还剩28页未读，
继续阅读
成套系列资料，整套一键下载
沪教版九年级数学上册期中期末挑战满分冲刺卷期中测试卷01(原卷版+解析)
展开
这是一份沪教版九年级数学上册期中期末挑战满分冲刺卷期中测试卷01(原卷版+解析)，共31页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．如果，且是和的比例中项，那么等于（ ）
A．B．C．D．
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝m，那么边AC的长为（ ）
A．msinBB．mcsBC．mtanBD．mctB
3．下列关于向量的说法中，不正确的是（ ）
A．
B．如果，那么
C．是非零向量，是单位向量，那么
D．
4．下列各组条件中，一定能够判定△ABC与△DEF相似的是（ ）
A．∠A＝∠B，∠D＝∠E
B．∠B＝∠E，AB＝3，AC＝4，DE：DF＝3：4
C．△ABC三边长分别为6，18，21，△DEF三边之比为2：7：6
D．∠C＝91°，∠E＝91°，DE：AB＝EF：AC
5．如图，在中，是边上的高，那么下列条件不一定能推出的选项是（ ）
A．；B．；
C．；D．．
6．如图，已知在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD为BC边的中线，过点C作CE⊥AD于点E，交AB于点F．若AC＝2，则线段EF的长为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
7．在比例尺1：500000的地图上，量得A、B两地的距离为4cm，则A、B两地的实际距离是___千米．
8．设点P是线段AB的黄金分割点（AP＜BP），AB＝4cm，那么线段BP的长是____cm．
9．已知两个三角形相似，其中一个三角形的两个内角分别为、，则另一个三角形的最大的内角度数为____．
10．一段公路路面的坡度为，如果某人沿着这段公路向上行走了130米，那么此人升高了___米．
11．如图，已知，，，，那么_____．
12．如图，点是的边上的点，．设，，则____．（用含有和的式子表示）
13．在中，，，点是的重心，，那么的度数为____．
14．如图，某梯子长10米，斜靠在竖直的墙面上，当梯子与水平地面所成角为时，梯子顶端靠在墙面上的点处，底端落在水平地面的点处，如果将梯子底端向墙面靠近，使梯子与地面所成角为，且，则梯子顶端上升了___米．
15．如图，已知正方形的顶点、在的边上，顶点、分别在边、上，如果，边上的高是6，那么这个正方形的边长是______．
16．如图，在中，为边的中点，联结，与对角线相交于点，则与四边形的面积比为_______．
17．阅读材料：余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的定理，是勾股定理在一般三角形情形下的推广．对于任意三角形，任何一边的平方等于其它两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．定理解读：如图，在任意中，以边为例，其它两边是和，和的夹角为，根据余弦定理有，类似的可以得到关于和的关系式．已知在中，，，是和的比例中项，那么的余弦值为____．
18．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝2，点D、E分别在边BC、AB上，且DE⊥BC，BD＝2，将△BDE绕点B旋转至△BD1E1，点D、E分别对应点D1、E1，当A、D1、E1三点共线时，CD1的长为 ___．
三、解答题
19．已知：线段a、b、c，且．
（1）求的值；
（2）如线段a、b、c满足3a﹣4b+5c＝54，求a﹣2b+c的值．
20．已知，如图，点E在平行四边形ABCD的边CD上，且＝，设．
（1）用表示（直接写出答案）．
（2）设，在答题卷中所给的图上画出的结果．
21．如图，已知AB∥EF∥CD，AD与BC相交于点O．
（1）如果CE＝3，EB＝9，DF＝2，求AD的长．
（2）如果BC：OE：EC＝2：4：3，AB＝3，求CD的长．
22．如图，小岛在港口的南偏西方向，距离港口81海里处，甲船从出发，沿方向以9海里/时的速度驶向港口，乙船从港口出发，沿南偏东方向，以18海里/时的速度驶离港口，现两船同时出发，（，，）
（1）出发后几小时两船与港口的距离相等？
（2）出发后几小时乙船在甲船的正东方向？
23．如图，在中，、分别在边，上，与交于点，平分，．
（1）证明．
（2）若，交边的延长线于点．证明．
24．在平面直角坐标系xOy中，已知B，A分别是y＝﹣x+4与x轴，y轴的交点．
（1）C在线段AB上，＝，求C的坐标．
（2）在第一问的条件下，求tan∠AOC的值．
（3）若D在直线AB上，tan∠BOD＝，求D的坐标．
25．如图，已知梯形中，，，，，，点是边上一个动点（不与点重合），在边上取点，联结、，
（1）若点是的中点，且，求的值；
（2）若，设，，求关于的函数关系式；
（3）在（2）条件下，当为等腰三角形时，求的长．
2022-2023学年九年级数学上册期中测试卷01
一、单选题
1．如果，且是和的比例中项，那么等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据比例中项的概念（如果a、b、c三个量成连比例即，b叫做a和c的比例中项）可得，则可求得的值．
【解析】解：∵，b是a和c的比例中项，
即，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了比例中项的概念，理解比例中项的定义是解题关键．
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝m，那么边AC的长为（ ）
A．msinBB．mcsBC．mtanBD．mctB
【答案】A
【分析】如图，∠C＝90°，AB＝m，结合再代入数据可得答案.
【解析】解：如图，∠C＝90°，AB＝m，
而
故选：A
【点睛】本题考查的是锐角三角函数的应用，掌握利用锐角三角函数值求解三角形的边长是解题的关键.
3．下列关于向量的说法中，不正确的是（ ）
A．
B．如果，那么
C．是非零向量，是单位向量，那么
D．
【答案】C
【分析】根据平面向量的定义（在平面中既有大小又有方向的量称为向量）与运算法则依次进行判断即可得出选项．
【解析】解：A、，本选项正确,不符合题意；
B、如果，则，选项正确,不符合题意；
C、等号左边为向量，右边为向量模长，选项错误,符合题意；
D、，本选项正确,不符合题意．
故选：C．
【点睛】题目主要考查平面向量的定义与运算，理解平面向量的运算法则是解题关键．
4．下列各组条件中，一定能够判定△ABC与△DEF相似的是（ ）
A．∠A＝∠B，∠D＝∠E
B．∠B＝∠E，AB＝3，AC＝4，DE：DF＝3：4
C．△ABC三边长分别为6，18，21，△DEF三边之比为2：7：6
D．∠C＝91°，∠E＝91°，DE：AB＝EF：AC
【答案】C
【分析】由题意直接根据相似三角形的判定方法进行分析判断即可得出答案．
【解析】解：A、∠A和∠B，∠D和∠E不是两个三角形的对应角，故不能判定两三角形相似，故此选项不符合题意；
B、根据∠B=∠E，不能判定两三角形相似，因为相等的两个角不是夹角，故此选项不符合题意；
C、△ABC三边长分别为6，21，18，则三边之比为2：7：6，由△DEF三边之比为2：7：6可知△ABC与△DEF相似，故此选项符合题意；
D、DE：AB=EF：AC不是直角三角形的对应边成比例，故不能判定两三角形相似，故此选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握三角形相似的判定方法：（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
5．如图，在中，是边上的高，那么下列条件不一定能推出的选项是（ ）
A．；B．；
C．；D．．
【答案】D
【分析】判断可转化为判断，由相似三角形的判定与性质即可得出答案．
【解析】A.当时，即，（公共角），
，
，，
是边上的高，
，
，故A正确；
B.当时，即，
是边上的高,
与都是直角三角形，
设，则，
在中，，
在中，，
，
，
，，
是边上的高，
，
，故B正确；
C.当时，即，
是边上的高,
，
，
，，
是边上的高，
，
，故C正确；
D.当时，即，但题目没给出，也没给出三边对应成比例，故D错误．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
6．如图，已知在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD为BC边的中线，过点C作CE⊥AD于点E，交AB于点F．若AC＝2，则线段EF的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】过点B作BH⊥BC，交CF的延长线于H，由勾股定理可求AD的长，由面积法可求CE，由“AAS”可证△ACD≌△CBH，可得CD＝BH＝1，AD＝CH＝，通过证明△ACF∽△BHF，可得＝，可求CF的长，即可求解．
【解析】解：如图，过点B作BH⊥BC，交CF的延长线于H，
∵AD为BC边的中线，AC＝BC＝2，
∴CD＝BD＝1，
∴AD＝＝＝，
∵，
∴CE＝＝，
∵∠ADC+∠BCH＝90°，∠BCH+∠H＝90°，
∴∠ADC＝∠H，
在△ACD和△CBH中，
，
∴△ACD≌△CBH（AAS），
∴CD＝BH＝1，AD＝CH＝，
∵AC⊥BC，BH⊥BC，
∴AC∥BH，
∴△ACF∽△BHF，
∴＝，
∴CF＝，
∴EF＝CF﹣CE＝﹣＝，
故选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
二、填空题
7．在比例尺1：500000的地图上，量得A、B两地的距离为4cm，则A、B两地的实际距离是___千米．
【答案】20
【分析】根据比例尺的定义，可求得两地的实际距离．
【解析】解：设实际距离为xcm，则：
1：500000＝4：x，
解得x＝2000000．
2000000cm＝20000m＝20km．
故答案为：20．
【点睛】此题考查了比例尺的性质，比例尺是图上距离比实地距离缩小的程度．解题关键是掌握比例尺的定义，注意单位要统一．
8．设点P是线段AB的黄金分割点（AP＜BP），AB＝4cm，那么线段BP的长是____cm．
【答案】（）##（）
【分析】把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．据此列出比例式进行计算即可．
【解析】解：∵P为线段AB的黄金分割点，且AP＜PB，
∴BP2＝AB•AP．
BP2＝4(4- BP)．
解得，， （舍去）．
故答案为：（）
【点睛】本题考查了黄金分割的概念，熟记定义是解题的关键．
9．已知两个三角形相似，其中一个三角形的两个内角分别为、，则另一个三角形的最大的内角度数为____．
【答案】##78度
【分析】根据相似三角形的性质得出∠A=∠D，∠B=∠E，求出∠D和∠E的度数，再根据三角形内角和定理求出∠F即可．
【解析】解：如图，
∵△ABC∽△DEF，
∴∠A=∠D，∠B=∠E，
∵∠A=65°，∠B=37°，
∴∠D=65°，∠E=37°，
∴∠F=180°-∠D-∠E=180°-65°-37°=78°，
即△DEF的最大的内角度数是78°，
故答案为：78°．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质和三角形内角和定理，能熟记相似三角形的性质是解此题的关键，注意：相似三角形的对应角相等．
10．一段公路路面的坡度为，如果某人沿着这段公路向上行走了130米，那么此人升高了___米．
【答案】50
【分析】设他沿着垂直方向升高了x米，根据坡度的概念用x表示出他行走的水平宽度，根据勾股定理计算即可．
【解析】解：设此人升高了x米，
∵坡比为1：2.4，
∴他行走的水平宽度为2.4x米，
由勾股定理得，x2+（2.4x）2=1302，
解得，x=50(负值舍去)，
即他沿着垂直方向升高了50米，
故答案为：50．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．
11．如图，已知，，，，那么_____．
【答案】##
【分析】根据平行线分线段成比例定理得出，代入得出AG即可．
【解析】∵l1∥l2∥l3，
∴，
∵CH=2cm，DH=4cm，AB=5cm，
∴，
解得：AG=，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，注意：定理（一组平行线截两条直线，所截的线段对应成比例）中的对应成比例．
12．如图，点是的边上的点，．设，，则____．（用含有和的式子表示）
【答案】
【分析】由已知条件求得，根据三角形法则求得；然后在△ABD中，利用三角形法则求解即可．
【解析】解：∵CD=2BD，，
∴．
∵，，
∴．
∴．
故答案是：．
【点睛】本题主要考查了平面向量和列代数式，解题的关键是掌握三角形法则．
13．在中，，，点是的重心，，那么的度数为____．
【答案】
【分析】先根据题意作图，然后连接CG并延长交AB于点D，由三角形的重心G和CG=4求得CD的长，然后结合中线的性质和AC=6得到△ACD是等边三角形，再求得∠ACD，最后利用∠ACB=90°求得∠GCB的度数．
【解析】解：如图，连接CG并延长，交AB于点D，
∵点G是三角形ABC的重心，∠ACB=90°，
∴AD=CD，CG：CD=2：3，
∵CG=4，
∴CD=6，
∵AC=6，
∴AC=CD=AD，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠ACD=60°，
∴∠GCB=90°-60°=30°，
故答案为：30°．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质、重心的性质、等边三角形的判定与性质，解题的关键是由重心的性质得到CD的长度．
14．如图，某梯子长10米，斜靠在竖直的墙面上，当梯子与水平地面所成角为时，梯子顶端靠在墙面上的点处，底端落在水平地面的点处，如果将梯子底端向墙面靠近，使梯子与地面所成角为，且，则梯子顶端上升了___米．
【答案】2
【分析】标字母C、D、E如图，根据AB= 10米，，可求EB=ABsin=10×=6，根据CD=10米，，可求DE=CD，在Rt△CDE中，CE=，求出BC=CE-BE=8-6=2即可．
【解析】解：标字母C、D、E如图
∵AB= 10米，
∴EB=ABsin=10×=6，
∵CD=10米，，
∴DE=CD，
在Rt△CDE中，CE=，
∴BC=CE-BE=8-6=2，
∴梯子顶端上升了2米．
故答案为2．
【点睛】本题考查锐角三角函数的应用，勾股定理，线段和差，掌握锐角三角函数的定义，勾股定理，线段和差是解题关键．
15．如图，已知正方形的顶点、在的边上，顶点、分别在边、上，如果，边上的高是6，那么这个正方形的边长是______．
【答案】
【分析】作AH⊥BC于H，交GF于M，如图，先设正方形DEFG的边长为x，则GF=x，MH=x，AM=6-x，再证明△AGF∽△ABC，则根据相似三角形的性质得，然后解关于x的方程即可．
【解析】解：作AH⊥BC于H，交GF于M，如图，
设正方形DEFG的边长为x，则GF=x，MH=x，AM=6-x，
∵GF∥BC，
∴△AGF∽△ABC，
∴，即，
解得x=，
即正方形DEFG的边长为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在应用相似三角形的性质时，主要利用相似比计算相应线段的长．也考查了正方形的性质．
16．如图，在中，为边的中点，联结，与对角线相交于点，则与四边形的面积比为_______．
【答案】
【分析】由得到AD=BC，AD//BC，从而得到，，为边的中点，即相似三角形面积比等于相似比的平方解题．
【解析】解：设的面积为S，
在中，AD=BC，AD//BC，
为边的中点，
故答案为：．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
17．阅读材料：余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的定理，是勾股定理在一般三角形情形下的推广．对于任意三角形，任何一边的平方等于其它两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．定理解读：如图，在任意中，以边为例，其它两边是和，和的夹角为，根据余弦定理有，类似的可以得到关于和的关系式．已知在中，，，是和的比例中项，那么的余弦值为____．
【答案】##0.75
【分析】根据余弦定理得，AC2=AB2+BC2-2AB•BC•csB，再根据AC是BC和AB的比例中项，即可推出结果．
【解析】解：根据余弦定理得，AC2=AB2+BC2-2AB•BC•csB，
∵AC是BC和AB的比例中项，
∴AC2=AB•BC，
∴AB•BC=AB2+BC2-2AB•BC•csB，
即1×2=12+22-2×1×2×csB，
∴csB=，
故答案为：．
【点睛】本题是阅读理解题，考查了线段比例中项的定义，读懂题意，采用类比的方法是解题的关键．
18．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝2，点D、E分别在边BC、AB上，且DE⊥BC，BD＝2，将△BDE绕点B旋转至△BD1E1，点D、E分别对应点D1、E1，当A、D1、E1三点共线时，CD1的长为 ___．
【答案】2或4##4或2
【分析】根据题意分两种情况讨论，由矩形的性质和全等三角形的性质进行分析即可求解．
【解析】解：如图1，当点D1在线段AE1上，
∵∠ACD=90°，∠ABC=30°，AC=2，
∴AB=4，BC=AC=2，
∵将△BDE绕点B旋转至△BD1E1，
∴D1B=2=DB，∠BD1E1=90°，
∴，
∴AD1=BC，且AC=BD1，
∴四边形ACBD1是平行四边形，且∠ACB=90°，
∴四边形ACBD1是矩形，
∴CD1=AB=4，
如图2，当点D1在线段AE1的延长线上，
∵∠ACB=∠AD1B=90°，
∴点A，点B，点D1，点C四点共圆，
∴∠AD1C=∠ABC=30°，
∵AC=BD1，AB=AB，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD1（HL）
∴∠D1AB=∠ABC=30°，且∠BAC=60°，
∴∠CAD1=30°=∠AD1C，
∴AC=CD1=2，
综上所述：CD1=2或4，
故答案为：2或4．
【点睛】本题考查旋转的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，利用分类讨论解决问题是解答本题的关键．
三、解答题
19．已知：线段a、b、c，且．
（1）求的值；
（2）如线段a、b、c满足3a﹣4b+5c＝54，求a﹣2b+c的值．
【答案】（1）；（2）0
【分析】（1）设代入求值即可；
（2）把代入3a﹣4b+5c＝54求出k的值，得a，b，c的值，从而可得结论．
【解析】解：（1）由设
∴
（2）把代入3a﹣4b+5c＝54得
整理得，
∴
∴
∴
【点睛】此题主要考查了比例的性质，根据已知得出a=3k，b=4k，c=5k进而得出k的值是解题关键．
20．已知，如图，点E在平行四边形ABCD的边CD上，且＝，设．
（1）用表示（直接写出答案）．
（2）设，在答题卷中所给的图上画出的结果．
【答案】（1）；（2）见解析
【分析】（1）根据平面向量的平行定理即可表示；
（2）由（1）中结论得到，延长AE交BC延长线于点G，通过平行四边形的性质得到，再根据对应边成比例得到，从而有，即可求解．
【解析】解：（1）∵＝，即 ， ，
∴，
（2）由（1）知，
∴ ，
延长AE交BC延长线于点G，如图所示，
则．
理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴，
又∵（对顶角相等），
∴，
∴ ，
∵＝，
∴ ，
∴ ，
∵，
∴，即．
【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算、平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握平面向量的线性运算、平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质．
21．如图，已知AB∥EF∥CD，AD与BC相交于点O．
（1）如果CE＝3，EB＝9，DF＝2，求AD的长．
（2）如果BC：OE：EC＝2：4：3，AB＝3，求CD的长．
【答案】（1）AD= 8；（2）CD=．
【分析】（1）根据平行线分线段成比例、比例的基本性质求得AF=6，根据AD=AF+FD求即可；
（2）由BO：OE：EC=2：4：3，可得BO：CO=2：7，根据AB∥CD得△ABO∽△DCO，则可得出AB:CD=BO:CO，求出CD的值．
【解析】解：（1）∵AB∥EF∥CD，
∴=，
又∵CE=3，EB=9，DF=2，
∴=，
解得AF=6,
∴AD=AF+FD=8.
（2）∵BO：OE：EC=2：4：3，
∴BO：CO=2：7，
∵AB∥CD，
∴∠A=∠D，∠B=∠C
∴△ABO∽△DCO，
∴==，
又∵AB=3，
∴CD=．
【点睛】本题考查平行线截线段成比例，三角形相似判定与性质，本题是基础题型，考生必会试题，掌握平行线截线段成比例，三角形相似判定与性质是解题关键．
22．如图，小岛在港口的南偏西方向，距离港口81海里处，甲船从出发，沿方向以9海里/时的速度驶向港口，乙船从港口出发，沿南偏东方向，以18海里/时的速度驶离港口，现两船同时出发，（，，）
（1）出发后几小时两船与港口的距离相等？
（2）出发后几小时乙船在甲船的正东方向？
【答案】（1）3小时；（2）4小时
【分析】（1）求几小时后两船与港口的距离相等，可以转化为方程的问题解决．
（2）过点P作PE⊥CD，垂足为E．则点E在点P的正南方向，则得到相等关系，C、D两点到在南北方向上经过的距离相等，因而根据方程就可以解决．
【解析】解：（1）设出发后x小时两船与港口P的距离相等．
根据题意得81-9x=18x．
解得x=3．
故出发后3小时两船与港口P的距离相等．
（2）设出发后y小时乙船在甲船的正东方向，
此时甲、乙两船的位置分别在点C，D处．
连接CD，过点P作PE⊥CD，垂足为E．
则点E在点P的正南方向．
在Rt△CEP中，∠CPE=37°，
则PE=PC•cs37°．
在Rt△PED中，∠EPD=60°，
则PE=PD•cs60°．
则PC•cs37°=PD•cs60°．
则（81-9y）cs37°=18y•cs60°．
即（81-9y）=18y
解得y=4
答：出发后4小时乙船在甲船的正东方向．
【点睛】考查了解直角三角形的应用-方向角问题，在船舶运动过程中，构建解直角三角形的问题，考查学生对所学知识的变式认识能力．
23．如图，在中，、分别在边，上，与交于点，平分，．
（1）证明．
（2）若，交边的延长线于点．证明．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）根据已知条件先证明△BAF∽△CAF，推出∠AEB＝∠AFC，由等角的补角相等可得出结论．
（2）由（1）结论得出，得出CE＝CF，由内错角相等，同位角相等得出∠DCB＝∠CEG，∠G＝∠ACF＝∠B，推出△BDC∽△GCE，由相似三角形的性质可得出结论．
【解析】（1）证明：∵AB•AF＝AC•AE，
∴，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE，
∴△BAE∽△CAF，
∴∠AEB＝∠AFC，
∴180°−∠AEB＝180°−∠AFC，
∴∠AEC＝∠AFD；
（2）证明：∵由（1）证得，
∴CE＝CF，
∵DC//EG，
∴∠DCB＝∠CEG，∠G＝∠ACF，
∵（1）中证得△BAE∽△CAF，
∴ ∠ACF＝∠B
∴∠G＝∠ACF＝∠B，
∴△BDC∽△GCE，
∴，
∴CD•CG＝FC•BD．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题关键是能够灵活运用相似三角形的判定与性质．
24．在平面直角坐标系xOy中，已知B，A分别是y＝﹣x+4与x轴，y轴的交点．
（1）C在线段AB上，＝，求C的坐标．
（2）在第一问的条件下，求tan∠AOC的值．
（3）若D在直线AB上，tan∠BOD＝，求D的坐标．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）如图，过作于 则 证明可得再求解 从而可得答案；
（2）如图，连接 由（1）得： 再直接利用正切的定义可得答案；
（3）分两种情况讨论，如图，当在线段上时，记为，过作于当在线段的延长线上时，记为 过作于再利用等腰直角三角形的性质与正切的含义可得答案.
【解析】解：（1）如图，过作于 则
＝，
令 则 令 则
（2）如图，连接 由（1）得：
（3）如图，当在线段上时，记为，过作于
当在线段的延长线上时，记为 过作于
由
经检验：符合题意；
【点睛】本题考查的是一次函数与坐标轴的交点坐标，等腰直角三角形的性质与判定，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，灵活应用以上知识，有清晰的分类讨论是解题的关键.
25．如图，已知梯形中，，，，，，点是边上一个动点（不与点重合），在边上取点，联结、，
（1）若点是的中点，且，求的值；
（2）若，设，，求关于的函数关系式；
（3）在（2）条件下，当为等腰三角形时，求的长．
【答案】（1）；（2）；（3）0，1或
【分析】（1）作图构建直角三角形，利用勾股定理求DM，再利用平行四边形面积的两种底高求法求得ME，根据三角函数即可求解；
（2）连接AC，利用勾股定理求AC可知AB=AC，根据等腰三角形性质和题意可知，再利用三个三角形相似即可求解．
（3）延长BC至K点，使得CK=AD,连接KD并延长与BA的延长线交于点G．通过等腰梯形可证，通过一线三等角模型可证，在通过分类讨论等腰三角形的三种情况，通过线段比例关系即可得出答案．
【解析】解：（1）作BC中点M，连接MD，过M点作AB垂线交AB于点E，连接ED．
∵是的中点，，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
在中
∵，
∴，
∵，
∴ ，
即 ，解得，
∴．
（2）连接AC交MD于点F．过A作AH⊥BC于H，
，
在梯形ABCD中，AD=3，BC=6，CD=4，∠D=90°，AD∥BC，
∴BH=BC-CH=BC-AD=3，AH=CD=4，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
，
设，，
即 ，
解得 ，
∵，
∵ ，
∴，
∴，
∴，
即 ，
则；
（3）延长BC至K点，使得CK=AD，连接KD并延长与BA的延长线交于点G．
在中，，
∴，
∴△BGK为等腰三角形，
∵AD∥BK，
∴，
∴，即，
解得，
若，则，
∴，
∴，
∵ ，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
解得；
若，则=1，
∴，则；
若，则，
∴，
∴，
即，
解得．
故CM长为：0，1或．
【点睛】本题主要考查了梯形的性质、梯形辅助线作法、三角函数、勾股定理、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、分类讨论思想等．此类题目综合性强，难度较大．熟练掌握梯形辅助线作法和相似三角形模型是解答此类题目的关键．
1．如果，且是和的比例中项，那么等于（ ）
A．B．C．D．
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝m，那么边AC的长为（ ）
A．msinBB．mcsBC．mtanBD．mctB
3．下列关于向量的说法中，不正确的是（ ）
A．
B．如果，那么
C．是非零向量，是单位向量，那么
D．
4．下列各组条件中，一定能够判定△ABC与△DEF相似的是（ ）
A．∠A＝∠B，∠D＝∠E
B．∠B＝∠E，AB＝3，AC＝4，DE：DF＝3：4
C．△ABC三边长分别为6，18，21，△DEF三边之比为2：7：6
D．∠C＝91°，∠E＝91°，DE：AB＝EF：AC
5．如图，在中，是边上的高，那么下列条件不一定能推出的选项是（ ）
A．；B．；
C．；D．．
6．如图，已知在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD为BC边的中线，过点C作CE⊥AD于点E，交AB于点F．若AC＝2，则线段EF的长为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
7．在比例尺1：500000的地图上，量得A、B两地的距离为4cm，则A、B两地的实际距离是___千米．
8．设点P是线段AB的黄金分割点（AP＜BP），AB＝4cm，那么线段BP的长是____cm．
9．已知两个三角形相似，其中一个三角形的两个内角分别为、，则另一个三角形的最大的内角度数为____．
10．一段公路路面的坡度为，如果某人沿着这段公路向上行走了130米，那么此人升高了___米．
11．如图，已知，，，，那么_____．
12．如图，点是的边上的点，．设，，则____．（用含有和的式子表示）
13．在中，，，点是的重心，，那么的度数为____．
14．如图，某梯子长10米，斜靠在竖直的墙面上，当梯子与水平地面所成角为时，梯子顶端靠在墙面上的点处，底端落在水平地面的点处，如果将梯子底端向墙面靠近，使梯子与地面所成角为，且，则梯子顶端上升了___米．
15．如图，已知正方形的顶点、在的边上，顶点、分别在边、上，如果，边上的高是6，那么这个正方形的边长是______．
16．如图，在中，为边的中点，联结，与对角线相交于点，则与四边形的面积比为_______．
17．阅读材料：余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的定理，是勾股定理在一般三角形情形下的推广．对于任意三角形，任何一边的平方等于其它两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．定理解读：如图，在任意中，以边为例，其它两边是和，和的夹角为，根据余弦定理有，类似的可以得到关于和的关系式．已知在中，，，是和的比例中项，那么的余弦值为____．
18．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝2，点D、E分别在边BC、AB上，且DE⊥BC，BD＝2，将△BDE绕点B旋转至△BD1E1，点D、E分别对应点D1、E1，当A、D1、E1三点共线时，CD1的长为 ___．
三、解答题
19．已知：线段a、b、c，且．
（1）求的值；
（2）如线段a、b、c满足3a﹣4b+5c＝54，求a﹣2b+c的值．
20．已知，如图，点E在平行四边形ABCD的边CD上，且＝，设．
（1）用表示（直接写出答案）．
（2）设，在答题卷中所给的图上画出的结果．
21．如图，已知AB∥EF∥CD，AD与BC相交于点O．
（1）如果CE＝3，EB＝9，DF＝2，求AD的长．
（2）如果BC：OE：EC＝2：4：3，AB＝3，求CD的长．
22．如图，小岛在港口的南偏西方向，距离港口81海里处，甲船从出发，沿方向以9海里/时的速度驶向港口，乙船从港口出发，沿南偏东方向，以18海里/时的速度驶离港口，现两船同时出发，（，，）
（1）出发后几小时两船与港口的距离相等？
（2）出发后几小时乙船在甲船的正东方向？
23．如图，在中，、分别在边，上，与交于点，平分，．
（1）证明．
（2）若，交边的延长线于点．证明．
24．在平面直角坐标系xOy中，已知B，A分别是y＝﹣x+4与x轴，y轴的交点．
（1）C在线段AB上，＝，求C的坐标．
（2）在第一问的条件下，求tan∠AOC的值．
（3）若D在直线AB上，tan∠BOD＝，求D的坐标．
25．如图，已知梯形中，，，，，，点是边上一个动点（不与点重合），在边上取点，联结、，
（1）若点是的中点，且，求的值；
（2）若，设，，求关于的函数关系式；
（3）在（2）条件下，当为等腰三角形时，求的长．
2022-2023学年九年级数学上册期中测试卷01
一、单选题
1．如果，且是和的比例中项，那么等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据比例中项的概念（如果a、b、c三个量成连比例即，b叫做a和c的比例中项）可得，则可求得的值．
【解析】解：∵，b是a和c的比例中项，
即，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了比例中项的概念，理解比例中项的定义是解题关键．
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝m，那么边AC的长为（ ）
A．msinBB．mcsBC．mtanBD．mctB
【答案】A
【分析】如图，∠C＝90°，AB＝m，结合再代入数据可得答案.
【解析】解：如图，∠C＝90°，AB＝m，
而
故选：A
【点睛】本题考查的是锐角三角函数的应用，掌握利用锐角三角函数值求解三角形的边长是解题的关键.
3．下列关于向量的说法中，不正确的是（ ）
A．
B．如果，那么
C．是非零向量，是单位向量，那么
D．
【答案】C
【分析】根据平面向量的定义（在平面中既有大小又有方向的量称为向量）与运算法则依次进行判断即可得出选项．
【解析】解：A、，本选项正确,不符合题意；
B、如果，则，选项正确,不符合题意；
C、等号左边为向量，右边为向量模长，选项错误,符合题意；
D、，本选项正确,不符合题意．
故选：C．
【点睛】题目主要考查平面向量的定义与运算，理解平面向量的运算法则是解题关键．
4．下列各组条件中，一定能够判定△ABC与△DEF相似的是（ ）
A．∠A＝∠B，∠D＝∠E
B．∠B＝∠E，AB＝3，AC＝4，DE：DF＝3：4
C．△ABC三边长分别为6，18，21，△DEF三边之比为2：7：6
D．∠C＝91°，∠E＝91°，DE：AB＝EF：AC
【答案】C
【分析】由题意直接根据相似三角形的判定方法进行分析判断即可得出答案．
【解析】解：A、∠A和∠B，∠D和∠E不是两个三角形的对应角，故不能判定两三角形相似，故此选项不符合题意；
B、根据∠B=∠E，不能判定两三角形相似，因为相等的两个角不是夹角，故此选项不符合题意；
C、△ABC三边长分别为6，21，18，则三边之比为2：7：6，由△DEF三边之比为2：7：6可知△ABC与△DEF相似，故此选项符合题意；
D、DE：AB=EF：AC不是直角三角形的对应边成比例，故不能判定两三角形相似，故此选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握三角形相似的判定方法：（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
5．如图，在中，是边上的高，那么下列条件不一定能推出的选项是（ ）
A．；B．；
C．；D．．
【答案】D
【分析】判断可转化为判断，由相似三角形的判定与性质即可得出答案．
【解析】A.当时，即，（公共角），
，
，，
是边上的高，
，
，故A正确；
B.当时，即，
是边上的高,
与都是直角三角形，
设，则，
在中，，
在中，，
，
，
，，
是边上的高，
，
，故B正确；
C.当时，即，
是边上的高,
，
，
，，
是边上的高，
，
，故C正确；
D.当时，即，但题目没给出，也没给出三边对应成比例，故D错误．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
6．如图，已知在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD为BC边的中线，过点C作CE⊥AD于点E，交AB于点F．若AC＝2，则线段EF的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】过点B作BH⊥BC，交CF的延长线于H，由勾股定理可求AD的长，由面积法可求CE，由“AAS”可证△ACD≌△CBH，可得CD＝BH＝1，AD＝CH＝，通过证明△ACF∽△BHF，可得＝，可求CF的长，即可求解．
【解析】解：如图，过点B作BH⊥BC，交CF的延长线于H，
∵AD为BC边的中线，AC＝BC＝2，
∴CD＝BD＝1，
∴AD＝＝＝，
∵，
∴CE＝＝，
∵∠ADC+∠BCH＝90°，∠BCH+∠H＝90°，
∴∠ADC＝∠H，
在△ACD和△CBH中，
，
∴△ACD≌△CBH（AAS），
∴CD＝BH＝1，AD＝CH＝，
∵AC⊥BC，BH⊥BC，
∴AC∥BH，
∴△ACF∽△BHF，
∴＝，
∴CF＝，
∴EF＝CF﹣CE＝﹣＝，
故选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
二、填空题
7．在比例尺1：500000的地图上，量得A、B两地的距离为4cm，则A、B两地的实际距离是___千米．
【答案】20
【分析】根据比例尺的定义，可求得两地的实际距离．
【解析】解：设实际距离为xcm，则：
1：500000＝4：x，
解得x＝2000000．
2000000cm＝20000m＝20km．
故答案为：20．
【点睛】此题考查了比例尺的性质，比例尺是图上距离比实地距离缩小的程度．解题关键是掌握比例尺的定义，注意单位要统一．
8．设点P是线段AB的黄金分割点（AP＜BP），AB＝4cm，那么线段BP的长是____cm．
【答案】（）##（）
【分析】把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．据此列出比例式进行计算即可．
【解析】解：∵P为线段AB的黄金分割点，且AP＜PB，
∴BP2＝AB•AP．
BP2＝4(4- BP)．
解得，， （舍去）．
故答案为：（）
【点睛】本题考查了黄金分割的概念，熟记定义是解题的关键．
9．已知两个三角形相似，其中一个三角形的两个内角分别为、，则另一个三角形的最大的内角度数为____．
【答案】##78度
【分析】根据相似三角形的性质得出∠A=∠D，∠B=∠E，求出∠D和∠E的度数，再根据三角形内角和定理求出∠F即可．
【解析】解：如图，
∵△ABC∽△DEF，
∴∠A=∠D，∠B=∠E，
∵∠A=65°，∠B=37°，
∴∠D=65°，∠E=37°，
∴∠F=180°-∠D-∠E=180°-65°-37°=78°，
即△DEF的最大的内角度数是78°，
故答案为：78°．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质和三角形内角和定理，能熟记相似三角形的性质是解此题的关键，注意：相似三角形的对应角相等．
10．一段公路路面的坡度为，如果某人沿着这段公路向上行走了130米，那么此人升高了___米．
【答案】50
【分析】设他沿着垂直方向升高了x米，根据坡度的概念用x表示出他行走的水平宽度，根据勾股定理计算即可．
【解析】解：设此人升高了x米，
∵坡比为1：2.4，
∴他行走的水平宽度为2.4x米，
由勾股定理得，x2+（2.4x）2=1302，
解得，x=50(负值舍去)，
即他沿着垂直方向升高了50米，
故答案为：50．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．
11．如图，已知，，，，那么_____．
【答案】##
【分析】根据平行线分线段成比例定理得出，代入得出AG即可．
【解析】∵l1∥l2∥l3，
∴，
∵CH=2cm，DH=4cm，AB=5cm，
∴，
解得：AG=，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，注意：定理（一组平行线截两条直线，所截的线段对应成比例）中的对应成比例．
12．如图，点是的边上的点，．设，，则____．（用含有和的式子表示）
【答案】
【分析】由已知条件求得，根据三角形法则求得；然后在△ABD中，利用三角形法则求解即可．
【解析】解：∵CD=2BD，，
∴．
∵，，
∴．
∴．
故答案是：．
【点睛】本题主要考查了平面向量和列代数式，解题的关键是掌握三角形法则．
13．在中，，，点是的重心，，那么的度数为____．
【答案】
【分析】先根据题意作图，然后连接CG并延长交AB于点D，由三角形的重心G和CG=4求得CD的长，然后结合中线的性质和AC=6得到△ACD是等边三角形，再求得∠ACD，最后利用∠ACB=90°求得∠GCB的度数．
【解析】解：如图，连接CG并延长，交AB于点D，
∵点G是三角形ABC的重心，∠ACB=90°，
∴AD=CD，CG：CD=2：3，
∵CG=4，
∴CD=6，
∵AC=6，
∴AC=CD=AD，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠ACD=60°，
∴∠GCB=90°-60°=30°，
故答案为：30°．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质、重心的性质、等边三角形的判定与性质，解题的关键是由重心的性质得到CD的长度．
14．如图，某梯子长10米，斜靠在竖直的墙面上，当梯子与水平地面所成角为时，梯子顶端靠在墙面上的点处，底端落在水平地面的点处，如果将梯子底端向墙面靠近，使梯子与地面所成角为，且，则梯子顶端上升了___米．
【答案】2
【分析】标字母C、D、E如图，根据AB= 10米，，可求EB=ABsin=10×=6，根据CD=10米，，可求DE=CD，在Rt△CDE中，CE=，求出BC=CE-BE=8-6=2即可．
【解析】解：标字母C、D、E如图
∵AB= 10米，
∴EB=ABsin=10×=6，
∵CD=10米，，
∴DE=CD，
在Rt△CDE中，CE=，
∴BC=CE-BE=8-6=2，
∴梯子顶端上升了2米．
故答案为2．
【点睛】本题考查锐角三角函数的应用，勾股定理，线段和差，掌握锐角三角函数的定义，勾股定理，线段和差是解题关键．
15．如图，已知正方形的顶点、在的边上，顶点、分别在边、上，如果，边上的高是6，那么这个正方形的边长是______．
【答案】
【分析】作AH⊥BC于H，交GF于M，如图，先设正方形DEFG的边长为x，则GF=x，MH=x，AM=6-x，再证明△AGF∽△ABC，则根据相似三角形的性质得，然后解关于x的方程即可．
【解析】解：作AH⊥BC于H，交GF于M，如图，
设正方形DEFG的边长为x，则GF=x，MH=x，AM=6-x，
∵GF∥BC，
∴△AGF∽△ABC，
∴，即，
解得x=，
即正方形DEFG的边长为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在应用相似三角形的性质时，主要利用相似比计算相应线段的长．也考查了正方形的性质．
16．如图，在中，为边的中点，联结，与对角线相交于点，则与四边形的面积比为_______．
【答案】
【分析】由得到AD=BC，AD//BC，从而得到，，为边的中点，即相似三角形面积比等于相似比的平方解题．
【解析】解：设的面积为S，
在中，AD=BC，AD//BC，
为边的中点，
故答案为：．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
17．阅读材料：余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的定理，是勾股定理在一般三角形情形下的推广．对于任意三角形，任何一边的平方等于其它两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．定理解读：如图，在任意中，以边为例，其它两边是和，和的夹角为，根据余弦定理有，类似的可以得到关于和的关系式．已知在中，，，是和的比例中项，那么的余弦值为____．
【答案】##0.75
【分析】根据余弦定理得，AC2=AB2+BC2-2AB•BC•csB，再根据AC是BC和AB的比例中项，即可推出结果．
【解析】解：根据余弦定理得，AC2=AB2+BC2-2AB•BC•csB，
∵AC是BC和AB的比例中项，
∴AC2=AB•BC，
∴AB•BC=AB2+BC2-2AB•BC•csB，
即1×2=12+22-2×1×2×csB，
∴csB=，
故答案为：．
【点睛】本题是阅读理解题，考查了线段比例中项的定义，读懂题意，采用类比的方法是解题的关键．
18．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝2，点D、E分别在边BC、AB上，且DE⊥BC，BD＝2，将△BDE绕点B旋转至△BD1E1，点D、E分别对应点D1、E1，当A、D1、E1三点共线时，CD1的长为 ___．
【答案】2或4##4或2
【分析】根据题意分两种情况讨论，由矩形的性质和全等三角形的性质进行分析即可求解．
【解析】解：如图1，当点D1在线段AE1上，
∵∠ACD=90°，∠ABC=30°，AC=2，
∴AB=4，BC=AC=2，
∵将△BDE绕点B旋转至△BD1E1，
∴D1B=2=DB，∠BD1E1=90°，
∴，
∴AD1=BC，且AC=BD1，
∴四边形ACBD1是平行四边形，且∠ACB=90°，
∴四边形ACBD1是矩形，
∴CD1=AB=4，
如图2，当点D1在线段AE1的延长线上，
∵∠ACB=∠AD1B=90°，
∴点A，点B，点D1，点C四点共圆，
∴∠AD1C=∠ABC=30°，
∵AC=BD1，AB=AB，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD1（HL）
∴∠D1AB=∠ABC=30°，且∠BAC=60°，
∴∠CAD1=30°=∠AD1C，
∴AC=CD1=2，
综上所述：CD1=2或4，
故答案为：2或4．
【点睛】本题考查旋转的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，利用分类讨论解决问题是解答本题的关键．
三、解答题
19．已知：线段a、b、c，且．
（1）求的值；
（2）如线段a、b、c满足3a﹣4b+5c＝54，求a﹣2b+c的值．
【答案】（1）；（2）0
【分析】（1）设代入求值即可；
（2）把代入3a﹣4b+5c＝54求出k的值，得a，b，c的值，从而可得结论．
【解析】解：（1）由设
∴
（2）把代入3a﹣4b+5c＝54得
整理得，
∴
∴
∴
【点睛】此题主要考查了比例的性质，根据已知得出a=3k，b=4k，c=5k进而得出k的值是解题关键．
20．已知，如图，点E在平行四边形ABCD的边CD上，且＝，设．
（1）用表示（直接写出答案）．
（2）设，在答题卷中所给的图上画出的结果．
【答案】（1）；（2）见解析
【分析】（1）根据平面向量的平行定理即可表示；
（2）由（1）中结论得到，延长AE交BC延长线于点G，通过平行四边形的性质得到，再根据对应边成比例得到，从而有，即可求解．
【解析】解：（1）∵＝，即 ， ，
∴，
（2）由（1）知，
∴ ，
延长AE交BC延长线于点G，如图所示，
则．
理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴，
又∵（对顶角相等），
∴，
∴ ，
∵＝，
∴ ，
∴ ，
∵，
∴，即．
【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算、平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握平面向量的线性运算、平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质．
21．如图，已知AB∥EF∥CD，AD与BC相交于点O．
（1）如果CE＝3，EB＝9，DF＝2，求AD的长．
（2）如果BC：OE：EC＝2：4：3，AB＝3，求CD的长．
【答案】（1）AD= 8；（2）CD=．
【分析】（1）根据平行线分线段成比例、比例的基本性质求得AF=6，根据AD=AF+FD求即可；
（2）由BO：OE：EC=2：4：3，可得BO：CO=2：7，根据AB∥CD得△ABO∽△DCO，则可得出AB:CD=BO:CO，求出CD的值．
【解析】解：（1）∵AB∥EF∥CD，
∴=，
又∵CE=3，EB=9，DF=2，
∴=，
解得AF=6,
∴AD=AF+FD=8.
（2）∵BO：OE：EC=2：4：3，
∴BO：CO=2：7，
∵AB∥CD，
∴∠A=∠D，∠B=∠C
∴△ABO∽△DCO，
∴==，
又∵AB=3，
∴CD=．
【点睛】本题考查平行线截线段成比例，三角形相似判定与性质，本题是基础题型，考生必会试题，掌握平行线截线段成比例，三角形相似判定与性质是解题关键．
22．如图，小岛在港口的南偏西方向，距离港口81海里处，甲船从出发，沿方向以9海里/时的速度驶向港口，乙船从港口出发，沿南偏东方向，以18海里/时的速度驶离港口，现两船同时出发，（，，）
（1）出发后几小时两船与港口的距离相等？
（2）出发后几小时乙船在甲船的正东方向？
【答案】（1）3小时；（2）4小时
【分析】（1）求几小时后两船与港口的距离相等，可以转化为方程的问题解决．
（2）过点P作PE⊥CD，垂足为E．则点E在点P的正南方向，则得到相等关系，C、D两点到在南北方向上经过的距离相等，因而根据方程就可以解决．
【解析】解：（1）设出发后x小时两船与港口P的距离相等．
根据题意得81-9x=18x．
解得x=3．
故出发后3小时两船与港口P的距离相等．
（2）设出发后y小时乙船在甲船的正东方向，
此时甲、乙两船的位置分别在点C，D处．
连接CD，过点P作PE⊥CD，垂足为E．
则点E在点P的正南方向．
在Rt△CEP中，∠CPE=37°，
则PE=PC•cs37°．
在Rt△PED中，∠EPD=60°，
则PE=PD•cs60°．
则PC•cs37°=PD•cs60°．
则（81-9y）cs37°=18y•cs60°．
即（81-9y）=18y
解得y=4
答：出发后4小时乙船在甲船的正东方向．
【点睛】考查了解直角三角形的应用-方向角问题，在船舶运动过程中，构建解直角三角形的问题，考查学生对所学知识的变式认识能力．
23．如图，在中，、分别在边，上，与交于点，平分，．
（1）证明．
（2）若，交边的延长线于点．证明．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）根据已知条件先证明△BAF∽△CAF，推出∠AEB＝∠AFC，由等角的补角相等可得出结论．
（2）由（1）结论得出，得出CE＝CF，由内错角相等，同位角相等得出∠DCB＝∠CEG，∠G＝∠ACF＝∠B，推出△BDC∽△GCE，由相似三角形的性质可得出结论．
【解析】（1）证明：∵AB•AF＝AC•AE，
∴，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE，
∴△BAE∽△CAF，
∴∠AEB＝∠AFC，
∴180°−∠AEB＝180°−∠AFC，
∴∠AEC＝∠AFD；
（2）证明：∵由（1）证得，
∴CE＝CF，
∵DC//EG，
∴∠DCB＝∠CEG，∠G＝∠ACF，
∵（1）中证得△BAE∽△CAF，
∴ ∠ACF＝∠B
∴∠G＝∠ACF＝∠B，
∴△BDC∽△GCE，
∴，
∴CD•CG＝FC•BD．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题关键是能够灵活运用相似三角形的判定与性质．
24．在平面直角坐标系xOy中，已知B，A分别是y＝﹣x+4与x轴，y轴的交点．
（1）C在线段AB上，＝，求C的坐标．
（2）在第一问的条件下，求tan∠AOC的值．
（3）若D在直线AB上，tan∠BOD＝，求D的坐标．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）如图，过作于 则 证明可得再求解 从而可得答案；
（2）如图，连接 由（1）得： 再直接利用正切的定义可得答案；
（3）分两种情况讨论，如图，当在线段上时，记为，过作于当在线段的延长线上时，记为 过作于再利用等腰直角三角形的性质与正切的含义可得答案.
【解析】解：（1）如图，过作于 则
＝，
令 则 令 则
（2）如图，连接 由（1）得：
（3）如图，当在线段上时，记为，过作于
当在线段的延长线上时，记为 过作于
由
经检验：符合题意；
【点睛】本题考查的是一次函数与坐标轴的交点坐标，等腰直角三角形的性质与判定，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，灵活应用以上知识，有清晰的分类讨论是解题的关键.
25．如图，已知梯形中，，，，，，点是边上一个动点（不与点重合），在边上取点，联结、，
（1）若点是的中点，且，求的值；
（2）若，设，，求关于的函数关系式；
（3）在（2）条件下，当为等腰三角形时，求的长．
【答案】（1）；（2）；（3）0，1或
【分析】（1）作图构建直角三角形，利用勾股定理求DM，再利用平行四边形面积的两种底高求法求得ME，根据三角函数即可求解；
（2）连接AC，利用勾股定理求AC可知AB=AC，根据等腰三角形性质和题意可知，再利用三个三角形相似即可求解．
（3）延长BC至K点，使得CK=AD,连接KD并延长与BA的延长线交于点G．通过等腰梯形可证，通过一线三等角模型可证，在通过分类讨论等腰三角形的三种情况，通过线段比例关系即可得出答案．
【解析】解：（1）作BC中点M，连接MD，过M点作AB垂线交AB于点E，连接ED．
∵是的中点，，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
在中
∵，
∴，
∵，
∴ ，
即 ，解得，
∴．
（2）连接AC交MD于点F．过A作AH⊥BC于H，
，
在梯形ABCD中，AD=3，BC=6，CD=4，∠D=90°，AD∥BC，
∴BH=BC-CH=BC-AD=3，AH=CD=4，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
，
设，，
即 ，
解得 ，
∵，
∵ ，
∴，
∴，
∴，
即 ，
则；
（3）延长BC至K点，使得CK=AD，连接KD并延长与BA的延长线交于点G．
在中，，
∴，
∴△BGK为等腰三角形，
∵AD∥BK，
∴，
∴，即，
解得，
若，则，
∴，
∴，
∵ ，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
解得；
若，则=1，
∴，则；
若，则，
∴，
∴，
即，
解得．
故CM长为：0，1或．
【点睛】本题主要考查了梯形的性质、梯形辅助线作法、三角函数、勾股定理、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、分类讨论思想等．此类题目综合性强，难度较大．熟练掌握梯形辅助线作法和相似三角形模型是解答此类题目的关键．
相关试卷
沪教版九年级数学上册期中期末挑战满分冲刺卷期末试卷02(原卷版+解析)： 这是一份沪教版九年级数学上册期中期末挑战满分冲刺卷期末试卷02(原卷版+解析)，共30页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
沪教版九年级数学上册期中期末挑战满分冲刺卷期末试卷01(原卷版+解析)： 这是一份沪教版九年级数学上册期中期末挑战满分冲刺卷期末试卷01(原卷版+解析)，共29页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
沪教版九年级数学上册期中期末挑战满分冲刺卷期中测试卷02(原卷版+解析)： 这是一份沪教版九年级数学上册期中期末挑战满分冲刺卷期中测试卷02(原卷版+解析)，共32页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
