2024年高三培优讲义38---解三角形中的最值与范围问题

这是一份2024年高三培优讲义38---解三角形中的最值与范围问题，共38页。试卷主要包含了三角形中的最值范围问题处理方法，边化角与角化边的变换原则等内容，欢迎下载使用。

知识点 ⋅ 梳理
一、三角形中的最值范围问题处理方法
1、利用基本不等式或常用不等式求最值: 化角为边
余弦定理公式里有 “平方和” 和 “积” 这样的整体, 一般可先由余弦定理得到等式, 再由基本
不等式求最值或范围, 但是要注意 “一正二定三相等”, 尤其是取得最值的条件。
2、转为三角函数求最值: 化边为角
如果所求整体结构不对称, 或者角度有更细致的要求, 用余弦定理和基本不等式难以解决, 这时候可以转化为角的关系, 消元后使得式子里只有一个角, 变为三角函数最值问题进行解决。要注意三角形隐含角的范围、三角形两边之和大于第三边。
二、边化角与角化边的变换原则
在解三角形的问题中, 若已知条件同时含有边和角, 但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案, 要选择 “边化角” 或 “角化边”, 变换原则如下:
(1)若式子中含有正弦的齐次式, 优先考虑正弦定理 “角化边”;
(2)若式子中含有 a、b、c 的齐次式,优先考虑正弦定理 “边化角”;
(3)若式子中含有余弦的齐次式, 优先考虑余弦定理 “角化边”;
(4)代数式变形或者三角恒等变换前置;
(5)含有面积公式的问题, 要考虑结合余弦定理求解;
(6)同时出现两个自由角(或三三个自由角)时, 要用到三角形的内角和定理.
高考真题 ⋅ 回顾
2022・全国甲卷（理&文）T16
1. 已知 △ABC 中,点 D 在边 BC 上, ∠ADB=120∘,AD=2,CD=2BD . 当 ACAB 取得最小值时, BD= ___.
2022 - 新高考 1 卷
2. 记 △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,已知 csA1+sinA=sin2B1+cs2B .
(1) 若 C=2π3 ,求 B ; (2) 求 a2+b2c2 的最小值.
2020。浙江卷
3. 在锐角 △ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,且 2bsinA−3a=0 .
(I) 求角 B 的大小; (II) 求 csA+csB+csC 的取值范围.
2019 年全国III卷・文·理 T18
4. △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,已知 asinA+C2=bsinA .
（1）求 B ; (2) 若 △ABC 为锐角三角形,且 c=1 ,求 △ABC 面积的取值范围.
2018⋅ 北京卷
5. 若 △ABC 的面积为 34a2+c2−b2 ,且 ∠C 为钝角,则 ∠B= ;ca 的取值范围是
2018 . 江苏卷
6. 在 △ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,∠ABC=120∘,∠ABC 的平分线交 AC 于点 D ,且 BD=1 , 则 4a+c 的最小值为___.
重点题型。归类精讲
题型一 由不等式求最值
角平分线相关
1. (多选) 在 △ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,∠ABC=π3 ,内角 B 的平分线交 AC 于点 D 且 BD=3 ,则下列结论正确的是 ( )
A. 1a+1c=1 B. b 的最小值是 2
C. a+3c 的最小值是 43 D. △ABC 的面积最小值是 3
2. (2024 届·湖南衡阳市八中校考) 在① b+c−ab+c+a=bc ,② asinC=3acsC−b ,③
2b+ccsA+acsC=0 中选一个,补充在下面的横线中,并解答.
在 △ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,且满足___.
(1)求 A ;
(2)若内角 A 的角平分线交 BC 于 D 点,且 AD=3 ,求 △ABC 的面积的最小值. (注: 如果选择多个条件分别解答, 那么按第一个解答计分)
中线相关
3. (2024 届·湖北校联考) 已知 a,b,c 分别是 △ABC 的三个内角 A,B,C 的对边,且 acsC+3asinC−b−c=0 . (1)求角 A ; (2)若 D 在边 BC 上且 BD=DC,AD=2 ,求 △ABC 面积的最大值.
浙江省百校联盟 2022-2023 学年高三上学期 11 月模拟
4. 在 △ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,若 btanA+tanB=2ctanB,BC 边的中线长为 1 .
(1) 求角 A ; (2) 求边 a 的最小值.
福建省厦门双十中学高三上学期期中
5. 在 △ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ,且 2bsinA=3acsB+asinB .
（1）求角 B 的大小; (2) 设点 D 是 AC 的中点,若 BD=3 ,求 a+c 的取值范围.
定角定高
6. 如图,在 △ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,AH=4,∠BAC=60∘ ,求 △ABC 面积的最小值.
对式子变形后利用基本不等式求最值
7. 在 △ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,已知 2acsinB+C+a2+c2−b2=0 .
(1) 若 A=π6,a=2 ,求 △ABC 的面积; (2) 求 4sin2C+3sin2A+2sin2B 的最小值,并求出此时 B 的大小.
湖南省益阳市 2022 届高三上学期 9 月调研
8. 已知 △ABC 的角 A,B,C 对边分别为 a,b,c,3acsB−bsinA=0 .
(1) 求 ∠B ; (2) 若 a+c=2 ,求 b 的取值范围.
题型二 构造函数求范围
9. 在 △ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, 且 π3,c=2 ,求 2a−b 的取值范围.
2024 届. 雅礼中学月考 (二)
10. 记锐角 △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,已知 sinA−BcsB=sinA−CcsC .
(1) 求证: B=C ; (2) 若 asinC=1 ,求 1a2+1b2 的最大值.
2023 届河北省唐山市三模
11. 记 △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,已知 A 为钝角, asinB=bcsB .
(1) 若 C=π6 ,求 A ; (2) 求 csA+csB+csC 的取值范围.
12. (2024 届·湖南长郡中学校考) 在锐角 △ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,已知 2sinAccsB+bcsC=3a.
(1) 求 A ; (2) 若 a=3 ,求 b2+c2+3bc 的取值范围.
2023 届广东江门市一模
13. 在锐角 △ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,且 1tanB,1sinA,1tanC 依次组成等差数列. (1) 求 a2bc 的值; (2) 若 b>c ,求 b2+c2a2 的取值范围.
2024 届常德市一中校考
14. 在 △ABC 中, a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,若 bcsC+12c=a ,请完成以下问题:
(1) 求角 B 的大小; (2)若 △ABC 为锐角三角形, c=1 ,求 a2+b2 的取值范围.
2024 届长沙一中月考 (一)
15. 在锐角 △ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,且满足 b2−a2=ac .
(1) 求证: B=2A ; (2)设 △ABC 的周长为 l ,求 la 的取值范围.
2024 届长沙一中月考 (二)
16. △ABC 的内角 A,B,C 所对边分别为 a,b,c ,点 O 为 △ABC 的内心,记 △OBC,△OAC,△OAB 的面积分别为 S1,S2,S3 ,已知 S12+S32−S1S3=S22,AB=2 .
(1) 在 ① acsC+ccsA=1 ; ② 4sinBsinA+cs2A=1 ; ③ 1−2csAsinA+1−2csBsinB=0 中选一个作为条件,判断 △ABC 是否存在,求出 △ABC 的周长,若不存在,说明理由. (注: 如果选择多个条件分别解答, 按第一个解答计分.)
(2)若 △ABC 为锐角三角形,求 △ABC 面积的取值范围.
17. 在 △ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,tanC=sinA+sinBcsA+csB .
(1) 求角 C 的大小; (2) 若 △ABC 是锐角三角形,且其面积为 3 ,求边 C 的取值范围.
18. (2024 届·扬州中学校考) 在锐角 △ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,b=3,sinA+asinB=23 , 则 △ABC 周长的取值范围为___.
2024 届河南省实验中学校考
19. 在锐角 △ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ,满足 sinAsinC−1=sin2A−sin2Csin2B ,且 A≠C .
(1) 求证: B=2C ;
(2)已知 BD 是 ∠ABC 的平分线,若 a=4 ,求线段 BD 长度的取值范围.
湖北省腾云联盟 2023-2024 学年高三上学期 10 月联考
20. 在锐角 △ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,且 △ABC 的面积 S=bc1−csA ,则 a2bc 的取值范围为
A. 45,+∞ B. 45,1615 C. 45,3235 D. 3235,1615
专题 7-3 解三角形中的最值与范围问题
思维导图
知识点 ⋅ 梳理
一、三角形中的最值范围问题处理方法
1、利用基本不等式或常用不等式求最值: 化角为边
余弦定理公式里有 “平方和” 和 “积” 这样的整体, 一般可先由余弦定理得到等式, 再由基本
不等式求最值或范围, 但是要注意 “一正二定三相等”, 尤其是取得最值的条件。
2、转为三角函数求最值: 化边为角
如果所求整体结构不对称, 或者角度有更细致的要求, 用余弦定理和基本不等式难以解决, 这时候可以转化为角的关系, 消元后使得式子里只有一个角, 变为三角函数最值问题进行解决。要注意三角形隐含角的范围、三角形两边之和大于第三边。
二、边化角与角化边的变换原则
在解三角形的问题中, 若已知条件同时含有边和角, 但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案, 要选择 “边化角” 或 “角化边”, 变换原则如下:
(1)若式子中含有正弦的齐次式, 优先考虑正弦定理 “角化边”;
(2)若式子中含有 a、b、c 的齐次式,优先考虑正弦定理 “边化角”;
(3)若式子中含有余弦的齐次式, 优先考虑余弦定理 “角化边”;
(4)代数式变形或者三角恒等变换前置;
(5)含有面积公式的问题, 要考虑结合余弦定理求解;
(6)同时出现两个自由角(或三三个自由角)时, 要用到三角形的内角和定理.
高考真题 ⋅ 回顾
2022・全国甲卷（理&文）T16
1. 已知 △ABC 中,点 D 在边 BC 上, ∠ADB=120∘,AD=2,CD=2BD . 当 ACAB 取得最小值时, BD= ___. 【答案】 3−1
【分析】设 CD=2BD=2m>0 ,利用余弦定理表示出 AC2AB2 后,结合基本不等式即可得解.
【详解】[方法一]: 余弦定理
设 CD=2BD=2m>0 ,
则在 △ABD 中, AB2=BD2+AD2−2BD⋅ADcs∠ADB=m2+4+2m ,
在 △ACD 中, AC2=CD2+AD2−2CD⋅ADcs∠ADC=4m2+4−4m ,
所以 AC2AB2=4m2+4−4mm2+4+2m=4m2+4+2m−121+mm2+4+2m=4−12m+1+3m+1
≥4−122m+1⋅3m+1=4−23
当且仅当 m+1=3m+1 即 m=3−1 时,等号成立,
所以当 ACAB 取最小值时, m=3−1 .
故答案为: 3−1 .
[方法二]: 建系法
令 BD=t ,以 D 为原点, OC 为 x 轴,建立平面直角坐标系.
则 C2t,0,A1,3,B−t,0
∴AC2AB2=2t−12+3t+12+3=4t2−4t+4t2+2t+4=4−12t+1+3t+1≥4−23
当且仅当 t+1=3 ,即 BD=3−1 时等号成立。
[方法三]: 余弦定理
设 BD=x,CD=2x . 由余弦定理得
c2=x2+4+2xb2=4+4x2−4x, ∴2c2+b2=12+6x2,
c2=x2+4+2xb2=4+4x2−4x, ∴2c2+b2=12+6x2,
令 ACAB=t ,则 2c2+t2c2=12+6x2 ,
∴t2+2=12+6x2c2=12+6x2x2+2x+4=61−2x+1+3x+1≥6−23 ,
∴t2≥4−23
当且仅当 x+1=3x+1 ,即 x=3+1 时等号成立.
[方法四]: 判别式法
设 BD=x ,则 CD=2x
在 △ABD 中, AB2=BD2+AD2−2BD⋅ADcs∠ADB=x2+4+2x ,
在 △ACD 中, AC2=CD2+AD2−2CD⋅ADcs∠ADC=4x2+4−4x ,
所以 AC2AB2=4x2+4−4xx2+4+2x ,记 t=4x2+4−4xx2+4+2x ,
则 4−tx2−4+2tx+4−4t=0
由方程有解得: Δ=4+2t2−44−t4−4t≥0
即 t2−8t+4≤0 ,解得: 4−23≤t≤4+23
所以 tmin=4−23 ,此时 x=2+t4−t=3−1
所以当 ACAB 取最小值时, x=3−1 ,即 BD=3−1
2022 . 新高考 1 卷
2. 记 △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,已知 csA1+sinA=sin2B1+cs2B .
(1) 若 C=2π3 ,求 B ;
(2) 求 a2+b2c2 的最小值.
【答案】 1π6:242−5 .
【分析】(1) 根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将 csA1+sinA=sin2B1+cs2B 化成 csA+B=sinB ,再结合 0