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沪教版九年级数学上册期中期末挑战满分冲刺卷专题04锐角的三角比(难点)(原卷版+解析)
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这是一份沪教版九年级数学上册期中期末挑战满分冲刺卷专题04锐角的三角比(难点)(原卷版+解析)，共53页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．在中，，，，垂足为D．下列四个选项中，不正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．如图，在中，，CD、CE分别是斜边AB上的高和中线，下列结论不一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
3．在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是高，如果AB=m，∠A=，那么CD的长为（ ）
A．B．
C．D．
4．如图，A，B，C，三点在正方形网格线的交点处，若将绕着点A逆时针旋转得到，则的值为（ ）
A．B．C．D．
5．共享单车为市民出行提供了便利．图1为单车实物图，图2为单车示意图，与地面平行，点A、B、D共线，点D、F、G共线，坐垫C可沿射线方向调节．已知，，，车轮半径为，，小明体验后觉得当坐垫C离地面高度为时骑着比较舒适，此时的长约为（ ）（结果精确到，参考数据：，，）
A．B．C．D．
6．如图所示一座楼梯的示意图，BC是铅垂线，CA是水平线，BA与CA的夹角为θ．现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA=6米，楼梯宽度4米，则地毯的面积至少需要（ ）
A．米2B．米2C．米2D．米2
7．因为，，所以；因为，，所以，由此猜想，推理知：一般地当为锐角时有，由此可知：（ ）．
A．B．C．D．
8．如图，在矩形中，为边上一点，将沿直线翻折，使得点的对应点落在边上．若，则的长度是（ ）
A．B．C．D．1
9．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝90°，，把沿着AC翻折得到，若，则线段DE的长度（ ）
A．B．C．D．
10．如图，四边形为正方形，将绕点逆时针旋转至，点，，在同一直线上，与交于点，延长与的延长线交于点，，．以下结论：
①；②；③；④．其中正确结论的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题
11．如图，正方形AFEB和正方形BEDC的边长相等，点A、B、C在同一条直线上．连接AD、BD，那么cs∠ADB的值为____．
12．如图，AD是△ABC的角平分线，过点C作AD的垂线交边AB于点E，垂足为点 O，当CE为△ABC边AB上的中线，且CE=AD时，则_____________．
13．我们把两个三角形的重心之间的距离叫做重心距．如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝30°，CD是△ABC中边AB上的高，如果BC＝6，那么△ADC和△BCD的重心距是________．
14．如图，△ABC中，，，，将三角形绕着点A旋转，点C落在直线AB上的点处，点B落在点处，若C、B、恰好在一直线上，则AB的长为______．
15．如图，在等边内有一点，，，，将绕点逆时针旋转，使与重合，点旋转至点，则的余弦值为_______．
16．如图, 在 中, 是斜边 上的中线, 点 是直线 左侧一点, 联结 , 若 , 则 的值为______．
17．阅读材料：余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的定理，是勾股定理在一般三角形情形下的推广．对于任意三角形，任何一边的平方等于其它两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．定理解读：如图，在任意中，以边为例，其它两边是和，和的夹角为，根据余弦定理有，类似的可以得到关于和的关系式．已知在中，，，是和的比例中项，那么的余弦值为____．
18．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝2，以点C为直角顶点的Rt△DCE的顶点D在BA的延长线上，DE交CA的延长线于点G，若tan∠CED＝，CE＝GE，那么BD的长等于_____．
19．如图，在平面直角坐标系中，点A，C分别在x轴，y轴上，四边形为矩形，，点D与点A关于y轴对称，，点E、F分别是线段、上的动点，（点E不与点A，D重合），且．当为等腰三角形时，的面积为_________．
三、解答题
20．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，E是AC的中点，DE的延长线交BC的延长线于点F，EF＝5，∠B的正切值为
(1)求证：△BDF∽△DCF；
(2)求BC的长．
21．如图，在中，．分别以点B、C为圆心、大于的同样长为半径作弧，两弧相交于点M、N，直线分别交于点D、E．
(1)直线是线段的___________，___________；
(2)求点A到直线的距离．
22．冬至是一年中太阳光照射最少的日子，如果此时楼房最低层能采到阳光，一年四季整座楼均能受到阳光的照射，所以冬至是选房买房时确定阳光照射的最好时机.某居民小区有一朝向为正南方向的居民楼，该居民楼的一楼是高6米的小区超市，超市以上是居民住房，在该楼前面20米处要盖一栋高25米的新楼，已知上海地区冬至正午的阳光与水平线夹角为29°（参考数据：sin29°≈0.48；cs29°≈0.87；tan29°≈0.55）
(1)冬至中午时，超市以上的居民住房采光是否有影响，为什么？
(2)若要使得超市全部采光不受影响，两楼应至少相距多少米？（结果保留整数）
23．如图，已知在锐角三角形ABC中，．
(1)求点C到直线AB的距离；
(2)将绕点A旋转，点B落在点D处，点C落在点E处．
①当点D在边BC上时，联结CE，求的正弦值；
②当时，求点B与点E的距离．
24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5，点D是边AC上的动点，以CD为边在△ABC外作正方形CDEF，分别联结AE、BE，BE与AC交于点G
(1)当AE⊥BE时，求正方形CDEF的面积；
(2)延长ED交AB于点H，如果△BEH和△ABG相似，求sin∠ABE的值；
(3)当AG＝AE时，求CD的长．
25．如图，已知ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6，BC＝4，D是边AB上一点（与点A、B不重合），DE平分∠CDB，交边BC于点E，EF⊥CD，垂足为点F．
(1)当DE⊥BC时，求DE的长；
(2)当CEF与ABC相似时，求∠CDE的正切值；
(3)如果BDE的面积是DEF面积的2倍，求这时AD的长．
26．如图1，已知锐角△ABC的高AD、BE相交于点F，延长AD至G，使DG=FD，连接BG，CG．
（1）求证:；
（2）如果，设．
①如图2，当∠ABG=90°时，用含m的代数式表示△BFG的面积；
②当AB=8，且四边形BGCE是梯形时，求m的值．
27．已知正ABC与正CDE，连接BD，AE．
（1）如图1，D点在BC上，点E在AC上，AE与BD的数量关系为 ；直线AE与直线BD所夹锐角为 度；
（2）将CDE绕点C顺时针旋转至如图2，（1）中结论是否仍然成立？请说明理由；
（3）若AB＝7，CD＝3，将CDE绕点C顺时针旋转至B，D，E三点共线时，请画出图形，并求出BD长．
28．已知点P为线段AB上的一点，将线段AP绕点A逆时针旋转60°，得到线段AC；再将线段绕点B逆时针旋转120°，得到线段BD；点M是AD的中点，联结BM、CM．
（1）如图1，如果点P在线段CM上，求证：；
（2）如图1，如果点P在线段CM上，求证：；
（3）如果点P不在线段CM上（如图12），当点P在线段AB上运动时，的正切值是否发生变化？如果发生变化，简述理由；如果不发生变化，请求出的正切值．
29．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝12，点E在AB上，AE＝5，P是AD上一点，将矩形沿PE折叠，点A落在点处．连接AC，与PE相交于点F，设AP＝x．
（1）AC＝ ；
（2）若点在∠BAC的平分线上，求FC的长；
（3）求点，D距离的最小值，并求此时tan∠APE的值；
（4）若点在△ABC的内部，直接写出x的取值范围．
专题04 锐角的三角比（难点）
一、单选题
1．在中，，，，垂足为D．下列四个选项中，不正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由，推出AB=2BC，根据推出∠BCD=，得到BC=2BD，设BD=x，则BC=2x，AB=4x，利用勾股定理求出AC、CD，再列式计算进行判断．
【解析】∵，，
∴AB=2BC，
∵，
∴∠BCD+∠B=，
∵∠A+∠B=，
∴∠BCD=，
∴BC=2BD，
设BD=x，则BC=2x，AB=4x，
∴，
∴，,， ，
故选：B．
．
【点睛】此题考查直角三角形30度角所对的直角边等于斜边的一半，解直角三角形，解题中设BD=x，则BC=2x，AB=4x，用含x的式子表示各线段使计算简便，更易得出答案．
2．如图，在中，，CD、CE分别是斜边AB上的高和中线，下列结论不一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据，，的余角相等即可判断A，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即，可得，则，即可判断B选项，根据A选项可得，即，即可判断C，根据，可得,，即可判断D选项．
【解析】解：，，
故A选项正确，不符合题意；
CD、CE分别是斜边AB上的高和中线，
，
故B选项不正确，符合题意；
，即，
故C选项正确，不符合题意；
，即,
又
故D选项正确，不符合题意．
故选B．
【点睛】本题考查了三角形中线，高线，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，锐角三角函数，找出图中相等的角是解题的关键．
3．在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是高，如果AB=m，∠A=，那么CD的长为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】此题根据题意作图根据锐角三角函数表示出AC，再表示出CD即可求出结果．
【解析】解：根据题意作图如下：
由题意知：AB=m，∠A=，
∴，
∴，
即，
故选：B．
【点睛】此题考查锐角三角函数的应用，主要涉及到正弦和余弦，找准对应边是解题关键．
4．如图，A，B，C，三点在正方形网格线的交点处，若将绕着点A逆时针旋转得到，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】过C点作CD⊥AB，垂足为D，根据旋转性质可知，∠B′=∠B，把求tanB′的问题，转化为在Rt△BCD中求tanB．
【解析】过C点作，垂足为D
则根据旋转性质可知，
在中，
所以
故选B．
【点睛】本题考查了旋转的性质，旋转后对应角相等；三角函数的定义及三角函数值的求法．
5．共享单车为市民出行提供了便利．图1为单车实物图，图2为单车示意图，与地面平行，点A、B、D共线，点D、F、G共线，坐垫C可沿射线方向调节．已知，，，车轮半径为，，小明体验后觉得当坐垫C离地面高度为时骑着比较舒适，此时的长约为（ ）（结果精确到，参考数据：，，）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】过点C作CN⊥AB，交AB于M，通过构建直角三角形解答即可．
【解析】解：过点C作CN⊥AB，交AB于M，交地面于N
由题意可知MN＝30cm，当CN＝90cm时，CM＝60cm，
∵Rt△BCM中，∠ABE＝70°，sin∠ABE＝sin70°＝≈0.9，
∴BC≈67cm，
∴CEBC−BE＝67−40＝27cm．
故选B．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，正确构建直角三角形是解答本题的关键．
6．如图所示一座楼梯的示意图，BC是铅垂线，CA是水平线，BA与CA的夹角为θ．现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA=6米，楼梯宽度4米，则地毯的面积至少需要（ ）
A．米2B．米2C．米2D．米2
【答案】D
【分析】在Rt△ABC中，利用锐角三角函数求出BC，然后根据平移的性质可得在楼梯上铺的地毯长，从而求出地毯的面积．
【解析】解：在Rt△ABC中，AC=6，∠BAC=θ，
∴tanθ=，
∴BC=ACtanθ=6tanθ（米），
∴在楼梯上铺的地毯长=BC+AC=（6+6tanθ）米，
∴地毯的面积=4（6+6tanθ）=（24+24tanθ）平方米，
故选：D．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的计算是解题的关键．
7．因为，，所以；因为，，所以，由此猜想，推理知：一般地当为锐角时有，由此可知：（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】本题考查的阅读理解能力．由上述公式可得sin(180°+60°)=-sin60°=．故选择C．
8．如图，在矩形中，为边上一点，将沿直线翻折，使得点的对应点落在边上．若，则的长度是（ ）
A．B．C．D．1
【答案】B
【分析】根据折叠性质得到AF=AD=4，∠DAE=∠FAE=15°，∠D=∠AFE=90°，进而得到∠AFB=30°，解Rt△ABF，求出，进而求出CF=，求出∠EFC=60°，解Rt△CEF，即可求解．
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°，AD=BC=4，
由折叠可知，AF=AD=4，∠DAE=∠FAE=15°，∠D=∠AFE=90°，
∴∠BAF=∠BAD-∠DAE∠FAE=60°，
∵∠B=90°，
∴∠AFB=30°，
∴,
∴CF=BC-BF=，
∵∠AFB=30°，∠AFE=90°，
∴∠EFC=60°，
∴在Rt△CEF中，．
故选：B
【点睛】本题考查了矩形与折叠问题，解直角三角形等知识，理解矩形与折叠性质，根据特殊角三角形函数值解直角三角形是解题关键．
9．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝90°，，把沿着AC翻折得到，若，则线段DE的长度（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】作DM⊥CE，根据折叠的性质得∠ACE=∠ACB，BC=EC，然后结合已知条件求出DM和EM的长度，最后在Rt△EDM中运用勾股定理求解即可．
【解析】如图所示，作DM⊥CE于M点，
∵∠ABC＝90°，，
∴，则∠CAB=30°，
∵∠ABC＝∠BCD＝90°，
∴CD∥AB，
∴∠ACD=∠CAB=30°，
根据折叠的性质得：∠ACE=∠ACB=60°，，
∴∠ECD=30°，
设DM=x，则CD=2x，MC=x，
∴EM=EC-MC=-x，
∵，
∴，
解得：，
经检验，是上述分式方程的解，
∴，，
∴在Rt△EDM中，，
故选：B．
【点睛】本题考查三角形的翻折问题，涉及到勾股定理，解直角三角形等知识点，理解并熟练运用正切函数的定义是解题关键．
10．如图，四边形为正方形，将绕点逆时针旋转至，点，，在同一直线上，与交于点，延长与的延长线交于点，，．以下结论：
①；②；③；④．其中正确结论的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【分析】利用旋转的性质，正方形的性质，可判断①正确；利用三角形相似的判定及性质可知②正确；证明，得到，即，利用是等腰直角三角形，求出，再证明即可求出可知③正确；过点E作交FD于点M，求出，再证明，即可知④正确．
【解析】解：∵旋转得到，
∴，
∵为正方形，，，在同一直线上，
∴，
∴，故①正确；
∵旋转得到，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故②正确；
设正方形边长为a，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，解得：，
∵，
∴，故③正确；
过点E作交FD于点M，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，故④正确
综上所述：正确结论有4个，
故选：D
【点睛】本题考查正方形性质，旋转的性质，三角形相似的判定及性质，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握以上知识点，结合图形求解．
二、填空题
11．如图，AD是△ABC的角平分线，过点C作AD的垂线交边AB于点E，垂足为点 O，当CE为△ABC边AB上的中线，且CE=AD时，则_____________．
【答案】
【分析】过E点作EF∥AD，对应边成比例，令AD=CE=8k，则OD=2k，OA=6k，作CH⊥AE于点H，由勾股定理求出AC，在△ACE中用等面积法求出CH，从而得出答案．
【解析】如图，作EF∥AD交BC于点F，
∵AD⊥AE，AD平分∠CAB，
∴O是CD中点， ，
∵CE是△ABC的中线，
∴E为AB中点，，
∵AD=CE，
令AD=CE=8k，则OE=OC=4k=EF，OD=2k，OA=6k，
在Rt△ACO中，AC=，
∵AO垂直平分CE，
∴AC=AE=；
过C点作AH⊥AE交AE于点H，
在△ACE中，通过等面积法可得：，
∴CH=，
在Rt△ACH中， ；
故答案为：．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，中位线的性质，勾股定理，熟练掌握性质之间的线段和角度转化是解题的关键．
12．我们把两个三角形的重心之间的距离叫做重心距．如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝30°，CD是△ABC中边AB上的高，如果BC＝6，那么△ADC和△BCD的重心距是________．
【答案】1＋
【分析】设△ADC和△BCD的重心分别为M、N，连接CM、CN并延长交AB于E、F点，首先解直角三角形，可得AB的长，再根据重心的性质说明△MCN∽△ECF，得MN＝EF＝1＋．
【解析】解：如图，设△ADC和△BCD的重心分别为M、N，连接CM、CN并延长交AB于E、F点，
在Rt△CBD中，∵∠B＝30°，
∴CD＝BC＝3，BD＝CD＝3，
在Rt△ACD中，∵A＝45°，
∴AD＝CD＝3，
∴AB＝AD＋BD＝3＋3，
∴EF＝AB＝，
∵△ADC和△BCD的重心分别为M、N，
∴，
∵∠MCN＝∠ECF，
∴△MCN∽△ECF，
∴MN＝EF＝1＋，
故答案为：1＋．
【点睛】本题主要考查了重心的性质，三角形相似的判定与性质，解直角三角形等知识，熟练掌握重心的性质是解题的关键．
13．如图，△ABC中，，，，将三角形绕着点A旋转，点C落在直线AB上的点处，点B落在点处，若C、B、恰好在一直线上，则AB的长为______．
【答案】
【分析】作于点，作于点．则，设，，则，，即可利用表示出的长，在直角中利用勾股定理求得的值，进而求得，得到的长．
【解析】解：作于点，作于点．则．
，
．
设，，则，，
在直角△中，，
则，
，
，
，
，
．
则，
解得：．
又中，
即，
解得：，
则，．
故答案是：．
【点睛】本题考查了旋转的性质以及相似三角形的判定与性质，解题的关键是正确理解旋转的性质，作出辅助线，得到和的关系．
14．如图，在等边内有一点，，，，将绕点逆时针旋转，使与重合，点旋转至点，则的余弦值为_______．
【答案】##0.9
【分析】由旋转的性质证明是等边三角形和得：AD=DE=AE=5，CE=BD=6，过点E作EH⊥CD，垂足为H．设DH=x，则CH=4-x．由勾股定理得出 62-（4-x）2=52-x2，求出DH，CH的长，由锐角三角函数的定义可得出答案．
【解析】解：∵是等边三角形
∴AB=AC，
∵绕点逆时针旋转，且与重合，
∴ ，AD=AE
∴是等边三角形，
∴，
∵
∴
又AB=AC，AD=AE
∴
∴
过点作，垂足为．
设，则．
由勾股定理得：，
即，
解得：，
，
故答案为：
【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，锐角三角函数，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
15．如图, 在 中, 是斜边 上的中线, 点 是直线 左侧一点, 联结 , 若 , 则 的值为______．
【答案】
【分析】先证明，则，进而证明，据求得相似比，根据面积比等于相似比的平方即可求解
【解析】解：是斜边 上的中线，
即
又
又
又
设，则
故答案为：
【点睛】本题考查了解直角三角形，三角形全等的性质与判定，相似三角形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，垂直平分线的性质与判定，正切的定义，证明是解题的关键．
16．阅读材料：余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的定理，是勾股定理在一般三角形情形下的推广．对于任意三角形，任何一边的平方等于其它两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．定理解读：如图，在任意中，以边为例，其它两边是和，和的夹角为，根据余弦定理有，类似的可以得到关于和的关系式．已知在中，，，是和的比例中项，那么的余弦值为____．
【答案】##0.75
【分析】根据余弦定理得，AC2=AB2+BC2-2AB•BC•csB，再根据AC是BC和AB的比例中项，即可推出结果．
【解析】解：根据余弦定理得，AC2=AB2+BC2-2AB•BC•csB，
∵AC是BC和AB的比例中项，
∴AC2=AB•BC，
∴AB•BC=AB2+BC2-2AB•BC•csB，
即1×2=12+22-2×1×2×csB，
∴csB=，
故答案为：．
【点睛】本题是阅读理解题，考查了线段比例中项的定义，读懂题意，采用类比的方法是解题的关键．
17．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝2，以点C为直角顶点的Rt△DCE的顶点D在BA的延长线上，DE交CA的延长线于点G，若tan∠CED＝，CE＝GE，那么BD的长等于_____．
【答案】##
【分析】如图，过点A作AH⊥CE于H．先证明AK＝AC，推出HK＝CH，进而得到AK＝AD＝2即可解答．
【解析】解：如图，过点A作AH⊥CE于H.
∵tan∠CED＝＝tan∠BAC，
∴∠E＝∠BAC，
∵CE＝EG，
∴∠CGE＝∠ECG，
∵∠BAC+∠GAK＝180°，
∴∠E+∠GAK＝180°，
∴∠AGE+∠AKE＝180°，
∵∠AKE+∠AKC＝180°，
∴∠AKC＝∠CGE，
∴∠AKC＝∠ACK，
∴AC＝AK＝2，
∵AH⊥CK，
∴KH＝CH，
∵∠AHE＝∠DCK＝90°，
∴AH∥CD，
∴KA＝AD，
∴DK＝2AK＝4，AD＝AK＝2，
∵∠ACB＝90°，BC＝1，AC＝2，
∴AB＝＝＝，
∴BD＝AB+AD＝．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形、勾股定理、三角形的中位线定理等知识，正确添加辅助线、构造三角形的中位线是解得本题的关键．
18．如图，在平面直角坐标系中，点A，C分别在x轴，y轴上，四边形为矩形，，点D与点A关于y轴对称，，点E、F分别是线段、上的动点，（点E不与点A，D重合），且．当为等腰三角形时，的面积为_________．
【答案】或
【分析】根据题意求出、、、的长度，再求出，，从而可得∽，再根据为等腰三角形分情况讨论，即可求出的面积．
【解析】解：∵，
∴
∵四边形为矩形
∴，，
∵点D与点A关于y轴对称
∴，
∴
∵，
∴
∴
∴
当为等腰三角形时
①当时
∵，
∴≌
∴
∴
②当时，如图所示，过点作交于点
∵，
∴
∵，
∴∽
∴
∴
∴
∴
③当时，则
∵
∴
∴此时点与点重合，则点与点重合，与题中条件矛盾，故该假设不成立
故答案为：或
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质，锐角三角函数的知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质是解答本题的关键．
三、解答题
19．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，E是AC的中点，DE的延长线交BC的延长线于点F，EF＝5，∠B的正切值为
(1)求证：△BDF∽△DCF；
(2)求BC的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)12
【分析】(1)根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出DE=EC，推出∠EDC=∠ECD，求出∠FDC=∠B，根据∠F=∠F证△FBD~∆FDC，即可；
(2)设DE=x，则AC=2x， DF=x+5，由(1)可知△BDF-△DCF，根据相似三角形对应边的比相等及正切函数的定义得到=tan∠B=，则BF=2 (x+5) ，CF= (x+5)，BC=BF-CF= (x+5)，然后在直角△ABC中，根据tan∠B=，得到方程 (x+5) =2×2x，解方程即可求解．
（1）
证明：∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∵E是AC的中点，
∴DE＝EC，
∴∠EDC＝∠ECD，
∵∠ACB＝90°，∠BDC＝90°
∴∠ECD+∠DCB＝90°，∠DCB+∠B＝90°，
∴∠ECD＝∠B，
∴∠B＝∠FDC，
又∵∠F＝∠F，
∴△BDF∽△DCF；
（2）
解：设DE＝x，则AC＝2DE＝2x，DF＝DE+EF＝x+5．
∵△BDF∽△DCF，
∴＝＝＝tan∠B＝，
∴BF＝2DF＝2（x+5），CF＝DF＝（x+5），
∴BC＝BF﹣CF＝（x+5），
在直角△ABC中，∵tan∠B＝＝，
∴BC＝2AC，即（x+5）＝2×2x，
解得x＝3
∴BC＝（3+5）＝12．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义，直角三角形的性质，难度适中，解题的关键是由相似三角形的性质得到比例式．
20．如图，在中，．分别以点B、C为圆心、大于的同样长为半径作弧，两弧相交于点M、N，直线分别交于点D、E．
(1)直线是线段的___________，___________；
(2)求点A到直线的距离．
【答案】(1)垂直平分线，4
(2)2
【分析】（1）根据作图可得直线是线段的垂直平分线，再根据垂直平分线的定义可得的长度；
（2）过点A作，垂足为点H． 先证明 再在在中，求解，AD，利用从而可得答案．
(1)
由作图可得：直线是线段的垂直平分线，
故答案为：垂直平分线，4；
(2)
过点A作，垂足为点H．
在中，∵，
∴．
由，得．
∴．
即点A到直线的距离为2．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的作图理解，锐角三角函数的应用，熟练的利用锐角三角函数求解直角三角形的边长是解本题的关键．
21．冬至是一年中太阳光照射最少的日子，如果此时楼房最低层能采到阳光，一年四季整座楼均能受到阳光的照射，所以冬至是选房买房时确定阳光照射的最好时机.某居民小区有一朝向为正南方向的居民楼，该居民楼的一楼是高6米的小区超市，超市以上是居民住房，在该楼前面20米处要盖一栋高25米的新楼，已知上海地区冬至正午的阳光与水平线夹角为29°（参考数据：sin29°≈0.48；cs29°≈0.87；tan29°≈0.55）
(1)冬至中午时，超市以上的居民住房采光是否有影响，为什么？
(2)若要使得超市全部采光不受影响，两楼应至少相距多少米？（结果保留整数）
【答案】(1)居民住房会受影响，理由见解析
(2)45米
【分析】（1）首先沿着光线作射线AF交CD于点F，过点F作FG⊥AB于点G．在Rt△AFG中，利用正切求得AG的长，进而根据CF=BG=AB-AG求得CF的高度．通过比较CF与超市高度6米，可得到中午时，超市以上的居民住房采光是否有影响．
（2）首先沿着光线作射线AE交直线BC于点E．在Rt△ABE中，利用正切求得BE的长，即为使得超市采光不受影响，两楼应至少相距的米数．
（1）
居民住房会受影响，理由如下，
沿着光线作射线AF交CD于点F，过点F作FG⊥AB于点G，
由题意，在Rt△AFG中，GF=BC=20，∠AFG=29°，
∴AG=GF•tan29°=20×0.55=11米，
∴GB=FC=25-11=14米，
∵14＞6，
∴居民住房会受影响
（2）
沿着光线作射线AE交直线BC于点E．
由题意，在Rt△ABE中，AB=20，∠AEB=29°，
∴BE＝≈45米，
∴至少要相距45米
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是掌握正切概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算．
22．如图，已知在锐角三角形ABC中，．
(1)求点C到直线AB的距离；
(2)将绕点A旋转，点B落在点D处，点C落在点E处．
①当点D在边BC上时，联结CE，求的正弦值；
②当时，求点B与点E的距离．
【答案】(1)4；
(2)①；②或3．
【分析】（1）过点A作AM⊥BC于点M，如图1，在Rt△ABM中，求得AM和BM的值，在Rt△ACM中，由勾股定理得，求得CM的值，进而得到BC的值，利用等积法即可得到点C到直线AB的距离；
（2）①由旋转的性质可知：△ADE≌△ABC，则AD＝AB＝5，∠ADE＝∠B＝60°，DE＝BC＝8，当点D落在边BC上时，可得∠ADB＝∠B＝60°，则∠CDE＝60°，由等腰三角形三线合一得DM＝BM＝，求得CD＝3，过点C作CN⊥DE于点N，在Rt△CDN中，求得CN＝，，进一步得，在Rt△CEN中，由勾股定理得，CE＝7，进一步得到的正弦值；②当ADBC时，过点E作EP⊥BC于点P,交AD于点Q，则四边形AMPQ是矩形，PQ＝AM＝，PM＝AQ，在Rt△DEQ中，得到EQ和DQ的值，进一步得到PM＝1，分点D在点A的右侧和点D在点A的左侧两种情况进行求解即可．
（1）
解：过点A作AM⊥BC于点M，如图1，
∴ ∠AMB＝∠AMC＝90°，
在Rt△ABM中，∠B＝60°，AB＝5，
∴ AM＝，，
在Rt△ACM中，AC＝7，由勾股定理得，
CM＝，
∴，
设点C到直线AB的距离为h，
由，得
，
即点C到直线AB的距离为4；
（2）
解：①将△ABC绕点A旋转，点B落在点D处，点C落在点E处，如图2，
由旋转的性质可知：△ADE≌△ABC，
∴AD＝AB＝5，∠ADE＝∠B＝60°，DE＝BC＝8，
当点D落在边BC上时，∠ADB＝∠B＝60°，
∴∠CDE＝180°－∠ADE－∠ADB＝60°，
∵AM⊥BD，
∴DM＝BM＝，
∴CD＝BC－BM－DM＝3，
过点C作CN⊥DE于点N，
则∠CND＝∠CNE＝90°，
在Rt△CDN中，
CN＝，，
∴ ，
在Rt△CEN中，由勾股定理得，
，
∴，
即∠CED的正弦值为；
②当ADBC时，过点E作EP⊥BC于点P,交AD于点Q，则∠EQD＝∠EPC＝∠EPB＝90°＝∠AMP，
∴四边形AMPQ是矩形，
∴PQ＝AM＝，PM＝AQ，
在Rt△DEQ中，
，，
∴PM＝AQ＝AD－DQ＝1，
若点D在点A的右侧，如图3，
则EP＝EQ＋PQ＝，
∴ BP＝BM＋PM＝，
在Rt△BPE中，由勾股定理得，
BE＝；
若点D在点A的左侧，如图4，
则EP＝EQ－PQ＝，
∴ BP＝BM－PM＝，
在Rt△BPE中，由勾股定理得，
BE＝，
综上所述，点B到点E的距离为或3．
【点睛】此题考查了图形的旋转、解直角三角形、勾股定理、矩形的判定和性质、三角形的面积等知识，根据题意作出正确的图形和辅助线是解题的关键．
23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5，点D是边AC上的动点，以CD为边在△ABC外作正方形CDEF，分别联结AE、BE，BE与AC交于点G
(1)当AE⊥BE时，求正方形CDEF的面积；
(2)延长ED交AB于点H，如果△BEH和△ABG相似，求sin∠ABE的值；
(3)当AG＝AE时，求CD的长．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）证明△ADE≌△BFE（ASA），推出AD＝BF，构建方程求出CD即可．
（2）过点A作AM⊥BE于M，想办法求出AB，AM即可解决问题．
（3）如图3中，延长CA到N，使得AN＝AG．设CD＝DE＝EF＝CF＝x，则AD＝12﹣x，DN＝BF＝5+x，在Rt△ADE中，利用勾股定理求出x即可解决问题．
（1）
如图1中，
∵四边形ABCD是正方形，
∴CD＝DE＝EF＝CF，∠CDE＝∠DEF＝∠F＝90°，
∵AE⊥BE，
∴∠AEB＝∠DEF＝90°，
∴∠AED＝∠BEF，
∵∠ADE＝∠F＝90°，DE＝FE，
∴△ADE≌△BFE（ASA），
∴AD＝BF，
∴AD＝5+CF＝5+CD，
∵AC＝CD+AD＝12，
∴CD+5+CD＝12，
∴CD＝，
∴正方形CDEF的面积为．
（2）
如图2中，
∵∠ABG＝∠EBH，
∴当∠BAG＝∠BEH＝∠CBG时，△ABG∽△EBH，
∵∠BCG＝∠ACB，∠CBG＝∠BAG，
∴△CBG∽△CAB，
∴＝CG•CA，
∴CG＝，
∴BG＝==，
∴AG＝AC﹣CG＝，
过点A作AM⊥BE于M，
∵∠BCG＝∠AMG＝90°，∠CGB＝∠AGM，
∴∠GAM＝∠CBG，
∴cs∠GAM＝cs∠CBG＝，
∴AM＝，
∵AB＝=13，
∴sin∠ABM＝．
（3）
如图3中，延长CA到N，使得AN＝AG．
∵AE＝AG＝AN，
∴∠GEN＝90°，
由（1）可知，△NDE≌△BFR，
∴ND＝BF，
设CD＝DE＝EF＝CF＝x，则AD＝12﹣x，DN＝BF＝5+x，
∴AN＝AE＝5+x﹣（12﹣x）＝2x﹣7，
在Rt△ADE中，
∵，
∴，
∴x＝或（舍弃），
∴CD＝．
【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，三角形的全等，三角形相似的性质和判定，一元二次方程的解法，三角函数的正弦值，熟练掌握勾股定理，准确解一元二次方程，正弦值是解题的关键．
24．如图，已知ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6，BC＝4，D是边AB上一点（与点A、B不重合），DE平分∠CDB，交边BC于点E，EF⊥CD，垂足为点F．
(1)当DE⊥BC时，求DE的长；
(2)当CEF与ABC相似时，求∠CDE的正切值；
(3)如果BDE的面积是DEF面积的2倍，求这时AD的长．
【答案】(1)
(2)1或
(3)
【分析】（1）证明△DCE≌△DBE（ASA），可得CE＝BE＝2，根据＝tan∠B＝，即可求得答案；
（2）分两种情况：①当△CEF∽△ABC时，可证得∠CDB＝90°，再根据DE平分∠CDB，可得∠CDE＝45°，再由特殊角的三角函数值即可求得答案；②当△CEF∽△BAC时，则∠ECF＝∠ABC，得出DC＝DB，再由DE平分∠CDB，可得DE⊥BC，推出∠CDE＝∠BAC，利用三角函数定义即可求得答案；
（3）如图，过点E作EG⊥AB于点G，根据角平分线性质可得出EF＝EG，推出DF＝DG，再由△BDE的面积是△DEF面积的2倍，可得出BD＝2DF，进而推出DE＝BE，设BE＝x，则DE＝x，CE＝BC﹣BE＝4﹣x，，，根据△CDE∽CBD，得出，建立方程求解即可．
(1)
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6，BC＝4，
∴，
∵DE平分∠CDB，
∴∠CDE＝∠BDE，
∵DE⊥BC，
∴∠DEC＝∠DEB＝90°，
在△DCE和△DBE中，
，
∴△DCE≌△DBE（ASA），
∴CE＝BE，
∵CE+BE＝BC＝4，
∴CE＝BE＝2，
∵，
∴，
∴DE＝；
(2)
∵EF⊥CD，
∴∠CFE＝90°＝∠ACB，
∵△CEF与△ABC相似，
∴△CEF∽△ABC或△CEF∽△BAC，
①当△CEF∽△ABC时，
则∠ECF＝∠BAC，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BAC+∠ABC＝90°，
∴∠ECF+∠ABC＝90°，
∴∠CDB＝90°，
∵DE平分∠CDB，
∴，
∴tan∠CDE＝tan45°＝1；
②当△CEF∽△BAC时，
则∠ECF＝∠ABC，
∴DC＝DB，
∵DE平分∠CDB，
∴DE⊥BC，
∴∠CDE+∠ECF＝90°，
∵∠BAC+∠ABC＝90°，
∴∠CDE＝∠BAC，
∴，
综上所述，∠CDE的正切值为1或；
(3)
如图，过点E作EG⊥AB于点G，
∵DE平分∠CDB，EF⊥CD，EG⊥AB，
∴EF＝EG，
∵DE＝DE，
∴Rt△DEF≌Rt△DEG（HL），
∴DF＝DG，
∵△BDE的面积是△DEF面积的2倍，
∴BD＝2DF，
∴DG＝BG，
∵EG⊥BD，
∴DE＝BE，
设BE＝x，则DE＝x，CE＝BC﹣BE＝4﹣x，，
∴，
∴，
∵DE平分∠CDB，
∴∠CDE＝∠BDE，
∵DE＝BE，
∴∠BDE＝∠B，
∴∠CDE＝∠B，
∵∠DCE＝∠BCD，
∴△CDE∽CBD，
∴，即，
解得：CD＝3，，
∴，
故这时AD的长为．
【点睛】本题是几何综合题，考查了直角三角形性质，勾股定理，全等三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质，角平分线性质，三角形面积，三角函数等知识，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质等相关知识，运用分类讨论思想和方程思想解决问题．
25．如图1，已知锐角△ABC的高AD、BE相交于点F，延长AD至G，使DG=FD，连接BG，CG．
（1）求证:；
（2）如果，设．
①如图2，当∠ABG=90°时，用含m的代数式表示△BFG的面积；
②当AB=8，且四边形BGCE是梯形时，求m的值．
【答案】（1）见详解；（2）①；②m的值为或
【分析】（1）由题意易得，然后可得，则有，然后问题可求证；
（2）①由（1）及题意易得，则有△ABC是等腰三角形，然后可得BD=CD=5，进而根据三角函数可得，则，最后根据三角形面积公式可求解；②由题意可分当BG∥CE时和当CG∥BE时，然后分类求解即可．
【解析】（1）证明：∵锐角△ABC的高AD、BE相交于点F，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵DG=FD，
∴BF=BG，
∴△BFG是等腰三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，即；
（2）①∵，
∴，
∵∠ABG=∠BDG=90°，
∴，
∴，
∴△ABC是等腰三角形，
∵，，
∴，
∴在Rt△BDG中，，
∴，
∴；
②由①可知，
∵四边形BGCE是梯形，且当BG∥CE时，
∴，
∵∠BDG=90°，
∴，
∴△BDG和△ADC都为等腰直角三角形，
设BD=x，则CD=AD=10-x，
在Rt△ADB中，，且AB=8，
即，解得：，
∵△ABC是锐角三角形，
∴，
∴；
当CG∥BE时，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴在Rt△ABD中，由勾股定理得：，
∴；
综上所示：m的值为或．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定及解直角三角形，熟练掌握全等三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定及解直角三角形是解题的关键．
26．已知正ABC与正CDE，连接BD，AE．
（1）如图1，D点在BC上，点E在AC上，AE与BD的数量关系为 ；直线AE与直线BD所夹锐角为 度；
（2）将CDE绕点C顺时针旋转至如图2，（1）中结论是否仍然成立？请说明理由；
（3）若AB＝7，CD＝3，将CDE绕点C顺时针旋转至B，D，E三点共线时，请画出图形，并求出BD长．
【答案】(1)AE=BD；∠C=60°；（2）成立，证明见解析(3)画图见解析，5或8．
【分析】(1)根据等边三角形的性质直接可得出AE=BD，夹角为60°；
(2)根据等边三角形的性质证△BCD≌△ACE，再通过导角可证结论成立；
(3) 过点M作CM⊥DE与M，通过解直角三角形，求得DM、CM，设BD=x，勾股定理列方程即可．
【解析】解：(1) ∵ABC与CDE是等边三角形，
∴AB=BC，CE=CD，∠C=60°，
∴AE=BD；
故答案为：AE=BD；∠C=60°；
(2)成立；
证明：∵ABC与CDE是等边三角形，
∴AB=BC，CE=CD，∠ACB=∠ECD=60°，
∴∠DCB=∠ECA,
∴△BCD≌△ACE，
∴BD = AE；∠CBD=∠CAF，
设直线AE与直线BD相交于点F，
∠FAB+∠ABF=∠BAC+∠CAF+∠ABF =60°+∠CBD +∠ABF=120°，
∠AFB=180°-120°=60°；
(3)过点M作CM⊥DE与M，
如图3，∵∠CDM=60°，CD=3，
∴DM=CDcs60°=1.5，CM= CDsin60°=1.5，设BD=x，
，
解得，，（舍去）；
如图4，∵∠CDM=60°，CD=3，
∴DM=CDcs60°=1.5，CM= CDsin60°=1.5，设BD=x，
，
解得，（舍去），；
综上，BD长为5或8．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质以及解直角三角形，解题关键是准确理解题意，熟练运用全等三角形的性质证明线段和角的关系，通过作垂线，构建直角三角形．
27．已知点P为线段AB上的一点，将线段AP绕点A逆时针旋转60°，得到线段AC；再将线段绕点B逆时针旋转120°，得到线段BD；点M是AD的中点，联结BM、CM．
（1）如图1，如果点P在线段CM上，求证：；
（2）如图1，如果点P在线段CM上，求证：；
（3）如果点P不在线段CM上（如图12），当点P在线段AB上运动时，的正切值是否发生变化？如果发生变化，简述理由；如果不发生变化，请求出的正切值．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【分析】（1）由旋转可得，△APC是等边三角形，∠PBD=120°，则∠BPM+∠PBD=180°，所以PM∥BD．
（2）利用三角形的中位线定理解决问题即可．
（3）延长BM至点G，使得MG=MB，连接AG，BC，GC，PC，可证△CBG是等边三角形且点M是BG的中点，可得结论．
【解析】解：（1）如图1中，
由题意可得，∠CAP=60°，且AP=AC，
∴△APC是等边三角形，
∴∠APC=60°，
∴∠BPM=60°，
又∵∠PBD=120°，
∴∠BPM+∠PBD=180°，
∴PM∥BD；
（2）如图1中，∵AM=MD，PM∥BD，
∴AP=PB，
∴PM= BD，
∵PA=PC=PB=BD，
∴PC=2PM；
（3）结论：tan∠BCM=．理由如下：
如图2，延长BM至点G，使得MG=MB，连接AG，BC，GC，PC，GD，
∵AM=MD，GM=BM，
∴四边形AGDB是平行四边形，
∴AG=BD，AG∥BD，
∴∠BAG=180°-∠ABD=60°，
∴∠CAG=120°，
∵△APC是等边三角形，
∴AC=CP，∠CPB=120°，
∵PB=DB=AG，
∴△CAG≌△CPB（SAS），
∴CG=CB，∠ACG=∠PCB，
∴∠GCB=60°，
∴△CBG是等边三角形，
∵GM=BM，
∴∠BCM=∠BCG=30°，
∴tan∠BCM=．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
28．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝12，点E在AB上，AE＝5，P是AD上一点，将矩形沿PE折叠，点A落在点处．连接AC，与PE相交于点F，设AP＝x．
（1）AC＝ ；
（2）若点在∠BAC的平分线上，求FC的长；
（3）求点，D距离的最小值，并求此时tan∠APE的值；
（4）若点在△ABC的内部，直接写出x的取值范围．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．
【分析】（1）根据矩形性质可得∠B＝90°，即可利用勾股定理求出AC的长；
（2）根据折叠性质及角平分线定义可推出四边形AEA＇F是菱形，则可利用菱形性质得出AF的长，即可求解FC；
（3）根据点A＇在以E为圆心，EA＝5为半径的圆E上，所以连接DE交圆E于点A＇，此时A＇，D距离有最小值，先利用勾股定理求得DE，则可求出DA＇，再由相似三角形的判定与性质可得，从而求出AP，此题得解；
（4）根据题意可分别从点A＇在AC上和BC上进行计算，求解方法都是利用相似三角形的判定与性质得出相关比例式，即可求得相应的x的值．
【解析】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°．
∵AB＝8，BC＝12，
∴AC＝．
故答案为：．
（2）如图，若点在∠BAC的平分线上，连接FA＇，
∴∠EAA＇＝∠FAA＇．
∵EA＝EA＇，
∴∠EAA＇＝∠EA＇A．
由折叠性质可得PE是AA＇的垂直平分线，
∴FA＝FA＇．
∴∠F A＇A＝∠FAA＇．
∴∠EAA＇＝∠FAA＇＝∠EA＇A＝∠F A＇A．
∴AE∥FA＇，AF∥EA＇．
∴四边形AEA＇F是平行四边形．
∵EA＝EA＇，
∴四边形AEA＇F是菱形．
∴AE＝AF＝5．
∴FC＝AC－AF＝．
（3）由题意得，点A＇在以E为圆心，EA＝5为半径的圆E上，所以连接DE交圆E于点A＇，此时A＇，D距离有最小值．
∵四边形ABCD是矩形，BC＝12，
∴∠BAD＝90°，AD＝BC＝12．
∵AE＝5，
∴DE＝．
∴DA＇＝DE－A＇E＝13－5＝8．
由折叠性质可得PA＝PA＇＝x，
∠EAP＝∠EA＇P＝90°，
PD＝AD－AP＝12－x，
∵∠ADE＝∠A＇DP，
∴△ADE∽△A＇DP．
∴．
即．
解得．
∴在Rt△APE中，tan∠APE＝．
故点，D距离的最小值时， tan∠APE的值为．
（4）如图，当点A＇在AC上时，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠BAD＝90°．
∴∠BAC+∠BCA＝90°．
由折叠性质得：PE是AA＇的垂直平分线，
∴∠BAC+∠AEP＝90°．
∴∠AEP＝∠BCA．
∴△APE∽△BAC．
∴．
即．
解得．
如图，当A＇在BC上时，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠BAD＝90°，
∴∠BA A＇+∠B A＇A＝90°，
由折叠性质得：PE是AA＇的垂直平分线，
∴∠BA A＇+∠AEP＝90°．
∴∠B A＇A＝∠AEP．
∴△APE∽△BAA＇．
∴．
即．
在Rt△A＇BE中，EA＝EA＇＝5，BE＝AB－AE＝3，
∴BA＇＝，
∴，
解得．
∴若点在△ABC的内部时，x的取值范围为．
【点睛】本题考查了与矩形有关的折叠问题，熟练掌握矩形的性质、折叠性质、菱形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及利用勾股定理求解相关线段的长度等知识是解题的关键．
1．在中，，，，垂足为D．下列四个选项中，不正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．如图，在中，，CD、CE分别是斜边AB上的高和中线，下列结论不一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
3．在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是高，如果AB=m，∠A=，那么CD的长为（ ）
A．B．
C．D．
4．如图，A，B，C，三点在正方形网格线的交点处，若将绕着点A逆时针旋转得到，则的值为（ ）
A．B．C．D．
5．共享单车为市民出行提供了便利．图1为单车实物图，图2为单车示意图，与地面平行，点A、B、D共线，点D、F、G共线，坐垫C可沿射线方向调节．已知，，，车轮半径为，，小明体验后觉得当坐垫C离地面高度为时骑着比较舒适，此时的长约为（ ）（结果精确到，参考数据：，，）
A．B．C．D．
6．如图所示一座楼梯的示意图，BC是铅垂线，CA是水平线，BA与CA的夹角为θ．现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA=6米，楼梯宽度4米，则地毯的面积至少需要（ ）
A．米2B．米2C．米2D．米2
7．因为，，所以；因为，，所以，由此猜想，推理知：一般地当为锐角时有，由此可知：（ ）．
A．B．C．D．
8．如图，在矩形中，为边上一点，将沿直线翻折，使得点的对应点落在边上．若，则的长度是（ ）
A．B．C．D．1
9．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝90°，，把沿着AC翻折得到，若，则线段DE的长度（ ）
A．B．C．D．
10．如图，四边形为正方形，将绕点逆时针旋转至，点，，在同一直线上，与交于点，延长与的延长线交于点，，．以下结论：
①；②；③；④．其中正确结论的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题
11．如图，正方形AFEB和正方形BEDC的边长相等，点A、B、C在同一条直线上．连接AD、BD，那么cs∠ADB的值为____．
12．如图，AD是△ABC的角平分线，过点C作AD的垂线交边AB于点E，垂足为点 O，当CE为△ABC边AB上的中线，且CE=AD时，则_____________．
13．我们把两个三角形的重心之间的距离叫做重心距．如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝30°，CD是△ABC中边AB上的高，如果BC＝6，那么△ADC和△BCD的重心距是________．
14．如图，△ABC中，，，，将三角形绕着点A旋转，点C落在直线AB上的点处，点B落在点处，若C、B、恰好在一直线上，则AB的长为______．
15．如图，在等边内有一点，，，，将绕点逆时针旋转，使与重合，点旋转至点，则的余弦值为_______．
16．如图, 在 中, 是斜边 上的中线, 点 是直线 左侧一点, 联结 , 若 , 则 的值为______．
17．阅读材料：余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的定理，是勾股定理在一般三角形情形下的推广．对于任意三角形，任何一边的平方等于其它两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．定理解读：如图，在任意中，以边为例，其它两边是和，和的夹角为，根据余弦定理有，类似的可以得到关于和的关系式．已知在中，，，是和的比例中项，那么的余弦值为____．
18．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝2，以点C为直角顶点的Rt△DCE的顶点D在BA的延长线上，DE交CA的延长线于点G，若tan∠CED＝，CE＝GE，那么BD的长等于_____．
19．如图，在平面直角坐标系中，点A，C分别在x轴，y轴上，四边形为矩形，，点D与点A关于y轴对称，，点E、F分别是线段、上的动点，（点E不与点A，D重合），且．当为等腰三角形时，的面积为_________．
三、解答题
20．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，E是AC的中点，DE的延长线交BC的延长线于点F，EF＝5，∠B的正切值为
(1)求证：△BDF∽△DCF；
(2)求BC的长．
21．如图，在中，．分别以点B、C为圆心、大于的同样长为半径作弧，两弧相交于点M、N，直线分别交于点D、E．
(1)直线是线段的___________，___________；
(2)求点A到直线的距离．
22．冬至是一年中太阳光照射最少的日子，如果此时楼房最低层能采到阳光，一年四季整座楼均能受到阳光的照射，所以冬至是选房买房时确定阳光照射的最好时机.某居民小区有一朝向为正南方向的居民楼，该居民楼的一楼是高6米的小区超市，超市以上是居民住房，在该楼前面20米处要盖一栋高25米的新楼，已知上海地区冬至正午的阳光与水平线夹角为29°（参考数据：sin29°≈0.48；cs29°≈0.87；tan29°≈0.55）
(1)冬至中午时，超市以上的居民住房采光是否有影响，为什么？
(2)若要使得超市全部采光不受影响，两楼应至少相距多少米？（结果保留整数）
23．如图，已知在锐角三角形ABC中，．
(1)求点C到直线AB的距离；
(2)将绕点A旋转，点B落在点D处，点C落在点E处．
①当点D在边BC上时，联结CE，求的正弦值；
②当时，求点B与点E的距离．
24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5，点D是边AC上的动点，以CD为边在△ABC外作正方形CDEF，分别联结AE、BE，BE与AC交于点G
(1)当AE⊥BE时，求正方形CDEF的面积；
(2)延长ED交AB于点H，如果△BEH和△ABG相似，求sin∠ABE的值；
(3)当AG＝AE时，求CD的长．
25．如图，已知ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6，BC＝4，D是边AB上一点（与点A、B不重合），DE平分∠CDB，交边BC于点E，EF⊥CD，垂足为点F．
(1)当DE⊥BC时，求DE的长；
(2)当CEF与ABC相似时，求∠CDE的正切值；
(3)如果BDE的面积是DEF面积的2倍，求这时AD的长．
26．如图1，已知锐角△ABC的高AD、BE相交于点F，延长AD至G，使DG=FD，连接BG，CG．
（1）求证:；
（2）如果，设．
①如图2，当∠ABG=90°时，用含m的代数式表示△BFG的面积；
②当AB=8，且四边形BGCE是梯形时，求m的值．
27．已知正ABC与正CDE，连接BD，AE．
（1）如图1，D点在BC上，点E在AC上，AE与BD的数量关系为 ；直线AE与直线BD所夹锐角为 度；
（2）将CDE绕点C顺时针旋转至如图2，（1）中结论是否仍然成立？请说明理由；
（3）若AB＝7，CD＝3，将CDE绕点C顺时针旋转至B，D，E三点共线时，请画出图形，并求出BD长．
28．已知点P为线段AB上的一点，将线段AP绕点A逆时针旋转60°，得到线段AC；再将线段绕点B逆时针旋转120°，得到线段BD；点M是AD的中点，联结BM、CM．
（1）如图1，如果点P在线段CM上，求证：；
（2）如图1，如果点P在线段CM上，求证：；
（3）如果点P不在线段CM上（如图12），当点P在线段AB上运动时，的正切值是否发生变化？如果发生变化，简述理由；如果不发生变化，请求出的正切值．
29．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝12，点E在AB上，AE＝5，P是AD上一点，将矩形沿PE折叠，点A落在点处．连接AC，与PE相交于点F，设AP＝x．
（1）AC＝ ；
（2）若点在∠BAC的平分线上，求FC的长；
（3）求点，D距离的最小值，并求此时tan∠APE的值；
（4）若点在△ABC的内部，直接写出x的取值范围．
专题04 锐角的三角比（难点）
一、单选题
1．在中，，，，垂足为D．下列四个选项中，不正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由，推出AB=2BC，根据推出∠BCD=，得到BC=2BD，设BD=x，则BC=2x，AB=4x，利用勾股定理求出AC、CD，再列式计算进行判断．
【解析】∵，，
∴AB=2BC，
∵，
∴∠BCD+∠B=，
∵∠A+∠B=，
∴∠BCD=，
∴BC=2BD，
设BD=x，则BC=2x，AB=4x，
∴，
∴，,， ，
故选：B．
．
【点睛】此题考查直角三角形30度角所对的直角边等于斜边的一半，解直角三角形，解题中设BD=x，则BC=2x，AB=4x，用含x的式子表示各线段使计算简便，更易得出答案．
2．如图，在中，，CD、CE分别是斜边AB上的高和中线，下列结论不一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据，，的余角相等即可判断A，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即，可得，则，即可判断B选项，根据A选项可得，即，即可判断C，根据，可得,，即可判断D选项．
【解析】解：，，
故A选项正确，不符合题意；
CD、CE分别是斜边AB上的高和中线，
，
故B选项不正确，符合题意；
，即，
故C选项正确，不符合题意；
，即,
又
故D选项正确，不符合题意．
故选B．
【点睛】本题考查了三角形中线，高线，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，锐角三角函数，找出图中相等的角是解题的关键．
3．在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是高，如果AB=m，∠A=，那么CD的长为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】此题根据题意作图根据锐角三角函数表示出AC，再表示出CD即可求出结果．
【解析】解：根据题意作图如下：
由题意知：AB=m，∠A=，
∴，
∴，
即，
故选：B．
【点睛】此题考查锐角三角函数的应用，主要涉及到正弦和余弦，找准对应边是解题关键．
4．如图，A，B，C，三点在正方形网格线的交点处，若将绕着点A逆时针旋转得到，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】过C点作CD⊥AB，垂足为D，根据旋转性质可知，∠B′=∠B，把求tanB′的问题，转化为在Rt△BCD中求tanB．
【解析】过C点作，垂足为D
则根据旋转性质可知，
在中，
所以
故选B．
【点睛】本题考查了旋转的性质，旋转后对应角相等；三角函数的定义及三角函数值的求法．
5．共享单车为市民出行提供了便利．图1为单车实物图，图2为单车示意图，与地面平行，点A、B、D共线，点D、F、G共线，坐垫C可沿射线方向调节．已知，，，车轮半径为，，小明体验后觉得当坐垫C离地面高度为时骑着比较舒适，此时的长约为（ ）（结果精确到，参考数据：，，）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】过点C作CN⊥AB，交AB于M，通过构建直角三角形解答即可．
【解析】解：过点C作CN⊥AB，交AB于M，交地面于N
由题意可知MN＝30cm，当CN＝90cm时，CM＝60cm，
∵Rt△BCM中，∠ABE＝70°，sin∠ABE＝sin70°＝≈0.9，
∴BC≈67cm，
∴CEBC−BE＝67−40＝27cm．
故选B．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，正确构建直角三角形是解答本题的关键．
6．如图所示一座楼梯的示意图，BC是铅垂线，CA是水平线，BA与CA的夹角为θ．现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA=6米，楼梯宽度4米，则地毯的面积至少需要（ ）
A．米2B．米2C．米2D．米2
【答案】D
【分析】在Rt△ABC中，利用锐角三角函数求出BC，然后根据平移的性质可得在楼梯上铺的地毯长，从而求出地毯的面积．
【解析】解：在Rt△ABC中，AC=6，∠BAC=θ，
∴tanθ=，
∴BC=ACtanθ=6tanθ（米），
∴在楼梯上铺的地毯长=BC+AC=（6+6tanθ）米，
∴地毯的面积=4（6+6tanθ）=（24+24tanθ）平方米，
故选：D．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的计算是解题的关键．
7．因为，，所以；因为，，所以，由此猜想，推理知：一般地当为锐角时有，由此可知：（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】本题考查的阅读理解能力．由上述公式可得sin(180°+60°)=-sin60°=．故选择C．
8．如图，在矩形中，为边上一点，将沿直线翻折，使得点的对应点落在边上．若，则的长度是（ ）
A．B．C．D．1
【答案】B
【分析】根据折叠性质得到AF=AD=4，∠DAE=∠FAE=15°，∠D=∠AFE=90°，进而得到∠AFB=30°，解Rt△ABF，求出，进而求出CF=，求出∠EFC=60°，解Rt△CEF，即可求解．
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°，AD=BC=4，
由折叠可知，AF=AD=4，∠DAE=∠FAE=15°，∠D=∠AFE=90°，
∴∠BAF=∠BAD-∠DAE∠FAE=60°，
∵∠B=90°，
∴∠AFB=30°，
∴,
∴CF=BC-BF=，
∵∠AFB=30°，∠AFE=90°，
∴∠EFC=60°，
∴在Rt△CEF中，．
故选：B
【点睛】本题考查了矩形与折叠问题，解直角三角形等知识，理解矩形与折叠性质，根据特殊角三角形函数值解直角三角形是解题关键．
9．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝90°，，把沿着AC翻折得到，若，则线段DE的长度（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】作DM⊥CE，根据折叠的性质得∠ACE=∠ACB，BC=EC，然后结合已知条件求出DM和EM的长度，最后在Rt△EDM中运用勾股定理求解即可．
【解析】如图所示，作DM⊥CE于M点，
∵∠ABC＝90°，，
∴，则∠CAB=30°，
∵∠ABC＝∠BCD＝90°，
∴CD∥AB，
∴∠ACD=∠CAB=30°，
根据折叠的性质得：∠ACE=∠ACB=60°，，
∴∠ECD=30°，
设DM=x，则CD=2x，MC=x，
∴EM=EC-MC=-x，
∵，
∴，
解得：，
经检验，是上述分式方程的解，
∴，，
∴在Rt△EDM中，，
故选：B．
【点睛】本题考查三角形的翻折问题，涉及到勾股定理，解直角三角形等知识点，理解并熟练运用正切函数的定义是解题关键．
10．如图，四边形为正方形，将绕点逆时针旋转至，点，，在同一直线上，与交于点，延长与的延长线交于点，，．以下结论：
①；②；③；④．其中正确结论的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【分析】利用旋转的性质，正方形的性质，可判断①正确；利用三角形相似的判定及性质可知②正确；证明，得到，即，利用是等腰直角三角形，求出，再证明即可求出可知③正确；过点E作交FD于点M，求出，再证明，即可知④正确．
【解析】解：∵旋转得到，
∴，
∵为正方形，，，在同一直线上，
∴，
∴，故①正确；
∵旋转得到，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故②正确；
设正方形边长为a，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，解得：，
∵，
∴，故③正确；
过点E作交FD于点M，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，故④正确
综上所述：正确结论有4个，
故选：D
【点睛】本题考查正方形性质，旋转的性质，三角形相似的判定及性质，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握以上知识点，结合图形求解．
二、填空题
11．如图，AD是△ABC的角平分线，过点C作AD的垂线交边AB于点E，垂足为点 O，当CE为△ABC边AB上的中线，且CE=AD时，则_____________．
【答案】
【分析】过E点作EF∥AD，对应边成比例，令AD=CE=8k，则OD=2k，OA=6k，作CH⊥AE于点H，由勾股定理求出AC，在△ACE中用等面积法求出CH，从而得出答案．
【解析】如图，作EF∥AD交BC于点F，
∵AD⊥AE，AD平分∠CAB，
∴O是CD中点， ，
∵CE是△ABC的中线，
∴E为AB中点，，
∵AD=CE，
令AD=CE=8k，则OE=OC=4k=EF，OD=2k，OA=6k，
在Rt△ACO中，AC=，
∵AO垂直平分CE，
∴AC=AE=；
过C点作AH⊥AE交AE于点H，
在△ACE中，通过等面积法可得：，
∴CH=，
在Rt△ACH中， ；
故答案为：．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，中位线的性质，勾股定理，熟练掌握性质之间的线段和角度转化是解题的关键．
12．我们把两个三角形的重心之间的距离叫做重心距．如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝30°，CD是△ABC中边AB上的高，如果BC＝6，那么△ADC和△BCD的重心距是________．
【答案】1＋
【分析】设△ADC和△BCD的重心分别为M、N，连接CM、CN并延长交AB于E、F点，首先解直角三角形，可得AB的长，再根据重心的性质说明△MCN∽△ECF，得MN＝EF＝1＋．
【解析】解：如图，设△ADC和△BCD的重心分别为M、N，连接CM、CN并延长交AB于E、F点，
在Rt△CBD中，∵∠B＝30°，
∴CD＝BC＝3，BD＝CD＝3，
在Rt△ACD中，∵A＝45°，
∴AD＝CD＝3，
∴AB＝AD＋BD＝3＋3，
∴EF＝AB＝，
∵△ADC和△BCD的重心分别为M、N，
∴，
∵∠MCN＝∠ECF，
∴△MCN∽△ECF，
∴MN＝EF＝1＋，
故答案为：1＋．
【点睛】本题主要考查了重心的性质，三角形相似的判定与性质，解直角三角形等知识，熟练掌握重心的性质是解题的关键．
13．如图，△ABC中，，，，将三角形绕着点A旋转，点C落在直线AB上的点处，点B落在点处，若C、B、恰好在一直线上，则AB的长为______．
【答案】
【分析】作于点，作于点．则，设，，则，，即可利用表示出的长，在直角中利用勾股定理求得的值，进而求得，得到的长．
【解析】解：作于点，作于点．则．
，
．
设，，则，，
在直角△中，，
则，
，
，
，
，
．
则，
解得：．
又中，
即，
解得：，
则，．
故答案是：．
【点睛】本题考查了旋转的性质以及相似三角形的判定与性质，解题的关键是正确理解旋转的性质，作出辅助线，得到和的关系．
14．如图，在等边内有一点，，，，将绕点逆时针旋转，使与重合，点旋转至点，则的余弦值为_______．
【答案】##0.9
【分析】由旋转的性质证明是等边三角形和得：AD=DE=AE=5，CE=BD=6，过点E作EH⊥CD，垂足为H．设DH=x，则CH=4-x．由勾股定理得出 62-（4-x）2=52-x2，求出DH，CH的长，由锐角三角函数的定义可得出答案．
【解析】解：∵是等边三角形
∴AB=AC，
∵绕点逆时针旋转，且与重合，
∴ ，AD=AE
∴是等边三角形，
∴，
∵
∴
又AB=AC，AD=AE
∴
∴
过点作，垂足为．
设，则．
由勾股定理得：，
即，
解得：，
，
故答案为：
【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，锐角三角函数，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
15．如图, 在 中, 是斜边 上的中线, 点 是直线 左侧一点, 联结 , 若 , 则 的值为______．
【答案】
【分析】先证明，则，进而证明，据求得相似比，根据面积比等于相似比的平方即可求解
【解析】解：是斜边 上的中线，
即
又
又
又
设，则
故答案为：
【点睛】本题考查了解直角三角形，三角形全等的性质与判定，相似三角形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，垂直平分线的性质与判定，正切的定义，证明是解题的关键．
16．阅读材料：余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的定理，是勾股定理在一般三角形情形下的推广．对于任意三角形，任何一边的平方等于其它两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．定理解读：如图，在任意中，以边为例，其它两边是和，和的夹角为，根据余弦定理有，类似的可以得到关于和的关系式．已知在中，，，是和的比例中项，那么的余弦值为____．
【答案】##0.75
【分析】根据余弦定理得，AC2=AB2+BC2-2AB•BC•csB，再根据AC是BC和AB的比例中项，即可推出结果．
【解析】解：根据余弦定理得，AC2=AB2+BC2-2AB•BC•csB，
∵AC是BC和AB的比例中项，
∴AC2=AB•BC，
∴AB•BC=AB2+BC2-2AB•BC•csB，
即1×2=12+22-2×1×2×csB，
∴csB=，
故答案为：．
【点睛】本题是阅读理解题，考查了线段比例中项的定义，读懂题意，采用类比的方法是解题的关键．
17．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝2，以点C为直角顶点的Rt△DCE的顶点D在BA的延长线上，DE交CA的延长线于点G，若tan∠CED＝，CE＝GE，那么BD的长等于_____．
【答案】##
【分析】如图，过点A作AH⊥CE于H．先证明AK＝AC，推出HK＝CH，进而得到AK＝AD＝2即可解答．
【解析】解：如图，过点A作AH⊥CE于H.
∵tan∠CED＝＝tan∠BAC，
∴∠E＝∠BAC，
∵CE＝EG，
∴∠CGE＝∠ECG，
∵∠BAC+∠GAK＝180°，
∴∠E+∠GAK＝180°，
∴∠AGE+∠AKE＝180°，
∵∠AKE+∠AKC＝180°，
∴∠AKC＝∠CGE，
∴∠AKC＝∠ACK，
∴AC＝AK＝2，
∵AH⊥CK，
∴KH＝CH，
∵∠AHE＝∠DCK＝90°，
∴AH∥CD，
∴KA＝AD，
∴DK＝2AK＝4，AD＝AK＝2，
∵∠ACB＝90°，BC＝1，AC＝2，
∴AB＝＝＝，
∴BD＝AB+AD＝．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形、勾股定理、三角形的中位线定理等知识，正确添加辅助线、构造三角形的中位线是解得本题的关键．
18．如图，在平面直角坐标系中，点A，C分别在x轴，y轴上，四边形为矩形，，点D与点A关于y轴对称，，点E、F分别是线段、上的动点，（点E不与点A，D重合），且．当为等腰三角形时，的面积为_________．
【答案】或
【分析】根据题意求出、、、的长度，再求出，，从而可得∽，再根据为等腰三角形分情况讨论，即可求出的面积．
【解析】解：∵，
∴
∵四边形为矩形
∴，，
∵点D与点A关于y轴对称
∴，
∴
∵，
∴
∴
∴
当为等腰三角形时
①当时
∵，
∴≌
∴
∴
②当时，如图所示，过点作交于点
∵，
∴
∵，
∴∽
∴
∴
∴
∴
③当时，则
∵
∴
∴此时点与点重合，则点与点重合，与题中条件矛盾，故该假设不成立
故答案为：或
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质，锐角三角函数的知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质是解答本题的关键．
三、解答题
19．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，E是AC的中点，DE的延长线交BC的延长线于点F，EF＝5，∠B的正切值为
(1)求证：△BDF∽△DCF；
(2)求BC的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)12
【分析】(1)根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出DE=EC，推出∠EDC=∠ECD，求出∠FDC=∠B，根据∠F=∠F证△FBD~∆FDC，即可；
(2)设DE=x，则AC=2x， DF=x+5，由(1)可知△BDF-△DCF，根据相似三角形对应边的比相等及正切函数的定义得到=tan∠B=，则BF=2 (x+5) ，CF= (x+5)，BC=BF-CF= (x+5)，然后在直角△ABC中，根据tan∠B=，得到方程 (x+5) =2×2x，解方程即可求解．
（1）
证明：∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∵E是AC的中点，
∴DE＝EC，
∴∠EDC＝∠ECD，
∵∠ACB＝90°，∠BDC＝90°
∴∠ECD+∠DCB＝90°，∠DCB+∠B＝90°，
∴∠ECD＝∠B，
∴∠B＝∠FDC，
又∵∠F＝∠F，
∴△BDF∽△DCF；
（2）
解：设DE＝x，则AC＝2DE＝2x，DF＝DE+EF＝x+5．
∵△BDF∽△DCF，
∴＝＝＝tan∠B＝，
∴BF＝2DF＝2（x+5），CF＝DF＝（x+5），
∴BC＝BF﹣CF＝（x+5），
在直角△ABC中，∵tan∠B＝＝，
∴BC＝2AC，即（x+5）＝2×2x，
解得x＝3
∴BC＝（3+5）＝12．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义，直角三角形的性质，难度适中，解题的关键是由相似三角形的性质得到比例式．
20．如图，在中，．分别以点B、C为圆心、大于的同样长为半径作弧，两弧相交于点M、N，直线分别交于点D、E．
(1)直线是线段的___________，___________；
(2)求点A到直线的距离．
【答案】(1)垂直平分线，4
(2)2
【分析】（1）根据作图可得直线是线段的垂直平分线，再根据垂直平分线的定义可得的长度；
（2）过点A作，垂足为点H． 先证明 再在在中，求解，AD，利用从而可得答案．
(1)
由作图可得：直线是线段的垂直平分线，
故答案为：垂直平分线，4；
(2)
过点A作，垂足为点H．
在中，∵，
∴．
由，得．
∴．
即点A到直线的距离为2．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的作图理解，锐角三角函数的应用，熟练的利用锐角三角函数求解直角三角形的边长是解本题的关键．
21．冬至是一年中太阳光照射最少的日子，如果此时楼房最低层能采到阳光，一年四季整座楼均能受到阳光的照射，所以冬至是选房买房时确定阳光照射的最好时机.某居民小区有一朝向为正南方向的居民楼，该居民楼的一楼是高6米的小区超市，超市以上是居民住房，在该楼前面20米处要盖一栋高25米的新楼，已知上海地区冬至正午的阳光与水平线夹角为29°（参考数据：sin29°≈0.48；cs29°≈0.87；tan29°≈0.55）
(1)冬至中午时，超市以上的居民住房采光是否有影响，为什么？
(2)若要使得超市全部采光不受影响，两楼应至少相距多少米？（结果保留整数）
【答案】(1)居民住房会受影响，理由见解析
(2)45米
【分析】（1）首先沿着光线作射线AF交CD于点F，过点F作FG⊥AB于点G．在Rt△AFG中，利用正切求得AG的长，进而根据CF=BG=AB-AG求得CF的高度．通过比较CF与超市高度6米，可得到中午时，超市以上的居民住房采光是否有影响．
（2）首先沿着光线作射线AE交直线BC于点E．在Rt△ABE中，利用正切求得BE的长，即为使得超市采光不受影响，两楼应至少相距的米数．
（1）
居民住房会受影响，理由如下，
沿着光线作射线AF交CD于点F，过点F作FG⊥AB于点G，
由题意，在Rt△AFG中，GF=BC=20，∠AFG=29°，
∴AG=GF•tan29°=20×0.55=11米，
∴GB=FC=25-11=14米，
∵14＞6，
∴居民住房会受影响
（2）
沿着光线作射线AE交直线BC于点E．
由题意，在Rt△ABE中，AB=20，∠AEB=29°，
∴BE＝≈45米，
∴至少要相距45米
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是掌握正切概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算．
22．如图，已知在锐角三角形ABC中，．
(1)求点C到直线AB的距离；
(2)将绕点A旋转，点B落在点D处，点C落在点E处．
①当点D在边BC上时，联结CE，求的正弦值；
②当时，求点B与点E的距离．
【答案】(1)4；
(2)①；②或3．
【分析】（1）过点A作AM⊥BC于点M，如图1，在Rt△ABM中，求得AM和BM的值，在Rt△ACM中，由勾股定理得，求得CM的值，进而得到BC的值，利用等积法即可得到点C到直线AB的距离；
（2）①由旋转的性质可知：△ADE≌△ABC，则AD＝AB＝5，∠ADE＝∠B＝60°，DE＝BC＝8，当点D落在边BC上时，可得∠ADB＝∠B＝60°，则∠CDE＝60°，由等腰三角形三线合一得DM＝BM＝，求得CD＝3，过点C作CN⊥DE于点N，在Rt△CDN中，求得CN＝，，进一步得，在Rt△CEN中，由勾股定理得，CE＝7，进一步得到的正弦值；②当ADBC时，过点E作EP⊥BC于点P,交AD于点Q，则四边形AMPQ是矩形，PQ＝AM＝，PM＝AQ，在Rt△DEQ中，得到EQ和DQ的值，进一步得到PM＝1，分点D在点A的右侧和点D在点A的左侧两种情况进行求解即可．
（1）
解：过点A作AM⊥BC于点M，如图1，
∴ ∠AMB＝∠AMC＝90°，
在Rt△ABM中，∠B＝60°，AB＝5，
∴ AM＝，，
在Rt△ACM中，AC＝7，由勾股定理得，
CM＝，
∴，
设点C到直线AB的距离为h，
由，得
，
即点C到直线AB的距离为4；
（2）
解：①将△ABC绕点A旋转，点B落在点D处，点C落在点E处，如图2，
由旋转的性质可知：△ADE≌△ABC，
∴AD＝AB＝5，∠ADE＝∠B＝60°，DE＝BC＝8，
当点D落在边BC上时，∠ADB＝∠B＝60°，
∴∠CDE＝180°－∠ADE－∠ADB＝60°，
∵AM⊥BD，
∴DM＝BM＝，
∴CD＝BC－BM－DM＝3，
过点C作CN⊥DE于点N，
则∠CND＝∠CNE＝90°，
在Rt△CDN中，
CN＝，，
∴ ，
在Rt△CEN中，由勾股定理得，
，
∴，
即∠CED的正弦值为；
②当ADBC时，过点E作EP⊥BC于点P,交AD于点Q，则∠EQD＝∠EPC＝∠EPB＝90°＝∠AMP，
∴四边形AMPQ是矩形，
∴PQ＝AM＝，PM＝AQ，
在Rt△DEQ中，
，，
∴PM＝AQ＝AD－DQ＝1，
若点D在点A的右侧，如图3，
则EP＝EQ＋PQ＝，
∴ BP＝BM＋PM＝，
在Rt△BPE中，由勾股定理得，
BE＝；
若点D在点A的左侧，如图4，
则EP＝EQ－PQ＝，
∴ BP＝BM－PM＝，
在Rt△BPE中，由勾股定理得，
BE＝，
综上所述，点B到点E的距离为或3．
【点睛】此题考查了图形的旋转、解直角三角形、勾股定理、矩形的判定和性质、三角形的面积等知识，根据题意作出正确的图形和辅助线是解题的关键．
23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5，点D是边AC上的动点，以CD为边在△ABC外作正方形CDEF，分别联结AE、BE，BE与AC交于点G
(1)当AE⊥BE时，求正方形CDEF的面积；
(2)延长ED交AB于点H，如果△BEH和△ABG相似，求sin∠ABE的值；
(3)当AG＝AE时，求CD的长．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）证明△ADE≌△BFE（ASA），推出AD＝BF，构建方程求出CD即可．
（2）过点A作AM⊥BE于M，想办法求出AB，AM即可解决问题．
（3）如图3中，延长CA到N，使得AN＝AG．设CD＝DE＝EF＝CF＝x，则AD＝12﹣x，DN＝BF＝5+x，在Rt△ADE中，利用勾股定理求出x即可解决问题．
（1）
如图1中，
∵四边形ABCD是正方形，
∴CD＝DE＝EF＝CF，∠CDE＝∠DEF＝∠F＝90°，
∵AE⊥BE，
∴∠AEB＝∠DEF＝90°，
∴∠AED＝∠BEF，
∵∠ADE＝∠F＝90°，DE＝FE，
∴△ADE≌△BFE（ASA），
∴AD＝BF，
∴AD＝5+CF＝5+CD，
∵AC＝CD+AD＝12，
∴CD+5+CD＝12，
∴CD＝，
∴正方形CDEF的面积为．
（2）
如图2中，
∵∠ABG＝∠EBH，
∴当∠BAG＝∠BEH＝∠CBG时，△ABG∽△EBH，
∵∠BCG＝∠ACB，∠CBG＝∠BAG，
∴△CBG∽△CAB，
∴＝CG•CA，
∴CG＝，
∴BG＝==，
∴AG＝AC﹣CG＝，
过点A作AM⊥BE于M，
∵∠BCG＝∠AMG＝90°，∠CGB＝∠AGM，
∴∠GAM＝∠CBG，
∴cs∠GAM＝cs∠CBG＝，
∴AM＝，
∵AB＝=13，
∴sin∠ABM＝．
（3）
如图3中，延长CA到N，使得AN＝AG．
∵AE＝AG＝AN，
∴∠GEN＝90°，
由（1）可知，△NDE≌△BFR，
∴ND＝BF，
设CD＝DE＝EF＝CF＝x，则AD＝12﹣x，DN＝BF＝5+x，
∴AN＝AE＝5+x﹣（12﹣x）＝2x﹣7，
在Rt△ADE中，
∵，
∴，
∴x＝或（舍弃），
∴CD＝．
【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，三角形的全等，三角形相似的性质和判定，一元二次方程的解法，三角函数的正弦值，熟练掌握勾股定理，准确解一元二次方程，正弦值是解题的关键．
24．如图，已知ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6，BC＝4，D是边AB上一点（与点A、B不重合），DE平分∠CDB，交边BC于点E，EF⊥CD，垂足为点F．
(1)当DE⊥BC时，求DE的长；
(2)当CEF与ABC相似时，求∠CDE的正切值；
(3)如果BDE的面积是DEF面积的2倍，求这时AD的长．
【答案】(1)
(2)1或
(3)
【分析】（1）证明△DCE≌△DBE（ASA），可得CE＝BE＝2，根据＝tan∠B＝，即可求得答案；
（2）分两种情况：①当△CEF∽△ABC时，可证得∠CDB＝90°，再根据DE平分∠CDB，可得∠CDE＝45°，再由特殊角的三角函数值即可求得答案；②当△CEF∽△BAC时，则∠ECF＝∠ABC，得出DC＝DB，再由DE平分∠CDB，可得DE⊥BC，推出∠CDE＝∠BAC，利用三角函数定义即可求得答案；
（3）如图，过点E作EG⊥AB于点G，根据角平分线性质可得出EF＝EG，推出DF＝DG，再由△BDE的面积是△DEF面积的2倍，可得出BD＝2DF，进而推出DE＝BE，设BE＝x，则DE＝x，CE＝BC﹣BE＝4﹣x，，，根据△CDE∽CBD，得出，建立方程求解即可．
(1)
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6，BC＝4，
∴，
∵DE平分∠CDB，
∴∠CDE＝∠BDE，
∵DE⊥BC，
∴∠DEC＝∠DEB＝90°，
在△DCE和△DBE中，
，
∴△DCE≌△DBE（ASA），
∴CE＝BE，
∵CE+BE＝BC＝4，
∴CE＝BE＝2，
∵，
∴，
∴DE＝；
(2)
∵EF⊥CD，
∴∠CFE＝90°＝∠ACB，
∵△CEF与△ABC相似，
∴△CEF∽△ABC或△CEF∽△BAC，
①当△CEF∽△ABC时，
则∠ECF＝∠BAC，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BAC+∠ABC＝90°，
∴∠ECF+∠ABC＝90°，
∴∠CDB＝90°，
∵DE平分∠CDB，
∴，
∴tan∠CDE＝tan45°＝1；
②当△CEF∽△BAC时，
则∠ECF＝∠ABC，
∴DC＝DB，
∵DE平分∠CDB，
∴DE⊥BC，
∴∠CDE+∠ECF＝90°，
∵∠BAC+∠ABC＝90°，
∴∠CDE＝∠BAC，
∴，
综上所述，∠CDE的正切值为1或；
(3)
如图，过点E作EG⊥AB于点G，
∵DE平分∠CDB，EF⊥CD，EG⊥AB，
∴EF＝EG，
∵DE＝DE，
∴Rt△DEF≌Rt△DEG（HL），
∴DF＝DG，
∵△BDE的面积是△DEF面积的2倍，
∴BD＝2DF，
∴DG＝BG，
∵EG⊥BD，
∴DE＝BE，
设BE＝x，则DE＝x，CE＝BC﹣BE＝4﹣x，，
∴，
∴，
∵DE平分∠CDB，
∴∠CDE＝∠BDE，
∵DE＝BE，
∴∠BDE＝∠B，
∴∠CDE＝∠B，
∵∠DCE＝∠BCD，
∴△CDE∽CBD，
∴，即，
解得：CD＝3，，
∴，
故这时AD的长为．
【点睛】本题是几何综合题，考查了直角三角形性质，勾股定理，全等三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质，角平分线性质，三角形面积，三角函数等知识，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质等相关知识，运用分类讨论思想和方程思想解决问题．
25．如图1，已知锐角△ABC的高AD、BE相交于点F，延长AD至G，使DG=FD，连接BG，CG．
（1）求证:；
（2）如果，设．
①如图2，当∠ABG=90°时，用含m的代数式表示△BFG的面积；
②当AB=8，且四边形BGCE是梯形时，求m的值．
【答案】（1）见详解；（2）①；②m的值为或
【分析】（1）由题意易得，然后可得，则有，然后问题可求证；
（2）①由（1）及题意易得，则有△ABC是等腰三角形，然后可得BD=CD=5，进而根据三角函数可得，则，最后根据三角形面积公式可求解；②由题意可分当BG∥CE时和当CG∥BE时，然后分类求解即可．
【解析】（1）证明：∵锐角△ABC的高AD、BE相交于点F，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵DG=FD，
∴BF=BG，
∴△BFG是等腰三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，即；
（2）①∵，
∴，
∵∠ABG=∠BDG=90°，
∴，
∴，
∴△ABC是等腰三角形，
∵，，
∴，
∴在Rt△BDG中，，
∴，
∴；
②由①可知，
∵四边形BGCE是梯形，且当BG∥CE时，
∴，
∵∠BDG=90°，
∴，
∴△BDG和△ADC都为等腰直角三角形，
设BD=x，则CD=AD=10-x，
在Rt△ADB中，，且AB=8，
即，解得：，
∵△ABC是锐角三角形，
∴，
∴；
当CG∥BE时，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴在Rt△ABD中，由勾股定理得：，
∴；
综上所示：m的值为或．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定及解直角三角形，熟练掌握全等三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定及解直角三角形是解题的关键．
26．已知正ABC与正CDE，连接BD，AE．
（1）如图1，D点在BC上，点E在AC上，AE与BD的数量关系为 ；直线AE与直线BD所夹锐角为 度；
（2）将CDE绕点C顺时针旋转至如图2，（1）中结论是否仍然成立？请说明理由；
（3）若AB＝7，CD＝3，将CDE绕点C顺时针旋转至B，D，E三点共线时，请画出图形，并求出BD长．
【答案】(1)AE=BD；∠C=60°；（2）成立，证明见解析(3)画图见解析，5或8．
【分析】(1)根据等边三角形的性质直接可得出AE=BD，夹角为60°；
(2)根据等边三角形的性质证△BCD≌△ACE，再通过导角可证结论成立；
(3) 过点M作CM⊥DE与M，通过解直角三角形，求得DM、CM，设BD=x，勾股定理列方程即可．
【解析】解：(1) ∵ABC与CDE是等边三角形，
∴AB=BC，CE=CD，∠C=60°，
∴AE=BD；
故答案为：AE=BD；∠C=60°；
(2)成立；
证明：∵ABC与CDE是等边三角形，
∴AB=BC，CE=CD，∠ACB=∠ECD=60°，
∴∠DCB=∠ECA,
∴△BCD≌△ACE，
∴BD = AE；∠CBD=∠CAF，
设直线AE与直线BD相交于点F，
∠FAB+∠ABF=∠BAC+∠CAF+∠ABF =60°+∠CBD +∠ABF=120°，
∠AFB=180°-120°=60°；
(3)过点M作CM⊥DE与M，
如图3，∵∠CDM=60°，CD=3，
∴DM=CDcs60°=1.5，CM= CDsin60°=1.5，设BD=x，
，
解得，，（舍去）；
如图4，∵∠CDM=60°，CD=3，
∴DM=CDcs60°=1.5，CM= CDsin60°=1.5，设BD=x，
，
解得，（舍去），；
综上，BD长为5或8．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质以及解直角三角形，解题关键是准确理解题意，熟练运用全等三角形的性质证明线段和角的关系，通过作垂线，构建直角三角形．
27．已知点P为线段AB上的一点，将线段AP绕点A逆时针旋转60°，得到线段AC；再将线段绕点B逆时针旋转120°，得到线段BD；点M是AD的中点，联结BM、CM．
（1）如图1，如果点P在线段CM上，求证：；
（2）如图1，如果点P在线段CM上，求证：；
（3）如果点P不在线段CM上（如图12），当点P在线段AB上运动时，的正切值是否发生变化？如果发生变化，简述理由；如果不发生变化，请求出的正切值．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【分析】（1）由旋转可得，△APC是等边三角形，∠PBD=120°，则∠BPM+∠PBD=180°，所以PM∥BD．
（2）利用三角形的中位线定理解决问题即可．
（3）延长BM至点G，使得MG=MB，连接AG，BC，GC，PC，可证△CBG是等边三角形且点M是BG的中点，可得结论．
【解析】解：（1）如图1中，
由题意可得，∠CAP=60°，且AP=AC，
∴△APC是等边三角形，
∴∠APC=60°，
∴∠BPM=60°，
又∵∠PBD=120°，
∴∠BPM+∠PBD=180°，
∴PM∥BD；
（2）如图1中，∵AM=MD，PM∥BD，
∴AP=PB，
∴PM= BD，
∵PA=PC=PB=BD，
∴PC=2PM；
（3）结论：tan∠BCM=．理由如下：
如图2，延长BM至点G，使得MG=MB，连接AG，BC，GC，PC，GD，
∵AM=MD，GM=BM，
∴四边形AGDB是平行四边形，
∴AG=BD，AG∥BD，
∴∠BAG=180°-∠ABD=60°，
∴∠CAG=120°，
∵△APC是等边三角形，
∴AC=CP，∠CPB=120°，
∵PB=DB=AG，
∴△CAG≌△CPB（SAS），
∴CG=CB，∠ACG=∠PCB，
∴∠GCB=60°，
∴△CBG是等边三角形，
∵GM=BM，
∴∠BCM=∠BCG=30°，
∴tan∠BCM=．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
28．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝12，点E在AB上，AE＝5，P是AD上一点，将矩形沿PE折叠，点A落在点处．连接AC，与PE相交于点F，设AP＝x．
（1）AC＝ ；
（2）若点在∠BAC的平分线上，求FC的长；
（3）求点，D距离的最小值，并求此时tan∠APE的值；
（4）若点在△ABC的内部，直接写出x的取值范围．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．
【分析】（1）根据矩形性质可得∠B＝90°，即可利用勾股定理求出AC的长；
（2）根据折叠性质及角平分线定义可推出四边形AEA＇F是菱形，则可利用菱形性质得出AF的长，即可求解FC；
（3）根据点A＇在以E为圆心，EA＝5为半径的圆E上，所以连接DE交圆E于点A＇，此时A＇，D距离有最小值，先利用勾股定理求得DE，则可求出DA＇，再由相似三角形的判定与性质可得，从而求出AP，此题得解；
（4）根据题意可分别从点A＇在AC上和BC上进行计算，求解方法都是利用相似三角形的判定与性质得出相关比例式，即可求得相应的x的值．
【解析】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°．
∵AB＝8，BC＝12，
∴AC＝．
故答案为：．
（2）如图，若点在∠BAC的平分线上，连接FA＇，
∴∠EAA＇＝∠FAA＇．
∵EA＝EA＇，
∴∠EAA＇＝∠EA＇A．
由折叠性质可得PE是AA＇的垂直平分线，
∴FA＝FA＇．
∴∠F A＇A＝∠FAA＇．
∴∠EAA＇＝∠FAA＇＝∠EA＇A＝∠F A＇A．
∴AE∥FA＇，AF∥EA＇．
∴四边形AEA＇F是平行四边形．
∵EA＝EA＇，
∴四边形AEA＇F是菱形．
∴AE＝AF＝5．
∴FC＝AC－AF＝．
（3）由题意得，点A＇在以E为圆心，EA＝5为半径的圆E上，所以连接DE交圆E于点A＇，此时A＇，D距离有最小值．
∵四边形ABCD是矩形，BC＝12，
∴∠BAD＝90°，AD＝BC＝12．
∵AE＝5，
∴DE＝．
∴DA＇＝DE－A＇E＝13－5＝8．
由折叠性质可得PA＝PA＇＝x，
∠EAP＝∠EA＇P＝90°，
PD＝AD－AP＝12－x，
∵∠ADE＝∠A＇DP，
∴△ADE∽△A＇DP．
∴．
即．
解得．
∴在Rt△APE中，tan∠APE＝．
故点，D距离的最小值时， tan∠APE的值为．
（4）如图，当点A＇在AC上时，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠BAD＝90°．
∴∠BAC+∠BCA＝90°．
由折叠性质得：PE是AA＇的垂直平分线，
∴∠BAC+∠AEP＝90°．
∴∠AEP＝∠BCA．
∴△APE∽△BAC．
∴．
即．
解得．
如图，当A＇在BC上时，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠BAD＝90°，
∴∠BA A＇+∠B A＇A＝90°，
由折叠性质得：PE是AA＇的垂直平分线，
∴∠BA A＇+∠AEP＝90°．
∴∠B A＇A＝∠AEP．
∴△APE∽△BAA＇．
∴．
即．
在Rt△A＇BE中，EA＝EA＇＝5，BE＝AB－AE＝3，
∴BA＇＝，
∴，
解得．
∴若点在△ABC的内部时，x的取值范围为．
【点睛】本题考查了与矩形有关的折叠问题，熟练掌握矩形的性质、折叠性质、菱形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及利用勾股定理求解相关线段的长度等知识是解题的关键．
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