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北师大版初中九年级数学上册期末素养综合测试(二)课件
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这是一份北师大版初中九年级数学上册期末素养综合测试(二)课件，共60页。
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)
1.(2022江苏镇江月考)若方程(m+2) +6x-9=0是关于x的一元二次方程,则 ( )A.m≠-2 B.m=±2 C.m=-2 D.m=2
解析 根据题意得m2-2=2且m+2≠0,∴m=2.
2.(2022上海普陀期末)若反比例函数y= 的图象位于第二、四象限,则k的取值范围是( )A.k<2 B.k<-2 C.k>2 D.k>-2
3.(2023天津中考)右图是一个由6个相同的正方体组成的立 体图形,它的主视图是 ( )
解析 从正面看,一共有三列,从左到右小正方形的个数分别 为2、2、1.故选C.
4.(2024内蒙古包头东河期末)如图,某位同学用带有刻度的 直尺在数轴上作图,若PQ∥MN,点Q,点M在直尺上,且分别与 直尺上的刻度3和1对齐,数轴上点N表示的数是10,则点P表 示的数是 ( )
A. B.3 C. D.5
解析 ∵PQ∥MN,∴ = = ,∵ON=10,∴OP= .∴P表示的数为 .
5.已知四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,且OA=OB= OC=OD,则下列关于四边形ABCD的结论一定成立的是 ( )A.四边形ABCD是正方形B.四边形ABCD是菱形C.四边形ABCD是矩形D.S四边形ABCD= AC·BD
解析 如图,∵四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,且 OA=OB=OC=OD,∴AC=BD,四边形ABCD是平行四边形,∴四边形ABCD是矩 形,故选C.
6.(跨学科·物理)(2024安徽泗县期末)在如图所示的电路中,随 机闭合开关S1,S2,S3中的两个,能让红灯发光的概率是 ( ) A. B. C. D.
解析 画树状图,如图:共有6种等可能的结果,能让红灯发光的结果有2种,∴能让红 灯发光的概率为 = .故选A.
7.(情境题·数学文化)(2024河南辉县期末)《九章算术》中记 载:“今有户高多于广六尺八寸,两隅相去适一丈,问户高、 广各几何?”大意:有一形状是矩形的门,它的高比宽多6尺8 寸,它的对角线长1丈,问它的高与宽各是多少?利用方程思 想,设矩形门宽为x尺,则依题意所列方程为(1丈=10尺,1尺=1 0寸) ( )A.x2+(x+6.8)2=102 B.x2+(x-6.8)2=102C.x(x+6.8)=102 D.x(x-6.8)=102
解析 ∵门的高比宽多6尺8寸,且门宽为x尺,∴门高为(x+6. 8)尺.根据题意得x2+(x+6.8)2=102.故选A.
8.(新考向·尺规作图)(2023广东广州增城期中)在△ACB中,∠ABC=90°,∠A>∠C,用直尺和圆规在AC上确定点D,使△BAD∽△CBD,根据作图痕迹判断,正确的是 ( )
解析 当BD⊥AC时,△BAD∽△CBD.理由:∵BD⊥AC,∴∠ADB=∠CDB=90°,∵∠ABC=90°,∴∠A+∠ABD=∠ABD+∠CBD=90°,∴∠A=∠CBD,∴△BAD∽△CBD.根据作图痕迹可知,A选项中,BD是∠ABC的平分线,不与AC垂直,不符合题意;B选项中,BD是AC边上的中线,不与AC垂直,不符合题意;C选项中,BD⊥AC,符合题意;D选项中,AB=AD,BD不与AC垂直,不符合题意.故选C.
9.(2024贵州铜仁期末)得天独厚的自然条件和生态资源,让 铜仁这片黔东沃土孕育出多个地理标志产品.某区举行地理 标志产品知识竞赛,如图,S矩形ABCO、S矩形DEFO、S矩形GHIO、S矩形JKLO分 别描述了甲、乙、丙、丁四个社区居民竞赛成绩的优秀人 数,已知y表示社区居民竞赛成绩的优秀率,x表示该社区参赛 居民人数,点B和点K在同一条反比例函数图象上,则这四个 社区在这次知识竞赛中优秀人数最多的是 ( )
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
解析 设直线DE,GH分别交反比例函数图象于点M,P,过点 M作MN⊥x轴于点N,过点P作PQ⊥x轴于点Q,如图, 则S矩形ABCO=S矩形DMNO=S矩形GPQO=S矩形JKLO,易知S矩形DEFO>S矩形DMNO,S矩形GHIO
10.(2022四川泸州中考)如图,在边长为3的正方形ABCD中,点 E是边AB上的点,且BE=2AE,过点E作DE的垂线交正方形外 角∠CBG的平分线于点F,交边BC于点M,连接DF交边BC于 点N,则MN的长为 ( )
A. B. C. D.1
解析 如图,作FH⊥BG于点H,作FK⊥BC于点K,∵BF平分∠CBG,∠KBH=90°,∴四边形BHFK是矩形,FH=FK,∴四边形 BHFK是正方形,∵DE⊥EF,∠EHF=90°,∴∠DEA+∠FEH=90°,∠EFH+∠FEH=90°,∴∠DEA=∠EFH,又∵∠A=∠EHF=90°,∴△DAE∽△EHF,∴ = ,∵正方形ABCD的边长为3,BE=2AE,∴AE=1,BE=2,设FH=a,则BH=a,∴ = ,解得a=1.∵FK⊥CB,∠C=90°,∴∠C=∠FKN,又∵∠DNC=∠FNK,∴△DCN∽△FKN,∴ = ,∵BC=3,BK=1,∴CK=2,设CN
=b,则NK=2-b,∴ = ,解得b= ,即CN= ,易证∠AED=∠BME,又∵∠A=∠EBM,∴△ADE∽△BEM,∴ = ,∴ = ,解得BM= ,∴MN=BC-CN-BM=3- - = .
二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,共24分)
11.(2022湖南南县期末)在平面直角坐标系xOy中,某反比例 函数的图象经过点A(1,2)和点B(-1,m),则m的值为 .
12.(2023江苏扬州江都二中期末)已知x1、x2是关于x的方程x2 -2x-5=0的两个根,则x1+x2的值等于 .
13.(2024四川成都郫都期末)如图所示的是△ADE、△ABC 和3张都写有一个条件的卡片.从这3张卡片中一次性随机抽 取2张,其条件能判定△ADE∽△ABC的概率为 .
解析 若∠1=∠2,∠D=∠B,则△ADE∽△ABC;若∠1=∠2, = ,则△ADE∽△ABC;若∠D=∠B, = ,则无法证明△ADE∽△ABC.∵从这3张卡片中一次性随机抽取2张有3种等可能的结果, 其中能判定△ADE∽△ABC的结果有两种,∴能判定△ADE ∽△ABC的概率为 ,故答案为 .
14.(2024江苏盐城期末)若干桶方便面摆放在桌子上,如图所 示的是它的三视图,则这一堆方便面共有 桶.
解析 结合三视图判断,这堆方便面共有2层,底层有3+1=4 (桶),上层有1+1=2(桶),因此共有4+2=6(桶).故答案为6.
15.(十字模型)(2023辽宁丹东中考)如图,在正方形ABCD中, AB=12,点E,F分别在边BC,CD上,AE与BF相交于点G,若BE= CF=5,则BG的长为 .
解析 ∵四边形ABCD是正方形,∴∠ABE=∠C=90°,AB=BC, ∵BE=CF,∴△ABE≌△BCF(SAS),∴∠BAE=∠CBF,∵∠CBF+∠ABG=90°,∴∠BAE+∠ABG=90°,∴∠BGE=90°,∴∠BGE=∠C,又∵∠EBG=∠FBC,∴△EBG∽△FBC,∴ = ,∵BC=AB=12,CF=BE=5,∴BF= = =13,∴ = ,∴BG= .
16.(2023陕西西安交大附中期末)如图,菱形ABCD的对角线 AC、BD相交于点O,过点D作DH⊥AB于点H,连接OH,OH=2, 若菱形ABCD的面积为12,则AB的长为 .
解析 ∵四边形ABCD是菱形,∴OA=OC,OB=OD,AC⊥BD, ∵DH⊥AB,∴∠BHD=90°,∴BD=2OH,∵OH=2,∴BD=4,∴OB=2,∵菱形ABCD的面积= AC·BD=12,∴AC=6,∴OA=3,在Rt△AOB中,由勾股定理得AB= = = ,故答案为 .
17.如图,正方形ABCD的边长为4,E是BC上的一点,且BE=1,P 是对角线AC上的一动点,连接PB,PE,当点P在AC上运动时, △PBE周长的最小值是 .
解析 如图,连接DE交AC于点P',连接BP',则此时△BP'E的周 长就是△PBE周长的最小值,∵BE=1,BC=CD=4,∴CE=3,∴DE=5,∴BP'+P'E=DE=5,∴△PBE周长的最小值是5+1=6,故 答案为6.
18.如图,在平面直角坐标系中,已知A(-1,0),B(0,2),将△ABO沿 直线AB翻折后得到△ABC,若反比例函数y= (x<0)的图象经过点C,则k= .
解析 如图,过点C作CD⊥x轴于点D,过点B作BE⊥y轴,与DC 的延长线相交于点E,由翻折得OA=AC=1,OB=BC=2,易证△ACD∽△CBE,∴ = = .设CD=m,则BE=2m,∴AD=2m-1.在Rt△ACD中,由勾股定理得CD2+AD2=AC2,即m2+(2m-1)2=12, 解得m1= ,m2=0(舍去),∴CD= ,BE= .∴C ,将其代入y= ,得k=- × =- .故答案为- .
三、解答题(共66分)
19.[答案含评分细则](2022福建泉州期末)(8分)已知关于x的 方程x2-(2k+1)x+k2=4.(1)若方程有两个不相等的实数根,求k的取值范围.(2)若该方程有一个根是0,求k的值及该方程的另一个根.
解析 (1)原方程可变形为x2-(2k+1)x+k2-4=0.∵原方程有两个不相等的实数根,∴Δ=b2-4ac=[-(2k+1)]2-4×1×(k2-4)=4k+17>0, 2分解得k>- ,∴k的取值范围为k>- . 3分(2)将x=0代入原方程得k2=4,解得k=±2.①当k=2时,原方程可化为x2-5x=0,解得x1=0,x2=5; 5分
②当k=-2时,原方程可化为x2+3x=0,解得x1=0,x2=-3. 7分∴当k的值是2时,方程的另一个根是5;当k的值是-2时,方程的 另一个根是-3. 8分
20.[答案含评分细则](情境题·国防科技)(2022广西灌阳一模) (8分)嫦娥、神舟、北斗、天问被称为中国航天的“四大天 王”.2020年“北斗”组网、“天问”问天、“嫦五”探月, 一个个好消息从太空传来,照亮了中国航天界的未来!小玲对 航空航天非常感兴趣,她收集到了嫦娥五号、神舟十一号、 北斗三号、天问一号的模型图,依次制成编号为A、B、C、 D的四张卡片(背面完全相同),将这四张卡片背面朝上,洗匀 放好.
(1)小玲从中随机抽取一张卡片是“北斗三号”的概率为
.(2)小玲从四张卡片中随机抽取一张卡片(不放回),再从余下 的卡片中随机抽取一张,请用列表或画树状图的方法求抽到 的两张卡片恰好是编号为A(嫦娥五号)和D(天问一号)的概 率.
解析 (1) . 3分(2)画树状图如图: 6分
共有12种等可能的结果,其中抽到的两张卡片恰好是编号为 A(嫦娥五号)和D(天问一号)的结果有2种,所以抽到的两张卡片恰好是编号为A(嫦娥五号)和D(天问一 号)的概率为 = . 8分
21.[答案含评分细则](2024山东济南历下期中)(8分)如图,在 平面直角坐标系中,五边形OABCD的五个顶点分别为O(0,0), A(-1,3),B(1,4),C(4,2),D(3,0).(1)以原点O为位似中心,在原点O的同侧作五边形OABCD的 位似图形OA1B1C1D1,使它与五边形OABCD的相似比为2∶1.(2)C1的坐标为 .(3)已知五边形OABCD的面积为13.5,则五边形OA1B1C1D1的 面积为 .
解析 (1)如图,五边形OA1B1C1D1即为所求. 4分 (2)(8,4). 6分(3)54. 8分
详解:∵五边形OABCD∽五边形OA1B1C1D1,相似比为1∶2,
∴面积比为1∶4,∵五边形OABCD的面积为13.5,∴五边形OA1B1C1D1的面积为13.5×4=54.
22.[答案含评分细则](2023黑龙江大庆中考)(8分)一次函数y =-x+m与反比例函数y= 的图象交于A,B两点,点A的坐标为(1,2).(1)求一次函数和反比例函数的表达式.(2)求△OAB的面积.(3)过动点T(t,0)作x轴的垂线l,l与一次函数y=-x+m和反比例 函数y= 的图象分别交于M,N两点,当M在N的上方时,请直接写出t的取值范围.
解析 (1)把A(1,2)代入y=-x+m,得-1+m=2,解得m=3,∴一次函数的表达式为y=-x+3. 2分把A(1,2)代入y= ,得 =2,解得k=2,∴反比例函数的表达式为y= . 4分
(2)联立 解得 或 ∴B(2,1), 5分令直线AB与x轴交于点C,如图, 当y=0时,-x+3=0,解得x=3,
∴C(3,0). 6分∴S△AOB=S△AOC-S△BOC= ·OC·yA- ·OC·yB= ×3×2- ×3×1= . 7分(3)如图,当M在N的上方时,t的取值范围为t<0或1
(围网及墙体所占面积忽略不计)(3)篮球场BDEF的面积能否达到2 000平方米?请说明理由.
解析 (1)(135-3x). 2分(2)根据题意得x(135-3x)=1 500, 4分整理得x2-45x+500=0,解得x1=20,x2=25, 6分当x=20时,135-3x=135-3×20=75>70,不符合题意,舍去;当x=25时,135-3x=135-3×25=60<70,符合题意.答:EF的长为25米. 7分(3)篮球场BDEF的面积不能达到2 000平方米. 8分理由:根据题意得x(135-3x)=2 000,整理得3x2-135x+2 000=0,
∵Δ=(-135)2-4×3×2 000=-5 775<0,∴该方程没有实数根,即篮 球场BDEF的面积不能达到2 000平方米. 10分
24.[答案含评分细则](2023山东青岛市南期中)(12分)如图,在 Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6 cm,BC=8 cm.点P从点A出发, 沿AB方向以每秒2 cm的速度向终点B运动,同时点Q从点B出 发,沿BC方向以每秒1 cm的速度向终点C运动,将△PQC沿 BC翻折,点P的对应点为点P'.设点Q运动的时间为t秒.(1)若△ACP的面积为y cm2,请用t表示y.(2)t为何值时,△BPQ与△ABC相似?(3)t为何值时,四边形QPCP'为菱形?
解析 (1)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6 cm,BC=8 cm,∴AB= =10(cm),如图,过P作PH⊥AC于H,则PH∥BC, ∴△APH∽△ABC,∴ = ,∴ = ,
∴PH= cm,∴y= AC·PH= ×6× = . 4分(2)当△BPQ与△ABC相似时, = 或 = ,∴ = 或 = ,解得t= 或t= ,∴当t为 或 时,△BPQ与△ABC相似. 8分(3)如图,过点P作PE⊥AC于点E,连接PP',交BC于点D.
由题意知,点P、P'关于BC对称,∴BC垂直平分PP'.∴QP=QP',PD=P'D,BC⊥PP'.若四边形QPCP'是菱形,则CD=QD,∵∠PEC=∠ACB=∠PDC=90°,
∴四边形PECD是矩形,∴CD=PE= t cm,∴QD= t cm.又BQ=t cm,BC=8 cm,∴2× t+t=8,解得t= .∴当t为 时,四边形QPCP'为菱形. 12分
25.[答案含评分细则](2024湖南岳阳期末)(12分)【问题情境】如图1,小明把三角板EFG(∠GFE=30°)放置到矩形ABCD中,使得顶点E、F、G分别落在AD、CD、AB上,则线段ED与AG的数量关系为 (不用证明).【变式探究】如图2,小明把三角板EFG(∠GFE=30°)放置到 矩形ABCD中,使得顶点E、F、G分别在AD、BC、AB边上, 若GA=4,AE=6,求BG的长.【拓展应用】如图3,小明把三角形EFG放到平行四边形
ABCD中,使得顶点E、F、G分别在AD、BC、AB边上,若
= , = ,∠FEG=∠BAD,求 的值.
解析 【问题情境】ED= AG. 3分详解:∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=∠B=∠D=90°,∴∠AGE +∠AEG=90°,∵∠FEG=90°,∠GFE=30°,∴∠DEF+∠AEG=90°, = ,∴∠AGE=∠DEF,∴△AEG∽△DFE,∴ = = ,∴DE= AG.【变式探究】如图,过点F作FH⊥AD于H,则∠EHF=90°,
∴∠FEH+∠EFH=90°,∵∠FEG=90°,∴∠FEH+∠AEG=90°,∴∠AEG=∠EFH,∵∠A=∠EHF=90°,∴△AEG∽△HFE, 5分∴ = = ,∴ = = , 6分∴EH=4 ,FH=6 ,
∵∠A=∠B=∠AHF=90°,∴四边形ABFH是矩形, 7分∴AB=FH=6 ,∴BG=AB-AG=6 -4. 8分【拓展应用】如图,延长AD至M,连接FM交CD于P,使∠AMF =∠BAD, 9分
∵∠FEG=∠BAD,∴∠FEG=∠BAD=∠AMF,∴∠AEG+∠AGE=∠FEM+∠AEG,∴∠AGE=∠FEM,∴△AEG∽△MFE, 10分∴ = = ,∵ = , = ,∴AB= AD,AE= AD,∴AE= AB.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,AB∥CD,AD∥BC,∠BAD=∠C,
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)
1.(2022江苏镇江月考)若方程(m+2) +6x-9=0是关于x的一元二次方程,则 ( )A.m≠-2 B.m=±2 C.m=-2 D.m=2
解析 根据题意得m2-2=2且m+2≠0,∴m=2.
2.(2022上海普陀期末)若反比例函数y= 的图象位于第二、四象限,则k的取值范围是( )A.k<2 B.k<-2 C.k>2 D.k>-2
3.(2023天津中考)右图是一个由6个相同的正方体组成的立 体图形,它的主视图是 ( )
解析 从正面看,一共有三列,从左到右小正方形的个数分别 为2、2、1.故选C.
4.(2024内蒙古包头东河期末)如图,某位同学用带有刻度的 直尺在数轴上作图,若PQ∥MN,点Q,点M在直尺上,且分别与 直尺上的刻度3和1对齐,数轴上点N表示的数是10,则点P表 示的数是 ( )
A. B.3 C. D.5
解析 ∵PQ∥MN,∴ = = ,∵ON=10,∴OP= .∴P表示的数为 .
5.已知四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,且OA=OB= OC=OD,则下列关于四边形ABCD的结论一定成立的是 ( )A.四边形ABCD是正方形B.四边形ABCD是菱形C.四边形ABCD是矩形D.S四边形ABCD= AC·BD
解析 如图,∵四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,且 OA=OB=OC=OD,∴AC=BD,四边形ABCD是平行四边形,∴四边形ABCD是矩 形,故选C.
6.(跨学科·物理)(2024安徽泗县期末)在如图所示的电路中,随 机闭合开关S1,S2,S3中的两个,能让红灯发光的概率是 ( ) A. B. C. D.
解析 画树状图,如图:共有6种等可能的结果,能让红灯发光的结果有2种,∴能让红 灯发光的概率为 = .故选A.
7.(情境题·数学文化)(2024河南辉县期末)《九章算术》中记 载:“今有户高多于广六尺八寸,两隅相去适一丈,问户高、 广各几何?”大意:有一形状是矩形的门,它的高比宽多6尺8 寸,它的对角线长1丈,问它的高与宽各是多少?利用方程思 想,设矩形门宽为x尺,则依题意所列方程为(1丈=10尺,1尺=1 0寸) ( )A.x2+(x+6.8)2=102 B.x2+(x-6.8)2=102C.x(x+6.8)=102 D.x(x-6.8)=102
解析 ∵门的高比宽多6尺8寸,且门宽为x尺,∴门高为(x+6. 8)尺.根据题意得x2+(x+6.8)2=102.故选A.
8.(新考向·尺规作图)(2023广东广州增城期中)在△ACB中,∠ABC=90°,∠A>∠C,用直尺和圆规在AC上确定点D,使△BAD∽△CBD,根据作图痕迹判断,正确的是 ( )
解析 当BD⊥AC时,△BAD∽△CBD.理由:∵BD⊥AC,∴∠ADB=∠CDB=90°,∵∠ABC=90°,∴∠A+∠ABD=∠ABD+∠CBD=90°,∴∠A=∠CBD,∴△BAD∽△CBD.根据作图痕迹可知,A选项中,BD是∠ABC的平分线,不与AC垂直,不符合题意;B选项中,BD是AC边上的中线,不与AC垂直,不符合题意;C选项中,BD⊥AC,符合题意;D选项中,AB=AD,BD不与AC垂直,不符合题意.故选C.
9.(2024贵州铜仁期末)得天独厚的自然条件和生态资源,让 铜仁这片黔东沃土孕育出多个地理标志产品.某区举行地理 标志产品知识竞赛,如图,S矩形ABCO、S矩形DEFO、S矩形GHIO、S矩形JKLO分 别描述了甲、乙、丙、丁四个社区居民竞赛成绩的优秀人 数,已知y表示社区居民竞赛成绩的优秀率,x表示该社区参赛 居民人数,点B和点K在同一条反比例函数图象上,则这四个 社区在这次知识竞赛中优秀人数最多的是 ( )
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
解析 设直线DE,GH分别交反比例函数图象于点M,P,过点 M作MN⊥x轴于点N,过点P作PQ⊥x轴于点Q,如图, 则S矩形ABCO=S矩形DMNO=S矩形GPQO=S矩形JKLO,易知S矩形DEFO>S矩形DMNO,S矩形GHIO
10.(2022四川泸州中考)如图,在边长为3的正方形ABCD中,点 E是边AB上的点,且BE=2AE,过点E作DE的垂线交正方形外 角∠CBG的平分线于点F,交边BC于点M,连接DF交边BC于 点N,则MN的长为 ( )
A. B. C. D.1
解析 如图,作FH⊥BG于点H,作FK⊥BC于点K,∵BF平分∠CBG,∠KBH=90°,∴四边形BHFK是矩形,FH=FK,∴四边形 BHFK是正方形,∵DE⊥EF,∠EHF=90°,∴∠DEA+∠FEH=90°,∠EFH+∠FEH=90°,∴∠DEA=∠EFH,又∵∠A=∠EHF=90°,∴△DAE∽△EHF,∴ = ,∵正方形ABCD的边长为3,BE=2AE,∴AE=1,BE=2,设FH=a,则BH=a,∴ = ,解得a=1.∵FK⊥CB,∠C=90°,∴∠C=∠FKN,又∵∠DNC=∠FNK,∴△DCN∽△FKN,∴ = ,∵BC=3,BK=1,∴CK=2,设CN
=b,则NK=2-b,∴ = ,解得b= ,即CN= ,易证∠AED=∠BME,又∵∠A=∠EBM,∴△ADE∽△BEM,∴ = ,∴ = ,解得BM= ,∴MN=BC-CN-BM=3- - = .
二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,共24分)
11.(2022湖南南县期末)在平面直角坐标系xOy中,某反比例 函数的图象经过点A(1,2)和点B(-1,m),则m的值为 .
12.(2023江苏扬州江都二中期末)已知x1、x2是关于x的方程x2 -2x-5=0的两个根,则x1+x2的值等于 .
13.(2024四川成都郫都期末)如图所示的是△ADE、△ABC 和3张都写有一个条件的卡片.从这3张卡片中一次性随机抽 取2张,其条件能判定△ADE∽△ABC的概率为 .
解析 若∠1=∠2,∠D=∠B,则△ADE∽△ABC;若∠1=∠2, = ,则△ADE∽△ABC;若∠D=∠B, = ,则无法证明△ADE∽△ABC.∵从这3张卡片中一次性随机抽取2张有3种等可能的结果, 其中能判定△ADE∽△ABC的结果有两种,∴能判定△ADE ∽△ABC的概率为 ,故答案为 .
14.(2024江苏盐城期末)若干桶方便面摆放在桌子上,如图所 示的是它的三视图,则这一堆方便面共有 桶.
解析 结合三视图判断,这堆方便面共有2层,底层有3+1=4 (桶),上层有1+1=2(桶),因此共有4+2=6(桶).故答案为6.
15.(十字模型)(2023辽宁丹东中考)如图,在正方形ABCD中, AB=12,点E,F分别在边BC,CD上,AE与BF相交于点G,若BE= CF=5,则BG的长为 .
解析 ∵四边形ABCD是正方形,∴∠ABE=∠C=90°,AB=BC, ∵BE=CF,∴△ABE≌△BCF(SAS),∴∠BAE=∠CBF,∵∠CBF+∠ABG=90°,∴∠BAE+∠ABG=90°,∴∠BGE=90°,∴∠BGE=∠C,又∵∠EBG=∠FBC,∴△EBG∽△FBC,∴ = ,∵BC=AB=12,CF=BE=5,∴BF= = =13,∴ = ,∴BG= .
16.(2023陕西西安交大附中期末)如图,菱形ABCD的对角线 AC、BD相交于点O,过点D作DH⊥AB于点H,连接OH,OH=2, 若菱形ABCD的面积为12,则AB的长为 .
解析 ∵四边形ABCD是菱形,∴OA=OC,OB=OD,AC⊥BD, ∵DH⊥AB,∴∠BHD=90°,∴BD=2OH,∵OH=2,∴BD=4,∴OB=2,∵菱形ABCD的面积= AC·BD=12,∴AC=6,∴OA=3,在Rt△AOB中,由勾股定理得AB= = = ,故答案为 .
17.如图,正方形ABCD的边长为4,E是BC上的一点,且BE=1,P 是对角线AC上的一动点,连接PB,PE,当点P在AC上运动时, △PBE周长的最小值是 .
解析 如图,连接DE交AC于点P',连接BP',则此时△BP'E的周 长就是△PBE周长的最小值,∵BE=1,BC=CD=4,∴CE=3,∴DE=5,∴BP'+P'E=DE=5,∴△PBE周长的最小值是5+1=6,故 答案为6.
18.如图,在平面直角坐标系中,已知A(-1,0),B(0,2),将△ABO沿 直线AB翻折后得到△ABC,若反比例函数y= (x<0)的图象经过点C,则k= .
解析 如图,过点C作CD⊥x轴于点D,过点B作BE⊥y轴,与DC 的延长线相交于点E,由翻折得OA=AC=1,OB=BC=2,易证△ACD∽△CBE,∴ = = .设CD=m,则BE=2m,∴AD=2m-1.在Rt△ACD中,由勾股定理得CD2+AD2=AC2,即m2+(2m-1)2=12, 解得m1= ,m2=0(舍去),∴CD= ,BE= .∴C ,将其代入y= ,得k=- × =- .故答案为- .
三、解答题(共66分)
19.[答案含评分细则](2022福建泉州期末)(8分)已知关于x的 方程x2-(2k+1)x+k2=4.(1)若方程有两个不相等的实数根,求k的取值范围.(2)若该方程有一个根是0,求k的值及该方程的另一个根.
解析 (1)原方程可变形为x2-(2k+1)x+k2-4=0.∵原方程有两个不相等的实数根,∴Δ=b2-4ac=[-(2k+1)]2-4×1×(k2-4)=4k+17>0, 2分解得k>- ,∴k的取值范围为k>- . 3分(2)将x=0代入原方程得k2=4,解得k=±2.①当k=2时,原方程可化为x2-5x=0,解得x1=0,x2=5; 5分
②当k=-2时,原方程可化为x2+3x=0,解得x1=0,x2=-3. 7分∴当k的值是2时,方程的另一个根是5;当k的值是-2时,方程的 另一个根是-3. 8分
20.[答案含评分细则](情境题·国防科技)(2022广西灌阳一模) (8分)嫦娥、神舟、北斗、天问被称为中国航天的“四大天 王”.2020年“北斗”组网、“天问”问天、“嫦五”探月, 一个个好消息从太空传来,照亮了中国航天界的未来!小玲对 航空航天非常感兴趣,她收集到了嫦娥五号、神舟十一号、 北斗三号、天问一号的模型图,依次制成编号为A、B、C、 D的四张卡片(背面完全相同),将这四张卡片背面朝上,洗匀 放好.
(1)小玲从中随机抽取一张卡片是“北斗三号”的概率为
.(2)小玲从四张卡片中随机抽取一张卡片(不放回),再从余下 的卡片中随机抽取一张,请用列表或画树状图的方法求抽到 的两张卡片恰好是编号为A(嫦娥五号)和D(天问一号)的概 率.
解析 (1) . 3分(2)画树状图如图: 6分
共有12种等可能的结果,其中抽到的两张卡片恰好是编号为 A(嫦娥五号)和D(天问一号)的结果有2种,所以抽到的两张卡片恰好是编号为A(嫦娥五号)和D(天问一 号)的概率为 = . 8分
21.[答案含评分细则](2024山东济南历下期中)(8分)如图,在 平面直角坐标系中,五边形OABCD的五个顶点分别为O(0,0), A(-1,3),B(1,4),C(4,2),D(3,0).(1)以原点O为位似中心,在原点O的同侧作五边形OABCD的 位似图形OA1B1C1D1,使它与五边形OABCD的相似比为2∶1.(2)C1的坐标为 .(3)已知五边形OABCD的面积为13.5,则五边形OA1B1C1D1的 面积为 .
解析 (1)如图,五边形OA1B1C1D1即为所求. 4分 (2)(8,4). 6分(3)54. 8分
详解:∵五边形OABCD∽五边形OA1B1C1D1,相似比为1∶2,
∴面积比为1∶4,∵五边形OABCD的面积为13.5,∴五边形OA1B1C1D1的面积为13.5×4=54.
22.[答案含评分细则](2023黑龙江大庆中考)(8分)一次函数y =-x+m与反比例函数y= 的图象交于A,B两点,点A的坐标为(1,2).(1)求一次函数和反比例函数的表达式.(2)求△OAB的面积.(3)过动点T(t,0)作x轴的垂线l,l与一次函数y=-x+m和反比例 函数y= 的图象分别交于M,N两点,当M在N的上方时,请直接写出t的取值范围.
解析 (1)把A(1,2)代入y=-x+m,得-1+m=2,解得m=3,∴一次函数的表达式为y=-x+3. 2分把A(1,2)代入y= ,得 =2,解得k=2,∴反比例函数的表达式为y= . 4分
(2)联立 解得 或 ∴B(2,1), 5分令直线AB与x轴交于点C,如图, 当y=0时,-x+3=0,解得x=3,
∴C(3,0). 6分∴S△AOB=S△AOC-S△BOC= ·OC·yA- ·OC·yB= ×3×2- ×3×1= . 7分(3)如图,当M在N的上方时,t的取值范围为t<0或1
(围网及墙体所占面积忽略不计)(3)篮球场BDEF的面积能否达到2 000平方米?请说明理由.
解析 (1)(135-3x). 2分(2)根据题意得x(135-3x)=1 500, 4分整理得x2-45x+500=0,解得x1=20,x2=25, 6分当x=20时,135-3x=135-3×20=75>70,不符合题意,舍去;当x=25时,135-3x=135-3×25=60<70,符合题意.答:EF的长为25米. 7分(3)篮球场BDEF的面积不能达到2 000平方米. 8分理由:根据题意得x(135-3x)=2 000,整理得3x2-135x+2 000=0,
∵Δ=(-135)2-4×3×2 000=-5 775<0,∴该方程没有实数根,即篮 球场BDEF的面积不能达到2 000平方米. 10分
24.[答案含评分细则](2023山东青岛市南期中)(12分)如图,在 Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6 cm,BC=8 cm.点P从点A出发, 沿AB方向以每秒2 cm的速度向终点B运动,同时点Q从点B出 发,沿BC方向以每秒1 cm的速度向终点C运动,将△PQC沿 BC翻折,点P的对应点为点P'.设点Q运动的时间为t秒.(1)若△ACP的面积为y cm2,请用t表示y.(2)t为何值时,△BPQ与△ABC相似?(3)t为何值时,四边形QPCP'为菱形?
解析 (1)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6 cm,BC=8 cm,∴AB= =10(cm),如图,过P作PH⊥AC于H,则PH∥BC, ∴△APH∽△ABC,∴ = ,∴ = ,
∴PH= cm,∴y= AC·PH= ×6× = . 4分(2)当△BPQ与△ABC相似时, = 或 = ,∴ = 或 = ,解得t= 或t= ,∴当t为 或 时,△BPQ与△ABC相似. 8分(3)如图,过点P作PE⊥AC于点E,连接PP',交BC于点D.
由题意知,点P、P'关于BC对称,∴BC垂直平分PP'.∴QP=QP',PD=P'D,BC⊥PP'.若四边形QPCP'是菱形,则CD=QD,∵∠PEC=∠ACB=∠PDC=90°,
∴四边形PECD是矩形,∴CD=PE= t cm,∴QD= t cm.又BQ=t cm,BC=8 cm,∴2× t+t=8,解得t= .∴当t为 时,四边形QPCP'为菱形. 12分
25.[答案含评分细则](2024湖南岳阳期末)(12分)【问题情境】如图1,小明把三角板EFG(∠GFE=30°)放置到矩形ABCD中,使得顶点E、F、G分别落在AD、CD、AB上,则线段ED与AG的数量关系为 (不用证明).【变式探究】如图2,小明把三角板EFG(∠GFE=30°)放置到 矩形ABCD中,使得顶点E、F、G分别在AD、BC、AB边上, 若GA=4,AE=6,求BG的长.【拓展应用】如图3,小明把三角形EFG放到平行四边形
ABCD中,使得顶点E、F、G分别在AD、BC、AB边上,若
= , = ,∠FEG=∠BAD,求 的值.
解析 【问题情境】ED= AG. 3分详解:∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=∠B=∠D=90°,∴∠AGE +∠AEG=90°,∵∠FEG=90°,∠GFE=30°,∴∠DEF+∠AEG=90°, = ,∴∠AGE=∠DEF,∴△AEG∽△DFE,∴ = = ,∴DE= AG.【变式探究】如图,过点F作FH⊥AD于H,则∠EHF=90°,
∴∠FEH+∠EFH=90°,∵∠FEG=90°,∴∠FEH+∠AEG=90°,∴∠AEG=∠EFH,∵∠A=∠EHF=90°,∴△AEG∽△HFE, 5分∴ = = ,∴ = = , 6分∴EH=4 ,FH=6 ,
∵∠A=∠B=∠AHF=90°,∴四边形ABFH是矩形, 7分∴AB=FH=6 ,∴BG=AB-AG=6 -4. 8分【拓展应用】如图,延长AD至M,连接FM交CD于P,使∠AMF =∠BAD, 9分
∵∠FEG=∠BAD,∴∠FEG=∠BAD=∠AMF,∴∠AEG+∠AGE=∠FEM+∠AEG,∴∠AGE=∠FEM,∴△AEG∽△MFE, 10分∴ = = ,∵ = , = ,∴AB= AD,AE= AD,∴AE= AB.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,AB∥CD,AD∥BC,∠BAD=∠C,
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