湖北省新高考协作体2024届高三统一模拟考试数学试题（一）

这是一份湖北省新高考协作体2024届高三统一模拟考试数学试题（一），共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.设i为虚数单位，若复数z满足，则( )
A. 1B. C. D. 2
2.已知集合太平洋，大西洋，集合，则集合A与集合B的关系为( )
A. B. C. D.
3.一个容量为10的样本，6，7，8，9，10，13，14，15，17，18，则该组数据的上四分位数为( )
A. 8B. C. D. 15
4.已知直线l：与圆C：交于A、B两点，，则( )
A. 1B. C. D.
5.考虑以为样本空间的古典概型．设X和Y定义在上，取值于的成对分类变量，则“与独立”是“与独立”的( )
A. 充要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
6.若，，，则的最小值为( )
A. B. C. D. 6
7.已知数列，通项公式为，，将数列，的公共项从小到大排列得到数列，设数列的前n项和为，则( )
A. B. C. D.
8.一个半径为1的小球在一个内壁棱长为的正四面体封闭容器内可向各个方向自由运动，则该小球表面永远不可能接触到的容器内壁的面积是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.四个实数1，，a，b按照一定的顺序构成一个等比数列，则ab的可能取值有( )
A. B. C. 128D.
10.已知函数，，且满足，，对任意的，恒有，且为的极值点，则下列等式成立的是( )
A. B.
C. D.
11.已知，分别为双曲线的左、右焦点，过点的直线与双曲线的右支交于A，B两点，记的内切圆的半径为，的内切圆的半径为若双曲线的离心率，则下列说法正确的是( )
A. 双曲线的渐近线方程：B. 以为直径的圆与直线AB相切
C. 内切圆半径最小值是D. 的范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数的对称中心为__________.
13.抛物线E：的焦点为F，直线AB，CD过F分别交抛物线E于点A，B，C，D，且直线AD，BC交x轴于N，M，其中，则M点坐标为__________.
14.对于任意的实数，函数在上至少3个零点，至多4个零点，则的取值范围为__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题13分
发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，是应对气候变化推动绿色发展的战略举措．随着国务院《新能源汽车产业发展规划》的发布，我国自主品牌汽车越来越具备竞争力．国产某品牌汽车对市场进行调研，统计了该品牌新能源汽车在某城市2023年前几个月的销售量单位：辆，用y表示第x月份该市汽车的销售量，得到如下统计表格：
经研究，x、y满足线性相关关系，求y关于x的线性回归方程、按四舍五入精确到整数；
该市某4S店为感谢客户，决定针对该品牌的汽车成交客户开展抽奖活动，设“一等奖”、“二等奖”和“祝您平安”三种奖项，“一等奖”奖励5千元；“二等奖”奖励3千元；“祝您平安”奖励纪念品一份．在一次抽奖活动中获得“二等奖”的概率为，获得一份纪念品的概率为，现有甲、乙两个客户参与抽奖活动，假设他们是否中奖相互独立，求此二人所获奖金总额千元的分布列及数学期望．
参考数据及公式：，，
16.本小题15分
在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若
求角A的大小；
若D为BC上一点，且AD为的角平分线，，求AD的最大值．
17.本小题15分
如图，在直三棱柱中，，
求证：；
若E为的中点，三棱锥的体积为1，线段CE上是否存在点P，使得二面角的大小为，若存在，求的值，若不存在，请说明理由．
18.本小题17分
已知
若，，求；
设，，证明：；
在的条件下，若，
ⅰ证明：数列和数列均为等比数列；
ⅱ求的通项公式．
19.本小题17分
如图，已知圆锥PO的轴PO与母线所成的角为，过的平面与圆锥的轴所成的角为，该平面截这个圆锥所得的截面为椭圆C，椭圆C的长轴为，短轴为，长半轴长为3，C的中心为N，再以为弦且垂直于PO的圆截面，记该圆与直线交于，与直线交于，设
求椭圆C的焦距；
椭圆C左右焦点分别为，，C上不同两点A，B，满足，设直线，交于点Q，，求四边形的面积．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查复数的除法运算和复数模长的计算，属于基础题.
先将复数z化简，然后求出其模，最后代入求出答案即可.
【解答】
解：由已知得，所以，所以
故选：
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查元素与集合，集合与集合的关系等，属于基础题．
由题意太平洋，大西洋，太平洋，大西洋，从而确定关系．
【解答】
解：已知集合太平洋，大西洋，集合，
集合B为集合A的子集组成的集合，
太平洋，大西洋，太平洋，大西洋，
则
故选：
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查百分位数，属于基础题.
根据分位数的求法求解即可.
【解答】
解：上四分位数就是分位数，
因为容量为10的样本，，
故第处的数字为第八个数
故选：
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查直线与圆的位置关系，点到直线距离公式，属于基础题.
利用为等腰直角三角形，得到，计算即可.
【解答】
解：圆C的圆心为，半径，
由题意可知，为等腰直角三角形，
则C到AB的距离为，
则，解得
故选：
5.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查充分条件、必要条件的判断，考查条件概率的计算，属于中档题.
根据条件概率的计算以及充分条件、必要条件的定义判断即可.
【解答】
解：由题意可知，，，
若与独立，
则，，
，
与独立，反之亦然，
故为充要条件.
故选：
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查利用基本不等式求最值，属于中档题.
直接利用基本不等式求解．
【解答】
解：，，，
，
，且，，
，，
，
当且仅当时取等号.
故的最小值为
故选：
7.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查等差数列的通项公式与前n项和公式，属于中档题.
首先判断出数列与 项的特征，从而判断出两个数列公共项所构成新数列的首项以及公差，利用等差数列的求和公式求得结果.
【解答】
解：因为，
，
所以是以1为首项，以2为公差的等差数列，
数列是以1首项，以3为公差的等差数列，
所以这两个数列的公共项所构成的新数列是以1为首项，以6为公差的等差数列，
所以的前n项和
故答案为：
8.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查棱锥、球的结构特征，属于较难题.
考虑小球与正四面体的一个面相切时的情况，易知小球在面上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角形，正四面体的棱长为，故小三角形的边长为，求解即可．
【解答】
解：如图甲，考虑小球挤在一个角时的情况，
小球半径为1，作平面平面ABC，
与小球相切于点D，则小球球心O为正四面体的中心，面，垂足D为的中心.
因
，
故，从而
记此时小球与面PAB的切点为，连接，
则，
考虑小球与正四面体的一个面不妨取为相切时的情况，
易知小球在面PAB上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角形，记为，如图乙.
记正四面体的棱长为a，过作于
因，
有，
故小三角形的边长，
小球与面PAB不能接触到的部分的面积参考图乙，
，
所以，
所以，
由对称性，且正四面体共4个面，所以小球不能接触到的容器内壁的面积共为
故选：
9.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题考查等比数列的性质，等比数列的通项公式，属于基础题.
对a，b的位置分类讨论，利用等比数列的性质，即可求出结果.
【解答】
解：设等比数列的公比为q，
根据等比数列的性质：
若a，b都在中间或两端，
则；
若a，b在前两位，
则或，
且，
当时，解得；
当时，解得；
若a，b在后两位，
则或，
且，
当时，解得；
当时，解得；
综上，ab的取值为或或
故选：
10.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题考查利用导数研究函数的极值，等差数列的判定等，属于中档题.
利用导数研究函数的极值，结合等差数列逐一判定即可.
【解答】
解：，
，
、且满足，，对任意的，恒有，
与切于点，交于点，
与切于点，交于点，
，为的两异根，
为极大值点，为极小值点，
令，
则，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增，
所以是函数的极小值点，
，故A正确；
由，则，
则，
由，则，
则，
所以，故B正确；
，故C错误；
，故D正确.
故选
11.【答案】BC
【解析】【分析】
本题考查双曲线渐近线、直线与圆位置关系判断，直线与双曲线的位置关系及其应用，属于较难题.
利用双曲线的定义、性质，结合圆的切线长定理、直线与圆的位置关系等知识对选项逐个判断即可.
【解答】
解：因为，所以渐近线方程为，所以A错.
设，，其中，
设，，，
对于C，过分别作，，的垂线，垂足分别为D，E，F，
由切线长定理有，，，
则，
又因为，所以，
又，所以，同理可得，则，在直线上;
对于A，过作AB的垂线，垂足为G，因为，则，
设、EG的中点分别为M，N，则，且，
所以，M到AB距离为，
则以为直径的圆与直线AB相切，故B正确.
对于C，设，，则，，，
内切圆半径，当且仅当时取等号，故C对.
对于D，，故D错.
故选：
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查函数的对称性，属于基础题．
由函数中心对称的特点计算可得.
【解答】
解：，
，
，
所以对称中心为
故答案为：
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查几何与代数，涉及了直线与抛物线的位置关系，属于中档题.
设，，，，，设，与抛物线联立，结合根与系数的关系可得M的坐标.
【解答】
解：F坐标为，
设，，，，，
设，联立消x得，
所以，
同理：，，，
所以，
所以，所以
故答案为
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考正弦函数的图象、性质，属于中档题.
由 ，得 ，进而可得区间长度，再利用正弦型函数的性质可得不等式，即可求解.
【解答】
解：令，则，
当时，
则，
其区间长度，
为保证在上至少3零点，至多4零点，
则，
解得，
故
故答案为：
15.【答案】解：由题意可得，，
，
，，
故线性回归方程为
由题意可得，获得“一等奖”的概率为，
X的所有可能取值为0、3、5、6、8、10，
，，
，，
，，
故X的分布列为：
故

【解析】本题考查概率统计，涉及回归直线方程的求解，离散型随机变量的分布列和数学期望，属于中档题.
计算出、的值，可求出，利用最小二乘法求出、的值，可得出回归直线方程；
由题意可知，随机变量X的可能取值有0、3、5、6、8、10，计算出随机变量X在不同取值下的概率，可得出随机变量X的分布列，进而可求得的值.
16.【答案】解：因为，
由正弦定理得
，
即，
，
所以，
又，所以
因为，
因为，
所以，
即，
所以，又，
所以，
所以，
设，则，
所以，
，
当且仅当时等号成立，所以AD的最大值为
【解析】本题考查正弦定理与余弦定理的综合应用，三角形面积公式，基本不等式，属于中档题.
利用正弦定理与余弦定理结合角度范围可得答案；
利用三角形面积公式可得，进而可得，设，即可利用基本不等式求解最值.
17.【答案】解：
证明：在直三棱柱中，，
平面ABC，
平面ABC，
，
，，平面，平面，
平面，
平面，；
，平面BAC，，BA，两两垂直，
以B为坐标原点，，BC，BA所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，
设，则，
解得
由题意知平面ABE的一个法向量为 ，
设平面ABP的一个法向量为，
，，，，
，设，，
则，令，得，
二面角的大小为，
，解得，
存在点P，当时，二面角的大小为
【解析】本题考查线面垂直的判定与性质，考查平面与平面所成角的向量求法，属于中档题.
推导出平面ABC，，从而平面，由此能证明；
以B为坐标原点，，BC，BA所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出存在点P，当时，二面角的大小为
18.【答案】解：由题意可得：，，
其中，即，①
，
，
又，
，②
联立①②解得：，
证明：，，
则，
故
，
证明：由题意可得：时，结合可知：
，，
，
又，
，
，
，
所以数列是以为公比，为首项的等比数列，
数列是以为公比，为首项的等比数列;
由，结合等比数列的通项公式，可得：
，
，
即，
故
【解析】本题考查函数，涉及同角三角函数基本关系，等比数列的判定与证明，数列通项公式的求解等，属于较难题.
利用，得到，进一步得到，
从而得到；
由同角的平方关系，化简整理，可得证明；
利用得到即可证明；
利用结合等比数列的通项公式，最后得到即可.
19.【答案】解：过N作于点G，
而，，
所以，而，
，
同理过N向作垂线，可得
，
，
，
，
，，
故求椭圆C的焦距；
，，
，
，
，
，
延长交C于点，
则，
设，，
则，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故四边形的面积
【解析】本题考查椭圆的焦点、焦距，椭圆中的四边形面积问题，属于较难题.
分别求出和，得，求出离心率，即可得焦距;
求出，利用平面向量的坐标运算和点差法求出，代入即可求面积.1
2
3
4
5
6
7
28
32
37
45
47
52
60
X
0
3
5
6
8
10
P