甘肃省普通高中2023-2024学年高一下学期期末教学质量统一检测数学试题

这是一份甘肃省普通高中2023-2024学年高一下学期期末教学质量统一检测数学试题，共9页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容，已知，则，已知函数，则等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：湘教版必修第一册占20%，必修第二册占80%.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（ ）
A.B.C.D.
2.复数的虚部为（ ）
A.1B.2C.D.
3.已知直线，及平面，，且，，下列命题正确的是（ ）
A.若，则B.若，则
C.若，则D.若，则
4.某射击运动员射击5次的成绩如下表：
下列结论正确的是（ ）
A.该射击运动员5次射击的平均环数为9.2
B.该射击运动员5次射击的平均环数为9.5
C.该射击运动员5次射击的环数的方差为1
D.该射击运动员5次射击的环数的方差为
5.已知单位向量，满足，则与的夹角为（ ）
A.0B.C.D.
6.如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，则该四棱锥外接球的表面积为（ ）
A.B.C.D.
7.“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连，秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒，每月两节不变更，最多相差一两天.”中国农历的二十四节气，凝结着中华民族的智慧，是中国传统文化的结晶，如五月有立夏、小满，六月有芒种、夏至，七月有小暑、大暑.现从立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑这6个节气中任选2个节气，则这2个节气不在同一个月的概率为（ ）
A.B.C.D.
8.已知，则（ ）
A.0B.C.D.1
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.下列函数中是偶函数的是（ ）
A.B.C.D.
10.已知函数，则（ ）
A.的最小正周期为
B.的图象关于直线对称
C.的图象关于点中心对称
D.的最大值为1
11.有一种“蒺藜形多面体”，其可由两个正交的正四面体组合而成，如图1，也可由正方体切割而成，如图2.在如图2所示的“蒺藜形多面体”中，若，则（ ）
A.该几何体的表面积为
B.该几何体的体积为4
C.直线与直线所成的角为
D.二面角的余弦值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.
12.函数的值域为___________.
13.已知正实数，满足，则的最小值为___________.
14.已知四边形的顶点都在半径为2的圆上，且经过圆的圆心，，，四边形的面积为，则__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）已知向量，.
（1）若，求；
（2）若向量，，求与夹角的余弦值.
16.（15分）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，为的中点，点在线段上，平面.
（1）证明：.
（2）求的值.
17.（15分）已知函数（，，）的部分图象如图所示.
（1）求的解析式；
（2）设，为锐角，，，求的值.
18.（17分）某社区举办“趣味智力挑战赛”，旨在促进社区邻里关系，鼓励居民参与公益活动.本次挑战赛第一轮为选手随机匹配4道难度相当的趣味智力题，参赛选手需依次回答4道题目，任何1道题答对就算通过本轮挑战赛.若参赛选手前2道题都没有答对，而后续还需要答题，则每答1道题就需要后期参与一次社区组织的公益活动，若4道题目都没有答对，则被淘汰.甲、乙都参加了本次挑战赛，且在第一轮挑战赛中甲、乙答对每道趣味智力题的概率均为.甲热爱公益活动，若需要答题机会，他愿意参与社区组织的公益活动.乙不热爱公益活动，若前2道题都没有答对，则停止答题，被淘汰.甲、乙每道题是否答对相互独立.
（1）求甲通过第一轮挑战赛的概率；
（2）求乙通过第一轮挑战赛的概率：
（3）求甲、乙中只有1人通过了第一轮挑战赛的概率
19.（17分）在中，内角，，所对的边分别为，，，且.
（1）求角.
（2）已知.
①求面积的最大值；
②延长至，使得，连接，设外接圆的圆心为，求的最小值.
2024年普通高中高一年级教学质量统一检测
数学试题参考答案
1.B .
2.B ，所以复数的虚部为2.
3.B 若，则，B正确.
4.D 该射击运动员5次射击的平均环数为，
5次射击的环数的方差.
5.C 因为，所以，，所以与的夹角为.
6.C 将四棱锥补全成长方体，则该四棱锥的外接球即补全后长方体的外接球，外接球的半径为，表面积为.
7.A 样本空间{（立夏，小满），（立夏，芒种），（立夏，夏至），（立夏，小暑），（立夏，大暑），（小满，芒种），（小满，夏至），（小满，小暑），（小满，大暑），（芒种，夏至），（芒种，小暑），（芒种，大暑），（夏至，小暑），（夏至，大暑），（小暑，大暑）}，共有15个样本点，其中任取2个节气，这2个节气都在同一个月的样本点有3个，所以这2个节气都在同一个月的概率为，则这2个节气不在同一个月的概率为.
8.A 因为
，
所以，即.
9.ABD ，，是偶函数.
10.ABC 的最小正周期为，最大值为2，其图象的对称中心为，，对称轴为直线，.
11.ABC 因为，所以.该几何体的表面积为，A正确.
该几何体的体积为，B正确.
因为，所以直线与直线所成的角即直线与直线所成的角，其大小为.故直线与直线所成的角为，C正确.
设的中点为，连接，（图略），即为二面角的平面角.，，D错误.
12. 函数的值域为.
13. ，当且仅当，时，等号成立.
14. 如图，连接，，则是等边三角形，.
四边形的面积为，解得.
因为，所以或.因为，所以，则，所以是等腰直角三角形，.
15.解：（1）因为，，所以.
由，可得，
即，解得，
所以，故.
（2）依题意得.
因为，所以
解得，则.
，，，
所以，
所以与夹角的余弦值为.
16.（1）证明：因为，为的中点，所以.
因为平面平面，平面平面，平面，所以平面.
因为平面，所以.
（2）解：设为的中点，连接，.
因为，，所以四边形是平行四边形，所以.
因为平面，平面，所以平面.
因为平面，，所以平面平面.
因为平面，所以平面.
因为平面平面，平面，所以，所以.
17.解：（1）由图可得，且，解得.
由，，解得.
由，，解得.
故.
（2）因为，为锐角，，所以为钝角，
，.
，
则.
.
18.解：（1）甲第一轮挑战赛被淘汰的概率为，
甲通过第一轮挑战赛的概率为.
（2）乙第一轮挑战赛被淘汰的概率为，
乙通过第一轮挑战赛的概率为.
（3）甲、乙中只有1人通过了第一轮挑战赛的概率为.
19.解：（1）由题意可得，即.
因为，所以，
即，所以.
又因为，所以，所以，即.
又因为，所以.
（2）①因为，所以，解得，当且仅当时，等号成立，
所以的面积，
即面积的最大值为.
②设的中点为.
.
因为，所以，当且仅当时，等号成立，所以.
故.
综上，的最小值为.
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
9环
9环
10环
8环
9环