2024年高三培优讲义28---数列求和技巧进阶篇：并项简化计算，裂项求和进阶，奇偶项数列的处理

这是一份2024年高三培优讲义28---数列求和技巧进阶篇：并项简化计算，裂项求和进阶，奇偶项数列的处理，共20页。学案主要包含了并项求和简化计算，裂项求和等内容，欢迎下载使用。
知识点 ⋅ 梳理
题型一: (1) 已知 an−1+an=4n−2,a1=4 求 Sn
（2）已知 an−1+an=2n,a1=1 求 Sn
题型二: (1) an=2n−5×2n ,求 Sn . (待定系数法)
(2) bn=−1nan+an+1anan+1=−1n1an+1an+1
(3) n+2nn+1⋅2n=2n+1−nnn+1⋅2n=2n−1n+1⋅12n=1n⋅2n−1−1n+1⋅2n
(4) nn+1=13nn+1n+2−n−1nn+1, an=2n−1, bn=anan+1
(5) cn=4n24n2−1=4n2−1+14n2−1=1+1212n−1−12n+1
题型三: (1) an=2n−1n ,求数列 an 的前 n 项和.
（2） an=2n−1−1n ,求数列 an 的前 n 项和
（3） an=n, bn=2n ,求数列 −1nanbn 的前 n 项和
题型四: 已知数列 an=2n+1,n为奇数2n,n为偶数
（1）求数列 an 的前 20 项和 T20
（2）求数列 an 的前 2n 项和 T2n .
（3）求数列 an 的前 2n−1 项和 T2n−1 .
（4）求数列 an 的前 n 项和 Tn
重点题型 ⋅ 归类精讲
题型一 并项求和简化计算
一般来说, 并项求和的计算量比分组求和要小
1. 已知 an=2n−1 ,若 bn=ancs2nπ3 ,求数列 bn 的前 3n+1 项和 T3n+1 .
2. (2023 秋 湖南长郡中学校考) 已知 Sn 是数列 an 的前 n 项和, a1=2,a2=3,a3=4 ,数列 an+an+1+an+2 是公差为 1 的等差数列,则 S40=
3. 记 Sn ,为数列 an 的前 n 项和,已知 an−1+an=4n−2,a1=4 求 Sn .
4. 已知数列 an 的前 n 项和为 Sn,an+1+−1nan=2n−1 ,则 S8=
5. 已知 an 的前 n 项和为 Sn,an+2+−1nn+12an=n,S50=600 ,则 a1+a2=
6. 已知 an=2n−1 ,记 bn=−1nSn ,求数列 bn 的前 30 项的和 T30 .
7. 已知 an=2n+1 ,设 bn=−1nlg2an ,数列 bn 的前 n 项和为 Tn ,求满足 Tk=20 的 k 的值.
8. 已知 an=n3−1 ,若 bn=an+12cs2nπ3 ,求数列 bn 的前 18 项和 T18 .
9. 已知 an=22n−1 ,设 b1=1,bn+1=an,n为奇数−bn+n,n为偶数 ,求数列 bn 的前 2n 项和 S2n .
题型吕 裂项求和
差比数列的其它处理方式 (待定系数法)
10. an=2n−5×2n ,求 Sn .
11. an=n2×2n ,求 Sn .
12. an=4n2+14n+13×3n ,求 Sn .
【裂项相加】: −1n
例: −1n⋅2n+1nn+1=−1n1n+1n+1 ,本类模型典型标志在通项中含有 −1n 乘以一个分式.
对于 bn=−1nan+an+1anan+1 可以裂项为 bn=−1nan+an+1anan+1=−1n1an+1an+1
13. 若 an=2n−1 ,数列 bn 满足 bn=−1n+1nanan+1,bn 的前 n 项和为 Tn ,求 Tn
14. 已知数列 an 满足 an=3n−1 ,若 bn=−1n⋅2n2+6n+5lg321+an+1⋅lg321+an+2 ,求数列 bn 的前 n 项和 Tn .
15. 已知 bn=2n−1 ,设 cn=−1n2n+1bn+1+1bn+1,Tn 为数列 cn 的前 n 项和,证明: T2n≤−16 .
16. 已知 an=2n−1 ,求 −1n+1⋅2n+1+2n−2an+1an 的前 n 项和 Tn .
17. 已知 an=6n+1n+2 ,若 bn=2n+3−1nan ,求 bn 的前 n 项和 Tn .
【等差数列相邻 2 两项之积构成的的新数列】
例如: nn+1=13nn+1n+2−n−1nn+1
一般式,当公差为 k 时: kn⋅kn+k=13kkn⋅kn+k⋅kn+2k−kn−k⋅kn⋅kn+k
18. 已知 an=2n−1,bn=anan+1 ,求数列 bn 的前 n 项和 Tn
19. 已知 an=2n−1,bn=−1nanan+1 ,求数列 bn 的前 n 项和 Tn . 一次乘指数型: 分母为一次函数和指数函数相乘
例子: n+2nn+1⋅2n=2n+1−nnn+1⋅2n=2n−1n+1⋅12n=1n⋅2n−1−1n+1⋅2n
一般结构 a−1kn+ab+ak−bankn−bkn+1+b=1ankn−b−1ankn+1+b
20. 已知 bn=3n ,若 bncn=4n+14n2−1n∈N* ,求数列 cn 的前 n 项和
21. 已知 an+1=2n ,记 an+1bn=n+2n2+n,Tn 为数列 bn 的前 n 项和,求 Tn .
22. 已知 bn=n2+2n+22n ,求证: b11×2+b22×3+b33×4+….+bn−1n−1×n+bnn×n+12023 ,求 n 的最小值.
【分析】解法一: 枚举; 解法二: 分组求和得出 S2k=kk+12+84k−13 ,进而得出 S2k−1=kk+12+2×4k−83 ,
求解即可得出答案; 解法三: 分组求和得出 S2k−1=kk+12+2×4k−83 ,求解即可得出答案.
【详解】解法一:
S9=a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9=a1+a3+a5+a7+a9+a2+a4+a6+a8
=1+2+3+4+5+23+25+27+29=15+680=6952023 ;
又 an>0 ,则 Sn