∴DE＝2HE＝2EC，
∵EC＝2，
∴DE＝4，
∵∠ADE＝30°，∠AOE＝15°，
∴∠DEO＝15°，
∴∠AOE＝∠DEO，
∴OD＝DE＝4，
故选：C．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，含30°角的直角三角形的性质，平行线的性质等，熟练掌握这些性质是解题的关键．
4．B
【分析】过点C作CH⊥BE于点H，CQ⊥DF于点Q，根据S△CDF＝S矩形ABCD，S△BCE＝S矩形ABCD，可得S△CDF＝S△BCE，然后证明点C在∠BGD的平分线上，进而可以解决问题．
【详解】解：如图，过点C作CH⊥BE于点H，CQ⊥DF于点Q，
∵S△CDF＝S矩形ABCD，S△BCE＝S矩形ABCD，
∴S△CDF＝S△BCE，
∴DF•CQ＝BE•CH，
∵BE＝FD，
∴CQ＝CH，
∵CH⊥BE，CQ⊥DF，
∴点C在∠BGD的平分线上，
∴∠BGC＝∠DGC．
∵∠FGB＝19°，
∴∠BGC＝（180°﹣19°）＝80.5°．
故选：B．
【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形的面积，角平分线的性质，解决本题的关键是得到∠BGC＝∠DGC．
5．C
【分析】如图所示，过点C作CH⊥AF于H，CG⊥BE于G，证明△AHC≌△BCG得到CH=CG，即可证明CE平分∠BEF，即可得到∠BEC= ．
【详解】解：如图所示，过点C作CH⊥AF于H，CG⊥BE于G，
∴∠AHC=∠BGC=90°，
∵∠ACB=90°，AF⊥BE，
∴∠AEB=∠BCD=∠BEF=90°，
又∵∠ADE=∠BDC，
∴∠CAH=∠CBG，
又∵AC=BC，
∴△AHC≌△BCG（AAS），
∴CH=CG，
∵CH⊥EF，CG⊥BE，
∴CE平分∠BEF，
∴∠BEC=．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，角平分线的判定，角平分线的定义，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键．
6．B
【分析】由，，，得出是的角平分线，则；由证得，得出；由是BC上的点，并没有说是中点，所以无法得出∠B=∠C，在和中，缺少全等条件，即可得出故②、④不正确．
【详解】解：，，，
是的角平分线，
，故③正确；
在和中，，
（HL），
，故①正确；
由是BC上的点，并没有说是中点，所以无法得出∠B=∠C，
在和中，缺少全等条件，故②、④不正确；
故选B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定、角平分线的判定、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
7．A
【分析】利用线段的垂直平分线的性质判断即可．
【详解】由作图可知，垂直平分线段，
∴，，，
故选项B，C，D正确，
故选：A．
【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质，正确掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．
8．C
【分析】连接AD，由作图知：DE是线段AC的垂直平分线，得到AD=CD=3，∠DAC=∠C=30°，求得∠BAD=90°，再利用含30度角的直角三角形的性质即可求解．
【详解】解：连接AD，
由作图知：DE是线段AC的垂直平分线，
∴AD=CD=3，
∴∠DAC=∠C，
∵AB=AC，∠A=120°，
∴∠B=∠C=30°，则∠DAC=∠C=30°，
∴∠BAD=120°-∠DAC=90°，
∴BD=2AD=6，
故选：C．
【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质．
9．B
【分析】本题的关键是证明Rt△ABC≌Rt△ADC，易求解．
【详解】解：在Rt△ABC和Rt△ADC中，AB＝AD，AC＝AC，所以Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）．
所以∠ACB＝∠ACD，∠BAC＝∠DAC，即AC平分∠BAD，CA平分∠BCD．
故①②正确；
在△ABD中，AB＝AD，∠BAO＝∠DAO，
所以BO＝DO，AO⊥BD，即AC垂直平分BD．
故③正确；
不能推出∠ABO＝∠CBO，故④不正确．
故选：B．
【点睛】此题主要考查线段的垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．难度一般．
10．B
【分析】根据尺规作图痕迹，可得DF垂直平分AB，BE是的角平分线，根据垂直平分线的性质和角平分线的定义，直角三角形两锐角互余，等边对等角的性质进行判断即可．
【详解】根据尺规作图痕迹，可得DF垂直平分AB，BE是的角平分线，
，
，
，
综上，正确的是A、C、D选项，
故选：B．
【点睛】本题考查了垂直平分线和角平分线的作图，垂直平分线的性质，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余，等边对等角的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
11．B
【分析】首先根据线段垂直平分线性质定理可得，其次根据等边对等角可得，再根据角的差可得。进而利用互余进行计算即可．
【详解】∵点是的垂直平分线与边的交点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，直角三角形两锐角互余，等腰三角形的性质与判定，根据角的差可得是解本题的关键．
12．D
【分析】根据切线的性质得到BA⊥AD，根据直角三角形的性质求出∠B，根据圆周角定理得到∠ACB=90°，进而求出∠BAC，根据垂径定理得到BA⊥EC，进而得出答案．
【详解】解：∵AD是⊙O的切线，
∴BA⊥AD，
∵∠ADB=58°，
∴∠B=90°-∠ADB=32°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠BAC=90°-∠B=58°，
∵点A是的中点，
∴BA⊥EC，
∴∠ACE=90°-∠BAC=32°，
故选：D．
【点睛】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、垂径定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
13．D
【分析】连接，取的中点O，连接，可得，从而得，，再求出的最小值，进而即可求解．
【详解】解：连接，取的中点O，连接，
∵中，，，
∴，
∵，
∴分别是斜边上的中线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即当最小时，的值最小，
∵当时，最小，此时，是等腰直角三角形，，
∴最小值，
故选D．
【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，添加合适的辅助线，构造顶角为的等腰三角形，是解题的关键．
14．B
【分析】过点作，过点作，证明四边形为矩形，可得，然后利用直角三角形的性质即可得出答案．
【详解】解：过点作，过点作，如图所示
∴四边形为矩形
即
，，点为中点
，
即为等边三角形
在直角中，
，
为等腰直角三角形
即
故选：B．
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，矩形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，灵活运用所学的知识是解本题的关键．
15．C
【分析】由题意画出图形，可知EF扫过的图形就是图中的阴影部分，线段EF扫过的面积是面积的2倍，继而求出答案．
【详解】如图，EF扫过的图形就是图中的阴影部分，线段EF扫过的面积是面积的2倍，
∵AB是半圆O的直径，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴线段EF扫过的面积是，
故选：C．
【点睛】此题考查了圆周角定理以及含30°角的直角三角形的性质，解题关键是掌握数形结合思想的应用．
16．D
【分析】依据直角三角形斜边上中线的性质，即可得到的长，再得到的长，进而得出的长．
【详解】解：是边的中点，且，
∴中，，
，，是边的中点，
是的中点，
可得，
，
又，
，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理、梯形的中位线定理、直角三角形斜边上中线的性质等知识，熟练掌握相关定理是解题的关键．
17．D
【分析】根据三角形中位线可以求得AE的长，再根据AE＝AD，可以得到AD的长，然后根据直角三角形斜边上的中线和斜边的关系，可以求得BD的长．
【详解】解：∵D为斜边AC的中点，F为CE中点，DF＝2，
∴AE＝2DF＝4，
∵AE＝AD，
∴AD＝4，
在Rt△ABC中，D为斜边AC的中点，
∴BD＝AC＝AD＝4，
故选：D．
【点睛】本题考查直角三角线斜边上的中线和斜边的关系、三角形的中位线，解答本题的关键是求出AD的长．
18．C
【分析】取BC的中点T，连接AT、ET，先证明，求出AT、ET，根据求解即可．
【详解】
取BC的中点T，连接AT、ET，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
线段AE的最小值是2，
故选：C．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，勾股定理等，熟练掌握知识点并准确作出辅助线是解题的关键．
19．(1)见解析
(2)四边形AEDF的面积为75
【分析】（1）先根据角平分线的性质得到，则证明得到，然后根据线段垂直平分线的判定定理得到结论；
（2）利用勾股定理求得，证明，利用相似三角形的性质求得，根据面积公式计算即可．
【详解】（1）证明：∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴垂直平分；
（2）解：∵垂直平分，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质以及角平分线的性质和线段垂直平分线的判断，关键是根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等解答．
20．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据平行四边形的性质和等边三角形的性质证得，即，进而利用平行四边形的判定即可得证；
（2）先求得，进而求得，，过G作于H，利用等腰直角三角形的性质和含角的直角三角形的性质求得、、，进而求得即可得所求面积．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵等边和等边，
∴，，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵，，
∴，又，
∴，
∴，，
∴，
过G作于H，
在中，，，，
∴，
中，，，
∴，
∴，
∴，
∴的面积为．
【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质、等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、含角的直角三角形的性质、平行线的判定与性质、三角形的内角和定理等知识，熟练掌握相关的知识的联系与运用，证得是解答 的关键．
21．(1)，
(2)结论成立：，
(3)满足条件的的面积为20或34．
【分析】（1）延长交于H，证明，得到，根据直角三角形的性质得到，等量代换得到答案；
（2）如图2中，延长使得，连接，延长交的延长线于N，交于O．利用全等三角形的性质，想办法证明是等腰直角三角形即可；
（3）分两种情形根据题意画出完整的图形，利用勾股定理解决问题即可．
【详解】（1）解：如图1，延长交于H，
∵，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，，
故答案为：，；
（2）解：结论成立：，，
理由：如图2中，延长使得，连接，延长交的延长线于N，交于O．
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴；
（3）①如图3-1中，连接．
在中，，
在中，，
∴，
∴，
在中，，
∴；
②如图3-2中，连接．
同法可得，，
∴，
综上所述，满足条件的的面积为20或34．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
22．C
【分析】过点P作于点E，根据平行线的性质得出，根据直角三角形的性质可得,由角平分线的性质可得出答案
【详解】过点P作于点E，且平分，，
∴，
∵，且，
∴，
∴在中有：，
故选：C
【点睛】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的性质及直角三角形的性质，辅助线的作出是解决本题的关键
23．D
【分析】由作图方法可知是的平分线，根据角平分线的性质、直角三角形的性质以及线段垂直平分线性质定理的逆定理逐项判断即可.
【详解】解：由图可知：是的平分线，
∴点D到的两边距离相等；C选项正确，不符合题意；
∵在中，，
∴
∴
∴
∴点D在的中垂线上；A选项正确，不符合题意；
∵，
∴；B选项正确，不符合题意；
∴，
∴；D选项错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了角平分线的尺规作图以及性质、线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质等知识点；熟练掌握上述基础知识是解题的关键．
24．B
【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，再根据等边对等角的性质求出，然后根据角平分线的定义与直角三角形两锐角互余求出，再根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半求出，然后求解即可．
【详解】解：∵点D在的垂直平分线上，
∴，
∴，
∵是角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，题目难度稍微复杂，熟记性质是解题的关键．
25．C
【分析】求出的度数即可判断A；求出和的度数，求出的度数，即可判断B；根据三角形面积即可判断C；证得是等腰三角形，，则可判断D．
【详解】解：A.∵，
∴，
∴，故选项A不符合题意；
B.∵是垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
∴是的角平分线，故选项B不符合题意；
C.过D作于E，则，
∵，
∴，
∵，，
∴，故选项C符合题意；
D.∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，故选项D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、线段垂直平分线性质、角平分线的性质以及三角形面积等知识；熟练掌握等腰三角形的判定与性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键．
26．D
【分析】A根据作图的过程可以判定是的角平分线；
B利用角平分线的定义可以推知，则由直角三角形的性质来求的度数；
C利用等角对等边可以证得，由线段垂直平分线的判定可以证明点D在的中垂线上；
D利用角所对的直角边是斜边的一半求出，进而可得．
【详解】解：根据作图方法可得是的平分线，故A正确；
∵，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，故B正确；
∵，
∴，
∴点D在的中垂线上，故C正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，故D错误，
故选：D．
【点睛】本题主要考查角平分线的尺规作图，角平分线的定义，等角对等边，线段垂直平分线的判定，含直角三角形的性质等知识，能够熟练通过尺规作图的痕迹得出是角平分线是解题关键．
27．C
【分析】连接，根据菱形的性质可得，则是等边三角形，根据等边三角形三线合一和勾股定理，求出的长度，最后根据含角的直角三角形，角所对的边是斜边的一半，即可求解．
【详解】解：如图，连接，
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵点F为的中点，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C。
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质以及勾股定理，解题的关键是掌握菱形四条边都相等，等边三角形三线合一，以及直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
28．D
【分析】根据等腰直角三角形的性质得：，平分．可证，，即证得与全等，根据全等三角形性质判断结论是否正确．
【详解】解：∵，直角的顶点P是的中点，
∴，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，故①正确；
∴是等腰直角三角形，故②正确；
∵是等腰直角三角形，P是的中点，
∴，
∵不一定是的中位线，
∴不一定成立，故③错误；
∵，
∴，
又∵，
∴，
即，故④正确．
故选：D．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的面积，掌握等腰直角三角形的性质是解题的关键．
29．D
【分析】根据已知条件证明，得到，即可得解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵垂直平分横梁，
∴，
∵，，
∴
∴，
解得，
∴，
故选D．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，含30度角的直角三角形的性质，证明，得到是解题的关键．
30．(1)见解析
(2)
【分析】(1)由角平分线的定义和垂直平分线的性质可证，可得，，由菱形的判定定理可证得结论；
(2)过点D作，由菱形的性质可得，，由直角三角形的性质可得，，据此即可求得的长．
【详解】（1）证明：平分，
，
垂直平分，
，，
，，
，
，，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是茥形；
（2）解: 如图， 过点D作，
四边形是菱形，
，
，
又，
，，
又，，
，
，
．
【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，角平分线的定义，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，熟练运用菱形的判定和性质是解决本题的关键．
31．(1)证明见解析
(2)33
【分析】（1）先证明它是平行四边形，再证明是菱形；
（2）先设，再用x表示AE，利用勾股定理建立方程即可求解．
(1)
∵，于点O，
∴，
∵，
∴四边形AECD是平行四边形，
由AD=CD，
∴四边形AECD是菱形．
(2)
如图，∵于点F，
∴∠AFC=90°，
又∵AC⊥BD，
∴∠BOA=90°，
∵平分，，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∴设，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∵菱形AECD中，OD=OE，
∴，
∴．
．
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质等内容，解题关键是牢记相关概念，能利用勾股定理建立方程．
32．(1)见解析
(2)AE+CD=AC，证明见解析
【分析】（1）求出∠BAC+∠BCA=180°-∠ABC，根据角平分线定义求出∠OAC=∠BAC，∠OCA=∠BCA，即可求出∠OAC+∠OCA的度数，根据三角形内角和定理求出即可；
（3）在AC上分别截取AM、CN，使AM=AE，CN=CD，连接OM，ON，证△AEO≌△AMO，△DCO≌△NCO，推出∠EOA=∠MOA，∠CON=∠COD，OD=ON，求出∠MON=∠MOA=45°，根据角平分线性质求出MK=ML，据此计算即可求解．
【详解】（1）证明：∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，
∴∠BAC+∠BCA=180°-∠ABC，
∵∠BAC的平分线AD与∠BCA的平分线CE交于点O．
∴∠OAC=∠BAC，∠OCA=∠BCA，
∴∠OAC+∠OCA=（∠BAC+∠BCA）=（180°-∠ABC）=90°-∠ABC，
∴∠AOC=180°-（∠OAC+∠OCA）=180°-（90°-∠ABC），
即∠AOC=90°+∠ABC；
（2）解：AE+CD=AC，
证明：如图2，∵∠AOC=90°+∠ABC=135°，
∴∠EOA=45°，
在AC上分别截取AM、CN，使AM=AE，CN=CD，连接OM，ON，
则在△AEO和△AMO中，，
∴△AEO≌△AMO，
同理△DCO≌△NCO，
∴∠EOA=∠MOA，∠CON=∠COD，OD=ON，
∴∠EOA=∠MOA=∠CON=∠COD=45°，
∴∠MON=∠MOA=45°，
过M作MK⊥AD于K，ML⊥ON于L，
∴MK=ML，
S△AOM=AO×MK，S△MON=ON×ML，
∴，
∵，
∴，
∵AO=3OD，
∴，
∴，
∴AN=AM=AE，
∵AN+NC=AC，
∴AE+CD=AC．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线定义和性质，三角形的面积，三角形内角和定理的应用，熟练掌握各性质定理是解答此题的关键．
33．D
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质证明PD是否是BC的垂直平分线，判断即可．
【详解】因为AB=AC，且AD⊥BC，得AP是BC的垂直平分线，所以PB=PC，则A是真命题；
因为PB=PC，且AD⊥BC，得AP是BC的垂直平分线，所以AB=AC，则B是真命题；
因为AB=AC，且∠1=∠2，得AP是BC的垂直平分线，所以PB=PC，则C是真命题；
因为PB=PC，△BCP是等腰三角形，∠1=∠2，不能判断AP是BC的垂直平分线，所以AB和AC不一定相等，则D是假命题．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，掌握性质定理是解题的关键．
34．A
【分析】由尺规作图过程，即为的角平分线，由此可判断说法是否正确．
【详解】解：由尺规作图过程，可知即为的角平分线，
，
为等腰三角形，
垂直平分，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了尺规作图及垂直平分线到两端点的距离相等，本题的关键在于熟悉尺规作图的过程．
35．D
【分析】根据角平分线，可以的∠MAP=∠NAP，根据垂直平分线，可以证AN=PN，MA=PM，再证明出四边形AMPN为菱形即可得出结果．
【详解】解：∵垂直平分，
∴，，
∵平分，∴，
∵，∴，
∴，∴，
同理可知，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴平行四边形是菱形，
∴，是的平分线．
综上所述，选项A、B、C结论正确，不符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查角平分线、垂直平分线的性质、矩形的判断等，灵活运用角平分线和垂直平分线的性质是解题的关键．
36．B
【分析】根据先证明，进而得，用勾股定理求得，便可得．
【详解】解：四边形为正方形，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
点为的中点，
，
，，
，
，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是证明．
37．A
【分析】由四边形是正方形，得到，于是得到，根据平行线的性质得到，解直角三角形得到，同理：，找出规律，答案即可求出．
【详解】解：四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
同理：，
，
，
．
故选：A．
【点睛】本题考查了正方形的性质，含直角三角形的性质，平行线的性质的综合应用，求出后一个正方形的边长是前一个正方形的边长的倍是解题的关键．
38．
【分析】根据平分交于，将沿所在直线折叠，使点A恰好与点重合，可得，又，即得，从而，在中，．
【详解】解：平分交于，
，
将沿所在直线折叠，使点A恰好与点重合，
，
，
，
，
，
在中，，
在中，，
故答案为：．
【点睛】本题考查直角三角形中的翻折问题、角平分线，解题的关键是掌握翻折的性质，熟练应用含角的直角三角形三边关系．
39．8
【分析】由角平分线的性质，得到，然后求出的周长即可．
【详解】解：根据题意，
在中，，，
由角平分线的性质，得，
∴的周长为：
；
故答案为：8
【点睛】本题考查了角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线的性质．
40．
【分析】根据含30°角的直角三角形的性质求出、根据勾股定理求出，根据线段垂直平分线的性质、三角形的周长公式计算，得到答案．
【详解】解：∵，是角平分线，
∴，
在中，，
∴，
由勾股定理得：，
∵的垂直平分线交于点F，
∴，
∴的垂直，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是直角三角形的性质、勾股定理、线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
41．####
【分析】根据做法得平分，垂直平分，所以，，，再证明四边形为菱形得到，再利用平行线分线段成比例定理计算的长．
【详解】解：由题可知，平分，垂直平分，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
∴四边形为平行四边形，
又，
∴四边形为菱形，
∴，
∵，
∴，即，
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了作图——复杂作图，解题的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
42．
【分析】连接，，，取的中点，连接，求出弧的长，再求出当，，共线时，的值最小，此时点与点重合，分别求出，的长．
【详解】解：如图，连接，，，取的中点，连接．
，，
，
的长，
，
，
，
，
当，，共线时，的值最小，此时点与点重合，
此时，
，，
是等边三角形，
，
，
，
此时阴影部分的周长为．
故答案为：．
【点睛】本题考查弧长，线段最小值问题，解题的关键是明确当，，共线时，的值最小，此时点与点重合．
43．
【分析】由直线l：，得的边长为1，直线与x轴的夹角为30°，根据直角三角形的性质，得的边长是2，以此类推，可得边长是，进而即可求解．
【详解】解：∵直线l：与x轴交于点，
∴，
∴的边长为1，
∵直线与x轴的夹角为30°（可通过该直线与坐标轴的交点求出），，
∴．
∵轴，
∴，
∴的边长是2，
同理可得：的边长是，
以此类推：边长是，
∴的边长是．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查一次函数图象和三角形的综合，掌握一次函数的图象和性质以及含30°角直角三角形的性质，是解题的关键．
44．
【分析】把代入，求出函数解析式，分别过点作垂直x轴，垂足分别为D，E，则，设，根据等腰直角三角形的性质可得，，从而得到，继而得到点的纵坐标为，同理点的纵坐标为，点的纵坐标为，……由此发现规律，进而解题．
【详解】解：∵在直线，
∴，即，
∴该函数解析式为，
如图，分别过点作垂直x轴，垂足分别为D，E，则，
设，
∵都是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，解得：，
∴，即点的纵坐标为，
同理点的纵坐标为，
点的纵坐标为，
……
由此发现，的纵坐标为，
∴点的纵坐标是．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了 一次函数点坐标特点，等腰直角三角形的性质，准确得到规律是解题的关键．
45．(1)100；
(2)①时等边三角形，证明见解析；
②．证明见解析．
【分析】（1）利用线段的垂直平分线的性质以及三角形内角和定理，四边形内角和定理解决问题即可；
（2）①时等边三角形，证明，即可；②结论：．如图，作点关于直线的对称点，连接，，．当点在的延长线上时，的值最大，此时，利用全等三角形的性质证明，可得结论．
【详解】（1）解：∵点为线段，的垂直平分线的交点，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：100．
（2）解：①结论：时等边三角形．
理由：∵点是线段，的垂直平分线的交点，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴时等边三角形；
②结论：．
理由：如图，作点关于直线的对称点，连接，，．
∵
则，点在的延长线上时，的值最大，此时，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴时等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴（SAS），
∴，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．
46．(1)EF＝BE；
(2)，理由见解析；
(3)或1．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质可得结论；
（2）如图2中，过点A作AJ⊥AC交ED的延长线于J，连接FJ．证明△AJD≌△BED（AAS），推出AJ＝BE，DJ＝DE，再证明FJ＝EF，根据勾股定理可得结论；
（3）分两种情形：如图3−1中，当点E在线段BC上时，如图3−2中，当点E在线段BC的延长线上时，设AF＝x，则CF＝5−x，根据（2）中结论和勾股定理构建方程求解即可．
（1）
解：∵AD＝DB，，点与点A重合，
∴ED垂直平分FB，
∴EF＝BE，
故答案为：EF＝BE；
（2）
结论：；
理由：如图2中，过点A作AJ⊥AC交ED的延长线于J，连接FJ．
∵AJ⊥AC，EC⊥AC，
∴AJBE，
∴∠AJD＝∠DEB，
在△AJD和△BED中，，
∴△AJD≌△BED（AAS），
∴AJ＝BE，DJ＝DE，
∵DF⊥EJ，
∴FJ＝EF，
∵∠FAJ＝90°，
∴，
∴；
（3）
解：如图3−1中，当点E在线段BC上时，设AF＝x，则CF＝5−x，
∵BC＝3，CE＝1，
∴BE＝2，
∵，
∴，
解得：x＝，即AF＝；
如图3−2中，当点E在线段BC的延长线上时，设AF＝x，则CF＝5−x，
∵BC＝3，CE＝1，
∴BE＝4，
∵，
∴，
解得：x＝1，即AF＝1，
综上所述，满足条件的AF的长为或1，
故答案为：或1．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．
47．(1)①见解析；②；
(2)．
【分析】（1）①根据等边三角形的性质可得， 从而得到，，即可；②过点作交于点，可得，，从而得到，，进而得到，即可；
（2）过点作交于点，可得，，从而得到，进而得到，再证明，根据相似三角形的性质，即可求解．
【详解】（1）①证明：，是等边三角形的高，
，，，分别平分和，
，
，，
；
②解：过点作交于点，
，，
，，
，是的中点，
，，
，，
，
，等边三角形的边长为8，
，
；
（2）解：过点作交于点，
，，
，，
∵是的中点，
∴，
，
，
．
，
，
．
，
，，
．
，，
，
，
，
即，
，
．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质是解题的关键．
48．（1）见解析；（2）；（3）
【分析】（1）利用，证明，，利用相似三角形的性质可证得，结合可的结论；
（2）由（1）得，，根据垂直平分线的性质可得，依据的性质即可求出 的值；
（3）遵循第（1）、（2）小问的思路，延长交于M，连接，过点M作于N，根据角平分线和等腰三角形性质构造出含、角的特殊直角三角形，求出、的值，即可得出的长．
【详解】（1）证明：∵，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：延长交于M，连接，过点M作于N，
∵四边形为平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
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