天津市滨海新区2023-2024学年高一下学期期末检测数学试卷

这是一份天津市滨海新区2023-2024学年高一下学期期末检测数学试卷，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间100分钟．
答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、准考证号写在答题纸上．答卷时，考生务必将答案写在答题纸上，答在试卷上的无效．
祝各位考生考试顺利！
第Ⅰ卷选择题（60分）
一、选择题：本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选答案填入答题纸中的答题栏内．
1．若复数（是虚数单位）是纯虚数，则实数（ ）
A．B．0C．1D．2
2．下列说法正确的是（ ）
A．三点确定一个平面B．四边形确定一个平面
C．三角形确定一个平面D．一条直线和一个点确定一个平面
3．某校高一数学备课组老师的年龄（单位：岁）分别为：35，36，37，38，40，41，51，51，52，54，56，59，则该组数据的极差为（ ）
A．53B．52C．51D．24
4．在中，若，则（ ）
A．B．C．10D．
5．同时抛掷两枚质地均匀的骰子，用表示结果，记事件为“所得点数之和小于4”，则事件的概率为（ ）
A．B．C．D．
6．已知一个圆锥的底面半径为1，母线长为4，则圆锥的侧面展开图的圆心角为（ ）
A．B．C．D．
7．从装有2个红球、1个黑球的袋中任取2个球，若事件为“所取的2个球中恰有1个黑球”，则与事件对立的事件是（ ）
A．所取的2个球中至多有一个是黑球
B．所取的2个球中恰有1个黑球1个红球
C．所取的2个球都是红球
D．所取的2个球中至少有一个红球
8．某校组织“交通安全”知识测试，随机调查1000名学生，将他们的测试成绩（满分100分）按照分成五组，得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（ ）
A．图中
B．估计样本数据的第80百分位数为93分
C．若每组数据以所在区间的中点值为代表，则这1000名学生成绩的平均数为80.5分
D．测试成绩低于80分的人数为450人
9．已知是两个不同的平面，是两条不同的直线，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
10．已知平面向量，则下列说法不正确的是（ ）
A．与共线的单位向量的坐标为或
B．在方向上的投影向量为
C．与垂直的单位向量的坐标为或
D．若向量与向量垂直，则
11．已知的三个内角的对边分别为，且满足，则的形状为（ ）
A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形
12．《九章算术·商功》中有如下问题：“今有堑堵，下广二丈，表一十八丈六尺，高二丈五尺，问积几何？答曰：四万六千五百尺”．所谓“堑堵”就是两底面为直角三角形的直棱柱，如图所示的几何体是一个“堑堵”，是的中点，过三点的平面把该“堑堵”分为两个几何体，其中一个为三棱台，给出下列四个结论：
①过三点的平面截该“堑堵”的截面是三角形
②该三棱台的表面积为
③二面角的正切值为
④三棱锥的外接球的表面积为
其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
第Ⅱ卷（90分）
二、填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．
13．若复数（是虚数单位），则___________．
14．一支羽毛球队有男运动员64人，女运动员56人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为30的样本，如果样本按比例分配，那么男运动员应抽取的人数为___________．
15．已知一组样本数据：3，4，4，4，6，6，7，8，8，则该组样本数据的众数为___________，中位数为___________．
16．已知一组数据的平均数是3.6，方差是2，则新数据的平均数是___________，方差是___________．
17．如图，用斜二测画法画水平放置的的直观图得，其中的面积为，则其直观图中边上的高的长度为___________．
18．如图，在四棱锥中，底面是边长为2正方形，底面，为的中点，为底面的中心．（ⅰ）三棱锥的体积为___________；（ⅱ）直线与所成的角为___________．
19．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中国古代流传下来的两幅神秘图案．河图的排列结构如图所示，一与六共宗居下，二与七为朋居上，三与八同道居左，四与九为友居右，五与十相守居中，其中白圈为阳数，黑点为阴数．若从阳数和阴数中各取一数，则其差的绝对值为3的概率为___________．
20．在中，，并且满足．（ⅰ）角___________；（ⅱ）若点在线段上（点不与端点重合），延长到，使得，（为常数），则线段的长度为___________．
三、解答题：本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
21．（本小题满分12分）
已知向量满足．
（Ⅰ）求向量的数量积；
（Ⅱ）求向星夹角的余弦值；
（Ⅲ）求的值．
22．（本小题满分12分）
甲、乙两名同学进行某项体能测试，甲同学通过的概率为，乙同学通过的概率为，并且在测试过程中甲、乙两同学互不影响，求下列事件的概率；
（Ⅰ）甲、乙两同学都能通过；
（Ⅱ）甲、乙两同学恰有一人通过；
（Ⅲ）甲、乙两同学中至少有一人通过．
23．（本小题满分13分）
如图，在棱长均为2的正三棱柱中，为棱的中点．
（Ⅰ）求证：直线平面；
（Ⅱ）求证：平面平面；
（Ⅲ）若为棱上一点，且，求直线与平面所成角的正切值．
24．（本小题满分13分）
已知的三个内角的对边分别为，且．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若的面积是，求；
（Ⅲ）若为边上一点，且满足，，试求的最大值．
滨海新区2023-2024学年度第二学期期末检测卷
高一年级数学参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．
二、填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．
13． 14．16 15．4，6 16．5.6，2 17．2 18． 19． 20．
三、解答题：本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．说明：解答给出了一种解法供参考，其他解法可根据试题的主要考查内容比照评分参考制定相应的评分细则．
21．解：（Ⅰ）
（Ⅱ）
又
（Ⅲ）
22．解：设“甲通过”，“乙通过”，则
“甲没通过”，“乙没通过”．由于两人测试的结果互不影响，所以与相互独立，与，与，与都相互独立．
由已知可得，．
（Ⅰ）“两人都通过”，由事件的独立性定义，得
所以两人都通过的概率为
（Ⅱ）“恰好有一人通过”，且与互斥，
根据概率的加法公式和事件的独立性定义，得
所以甲、乙两人中恰好有一人通过的概率为
（Ⅲ）事件“至少有一人通过”，且与两两互斥
所以
所以两人中至少有一人通过的概率为
23解：（Ⅰ）连接交于点，连接．
在中，为的中点，为的中点．
是的中位线，
平面平面
平面
（Ⅱ）在正三棱柱中，平面平面，
在等边中，为的中点，
又是平面内的两条相交直线．
平面，又平面，
平面平面
（Ⅲ）连接，
和都是直角三角形，且，
，
，
由（Ⅱ）得，平面平面，平面平面，
又平面，
平面
为直线与平面所成的角．
在中，，
所以直线与平面所成角的正切值为
24．解：（Ⅰ）由余弦定理得，
（Ⅱ）由面积公式得，
又
（Ⅲ）取的中点，则，
又为等边三角形
在中，由余弦定理得，
又由基本不等式得，当且仅当时，等号成立
的最大值为4．1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
A
C
D
A
A
B
C
D
B
C
D
A