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沪教版九年级数学上册期中期末挑战满分冲刺卷专题02相似三角形(难点)(原卷版+解析)
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这是一份沪教版九年级数学上册期中期末挑战满分冲刺卷专题02相似三角形(难点)(原卷版+解析)，共33页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列说法不正确的是（ ）
A．将一个矩形风景画的四周镶上宽度相等的金边后得到的新矩形与原矩形相似
B．若线段a＝5cm，b＝2cm，则a：b＝5：2
C．若线段AB＝cm，C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，则AC＝cm
D．若两个相似多边形的面积比为16：9，那么这两个相似多边形的周长比是4：3
2．下列说法正确的是（ ）
A．两个直角三角形相似
B．两条边对应成比例，一组对应角相等的两个三角形相似
C．有一个角为40°的两个等腰三角形相似
D．有一个角为100°的两个等腰三角形相似
3．点是线段的黄金分割点，且，下列命题：，中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．下列关于向量的说法中，不正确的个数是（ ）
①；
②若，则；
③若、是实数，则；
④如果非零向量与非零向量平行，那么存在唯一的实数，使得；
⑤如果非零向量，则与所在的直线平行；
⑥如果与分别是与的单位向量，则
A．2B．3C．4D．5
5．如图，在中，，，下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，在中，D在AC边上，AD:DC=1:2，O是BD的中点，连接AO并延长交BC于E，若BE=1，则EC=（ ）
A．B．2C．3D．4
7．如图是一架梯子的示意图，其中，且．为使其更稳固，将A，间加一条安全绳（线段），分别交，于点E，F，量得．则的长为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，在等腰Rt△ABC中∠C＝90°，AC＝BC＝2．点D和点E分别是BC边和AB边上两点，连接DE．将△BDE沿DE折叠，得到△B′DE，点B恰好落在AC的中点处，设DE与BB交于点F，则EF＝（ ）
A．B．C．D．
9．如图，正方形ABCD由四个全等的直角三角形拼接而成，连结HF交DE于点M．若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
10．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BA＝CA＝6，D为BC边的中点，点E是CA延长线上一点，把ACDE沿DE翻折，点C落在处，与AB交于点F，连接．当时，BC’的长为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
11．已知，且a+b+c≠0，则=_____．
12．点C是线段AB的黄金分割点（AC>BC），如果AC比BC大2，那么AC=_______．
13．如图，在△ABC中，AD为边BC上的中线，DE∥AB，已知，，那么用，表示＝_____．
14．如图，的中线、交于点，点在边上，，那么的值是__________.
15．如图，在ABC中，点D是边BC的中点，直线DF交边AC于点F，交AB的延长线于点E，如果CF∶CA=a∶b，那么BE∶AE的值为______．（用含a、b的式子表示）
16．如图，在矩形ABCD中，∠BCD的角平分线CE与边AD交于点E，∠AEC的角平分线与边CB的延长线交于点G，与边AB交于点F，如果AB=，AF=2BF，那么GB=______．
17．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的最美分割线．在△ABC中，∠A＝50°，CD是△ABC的最美分割线．若△ACD为等腰三角形，则∠ACB的度数为________．
18．如图，梯形中，，点E在边上，把绕点B逆时针旋转90°，点E的对应点是点F，点C的对应点是点M，如果，那么的值是_______．
三、解答题
19．已知，x：y：z＝2：3：4，求：
（1）的值；
（2）若x+y+z＝18，求x，y，z．
20．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点H在边BC上，且AH＝HC，交AC于点G，BD＝7，AD＝5，DH＝3．
(1)求证：AH⊥BC；
(2)求AG的长．
21．如图，DE∥BC，EF∥CG，AD：AB=1：3，AE=3．
（1）求EC的值；
（2）求证：AD•AG=AF•AB．
22．如图，已知：△ABC和△ADE都是等边三角形，其中点D在边BC上，点F是AB边上一点，且BF＝CD．
(1)求证：DECF；
(2)联结DF，设AD、CF的交点为M，如果＝FM•FC，求证：DFAC．
23．如图，点D、E分别在△ABC的边BC及其延长线上，且∠BAC＝∠DAE，∠ACB＝2∠BAD．
(1)求证：；
(2)若∠ACB＝60°，且BD＝DC＝1，求AC的值．
24．如图，在正方形中，点在延长线上，点为上一点，联结交于点，，延长线交延长线于点．
(1)证明：四边形是等腰梯形；
(2)若点是的黄金分割点，且，证明：．
25．如图，在中，点、点分别在、上，点是上的一点，联结并延长交于点，且．
(1)求证：；
(2)若，求证：．
26．将一个矩形ABCD绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到矩形AB′C′D'，连接BD．
(1)如图1，当α＝90°时，点C′恰好在DB延长线上．求证：点B是线段DC′的黄金分割点；
(2)如图2，连接AC′，过点D′作D′MAC′交BD于点M，射线DB分别交AD′，AC′于点P，N．求证：MN2＝PN•DN．
27．如图，在梯形中，，，，点、分别在线段、上，．的延长线交边于点，交于点、其延长线交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）设，的面积为，求关于的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）联结，当与相似时，求的长．
28．如图，在矩形ABCD中，，点F、G分别在边AB、CD上，将矩形ABCD沿GF折叠，使点A落在BC边上的点E处，得到四边形EFGP，EP交CD于点H，连接AE交GF于点O．
(1)若BC＝8，E是BC中点，求BF的长；
(2)试探究GF与AE之间的位置关系与数量关系，并说明理由；
(3)连接CP，若，，求线段BE和CP的长．
专题02 相似三角形（难点）
一、单选题
1．下列说法不正确的是（ ）
A．将一个矩形风景画的四周镶上宽度相等的金边后得到的新矩形与原矩形相似
B．若线段a＝5cm，b＝2cm，则a：b＝5：2
C．若线段AB＝cm，C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，则AC＝cm
D．若两个相似多边形的面积比为16：9，那么这两个相似多边形的周长比是4：3
【答案】A
【分析】直接利用成比例线段以及相似多边形的性质、黄金分割的性质分别判断得出答案．
【解析】解：A、将一个矩形风景画的四周镶上宽度相等的金边后得到的新矩形与原矩形不一定相似，原说法错误，故此选项符合题意；
B、若线段a=5cm，b=2cm，则a：b=5：2，正确，故此选项不符合题意；
C、若线段AB＝cm，C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，则 cm，正确，故此选项不符合题意；
D、若两个相似多边形的面积比为16：9，那么这两个相似多边形的周长比是4：3，正确，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，矩形的性质，成比例线段，黄金分割，掌握它们的概念和性质是解题的关键．
2．下列说法正确的是（ ）
A．两个直角三角形相似
B．两条边对应成比例，一组对应角相等的两个三角形相似
C．有一个角为40°的两个等腰三角形相似
D．有一个角为100°的两个等腰三角形相似
【答案】D
【分析】利用相似三角形的判定方法依次判断即可得解．
【解析】解：A、∵两个直角三角形只有一组角相等，
∴两个直角三角形不一定相似，故选项A不合题意；
B、∵两条边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似，
∴两条边对应成比例，一组对应角相等的两个三角形不一定相似，
故选项B不合题意；
C、∵底角为40°的等腰三角形和顶角为40°的等腰三角形不相似，
∴有一个角为40°的两个等腰三角形不一定相似，故选项C不合题意；
D、∵有一个角为100°的两个等腰三角形相似，
∴选项D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
3．点是线段的黄金分割点，且，下列命题：，中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比．
【解析】∵点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞PB，
∴根据线段黄金分割的定义得：AP2＝PB•AB，AP：AB＝PB：AP，
∴只有②④正确．
故选B．
【点睛】本题主要考查了理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键．本题同时考查了乘积形式和比例形式的转化，难度适中．
4．下列关于向量的说法中，不正确的个数是（ ）
①；
②若，则；
③若、是实数，则；
④如果非零向量与非零向量平行，那么存在唯一的实数，使得；
⑤如果非零向量，则与所在的直线平行；
⑥如果与分别是与的单位向量，则
A．2B．3C．4D．5
【答案】A
【分析】根据平面向量的性质，一一判断即可．
【解析】①，该选项正确；
②若，向量既有大小，也有方向，故不确定，该选项错误；
③若、是实数，则，该选项正确；
④如果非零向量与非零向量平行，那么存在唯一的实数，使得，该选项正确；
⑤如果非零向量，可得、方向相同，则与所在的直线平行，该选项正确；
⑥如果与不平行，则与也不平行，该选项错误．
综上，②⑥不正确，共2个．
故选：A．
【点睛】本题考查了平面向量的概念与运算，考查学生灵活运用知识的能力和推理论证能力．解题的关键是熟练掌握平面向量的性质．
5．如图，在中，，，下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据平行线分线段成比例的性质，即可解答．
【解析】
，
，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例的性质，解题关键是熟练运用这个性质得到线段的比例关系．
6．如图，在中，D在AC边上，AD:DC=1:2，O是BD的中点，连接AO并延长交BC于E，若BE=1，则EC=（ ）
A．B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】过点D作交BC于F，根据平行线分线段成比例定理可得，，，再根据O是BD的中点，可得BE=EF，进而解答即可．
【解析】解：过点D作交BC于F，如图，
∵，
∴，
∵O是BD的中点，
∴BO=OD，
∴BE=EF，
∵，
∴，
∴CF=2EF，
∴BE:EC=BE:3BE=1:3，
∵BE=1，
∴EC=3，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．过分点作平行线构建平行线分线段成比例定理的基本图形是解决问题的关键．
7．如图是一架梯子的示意图，其中，且．为使其更稳固，将A，间加一条安全绳（线段），分别交，于点E，F，量得．则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据平行线分线段成比例定理得到，同理得到，计算即可．
【解析】解：，
，
，
，
同理可得：，
，
，
故选C．
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
8．如图，在等腰Rt△ABC中∠C＝90°，AC＝BC＝2．点D和点E分别是BC边和AB边上两点，连接DE．将△BDE沿DE折叠，得到△B′DE，点B恰好落在AC的中点处，设DE与BB交于点F，则EF＝（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据等腰直角三角形的性质得到ABAC＝4，∠A＝∠B＝45°，过B′作B′H⊥AB与H，得到AH＝B′HAB′，求得AH＝B′H＝1，根据勾股定理得到BB′，由折叠的性质得到BFBB′，DE⊥BB′，根据相似三角形即可得到结论．
【解析】解：∵在等腰Rt△ABC中∠C＝90°，AC＝BC＝2，
∴ABAC＝4，∠A＝∠B＝45°，
过B′作B′H⊥AB与H，
∴△AHB′是等腰直角三角形，
∴AH＝B′HAB′，
∵AB′AC，
∴AH＝B′H＝1，
∴BH＝3，
∴BB′，
∵将△BDE沿DE折叠，得到△B′DE，
∴BFBB′，DE⊥BB′，
∴∠BHB′＝∠BFE＝90°，
∵∠EBF＝∠B′BH，
∴△BFE∽△BHB′，
∴，
∴，
∴EF，
故答案为：．
故选：C．
【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，折叠问题，相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键．
9．如图，正方形ABCD由四个全等的直角三角形拼接而成，连结HF交DE于点M．若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】过点H作交DE于点Q，HG交DE于点N，
【解析】解：如图所示，过点H作交DE于点Q，HG交DE于点N，设利用得到三角形相似，对应线段成比例，求出从而得到即可得出结果．
∵正方形ABCD由四个全等的直角三角形拼接而成，
设
即
即
即
故选：C．
【点睛】本题主要考查了三角形相似，得出对应线段成比例，由线段平行，得出三角形相似是解本题的关键．
10．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BA＝CA＝6，D为BC边的中点，点E是CA延长线上一点，把ACDE沿DE翻折，点C落在处，与AB交于点F，连接．当时，BC’的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】如图，连接CC′，过点C′作C′H⊥EC于H．设AB交DE于N，过点N作NT⊥EF于T，过点D作DM⊥EC于M．证明∠CC′B=90°，求出CC′，BC即可解决问题．
【解析】解：如图，连接CC′，过点C′作C′H⊥EC于H．设AB交DE于N，过点N作NT⊥EF于T，过点D作DM⊥EC于M．
∵∠FAE=∠CAB=90°，，
∴EF：AF：AE=5：4：3，
∵C′H∥AF，
∴△EAF∽△EHC′，
∴EC′：C′H：EH=EF：AF：AE=5：4：3，
设EH=3k，C′H=4k，EC′=EC=5k，则CH =2k，
由翻折可知，∠AEN=∠TEN，
∵NA⊥EA，NT⊥ET，
∴∠NAE=∠NTE，
∵NE=NE，
∴△NEA≌△NET（AAS），
∴AN=NT，EA=ET，
设AE=3m，AF=4m，EF=5m，AN=NT=x，则AE=ET=3m，TF=2m，
在Rt△FNT中，FN2=NT2+FT2，
∴（4mx）2=x2+（2m）2，
解得：，
∵AC=AB=，∠CAB=90°，
∴BC=AC=，
∴CD=BD=，
∵DM⊥CM，∠DCM=45°，
∴CM=DM=，
∵AN∥DM，
∴，
∴，
∴EM=，
∴EC=，
∴，
∴CH=，C′H=，
∴CC′=，
∵DC=DC′=DB，
∴∠CC′B=90°，
∴BC′=，
故选：D．
【点睛】本题考查翻折变换，解直角三角形，等腰直角三角形的性质，相似三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．
二、填空题
11．已知，且a+b+c≠0，则=_____．
【答案】
【分析】设比值为k，然后用k表示出a、b、c，再代入比例式进行计算即可得解．
【解析】解：设=k（k≠0），
则a=2k，b=3k，c=5k，
所以，==．
故答案为 ．
【点睛】本题考查了比例的性质，利用“设k法”，用k表示出a、b、c进行计算更加简单．
12．点C是线段AB的黄金分割点（AC>BC），如果AC比BC大2，那么AC=_______．
【答案】
【分析】分别设出AC、BC、AB的长，再利用黄金分割点性质构造方程求解即可．
【解析】解：设AC=x，由已知BC=x-2，AB=2x-2
∵点C是线段AB的黄金分割点
∴
即
整理，得
解得
，（舍去）
故答案为：
【点睛】本题考查了黄金分割的性质和一元二次方程的a应用，解答关键是根据黄金分割定义构造方程．
13．如图，在△ABC中，AD为边BC上的中线，DE∥AB，已知，，那么用，表示＝_____．
【答案】2 +
【分析】根据题意利用三角形法则可知：，求出，即可解决问题．
【解析】解：∵AD是中线，
∴BD＝DC，
∵DE∥AB，
∴AE＝EC，
∴AB∥DE，AB＝2DE，
∴＝2，
∵＝＝，，
∴＝2+，
故答案为：2 +．
【点睛】本题考查平面向量，三角形法则，平行线等分线段定理，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识.
14．如图，的中线、交于点，点在边上，，那么的值是__________.
【答案】
【分析】根据三角形的重心和平行线分线段成比例解答即可．
【解析】∵△ABC的中线AD、CE交于点G，
∴G是△ABC的重心，
∴，
∵GF∥BC，
∴，
∵DC=BC，
∴ ，
故答案为：.
【点睛】此题考查三角形重心问题以及平行线分线段成比例，解题关键是根据三角形的重心得出比例关系．
15．如图，在ABC中，点D是边BC的中点，直线DF交边AC于点F，交AB的延长线于点E，如果CF∶CA=a∶b，那么BE∶AE的值为______．（用含a、b的式子表示）
【答案】a:(b-a)
【分析】做辅助线构造全等三角形得出BG=CF，再由△BGE∽△AFE得即可．
【解析】解：如图：
过点B作BG∥AC交EF于点G
∴∠1=∠C
∵点D是边BC的中点
∴BD=CD
在△BDG和△CDF中
∴△BDG≌△CDF
∴BG=CF
又∵BG∥AC
∴△BGE∽△AFE
∴ =
即BE:AE=a:(b-a)
故答案为：a:(b-a) ．
【点睛】本题主要考查了做辅助线构造全等三角形，利用全等三角形即相似的性质求线段的比；解题关键是做出正确辅助线，熟练掌握全等三角形及相似三角形的判定和性质．
16．如图，在矩形ABCD中，∠BCD的角平分线CE与边AD交于点E，∠AEC的角平分线与边CB的延长线交于点G，与边AB交于点F，如果AB=，AF=2BF，那么GB=______．
【答案】##
【分析】先说明三角形CDE为等腰直角三角形，并求得其斜边CE的长，然后再说明三角形CEG为等腰三角形，最后根据△EFA∽△BGF得出比例式，结合DF AF=2BF得出CG与DE的倍数关系，最后根据BG=BC+CG进行计算即可.
【解析】解：.∵矩形ABCD中，∠BCD的角平分线CE与AD交于E；
∴CD=AB=,∠DCE=∠BCE=45°，
∴CD=DE=，
∵直角三角形CDE，
∴CE= ，
又∵∠AEC的角平分线EG与AB交于点F，
∴∠AEG=∠CEG
∵AD//BC
∴∠G=∠AEG
∴∠CEG=∠G
∴CG=CE=6，
∵∠G=∠AEF，∠AFE=∠BFG，
∴△AEF∽△BGF
∴
设BG=x，AE=2x，则BC=AD=+2x
.∵CG=BC+BG
∴6=+2x+x，解得x=.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查矩形的性质、相似三角形性质和判定以及等腰三角形的性质，证得三角形CEG为等腰三角形成为解答本题的关键.
17．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的最美分割线．在△ABC中，∠A＝50°，CD是△ABC的最美分割线．若△ACD为等腰三角形，则∠ACB的度数为________．
【答案】100°或115°
【分析】根据△ACD为等腰三角形，需要分三种情况讨论：①当AD＝CD时，②如当AD＝AC，③当AC＝CD，然后结合最美分割线的定义，可得△BDC∽△BCA，可以分别求出∠ACB的度数．
【解析】解：①当AD＝AC时，如图1，
∴∠ACD＝∠ADC＝（180°﹣50°）＝65°，
∵△BDC∽△BCA，
∴∠BCD＝∠A＝50°，
∴∠ACB＝∠ACD＋∠BCD＝65°＋50°＝115°．
②当AD＝CD时，如图2，∠ACD＝∠A＝50°，
∵△BDC∽△BCA，
∴∠BCD＝∠A＝50°，
∴∠ACB＝∠ACD＋∠BCD＝50°＋50°＝100°．
③当AC＝CD时，如图3，∠ADC＝∠A＝50°，
∵△BDC∽△BCA，
∴∠BCD＝∠A＝50°，
∴∠ADC＝∠BCD（不合题意）．
综上所述，∠ACB＝100°或115°．
故答案为： 100°或115°
【点睛】本题考查了相似三角形的性质以及等腰三角形的性质，理解最美分割线的定义是解决本题的关键．
18．如图，梯形中，，点E在边上，把绕点B逆时针旋转90°，点E的对应点是点F，点C的对应点是点M，如果，那么的值是_______．
【答案】
【分析】过点D作DG⊥BC于点G，过点E作EH⊥BC于点H，由旋转的性质可得BF=BE，∠EBF=90°，可得∠BEF=45°=∠EBC=∠BEH，设EH=4a，HC=3a，可求BC=7a=AB=DG，由平行线分线段成比例可求DE：CE的值．
【解析】解：如图，过点D作DG⊥BC于点G，过点E作EH⊥BC于点H，
∵旋转，
∴BF＝BE，∠EBF＝90°
∴∠BEF＝45°，
∵EF∥BC
∴∠BEF＝∠EBC＝45°
∵EH⊥BC
∴∠EBC＝∠BEH＝45°，
∴BH＝EH，
∵tanC=，
∴设EH＝4a，HC＝3a，
∴BH＝4a，
∴BC＝BH+HC＝7a＝AB，
∵AB⊥BC，DG⊥BC，EH⊥BC
∴AB∥DG∥EH，且AD∥BC
∴四边形ABGD是平行四边形
∴AB＝DG＝7a，
∵EH∥DG
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，平行线分线段成比例等知识，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．
三、解答题
19．已知，x：y：z＝2：3：4，求：
（1）的值；
（2）若x+y+z＝18，求x，y，z．
【答案】（1）；（2）x＝4，y＝6，z＝8．
【分析】（1）根据比例设x=2k，y=3k，z=4k，然后代入比例式进行计算即可得解．
（2）根据比例设x=2k，y=3k，z=4k，然后代入等式进行计算即可得到k的值，进而得出x，y，z的值．
【解析】解：（1）设x＝2k，y＝3k，z＝4k，则
＝＝；
（2）设x＝2k，y＝3k，z＝4k，
∵x+y+z＝18，
∴2k+3k+4k＝18，
解得k＝2，
∴x＝4，y＝6，z＝8．
【点睛】本题考查了比例的性质，利用“设k法”表示出x、y、z可以使运算更加简便．
20．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点H在边BC上，且AH＝HC，交AC于点G，BD＝7，AD＝5，DH＝3．
(1)求证：AH⊥BC；
(2)求AG的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据条件求出AH的长，得出AH2+DH2＝AD2，证明△AHD是直角三角形即可；
（2）利用勾股定理求出AC的长，设AG为x，则可用x表示CG的长，利用平行线分线段成比例列出比例式，即可求出x，即AG的长．
(1)
证明：∵AD是BC边上的中线，
∴DC＝BD＝7，
∵DH+HC＝DC＝7，
∴HC＝DC﹣DH＝7﹣3＝4．
∵AH＝HC，
∴AH＝CH＝4，
∵AH2+DH2＝25，AD2＝25，
∴AH2+DH2＝AD2，
∴△AHD是直角三角形，∠AHD＝90°，
∴AH⊥BC；
(2)
设AG＝x，
由勾股定理得AC＝＝4，
∴，
∵HG∥AD，
∴＝＝，
即＝，
解得x＝，
∴AG的长为．
【点睛】本题考查了勾股定理和平行线分线段成比例定理，熟练运用勾股定理及其逆定理是解题关键．
21．如图，DE∥BC，EF∥CG，AD：AB=1：3，AE=3．
（1）求EC的值；
（2）求证：AD•AG=AF•AB．
【答案】（1）6；（2）证明见解析．
【分析】（1）由平行可得 ，可求得AC，且EC=AC-AE，可求得EC；
（2）由平行可知 ，可得出结论．
【解析】解：（1）∵DE∥BC，
∴，
又，AE=3，
∴，
解得AC=9，
∴EC=AC-AE=9-3=6；
（2）∵DE∥BC，EF∥CG，
∴，
∴AD•AG=AF•AB．
22．如图，已知：△ABC和△ADE都是等边三角形，其中点D在边BC上，点F是AB边上一点，且BF＝CD．
(1)求证：DECF；
(2)联结DF，设AD、CF的交点为M，如果＝FM•FC，求证：DFAC．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）由等边三角形的性质证明△ACD≌△CBF，得出∠CAD＝∠BCF，由等边三角形的性质及三角形外角的性质得出∠BDE＝∠CAD，进而得出∠BDE＝∠BCF，即可证明DECF；
（2）先证明△DFM∽△CFD，得出∠FDM＝∠FCD，由∠CAD＝∠BCF，得出∠FDM＝∠CAD，即可证明DFAC．
（1）
如图1，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，∠ACB＝∠B＝60°，
在△ACD和△CBF中，
，
∴△ACD≌△CBF（SAS），
∴∠CAD＝∠BCF，
∵△ADE是等边三角形，
∴∠ADE＝∠ACB＝60°，
∵∠ADE＋∠BDE＝∠ACB＋∠CAD，
∴∠BDE＝∠CAD，
∴∠BDE＝∠BCF，
∴DECF；
（2）
如图2，
∵DF2＝FM•FC，
∴，
∵∠DFM＝∠CFD，
∴△DFM∽△CFD，
∴∠FDM＝∠FCD，
∵∠CAD＝∠BCF，
∴∠FDM＝∠CAD，
∴DFAC．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，掌握等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判断，相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．
23．如图，点D、E分别在△ABC的边BC及其延长线上，且∠BAC＝∠DAE，∠ACB＝2∠BAD．
(1)求证：；
(2)若∠ACB＝60°，且BD＝DC＝1，求AC的值．
【答案】(1)见解析
(2)AC的值为1或2
【分析】（1）通过证明，可得，可得结论；
（2）由直角三角形的性质可求，，由勾股定理可求解．
(1)
解：证明：，
，
即，
设，
由，
，
，
又，
，
，
即，
．
(2)
解：作于点，
设，
，
，
又，
，，
又，
，
由勾股定理得，，
又，
，
，
，，
的值为1或2．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是证明三角形相似．
24．如图，在正方形中，点在延长线上，点为上一点，联结交于点，，延长线交延长线于点．
(1)证明：四边形是等腰梯形；
(2)若点是的黄金分割点，且，证明：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据正方形的性质可得四边形是平行四边形，进一步可得，根据平行四边形的性质可得，且，即可得证；
（2）根据正方形的性质易得∽，根据相似三角形的性质以及黄金分割比可得，进一步即可得证．
（1）
证明：在正方形中，，，，
，
又，
四边形是平行四边形，
，，，
，
，
，
，
，且，
四边形是等腰梯形；
（2）
证明：在正方形 中，，，
，
，
∽，
：：，
是的黄金分割点，且，
∶∶，
，
，
∶∶，
，
．
【点睛】本题考查了正方形的性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，黄金分割等，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
25．如图，在中，点、点分别在、上，点是上的一点，联结并延长交于点，且．
(1)求证：；
(2)若，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）证明和相似，即可证明．
（2）先证明∽，再证明∽，得到，即可证明．
（1）
证明：，，
∽，
∴
．
（2）
证明：，，
∽，
，
，
又∵，
，
，
，
∽，
，
，
．
【点睛】此题考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据相似三角形的对应边成比例列出相应的比例式，再经过适当的变形使所得的比例式符合“两边成比例且夹角相等”的形式．
26．将一个矩形ABCD绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到矩形AB′C′D'，连接BD．
(1)如图1，当α＝90°时，点C′恰好在DB延长线上．求证：点B是线段DC′的黄金分割点；
(2)如图2，连接AC′，过点D′作D′MAC′交BD于点M，射线DB分别交AD′，AC′于点P，N．求证：MN2＝PN•DN．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）如图1，设AB=1，BC=x，则，，，然后证明，得到，即
解得或（舍去），则，即可得到点B是线段的黄金分割点；
（2）如图2所示，连接 ，连接AM，先证明，然后证明，得到，则；推出，得到，即可证明，得到，即可推出，得到NA=NM，证明△ANP∽△DNA，
得到，则，．
（1）
解：如图1，设AB=1，BC=x，
∵矩形ABCD绕点A顺时针旋转90°得到矩形，
∴点A、B、三点共线，
∴，，
∴，
∵点恰好在DB延长线上，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴，
解得或（舍去），
∴，
∴点B是线段的黄金分割点；
（2）
解：如图2所示，连接 ，连接AM，
∵,
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在△ADM和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴NA=NM，
∵∠ANP=∠DNA，∠NAP=∠NDA，
∴△ANP∽△DNA，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，旋转的性质，相似三角形的性质与判定，黄金分割点，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等等，熟知相关知识是解题的关键．
27．如图，在梯形中，，，，点、分别在线段、上，．的延长线交边于点，交于点、其延长线交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）设，的面积为，求关于的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）联结，当与相似时，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）y＝(0＜x≤9)；（3）3或．
【分析】（1）由AD∥BC知，，结合DB=DC=15，DE=DF=5知，从而得，据此可得答案；
（2）作DP⊥BC，NQ⊥AD，求得BP=CP=9，DP=12，由知BG=CH=2x，BH=18+2x，根据得，即DN＝，再根据知NQ＝，由三角形的面积公式可得答案；
（3）分∠ADN=∠FGH和∠ADN=∠GFH两种情况分别求解可得．
【解析】解：（1）∵AD∥BC，
∴，．
∵DB=DC=15，DE=DF=5，
∴，
∴，
∴BG=CH．
（2）过点D作DP⊥BC，过点N作NQ⊥AD，垂足分别为点P、Q．
∵DB=DC=15，BC=18，
∴BP=CP=9，DP=12．
∵，
∴BG=CH=2x，
∴BH=18+2x．
∵AD∥BC，
∴，
∴，
∴，
∴DN＝．
∵AD∥BC，
∴∠ADN=∠DBC，
∴sin∠ADN=sin∠DBC，
∴，
∴NQ＝．
∴y＝AD•NQ＝x•(0＜x≤9)．
（3）∵AD∥BC，
∴∠DAN=∠FHG．
（i）当∠ADN=∠FGH时，
∵∠ADN=∠DBC，
∴∠DBC=∠FGH，
∴BD∥FG，
∴，
∴，
∴BG=6，
∴AD=3．
（ii）当∠ADN=∠GFH时，
∵∠ADN=∠DBC=∠DCB，
又∵∠AND=∠FGH，
∴△ADN∽△FCG．
∴，
∴x•(18−2x)＝ •10，整理得x2-3x-29=0，
解得x＝，或x＝（舍去）．
综上所述，当△HFG与△ADN相似时，AD的长为3或．
【点睛】本题是相似三角形的综合问题，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定与性质、分类讨论思想的运用等知识点．
28．如图，在矩形ABCD中，，点F、G分别在边AB、CD上，将矩形ABCD沿GF折叠，使点A落在BC边上的点E处，得到四边形EFGP，EP交CD于点H，连接AE交GF于点O．
(1)若BC＝8，E是BC中点，求BF的长；
(2)试探究GF与AE之间的位置关系与数量关系，并说明理由；
(3)连接CP，若，，求线段BE和CP的长．
【答案】(1)
(2)，，理由见解析
(3)，
【分析】（1）根据，BC＝8，E是BC中点，得AB=12，BE=4，设BF=x，则AF=12-x，在Rt△BEF中，可得，解得x即可；
（2）由A、E关于FG对称，即得GF⊥AE，过点G作GM⊥AB于点M，可证△ABE∽△GMF，即得，故；
（3）过点P作PN⊥BC交BC的延长线于点N，利用相似三角形的性质求出PN、CN即可解决问题．
（1）
∵，BC＝8，E是BC中点，
∴AB=12，BE=4，
设BF=x，则AF=12-x，
由矩形ABCD沿GF折叠，使点A落在BC边上的点E处得EF=AF=12-x，
在Rt△BEF中，，
可得，
解得，
∴BF= ；
（2）
，，
理由如下：∵矩形ABCD沿GF折叠，使点A落在BC边上的点E处，得到四边形EFGP，
∴A、E关于FG对称，
∴GF⊥AE，
过点G作GM⊥AB于点M，如图：
∵AE⊥GF，
∴∠AOF=∠GMF=∠ABE=90°，
∴∠BAE+∠AFO=90°，∠AFO+∠FGM=90°，
∴∠BAE=∠FGM，
∴△ABE∽△GMF，
∴，
∵∠AMG=∠D=∠DAM=90°，
∴四边形AMGD是矩形，
∴GM=AD，
∴；
（3）
过点P作PN⊥BC交BC的延长线于N，如图：
由，设BE=3k，则BF=4k，
EF=AF=5k，AB=9k，
∵，，
∴AE=，
∴，
∴k=1或-1（舍），
∴BE=3，AB=9，
∵BC:AB=2:3，
∴BC=6，
∴BE=CE=3，AD=PE=BC=6，
∵∠EBF=∠FEP=∠PME=90°，
∴∠FEB+∠PEN=90°，∠PEN+∠EPN=90°，
∴∠FEB=∠EPN，
∴△FBE∽△ENP，
∴，
∴，
∴，，
∴CN=EN-EC=，
∴，
∴BE=3，CP= ．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．
1．下列说法不正确的是（ ）
A．将一个矩形风景画的四周镶上宽度相等的金边后得到的新矩形与原矩形相似
B．若线段a＝5cm，b＝2cm，则a：b＝5：2
C．若线段AB＝cm，C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，则AC＝cm
D．若两个相似多边形的面积比为16：9，那么这两个相似多边形的周长比是4：3
2．下列说法正确的是（ ）
A．两个直角三角形相似
B．两条边对应成比例，一组对应角相等的两个三角形相似
C．有一个角为40°的两个等腰三角形相似
D．有一个角为100°的两个等腰三角形相似
3．点是线段的黄金分割点，且，下列命题：，中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．下列关于向量的说法中，不正确的个数是（ ）
①；
②若，则；
③若、是实数，则；
④如果非零向量与非零向量平行，那么存在唯一的实数，使得；
⑤如果非零向量，则与所在的直线平行；
⑥如果与分别是与的单位向量，则
A．2B．3C．4D．5
5．如图，在中，，，下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，在中，D在AC边上，AD:DC=1:2，O是BD的中点，连接AO并延长交BC于E，若BE=1，则EC=（ ）
A．B．2C．3D．4
7．如图是一架梯子的示意图，其中，且．为使其更稳固，将A，间加一条安全绳（线段），分别交，于点E，F，量得．则的长为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，在等腰Rt△ABC中∠C＝90°，AC＝BC＝2．点D和点E分别是BC边和AB边上两点，连接DE．将△BDE沿DE折叠，得到△B′DE，点B恰好落在AC的中点处，设DE与BB交于点F，则EF＝（ ）
A．B．C．D．
9．如图，正方形ABCD由四个全等的直角三角形拼接而成，连结HF交DE于点M．若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
10．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BA＝CA＝6，D为BC边的中点，点E是CA延长线上一点，把ACDE沿DE翻折，点C落在处，与AB交于点F，连接．当时，BC’的长为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
11．已知，且a+b+c≠0，则=_____．
12．点C是线段AB的黄金分割点（AC>BC），如果AC比BC大2，那么AC=_______．
13．如图，在△ABC中，AD为边BC上的中线，DE∥AB，已知，，那么用，表示＝_____．
14．如图，的中线、交于点，点在边上，，那么的值是__________.
15．如图，在ABC中，点D是边BC的中点，直线DF交边AC于点F，交AB的延长线于点E，如果CF∶CA=a∶b，那么BE∶AE的值为______．（用含a、b的式子表示）
16．如图，在矩形ABCD中，∠BCD的角平分线CE与边AD交于点E，∠AEC的角平分线与边CB的延长线交于点G，与边AB交于点F，如果AB=，AF=2BF，那么GB=______．
17．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的最美分割线．在△ABC中，∠A＝50°，CD是△ABC的最美分割线．若△ACD为等腰三角形，则∠ACB的度数为________．
18．如图，梯形中，，点E在边上，把绕点B逆时针旋转90°，点E的对应点是点F，点C的对应点是点M，如果，那么的值是_______．
三、解答题
19．已知，x：y：z＝2：3：4，求：
（1）的值；
（2）若x+y+z＝18，求x，y，z．
20．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点H在边BC上，且AH＝HC，交AC于点G，BD＝7，AD＝5，DH＝3．
(1)求证：AH⊥BC；
(2)求AG的长．
21．如图，DE∥BC，EF∥CG，AD：AB=1：3，AE=3．
（1）求EC的值；
（2）求证：AD•AG=AF•AB．
22．如图，已知：△ABC和△ADE都是等边三角形，其中点D在边BC上，点F是AB边上一点，且BF＝CD．
(1)求证：DECF；
(2)联结DF，设AD、CF的交点为M，如果＝FM•FC，求证：DFAC．
23．如图，点D、E分别在△ABC的边BC及其延长线上，且∠BAC＝∠DAE，∠ACB＝2∠BAD．
(1)求证：；
(2)若∠ACB＝60°，且BD＝DC＝1，求AC的值．
24．如图，在正方形中，点在延长线上，点为上一点，联结交于点，，延长线交延长线于点．
(1)证明：四边形是等腰梯形；
(2)若点是的黄金分割点，且，证明：．
25．如图，在中，点、点分别在、上，点是上的一点，联结并延长交于点，且．
(1)求证：；
(2)若，求证：．
26．将一个矩形ABCD绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到矩形AB′C′D'，连接BD．
(1)如图1，当α＝90°时，点C′恰好在DB延长线上．求证：点B是线段DC′的黄金分割点；
(2)如图2，连接AC′，过点D′作D′MAC′交BD于点M，射线DB分别交AD′，AC′于点P，N．求证：MN2＝PN•DN．
27．如图，在梯形中，，，，点、分别在线段、上，．的延长线交边于点，交于点、其延长线交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）设，的面积为，求关于的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）联结，当与相似时，求的长．
28．如图，在矩形ABCD中，，点F、G分别在边AB、CD上，将矩形ABCD沿GF折叠，使点A落在BC边上的点E处，得到四边形EFGP，EP交CD于点H，连接AE交GF于点O．
(1)若BC＝8，E是BC中点，求BF的长；
(2)试探究GF与AE之间的位置关系与数量关系，并说明理由；
(3)连接CP，若，，求线段BE和CP的长．
专题02 相似三角形（难点）
一、单选题
1．下列说法不正确的是（ ）
A．将一个矩形风景画的四周镶上宽度相等的金边后得到的新矩形与原矩形相似
B．若线段a＝5cm，b＝2cm，则a：b＝5：2
C．若线段AB＝cm，C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，则AC＝cm
D．若两个相似多边形的面积比为16：9，那么这两个相似多边形的周长比是4：3
【答案】A
【分析】直接利用成比例线段以及相似多边形的性质、黄金分割的性质分别判断得出答案．
【解析】解：A、将一个矩形风景画的四周镶上宽度相等的金边后得到的新矩形与原矩形不一定相似，原说法错误，故此选项符合题意；
B、若线段a=5cm，b=2cm，则a：b=5：2，正确，故此选项不符合题意；
C、若线段AB＝cm，C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，则 cm，正确，故此选项不符合题意；
D、若两个相似多边形的面积比为16：9，那么这两个相似多边形的周长比是4：3，正确，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，矩形的性质，成比例线段，黄金分割，掌握它们的概念和性质是解题的关键．
2．下列说法正确的是（ ）
A．两个直角三角形相似
B．两条边对应成比例，一组对应角相等的两个三角形相似
C．有一个角为40°的两个等腰三角形相似
D．有一个角为100°的两个等腰三角形相似
【答案】D
【分析】利用相似三角形的判定方法依次判断即可得解．
【解析】解：A、∵两个直角三角形只有一组角相等，
∴两个直角三角形不一定相似，故选项A不合题意；
B、∵两条边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似，
∴两条边对应成比例，一组对应角相等的两个三角形不一定相似，
故选项B不合题意；
C、∵底角为40°的等腰三角形和顶角为40°的等腰三角形不相似，
∴有一个角为40°的两个等腰三角形不一定相似，故选项C不合题意；
D、∵有一个角为100°的两个等腰三角形相似，
∴选项D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
3．点是线段的黄金分割点，且，下列命题：，中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比．
【解析】∵点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞PB，
∴根据线段黄金分割的定义得：AP2＝PB•AB，AP：AB＝PB：AP，
∴只有②④正确．
故选B．
【点睛】本题主要考查了理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键．本题同时考查了乘积形式和比例形式的转化，难度适中．
4．下列关于向量的说法中，不正确的个数是（ ）
①；
②若，则；
③若、是实数，则；
④如果非零向量与非零向量平行，那么存在唯一的实数，使得；
⑤如果非零向量，则与所在的直线平行；
⑥如果与分别是与的单位向量，则
A．2B．3C．4D．5
【答案】A
【分析】根据平面向量的性质，一一判断即可．
【解析】①，该选项正确；
②若，向量既有大小，也有方向，故不确定，该选项错误；
③若、是实数，则，该选项正确；
④如果非零向量与非零向量平行，那么存在唯一的实数，使得，该选项正确；
⑤如果非零向量，可得、方向相同，则与所在的直线平行，该选项正确；
⑥如果与不平行，则与也不平行，该选项错误．
综上，②⑥不正确，共2个．
故选：A．
【点睛】本题考查了平面向量的概念与运算，考查学生灵活运用知识的能力和推理论证能力．解题的关键是熟练掌握平面向量的性质．
5．如图，在中，，，下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据平行线分线段成比例的性质，即可解答．
【解析】
，
，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例的性质，解题关键是熟练运用这个性质得到线段的比例关系．
6．如图，在中，D在AC边上，AD:DC=1:2，O是BD的中点，连接AO并延长交BC于E，若BE=1，则EC=（ ）
A．B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】过点D作交BC于F，根据平行线分线段成比例定理可得，，，再根据O是BD的中点，可得BE=EF，进而解答即可．
【解析】解：过点D作交BC于F，如图，
∵，
∴，
∵O是BD的中点，
∴BO=OD，
∴BE=EF，
∵，
∴，
∴CF=2EF，
∴BE:EC=BE:3BE=1:3，
∵BE=1，
∴EC=3，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．过分点作平行线构建平行线分线段成比例定理的基本图形是解决问题的关键．
7．如图是一架梯子的示意图，其中，且．为使其更稳固，将A，间加一条安全绳（线段），分别交，于点E，F，量得．则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据平行线分线段成比例定理得到，同理得到，计算即可．
【解析】解：，
，
，
，
同理可得：，
，
，
故选C．
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
8．如图，在等腰Rt△ABC中∠C＝90°，AC＝BC＝2．点D和点E分别是BC边和AB边上两点，连接DE．将△BDE沿DE折叠，得到△B′DE，点B恰好落在AC的中点处，设DE与BB交于点F，则EF＝（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据等腰直角三角形的性质得到ABAC＝4，∠A＝∠B＝45°，过B′作B′H⊥AB与H，得到AH＝B′HAB′，求得AH＝B′H＝1，根据勾股定理得到BB′，由折叠的性质得到BFBB′，DE⊥BB′，根据相似三角形即可得到结论．
【解析】解：∵在等腰Rt△ABC中∠C＝90°，AC＝BC＝2，
∴ABAC＝4，∠A＝∠B＝45°，
过B′作B′H⊥AB与H，
∴△AHB′是等腰直角三角形，
∴AH＝B′HAB′，
∵AB′AC，
∴AH＝B′H＝1，
∴BH＝3，
∴BB′，
∵将△BDE沿DE折叠，得到△B′DE，
∴BFBB′，DE⊥BB′，
∴∠BHB′＝∠BFE＝90°，
∵∠EBF＝∠B′BH，
∴△BFE∽△BHB′，
∴，
∴，
∴EF，
故答案为：．
故选：C．
【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，折叠问题，相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键．
9．如图，正方形ABCD由四个全等的直角三角形拼接而成，连结HF交DE于点M．若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】过点H作交DE于点Q，HG交DE于点N，
【解析】解：如图所示，过点H作交DE于点Q，HG交DE于点N，设利用得到三角形相似，对应线段成比例，求出从而得到即可得出结果．
∵正方形ABCD由四个全等的直角三角形拼接而成，
设
即
即
即
故选：C．
【点睛】本题主要考查了三角形相似，得出对应线段成比例，由线段平行，得出三角形相似是解本题的关键．
10．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BA＝CA＝6，D为BC边的中点，点E是CA延长线上一点，把ACDE沿DE翻折，点C落在处，与AB交于点F，连接．当时，BC’的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】如图，连接CC′，过点C′作C′H⊥EC于H．设AB交DE于N，过点N作NT⊥EF于T，过点D作DM⊥EC于M．证明∠CC′B=90°，求出CC′，BC即可解决问题．
【解析】解：如图，连接CC′，过点C′作C′H⊥EC于H．设AB交DE于N，过点N作NT⊥EF于T，过点D作DM⊥EC于M．
∵∠FAE=∠CAB=90°，，
∴EF：AF：AE=5：4：3，
∵C′H∥AF，
∴△EAF∽△EHC′，
∴EC′：C′H：EH=EF：AF：AE=5：4：3，
设EH=3k，C′H=4k，EC′=EC=5k，则CH =2k，
由翻折可知，∠AEN=∠TEN，
∵NA⊥EA，NT⊥ET，
∴∠NAE=∠NTE，
∵NE=NE，
∴△NEA≌△NET（AAS），
∴AN=NT，EA=ET，
设AE=3m，AF=4m，EF=5m，AN=NT=x，则AE=ET=3m，TF=2m，
在Rt△FNT中，FN2=NT2+FT2，
∴（4mx）2=x2+（2m）2，
解得：，
∵AC=AB=，∠CAB=90°，
∴BC=AC=，
∴CD=BD=，
∵DM⊥CM，∠DCM=45°，
∴CM=DM=，
∵AN∥DM，
∴，
∴，
∴EM=，
∴EC=，
∴，
∴CH=，C′H=，
∴CC′=，
∵DC=DC′=DB，
∴∠CC′B=90°，
∴BC′=，
故选：D．
【点睛】本题考查翻折变换，解直角三角形，等腰直角三角形的性质，相似三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．
二、填空题
11．已知，且a+b+c≠0，则=_____．
【答案】
【分析】设比值为k，然后用k表示出a、b、c，再代入比例式进行计算即可得解．
【解析】解：设=k（k≠0），
则a=2k，b=3k，c=5k，
所以，==．
故答案为 ．
【点睛】本题考查了比例的性质，利用“设k法”，用k表示出a、b、c进行计算更加简单．
12．点C是线段AB的黄金分割点（AC>BC），如果AC比BC大2，那么AC=_______．
【答案】
【分析】分别设出AC、BC、AB的长，再利用黄金分割点性质构造方程求解即可．
【解析】解：设AC=x，由已知BC=x-2，AB=2x-2
∵点C是线段AB的黄金分割点
∴
即
整理，得
解得
，（舍去）
故答案为：
【点睛】本题考查了黄金分割的性质和一元二次方程的a应用，解答关键是根据黄金分割定义构造方程．
13．如图，在△ABC中，AD为边BC上的中线，DE∥AB，已知，，那么用，表示＝_____．
【答案】2 +
【分析】根据题意利用三角形法则可知：，求出，即可解决问题．
【解析】解：∵AD是中线，
∴BD＝DC，
∵DE∥AB，
∴AE＝EC，
∴AB∥DE，AB＝2DE，
∴＝2，
∵＝＝，，
∴＝2+，
故答案为：2 +．
【点睛】本题考查平面向量，三角形法则，平行线等分线段定理，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识.
14．如图，的中线、交于点，点在边上，，那么的值是__________.
【答案】
【分析】根据三角形的重心和平行线分线段成比例解答即可．
【解析】∵△ABC的中线AD、CE交于点G，
∴G是△ABC的重心，
∴，
∵GF∥BC，
∴，
∵DC=BC，
∴ ，
故答案为：.
【点睛】此题考查三角形重心问题以及平行线分线段成比例，解题关键是根据三角形的重心得出比例关系．
15．如图，在ABC中，点D是边BC的中点，直线DF交边AC于点F，交AB的延长线于点E，如果CF∶CA=a∶b，那么BE∶AE的值为______．（用含a、b的式子表示）
【答案】a:(b-a)
【分析】做辅助线构造全等三角形得出BG=CF，再由△BGE∽△AFE得即可．
【解析】解：如图：
过点B作BG∥AC交EF于点G
∴∠1=∠C
∵点D是边BC的中点
∴BD=CD
在△BDG和△CDF中
∴△BDG≌△CDF
∴BG=CF
又∵BG∥AC
∴△BGE∽△AFE
∴ =
即BE:AE=a:(b-a)
故答案为：a:(b-a) ．
【点睛】本题主要考查了做辅助线构造全等三角形，利用全等三角形即相似的性质求线段的比；解题关键是做出正确辅助线，熟练掌握全等三角形及相似三角形的判定和性质．
16．如图，在矩形ABCD中，∠BCD的角平分线CE与边AD交于点E，∠AEC的角平分线与边CB的延长线交于点G，与边AB交于点F，如果AB=，AF=2BF，那么GB=______．
【答案】##
【分析】先说明三角形CDE为等腰直角三角形，并求得其斜边CE的长，然后再说明三角形CEG为等腰三角形，最后根据△EFA∽△BGF得出比例式，结合DF AF=2BF得出CG与DE的倍数关系，最后根据BG=BC+CG进行计算即可.
【解析】解：.∵矩形ABCD中，∠BCD的角平分线CE与AD交于E；
∴CD=AB=,∠DCE=∠BCE=45°，
∴CD=DE=，
∵直角三角形CDE，
∴CE= ，
又∵∠AEC的角平分线EG与AB交于点F，
∴∠AEG=∠CEG
∵AD//BC
∴∠G=∠AEG
∴∠CEG=∠G
∴CG=CE=6，
∵∠G=∠AEF，∠AFE=∠BFG，
∴△AEF∽△BGF
∴
设BG=x，AE=2x，则BC=AD=+2x
.∵CG=BC+BG
∴6=+2x+x，解得x=.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查矩形的性质、相似三角形性质和判定以及等腰三角形的性质，证得三角形CEG为等腰三角形成为解答本题的关键.
17．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的最美分割线．在△ABC中，∠A＝50°，CD是△ABC的最美分割线．若△ACD为等腰三角形，则∠ACB的度数为________．
【答案】100°或115°
【分析】根据△ACD为等腰三角形，需要分三种情况讨论：①当AD＝CD时，②如当AD＝AC，③当AC＝CD，然后结合最美分割线的定义，可得△BDC∽△BCA，可以分别求出∠ACB的度数．
【解析】解：①当AD＝AC时，如图1，
∴∠ACD＝∠ADC＝（180°﹣50°）＝65°，
∵△BDC∽△BCA，
∴∠BCD＝∠A＝50°，
∴∠ACB＝∠ACD＋∠BCD＝65°＋50°＝115°．
②当AD＝CD时，如图2，∠ACD＝∠A＝50°，
∵△BDC∽△BCA，
∴∠BCD＝∠A＝50°，
∴∠ACB＝∠ACD＋∠BCD＝50°＋50°＝100°．
③当AC＝CD时，如图3，∠ADC＝∠A＝50°，
∵△BDC∽△BCA，
∴∠BCD＝∠A＝50°，
∴∠ADC＝∠BCD（不合题意）．
综上所述，∠ACB＝100°或115°．
故答案为： 100°或115°
【点睛】本题考查了相似三角形的性质以及等腰三角形的性质，理解最美分割线的定义是解决本题的关键．
18．如图，梯形中，，点E在边上，把绕点B逆时针旋转90°，点E的对应点是点F，点C的对应点是点M，如果，那么的值是_______．
【答案】
【分析】过点D作DG⊥BC于点G，过点E作EH⊥BC于点H，由旋转的性质可得BF=BE，∠EBF=90°，可得∠BEF=45°=∠EBC=∠BEH，设EH=4a，HC=3a，可求BC=7a=AB=DG，由平行线分线段成比例可求DE：CE的值．
【解析】解：如图，过点D作DG⊥BC于点G，过点E作EH⊥BC于点H，
∵旋转，
∴BF＝BE，∠EBF＝90°
∴∠BEF＝45°，
∵EF∥BC
∴∠BEF＝∠EBC＝45°
∵EH⊥BC
∴∠EBC＝∠BEH＝45°，
∴BH＝EH，
∵tanC=，
∴设EH＝4a，HC＝3a，
∴BH＝4a，
∴BC＝BH+HC＝7a＝AB，
∵AB⊥BC，DG⊥BC，EH⊥BC
∴AB∥DG∥EH，且AD∥BC
∴四边形ABGD是平行四边形
∴AB＝DG＝7a，
∵EH∥DG
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，平行线分线段成比例等知识，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．
三、解答题
19．已知，x：y：z＝2：3：4，求：
（1）的值；
（2）若x+y+z＝18，求x，y，z．
【答案】（1）；（2）x＝4，y＝6，z＝8．
【分析】（1）根据比例设x=2k，y=3k，z=4k，然后代入比例式进行计算即可得解．
（2）根据比例设x=2k，y=3k，z=4k，然后代入等式进行计算即可得到k的值，进而得出x，y，z的值．
【解析】解：（1）设x＝2k，y＝3k，z＝4k，则
＝＝；
（2）设x＝2k，y＝3k，z＝4k，
∵x+y+z＝18，
∴2k+3k+4k＝18，
解得k＝2，
∴x＝4，y＝6，z＝8．
【点睛】本题考查了比例的性质，利用“设k法”表示出x、y、z可以使运算更加简便．
20．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点H在边BC上，且AH＝HC，交AC于点G，BD＝7，AD＝5，DH＝3．
(1)求证：AH⊥BC；
(2)求AG的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据条件求出AH的长，得出AH2+DH2＝AD2，证明△AHD是直角三角形即可；
（2）利用勾股定理求出AC的长，设AG为x，则可用x表示CG的长，利用平行线分线段成比例列出比例式，即可求出x，即AG的长．
(1)
证明：∵AD是BC边上的中线，
∴DC＝BD＝7，
∵DH+HC＝DC＝7，
∴HC＝DC﹣DH＝7﹣3＝4．
∵AH＝HC，
∴AH＝CH＝4，
∵AH2+DH2＝25，AD2＝25，
∴AH2+DH2＝AD2，
∴△AHD是直角三角形，∠AHD＝90°，
∴AH⊥BC；
(2)
设AG＝x，
由勾股定理得AC＝＝4，
∴，
∵HG∥AD，
∴＝＝，
即＝，
解得x＝，
∴AG的长为．
【点睛】本题考查了勾股定理和平行线分线段成比例定理，熟练运用勾股定理及其逆定理是解题关键．
21．如图，DE∥BC，EF∥CG，AD：AB=1：3，AE=3．
（1）求EC的值；
（2）求证：AD•AG=AF•AB．
【答案】（1）6；（2）证明见解析．
【分析】（1）由平行可得 ，可求得AC，且EC=AC-AE，可求得EC；
（2）由平行可知 ，可得出结论．
【解析】解：（1）∵DE∥BC，
∴，
又，AE=3，
∴，
解得AC=9，
∴EC=AC-AE=9-3=6；
（2）∵DE∥BC，EF∥CG，
∴，
∴AD•AG=AF•AB．
22．如图，已知：△ABC和△ADE都是等边三角形，其中点D在边BC上，点F是AB边上一点，且BF＝CD．
(1)求证：DECF；
(2)联结DF，设AD、CF的交点为M，如果＝FM•FC，求证：DFAC．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）由等边三角形的性质证明△ACD≌△CBF，得出∠CAD＝∠BCF，由等边三角形的性质及三角形外角的性质得出∠BDE＝∠CAD，进而得出∠BDE＝∠BCF，即可证明DECF；
（2）先证明△DFM∽△CFD，得出∠FDM＝∠FCD，由∠CAD＝∠BCF，得出∠FDM＝∠CAD，即可证明DFAC．
（1）
如图1，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，∠ACB＝∠B＝60°，
在△ACD和△CBF中，
，
∴△ACD≌△CBF（SAS），
∴∠CAD＝∠BCF，
∵△ADE是等边三角形，
∴∠ADE＝∠ACB＝60°，
∵∠ADE＋∠BDE＝∠ACB＋∠CAD，
∴∠BDE＝∠CAD，
∴∠BDE＝∠BCF，
∴DECF；
（2）
如图2，
∵DF2＝FM•FC，
∴，
∵∠DFM＝∠CFD，
∴△DFM∽△CFD，
∴∠FDM＝∠FCD，
∵∠CAD＝∠BCF，
∴∠FDM＝∠CAD，
∴DFAC．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，掌握等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判断，相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．
23．如图，点D、E分别在△ABC的边BC及其延长线上，且∠BAC＝∠DAE，∠ACB＝2∠BAD．
(1)求证：；
(2)若∠ACB＝60°，且BD＝DC＝1，求AC的值．
【答案】(1)见解析
(2)AC的值为1或2
【分析】（1）通过证明，可得，可得结论；
（2）由直角三角形的性质可求，，由勾股定理可求解．
(1)
解：证明：，
，
即，
设，
由，
，
，
又，
，
，
即，
．
(2)
解：作于点，
设，
，
，
又，
，，
又，
，
由勾股定理得，，
又，
，
，
，，
的值为1或2．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是证明三角形相似．
24．如图，在正方形中，点在延长线上，点为上一点，联结交于点，，延长线交延长线于点．
(1)证明：四边形是等腰梯形；
(2)若点是的黄金分割点，且，证明：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据正方形的性质可得四边形是平行四边形，进一步可得，根据平行四边形的性质可得，且，即可得证；
（2）根据正方形的性质易得∽，根据相似三角形的性质以及黄金分割比可得，进一步即可得证．
（1）
证明：在正方形中，，，，
，
又，
四边形是平行四边形，
，，，
，
，
，
，
，且，
四边形是等腰梯形；
（2）
证明：在正方形 中，，，
，
，
∽，
：：，
是的黄金分割点，且，
∶∶，
，
，
∶∶，
，
．
【点睛】本题考查了正方形的性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，黄金分割等，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
25．如图，在中，点、点分别在、上，点是上的一点，联结并延长交于点，且．
(1)求证：；
(2)若，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）证明和相似，即可证明．
（2）先证明∽，再证明∽，得到，即可证明．
（1）
证明：，，
∽，
∴
．
（2）
证明：，，
∽，
，
，
又∵，
，
，
，
∽，
，
，
．
【点睛】此题考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据相似三角形的对应边成比例列出相应的比例式，再经过适当的变形使所得的比例式符合“两边成比例且夹角相等”的形式．
26．将一个矩形ABCD绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到矩形AB′C′D'，连接BD．
(1)如图1，当α＝90°时，点C′恰好在DB延长线上．求证：点B是线段DC′的黄金分割点；
(2)如图2，连接AC′，过点D′作D′MAC′交BD于点M，射线DB分别交AD′，AC′于点P，N．求证：MN2＝PN•DN．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）如图1，设AB=1，BC=x，则，，，然后证明，得到，即
解得或（舍去），则，即可得到点B是线段的黄金分割点；
（2）如图2所示，连接 ，连接AM，先证明，然后证明，得到，则；推出，得到，即可证明，得到，即可推出，得到NA=NM，证明△ANP∽△DNA，
得到，则，．
（1）
解：如图1，设AB=1，BC=x，
∵矩形ABCD绕点A顺时针旋转90°得到矩形，
∴点A、B、三点共线，
∴，，
∴，
∵点恰好在DB延长线上，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴，
解得或（舍去），
∴，
∴点B是线段的黄金分割点；
（2）
解：如图2所示，连接 ，连接AM，
∵,
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在△ADM和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴NA=NM，
∵∠ANP=∠DNA，∠NAP=∠NDA，
∴△ANP∽△DNA，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，旋转的性质，相似三角形的性质与判定，黄金分割点，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等等，熟知相关知识是解题的关键．
27．如图，在梯形中，，，，点、分别在线段、上，．的延长线交边于点，交于点、其延长线交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）设，的面积为，求关于的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）联结，当与相似时，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）y＝(0＜x≤9)；（3）3或．
【分析】（1）由AD∥BC知，，结合DB=DC=15，DE=DF=5知，从而得，据此可得答案；
（2）作DP⊥BC，NQ⊥AD，求得BP=CP=9，DP=12，由知BG=CH=2x，BH=18+2x，根据得，即DN＝，再根据知NQ＝，由三角形的面积公式可得答案；
（3）分∠ADN=∠FGH和∠ADN=∠GFH两种情况分别求解可得．
【解析】解：（1）∵AD∥BC，
∴，．
∵DB=DC=15，DE=DF=5，
∴，
∴，
∴BG=CH．
（2）过点D作DP⊥BC，过点N作NQ⊥AD，垂足分别为点P、Q．
∵DB=DC=15，BC=18，
∴BP=CP=9，DP=12．
∵，
∴BG=CH=2x，
∴BH=18+2x．
∵AD∥BC，
∴，
∴，
∴，
∴DN＝．
∵AD∥BC，
∴∠ADN=∠DBC，
∴sin∠ADN=sin∠DBC，
∴，
∴NQ＝．
∴y＝AD•NQ＝x•(0＜x≤9)．
（3）∵AD∥BC，
∴∠DAN=∠FHG．
（i）当∠ADN=∠FGH时，
∵∠ADN=∠DBC，
∴∠DBC=∠FGH，
∴BD∥FG，
∴，
∴，
∴BG=6，
∴AD=3．
（ii）当∠ADN=∠GFH时，
∵∠ADN=∠DBC=∠DCB，
又∵∠AND=∠FGH，
∴△ADN∽△FCG．
∴，
∴x•(18−2x)＝ •10，整理得x2-3x-29=0，
解得x＝，或x＝（舍去）．
综上所述，当△HFG与△ADN相似时，AD的长为3或．
【点睛】本题是相似三角形的综合问题，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定与性质、分类讨论思想的运用等知识点．
28．如图，在矩形ABCD中，，点F、G分别在边AB、CD上，将矩形ABCD沿GF折叠，使点A落在BC边上的点E处，得到四边形EFGP，EP交CD于点H，连接AE交GF于点O．
(1)若BC＝8，E是BC中点，求BF的长；
(2)试探究GF与AE之间的位置关系与数量关系，并说明理由；
(3)连接CP，若，，求线段BE和CP的长．
【答案】(1)
(2)，，理由见解析
(3)，
【分析】（1）根据，BC＝8，E是BC中点，得AB=12，BE=4，设BF=x，则AF=12-x，在Rt△BEF中，可得，解得x即可；
（2）由A、E关于FG对称，即得GF⊥AE，过点G作GM⊥AB于点M，可证△ABE∽△GMF，即得，故；
（3）过点P作PN⊥BC交BC的延长线于点N，利用相似三角形的性质求出PN、CN即可解决问题．
（1）
∵，BC＝8，E是BC中点，
∴AB=12，BE=4，
设BF=x，则AF=12-x，
由矩形ABCD沿GF折叠，使点A落在BC边上的点E处得EF=AF=12-x，
在Rt△BEF中，，
可得，
解得，
∴BF= ；
（2）
，，
理由如下：∵矩形ABCD沿GF折叠，使点A落在BC边上的点E处，得到四边形EFGP，
∴A、E关于FG对称，
∴GF⊥AE，
过点G作GM⊥AB于点M，如图：
∵AE⊥GF，
∴∠AOF=∠GMF=∠ABE=90°，
∴∠BAE+∠AFO=90°，∠AFO+∠FGM=90°，
∴∠BAE=∠FGM，
∴△ABE∽△GMF，
∴，
∵∠AMG=∠D=∠DAM=90°，
∴四边形AMGD是矩形，
∴GM=AD，
∴；
（3）
过点P作PN⊥BC交BC的延长线于N，如图：
由，设BE=3k，则BF=4k，
EF=AF=5k，AB=9k，
∵，，
∴AE=，
∴，
∴k=1或-1（舍），
∴BE=3，AB=9，
∵BC:AB=2:3，
∴BC=6，
∴BE=CE=3，AD=PE=BC=6，
∵∠EBF=∠FEP=∠PME=90°，
∴∠FEB+∠PEN=90°，∠PEN+∠EPN=90°，
∴∠FEB=∠EPN，
∴△FBE∽△ENP，
∴，
∴，
∴，，
∴CN=EN-EC=，
∴，
∴BE=3，CP= ．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．
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