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沪教版九年级数学上册期中期末挑战满分冲刺卷期中测试卷02(原卷版+解析)
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这是一份沪教版九年级数学上册期中期末挑战满分冲刺卷期中测试卷02(原卷版+解析)，共32页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列各组的四条线段a，b，c，d是成比例线段的是（ ）
A．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10B．a＝1，b＝2，c＝3，d＝4
C．a＝，b＝3，c＝2，d＝D．a＝2，b＝，c＝2，d＝
2．在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，如果AD＝2，BD＝3，那么由下列条件能够判定DE∥BC的是( )
A．＝B．＝C．＝D．＝
3．在中，，则的正弦值为（ ）
A．B．C．2D．
4．下列命题中，正确的是（ ）
A．如果一条直线截三角形两边的延长线所得的对应线段成比例，那么这条直线一定平行于三角形的第三边
B．有一个内角相等的两个菱形相似
C．点O是等边三角形ABC的中心，则向量、、是相等向量
D．有一个锐角相等的两个等腰三角形相似
5．如图所示，网格中的每个小正方形的边长都是1，的顶点都在网格的交点处，则的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
6．已知四边形ABCD满足＝，且|+|＝|﹣|，那么四边形ABCD的形状是（ ）
A．矩形B．菱形C．正方形D．等腰梯形
二、填空题
7．已知，那么的值为__________．
8．计算：（﹣2）﹣4＝_____．
9．如果两个相似三角形的面积比是1:4，那么它们的周长比是________．
10．在△ABC中，AB＝AC，sinB＝，则∠A＝____．
11．已知线段AB长是2，P是线段AB上的一点，且满足AP2＝AB•BP，则AP长为____．
12．已知一个锐角的正切值比余切值大，且两者之和是，则这个锐角的正切值为________．
13．已知在△ABC中，∠C=90°，BC=8，AB=10，点G为重心，那么的值为____．
14．如图，某兴趣小组用无人机对大楼进行测高，无人机从距离大楼30米（PB＝30米）垂直起飞，飞到A处悬停，测得大楼底部俯角α＝45°，大楼顶部仰角β＝60°，则大楼的楼高BC＝____米．（结果保留根号）
15．如图，在▱ABCD的对角线BD上取一点E，延长AE交BC于G，交DC的延长线于F，若DF＝2CF，则△CFG与△BEG的面积比是____．
16．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，CE是AB边上的中线，AD与CE交于点F，点G是△ACD的重心，AB＝10，AD＝8，则点F与点G的距离是____．
17．在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意一点，我们把点称为点A的“倒数点”．如图，矩形的顶点C为，顶点E在y轴上，函数的图象与交于点A．若点B是点A的“倒数点”，且点B在矩形的一边上，则的面积为_________．
18．如图1是一种利用镜面反射，放大微小变化的装置．木条BC上的点P处安装一平面镜，BC与刻度尺边MN的交点为D，从A点发出的光束经平面镜P反射后，在MN上形成一个光点E．已知，．
（1）ED的长为____________．
（2）将木条BC绕点B按顺时针方向旋转一定角度得到（如图2），点P的对应点为，与MN的交点为D′，从A点发出的光束经平面镜反射后，在MN上的光点为．若，则的长为____________．
三、解答题
19．计算：．
20．如图，在△ABC中，点D是边AB的垂直平分线与边BC的交点，点E在边AB上，∠CAD＝∠BDE．
（1）求证：△ABC∽△EAD；
（2）如果AD＝x，AE＝2x﹣9，CD＝3，BE＝2，求AD的长．
21．已知：如图，中，，，，点、分别在边、上，且，．
（1）求的正切值；
（2）如果设，，试用、的线性组合表示；
（3）求作在、方向上的分向量．
22．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x＋m（m＞0）与x轴、y轴分别交于点A、B．过点A的直线y＝kx＋4（k＜0）与y轴交于点C，∠OCA＝∠OAB．
（1）求直线AB的表达式；
（2）点D是x轴上一动点，当△ABD与△ABC相似时，求点D坐标．
23．已知：如图，△ABC中，AD平分∠BAC．过点B作AD的垂线，垂足为E．过点C作AD的垂线交AD的延长线于F．联结CE交FB的延长线于点P，联结AP．
(1)求证：AB•AF＝AC•AE；
(2)求证：CF∥AP．
24．在学习锐角的三角比时，小明同学对“具有倍半关系的两个锐角的三角比具有怎样的关系”这个问题产生了浓厚的兴趣，并进行了一些研究．
（1）初步尝试：
我们知道：tan60°＝ ，tan30° ．
发现结论：tanA 2tan∠A（填“＝”或“≠”）；
（2）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，求tan∠BAC的值；
研究思路：小明想构造包含∠BAC的直角三角形；延长CA至D，使得DA＝AB，连接BD，所以得到∠D＝∠BAC，即转化为求∠D的正切值，那么，tan∠BAC＝ ．
（3）在△ABC中，∠A为锐角，tanA＝，∠B＝2∠A，AB＝3．求S△ABC的值．
25．已知∠MAN是锐角，sinA＝，边AN上有一点B，AB＝9，∠PBQ从边BP与AN叠合的位置开始绕点B顺时针旋转，始终保持∠PBQ＝∠A，边BP交AM于C，边BQ交AM于D．边BP上有一点E，BE＝6，过点E作EF∥AN交AM于G，交BQ于F，设BF＝x．
（1）如图，当点E在∠MAN外部时，求证：；
（2）当点E在∠MAN外部时，设y＝，求y关于x的函数解析式并写出定义域；
（3）当△ABD为直角三角形时，求BF的值
2022-2023学年九年级数学上册期中测试卷02
一、单选题
1．下列各组的四条线段a，b，c，d是成比例线段的是（ ）
A．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10B．a＝1，b＝2，c＝3，d＝4
C．a＝，b＝3，c＝2，d＝D．a＝2，b＝，c＝2，d＝
【答案】D
【分析】根据比例线段的定义即如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段，对选项一一分析，即可得出答案．
【解析】解：A、4×10≠6×5，故不符合题意，
B、1×4≠2×3，故不符合题意，
C、×3≠2×，故不符合题意，
D、2×=2×，故符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查了比例线段，根据成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．同时注意单位要统一．
2．在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，如果AD＝2，BD＝3，那么由下列条件能够判定DE∥BC的是( )
A．＝B．＝C．＝D．＝
【答案】D
【分析】根据平行线分线段成比例定理的逆定理,当或时,,然后可对各选项进行判断.
【解析】解：当或时,,
即或.
所以D选项是正确的.
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.也考查了平行线分线段成比例定理的逆定理.
3．在中，，则的正弦值为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】B
【分析】如图，然后根据三角函数可进行求解．
【解析】解：如图所示：
∵，
∴，
∴；
故选B．
【点睛】本题主要考查三角函数，熟练掌握求一个角的三角函数值是解题的关键．
4．下列命题中，正确的是（ ）
A．如果一条直线截三角形两边的延长线所得的对应线段成比例，那么这条直线一定平行于三角形的第三边
B．有一个内角相等的两个菱形相似
C．点O是等边三角形ABC的中心，则向量、、是相等向量
D．有一个锐角相等的两个等腰三角形相似
【答案】B
【分析】根据平行线分线段成比例的逆定理，相似多边形概念，相等向量的概念，相似三角形定义等逐项判断．
【解析】A、如果一条直线截三角形两边的延长线所得的对应线段成比例，那么这条直线不一定平行于三角形的第三边，选项错误，不符合题意；
B、因为菱形的四条边相等，所以有一角对应相等的两个菱形相似，选项正确，符合题意；
C、点O是等边三角形ABC的中心，则|，但它们不是相等向量，选项错误，不符合题意；
D、有一个锐角相等的两个等腰三角形不一定相似，选项错误，不符合题意吧；
故选B．
【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握相关的概念和定理．
5．如图所示，网格中的每个小正方形的边长都是1，的顶点都在网格的交点处，则的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据表格可知，连接AD，则，利用正弦的定义即可求解．
【解析】解：根据表格可知，
连接AD，则，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查勾股定理、求角的正弦值，从网格图中找出直角三角形是解题的关键．
6．已知四边形ABCD满足＝，且|+|＝|﹣|，那么四边形ABCD的形状是（ ）
A．矩形B．菱形C．正方形D．等腰梯形
【答案】A
【分析】根据题意知，该四边形是对角线相等的平行四边形，由此判定它是矩形．
【解析】解：如图，，
，．
四边形是平行四边形．
．
，
．
．
平行四边形是矩形．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平面向量，矩形的判定．解题的关键是根据相等向量和三角形法则推知：AB=DC且AB∥DC，CA=BD．
二、填空题
7．已知，那么的值为__________．
【答案】
【分析】根据，可设a＝3k，则b＝2k，代入所求的式子即可求解．
【解析】∵，
∴设a＝3k，则b＝2k，
则原式＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查了比例的性质，根据，正确设出未知数是本题的关键．
8．计算：（﹣2）﹣4＝_____．
【答案】．
【分析】实数的运算法则同样适用于平面向量的计算．
【解析】（﹣2）﹣4＝﹣×2﹣4＝﹣7．
故答案是：﹣7．
【点睛】本题考查了平面向量的有关概念，是基础题．
9．如果两个相似三角形的面积比是1:4，那么它们的周长比是________．
【答案】1：2
【分析】根据相似三角形的性质：相似三角形面积的比等于相似比的平方，周长的比等于相似比，即可完成．
【解析】∵相似三角形面积的比等于相似比的平方
∴两个相似三角形的相似比为1：2
∵两个相似三角形周长的比等于相似比
∴两个三角形周长的比等于1：2
故答案为：1：2
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是关键．
10．在△ABC中，AB＝AC，sinB＝，则∠A＝____．
【答案】90°
【分析】根据三角函数值求出∠B，根据等腰三角形的等边对等角可得∠B=∠C=45°，根据三角形内角和公式计算即可．
【解析】解：∵sinB＝，
∴∠B=45°，
∵AB＝AC，
∴∠B=∠C=45°，
∴∠A=180°-∠B-∠C=180°-45°-45°=90°，
故答案为90°．
【点睛】本题考查三角函数值求角，等腰三角形性质，三角形内角和，熟练掌握特殊三角函数值，等腰三角形性质，三角形内角和是解题关键．
11．已知线段AB长是2，P是线段AB上的一点，且满足AP2＝AB•BP，则AP长为____．
【答案】
【分析】根据黄金分割点的定义，知是较长线段，得出，代入数据即可得出的长．
【解析】解：是线段上的一点，且满足，
∴，
为线段的黄金分割点，且是较长线段，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了黄金分割的概念：如果一个点把一条线段分成两条线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点；熟练掌握黄金分割点的定义以及黄金比为是解决本题的关键．
12．已知一个锐角的正切值比余切值大，且两者之和是，则这个锐角的正切值为________．
【答案】3
【分析】设这个锐角为α，根据题意和三角函数的性质可知：，解方程即可．
【解析】解：设这个锐角为α，
∴
由①，得③
将③代入②，得
解得：或
当时，
∴=3＞
∵α的正切值比余切值大
∴此时不符合题意，舍去；
当时，
=＜
∴此时符合题意．
故答案为：．
【点睛】此题考查的是锐角三角函数值的运算，掌握三角函数的性质是解题关键．
13．已知在△ABC中，∠C=90°，BC=8，AB=10，点G为重心，那么的值为____．
【答案】##0.75
【分析】连接CG并延长交AB于点D，根据重心的定义可知CD是Rt△ABC的中线，求出CD、BD的长度，过点D作DE⊥BC于点E，根据等腰三角形三线合一的性质及三角形中位线的性质可求得CE、DE 的长度，从而由正切的定义即可求得结果．
【解析】连接CG并延长交AB于点D，则由重心的定义可知CD是Rt△ABC的中线
∴点D是AB的中点
∵∠ACB=90゜
∴BD=CD
在Rt△ABC中，AB=10，BC=8，由勾股定理得：
过点D作DE⊥BC于点E，则E点是BC的中点
∴，DE是Rt△ABC的中位线
∴
在Rt△DE C中，
故答案为：
【点睛】本题考查了三角形的重心，锐角三角函数的定义，三角形的中位线定理等知识，掌握三角形的重心是三边中线的交点，并作出辅助线构造出直角三角形是关键．
14．如图，某兴趣小组用无人机对大楼进行测高，无人机从距离大楼30米（PB＝30米）垂直起飞，飞到A处悬停，测得大楼底部俯角α＝45°，大楼顶部仰角β＝60°，则大楼的楼高BC＝____米．（结果保留根号）
【答案】##
【分析】过A点作AD⊥BC交BC于D点，根据题意得到四边形APBD是正方形，求出DB的长度，然后根据仰角β＝60°的三角函数值和AD=30求出DC的长度，即可求出大楼的楼高BC的长度．
【解析】解：如图所示，过A点作AD⊥BC交BC于D点，
∵，，，
∴四边形APBD是矩形，
又∵，
∴，
∴，
∴四边形APBD是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】此题考查了解直角三角形，三角函数的应用，解题的关键是根据题意作出辅助线AD，根据三角函数值求解．
15．如图，在▱ABCD的对角线BD上取一点E，延长AE交BC于G，交DC的延长线于F，若DF＝2CF，则△CFG与△BEG的面积比是____．
【答案】
【分析】易证，则，由，可得出与的比例关系，由与同底不等高，则面积之比等于底边之比，由此可得与的面积比，即可得出结论
【解析】解：四边形是平行四边形
，
，
故答案为3∶1
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，以及三角形面积的求法和全等三角形的判定等知识．
16．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，CE是AB边上的中线，AD与CE交于点F，点G是△ACD的重心，AB＝10，AD＝8，则点F与点G的距离是____．
【答案】2
【分析】设直线AG与BC的交点为H，先由勾股定理和三线合一定理求得，再由重心的性质即可得到，从而可证明△FAG∽△DAH，得到，由此求解即可．
【解析】解：设直线AG与BC的交点为H，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴CD=BD，∠ADB=90°，D是BC的中点
∴，
∴，
∵CE是AB边的中线，AD是BC边的中线，AD与CE交于F,
∴F是△ABC的重心，
∴，
∴，
∵G为△ACD的重心，
∴
∴同理可得，，
∴，
又∵∠FAG=∠DAH，
∴△FAG∽△DAH，
∴，
∴，
故答案为：2
【点睛】本题主要考查了勾股定理，三线合一定理，重心的性质，相似三角形的性质与判定，解题的关键在于能熟练掌握重心的性质．
17．在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意一点，我们把点称为点A的“倒数点”．如图，矩形的顶点C为，顶点E在y轴上，函数的图象与交于点A．若点B是点A的“倒数点”，且点B在矩形的一边上，则的面积为_________．
【答案】或
【分析】根据题意，点B不可能在坐标轴上，可对点B进行讨论分析：①当点B在边DE上时；②当点B在边CD上时；分别求出点B的坐标，然后求出的面积即可．
【解析】解：根据题意，
∵点称为点的“倒数点”，
∴，，
∴点B不可能在坐标轴上；
∵点A在函数的图像上，
设点A为，则点B为，
∵点C为，
∴，
①当点B在边DE上时；
点A与点B都在边DE上，
∴点A与点B的纵坐标相同，
即，解得：，
经检验，是原分式方程的解；
∴点B为，
∴的面积为：；
②当点B在边CD上时；
点B与点C的横坐标相同，
∴，解得：，
经检验，是原分式方程的解；
∴点B为，
∴的面积为：；
故答案为：或．
【点睛】本题考查了反比例函数的图像和性质，矩形的性质，解分式方程，坐标与图形等知识，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质，运用分类讨论的思想进行分析．
18．如图1是一种利用镜面反射，放大微小变化的装置．木条BC上的点P处安装一平面镜，BC与刻度尺边MN的交点为D，从A点发出的光束经平面镜P反射后，在MN上形成一个光点E．已知，．
（1）ED的长为____________．
（2）将木条BC绕点B按顺时针方向旋转一定角度得到（如图2），点P的对应点为，与MN的交点为D′，从A点发出的光束经平面镜反射后，在MN上的光点为．若，则的长为____________．
【答案】 13
【分析】（1）由题意，证明△ABP∽△EDP，根据相似三角形的性质，即可求出ED的长度；
（2）过A作AH⊥BN交NB延长线于H，过E′作E′F⊥BN于F，设E′D=x,E′D′=5+x,在Rt△BDN中，由勾股定理D′B，可证△ABH∽△BD′D∽△E′D′F,，从A点发出的光束经平面镜P′反射后，在MN上形成一个光点E′．△AHP′∽△E′FP′，，解得x=1.5．
【解析】解：（1）由题意，
∵，
∴，
∵从A点发出的光束经平面镜P反射后，在MN上形成一个光点E．
∴，
∴△ABP∽△EDP，
∴，
即，
∴；
故答案为：13．
（2）过A作AH⊥BN交NB延长线于H，过E′作E′F⊥BN于F，设E′D=x,E′D′=5+x,
在Rt△BDN中，
∵BD=12，DD′=5，
由勾股定理D′B=，
∵∠AHB=∠ABD=∠E′FN=∠BDD′=90°，
∴∠ABH+∠DBD′=∠DBD′+∠DD′B=+∠E′D′F,
∴∠ABH=∠BD′D=∠E′D′F,
∴△ABH∽△BD′D∽△E′D′F,
∴，，
∴,，
∴，
∵从A点发出的光束经平面镜P′反射后，在MN上形成一个光点E′．
∴，
∴△AHP′∽△E′FP′，HP′=HB+BP=2.5+4=6.5，P′D′=BD′-BP′=13-4=9，
P′F= P′D′-FD′=9-，
∴即，
解得x=1.5，
经检验x=1.5是方程的解，
EE′=DE-DE′=13-1.5=11.5=．
故答案为．
【点睛】本题考查相似三角形性质与判定，勾股定理，光束经平面镜P性质，掌握相似三角形性质与判定，勾股定理，光束经平面镜P性质，利用相似三角形的性质构造方程是解题关键．
三、解答题
19．计算：．
【答案】
【分析】根据特殊角的三角函数值求解即可．
【解析】解：，，，
【点睛】此题考查了特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值．
20．如图，在△ABC中，点D是边AB的垂直平分线与边BC的交点，点E在边AB上，∠CAD＝∠BDE．
（1）求证：△ABC∽△EAD；
（2）如果AD＝x，AE＝2x﹣9，CD＝3，BE＝2，求AD的长．
【答案】（1）见解析，（2）
【分析】（1）证明∠B=∠EAD，∠C=∠ADE，利用两个角对应相等的两个三角形相似证明即可；
（2）由（1）列出比例式，计算求解即可．
【解析】（1）证明：∵点D是边AB的垂直平分线与边BC的交点，
∴BD=AD，
∴∠B=∠EAD，
∵∠BDA=∠C+∠CAD=∠ADE+∠BDE，∠CAD＝∠BDE,
∴∠C=∠ADE，
∴△ABC∽△EAD；
（2）∵AD＝x，AE＝2x﹣9，CD＝3，BE＝2，BD=AD，
∴AB＝2x﹣7， CB＝x+3，
∵△ABC∽△EAD，
∴，即，
解得，，
AD的长为．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题关键是熟练运用相似三角形的判定定理进行推理证明，列出比例式进行准确计算．
21．已知：如图，中，，，，点、分别在边、上，且，．
（1）求的正切值；
（2）如果设，，试用、的线性组合表示；
（3）求作在、方向上的分向量．
【答案】（1）；（2）；（3）画图见解析；
【分析】（1）因为，，所以．则．再根据平行线分线段正比例出、，根据即可解决问题；
（2）根据，只要求出、即可解决问题；
（3）构造四边形是平行四边形，可得，继而求得答案．
【解析】解：（1），，
，
又已知，
．即，
∴，
∴，
，
∴设，，则，
∴，
∴，，
∵，
∴，
，
，，
，，
，，
在中，，
即；
（2），
，
，，
，，
，
；
（3）如图，过点作，且截取，连接，
即，
∴四边形为平行四边形，
∴向量在、方向上的分向量为：，．
【点睛】
本题考查平面向量、平行四边形法则、锐角三角函数、平行线分线段成比例等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
22．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x＋m（m＞0）与x轴、y轴分别交于点A、B．过点A的直线y＝kx＋4（k＜0）与y轴交于点C，∠OCA＝∠OAB．
（1）求直线AB的表达式；
（2）点D是x轴上一动点，当△ABD与△ABC相似时，求点D坐标．
【答案】（1）y＝﹣x+1（2）（，0）或（0.5，0）
【分析】（1）直线y＝﹣x+m（m＞0）与与x轴、y轴分别交于点A（2m，0），B（0，m），由∠OCA＝∠OAB，推出△AOB∽△COA；求出点A，B的坐标即可．
（2）分类讨论，当△BDA∽△ABC时，当△DBA∽△ABC时，列出比例式求解即可．
【解析】解：解：（1）∵直线y＝﹣x+m（m＞0）与x轴、y轴分别交于点A（2m，0），B（0，m），
∴OA＝2m，OB＝m，
∵∠OCA＝∠OAB，∠AOC＝∠BOA，
∴△AOB∽△COA，
∴＝＝，
∵直线y＝kx＋4（k＜0）与y轴交于点C，故C（0，4），
∴OC＝4，
∴OA＝2，OB＝1，
A（2，0），B（0，1），代入y＝﹣x+m得，m=1，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+1．
（2）∵OA＝2，OB＝1，OC＝4，
∴，BC＝3，
当△BDA∽△ABC时，
，即，
解得，DA＝1.5，
点D坐标为（0.5，0）；
当△DBA∽△ABC时，
，即，
解得，DA＝，
点D坐标为（，0）；
综上，点D坐标为（，0）或（0.5，0）；
【点睛】本题考查了一次函数和相似三角形，解题关键是熟练运用相似三角形的判定证明相似，利用比例式求解．
23．已知：如图，△ABC中，AD平分∠BAC．过点B作AD的垂线，垂足为E．过点C作AD的垂线交AD的延长线于F．联结CE交FB的延长线于点P，联结AP．
(1)求证：AB•AF＝AC•AE；
(2)求证：CF∥AP．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）由是的角平分线，过点、分别作的垂线，可得，，根据有两角对应相等的三角形相似，可得，即可证明；
（2）由（1）有，利用，，证明出，得，证明出，，通过等量代换得，根据平行线分线段成比例定理即可求证．
（1）
解：证明：平分，
，
又，，
，
，
，
；
（2）
解：证明：由（1）有，
，，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，角平分线、以及平行线分线段成比例定理，解题的关键是数形结合思想的应用，注意仔细识图．
24．在学习锐角的三角比时，小明同学对“具有倍半关系的两个锐角的三角比具有怎样的关系”这个问题产生了浓厚的兴趣，并进行了一些研究．
（1）初步尝试：
我们知道：tan60°＝ ，tan30° ．
发现结论：tanA 2tan∠A（填“＝”或“≠”）；
（2）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，求tan∠BAC的值；
研究思路：小明想构造包含∠BAC的直角三角形；延长CA至D，使得DA＝AB，连接BD，所以得到∠D＝∠BAC，即转化为求∠D的正切值，那么，tan∠BAC＝ ．
（3）在△ABC中，∠A为锐角，tanA＝，∠B＝2∠A，AB＝3．求S△ABC的值．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）根据特殊角的锐角三角函数值直接填空即可；
（2）根据正切的定义，在中求∠D的正切值即可；
（3）作的垂直平分线，交于点，连接，过点作的延长线于点，根据（2）的方法先求得的值，过点作于点，进而求得的值，根据三角形的面积公式计算即可．
【解析】（1）
故答案为：
（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，
DA＝AB，
故答案为：
（3）如图，作的垂直平分线，交于点，连接，过点作的延长线于点，
，
，
在中，， AB＝3，
，
设，则，
解得
设，则，
在中
解得
如图，过点作于点，
设，则
解得
【点睛】本题考查了特殊角的锐角三角函数值，解直角三角形，掌握三角函数的定义和解直角三角形是解题的关键．
25．已知∠MAN是锐角，sinA＝，边AN上有一点B，AB＝9，∠PBQ从边BP与AN叠合的位置开始绕点B顺时针旋转，始终保持∠PBQ＝∠A，边BP交AM于C，边BQ交AM于D．边BP上有一点E，BE＝6，过点E作EF∥AN交AM于G，交BQ于F，设BF＝x．
（1）如图，当点E在∠MAN外部时，求证：；
（2）当点E在∠MAN外部时，设y＝，求y关于x的函数解析式并写出定义域；
（3）当△ABD为直角三角形时，求BF的值
【答案】（1）见解析，（2）（），（3）或
【分析】（1）利用两个角对应相等的两个三角形相似证△ABC∽△BEF即可；
（2）利用两个角对应相等的两个三角形相似证△ABD∽△BCD，列出比例式即可得出关系式，根据点E在∠MAN外部确定定义域即可；
（3）分类讨论，当∠ABD=90°和∠ADB=90°时，利用sinA＝，求出AC的值即可得出BF．
【解析】（1）证明：∵EF∥AN，
∴∠FEB=∠CBA，
∵∠PBQ＝∠A，
∴△FEB∽△CBA，
∴，
（2）作BG⊥AD于G，
∵sinA＝，AB＝9，
∴，解得，，
，
∵∠PBQ＝∠A，∠BDC＝∠ADB，
∴△BDC∽△ADB，
∴，即，
∵，
∴，，
解得，；
∵，BF＝x．
∴，，
，
；
当点E在AD上时，点E和点C重合，BC＝6，
，
，
作FM⊥BC，设FM为3n，BF为5n，则BM为4n，EM为6-4n，
，
解得，，，
，
故定义域为：；
（3）当∠ABD=90°时，
∠DBC+∠CBA=90°，∠DBC＝∠A，
∴∠A+∠CBA=90°，
∴∠ACB=90°，
由（2）可知，，；
当∠ADB=90°时，
由（2）可知，，，
∵∠DBC＝∠A，sinA＝，
设CD为3m，CB为5m，
，
解得，（负值舍去），
，
；
综上，BF的值为或
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形，解题关键是通过作辅助线，关键直角三角形，利用三角函数或相似三角形进行推理证明．
1．下列各组的四条线段a，b，c，d是成比例线段的是（ ）
A．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10B．a＝1，b＝2，c＝3，d＝4
C．a＝，b＝3，c＝2，d＝D．a＝2，b＝，c＝2，d＝
2．在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，如果AD＝2，BD＝3，那么由下列条件能够判定DE∥BC的是( )
A．＝B．＝C．＝D．＝
3．在中，，则的正弦值为（ ）
A．B．C．2D．
4．下列命题中，正确的是（ ）
A．如果一条直线截三角形两边的延长线所得的对应线段成比例，那么这条直线一定平行于三角形的第三边
B．有一个内角相等的两个菱形相似
C．点O是等边三角形ABC的中心，则向量、、是相等向量
D．有一个锐角相等的两个等腰三角形相似
5．如图所示，网格中的每个小正方形的边长都是1，的顶点都在网格的交点处，则的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
6．已知四边形ABCD满足＝，且|+|＝|﹣|，那么四边形ABCD的形状是（ ）
A．矩形B．菱形C．正方形D．等腰梯形
二、填空题
7．已知，那么的值为__________．
8．计算：（﹣2）﹣4＝_____．
9．如果两个相似三角形的面积比是1:4，那么它们的周长比是________．
10．在△ABC中，AB＝AC，sinB＝，则∠A＝____．
11．已知线段AB长是2，P是线段AB上的一点，且满足AP2＝AB•BP，则AP长为____．
12．已知一个锐角的正切值比余切值大，且两者之和是，则这个锐角的正切值为________．
13．已知在△ABC中，∠C=90°，BC=8，AB=10，点G为重心，那么的值为____．
14．如图，某兴趣小组用无人机对大楼进行测高，无人机从距离大楼30米（PB＝30米）垂直起飞，飞到A处悬停，测得大楼底部俯角α＝45°，大楼顶部仰角β＝60°，则大楼的楼高BC＝____米．（结果保留根号）
15．如图，在▱ABCD的对角线BD上取一点E，延长AE交BC于G，交DC的延长线于F，若DF＝2CF，则△CFG与△BEG的面积比是____．
16．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，CE是AB边上的中线，AD与CE交于点F，点G是△ACD的重心，AB＝10，AD＝8，则点F与点G的距离是____．
17．在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意一点，我们把点称为点A的“倒数点”．如图，矩形的顶点C为，顶点E在y轴上，函数的图象与交于点A．若点B是点A的“倒数点”，且点B在矩形的一边上，则的面积为_________．
18．如图1是一种利用镜面反射，放大微小变化的装置．木条BC上的点P处安装一平面镜，BC与刻度尺边MN的交点为D，从A点发出的光束经平面镜P反射后，在MN上形成一个光点E．已知，．
（1）ED的长为____________．
（2）将木条BC绕点B按顺时针方向旋转一定角度得到（如图2），点P的对应点为，与MN的交点为D′，从A点发出的光束经平面镜反射后，在MN上的光点为．若，则的长为____________．
三、解答题
19．计算：．
20．如图，在△ABC中，点D是边AB的垂直平分线与边BC的交点，点E在边AB上，∠CAD＝∠BDE．
（1）求证：△ABC∽△EAD；
（2）如果AD＝x，AE＝2x﹣9，CD＝3，BE＝2，求AD的长．
21．已知：如图，中，，，，点、分别在边、上，且，．
（1）求的正切值；
（2）如果设，，试用、的线性组合表示；
（3）求作在、方向上的分向量．
22．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x＋m（m＞0）与x轴、y轴分别交于点A、B．过点A的直线y＝kx＋4（k＜0）与y轴交于点C，∠OCA＝∠OAB．
（1）求直线AB的表达式；
（2）点D是x轴上一动点，当△ABD与△ABC相似时，求点D坐标．
23．已知：如图，△ABC中，AD平分∠BAC．过点B作AD的垂线，垂足为E．过点C作AD的垂线交AD的延长线于F．联结CE交FB的延长线于点P，联结AP．
(1)求证：AB•AF＝AC•AE；
(2)求证：CF∥AP．
24．在学习锐角的三角比时，小明同学对“具有倍半关系的两个锐角的三角比具有怎样的关系”这个问题产生了浓厚的兴趣，并进行了一些研究．
（1）初步尝试：
我们知道：tan60°＝ ，tan30° ．
发现结论：tanA 2tan∠A（填“＝”或“≠”）；
（2）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，求tan∠BAC的值；
研究思路：小明想构造包含∠BAC的直角三角形；延长CA至D，使得DA＝AB，连接BD，所以得到∠D＝∠BAC，即转化为求∠D的正切值，那么，tan∠BAC＝ ．
（3）在△ABC中，∠A为锐角，tanA＝，∠B＝2∠A，AB＝3．求S△ABC的值．
25．已知∠MAN是锐角，sinA＝，边AN上有一点B，AB＝9，∠PBQ从边BP与AN叠合的位置开始绕点B顺时针旋转，始终保持∠PBQ＝∠A，边BP交AM于C，边BQ交AM于D．边BP上有一点E，BE＝6，过点E作EF∥AN交AM于G，交BQ于F，设BF＝x．
（1）如图，当点E在∠MAN外部时，求证：；
（2）当点E在∠MAN外部时，设y＝，求y关于x的函数解析式并写出定义域；
（3）当△ABD为直角三角形时，求BF的值
2022-2023学年九年级数学上册期中测试卷02
一、单选题
1．下列各组的四条线段a，b，c，d是成比例线段的是（ ）
A．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10B．a＝1，b＝2，c＝3，d＝4
C．a＝，b＝3，c＝2，d＝D．a＝2，b＝，c＝2，d＝
【答案】D
【分析】根据比例线段的定义即如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段，对选项一一分析，即可得出答案．
【解析】解：A、4×10≠6×5，故不符合题意，
B、1×4≠2×3，故不符合题意，
C、×3≠2×，故不符合题意，
D、2×=2×，故符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查了比例线段，根据成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．同时注意单位要统一．
2．在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，如果AD＝2，BD＝3，那么由下列条件能够判定DE∥BC的是( )
A．＝B．＝C．＝D．＝
【答案】D
【分析】根据平行线分线段成比例定理的逆定理,当或时,,然后可对各选项进行判断.
【解析】解：当或时,,
即或.
所以D选项是正确的.
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.也考查了平行线分线段成比例定理的逆定理.
3．在中，，则的正弦值为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】B
【分析】如图，然后根据三角函数可进行求解．
【解析】解：如图所示：
∵，
∴，
∴；
故选B．
【点睛】本题主要考查三角函数，熟练掌握求一个角的三角函数值是解题的关键．
4．下列命题中，正确的是（ ）
A．如果一条直线截三角形两边的延长线所得的对应线段成比例，那么这条直线一定平行于三角形的第三边
B．有一个内角相等的两个菱形相似
C．点O是等边三角形ABC的中心，则向量、、是相等向量
D．有一个锐角相等的两个等腰三角形相似
【答案】B
【分析】根据平行线分线段成比例的逆定理，相似多边形概念，相等向量的概念，相似三角形定义等逐项判断．
【解析】A、如果一条直线截三角形两边的延长线所得的对应线段成比例，那么这条直线不一定平行于三角形的第三边，选项错误，不符合题意；
B、因为菱形的四条边相等，所以有一角对应相等的两个菱形相似，选项正确，符合题意；
C、点O是等边三角形ABC的中心，则|，但它们不是相等向量，选项错误，不符合题意；
D、有一个锐角相等的两个等腰三角形不一定相似，选项错误，不符合题意吧；
故选B．
【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握相关的概念和定理．
5．如图所示，网格中的每个小正方形的边长都是1，的顶点都在网格的交点处，则的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据表格可知，连接AD，则，利用正弦的定义即可求解．
【解析】解：根据表格可知，
连接AD，则，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查勾股定理、求角的正弦值，从网格图中找出直角三角形是解题的关键．
6．已知四边形ABCD满足＝，且|+|＝|﹣|，那么四边形ABCD的形状是（ ）
A．矩形B．菱形C．正方形D．等腰梯形
【答案】A
【分析】根据题意知，该四边形是对角线相等的平行四边形，由此判定它是矩形．
【解析】解：如图，，
，．
四边形是平行四边形．
．
，
．
．
平行四边形是矩形．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平面向量，矩形的判定．解题的关键是根据相等向量和三角形法则推知：AB=DC且AB∥DC，CA=BD．
二、填空题
7．已知，那么的值为__________．
【答案】
【分析】根据，可设a＝3k，则b＝2k，代入所求的式子即可求解．
【解析】∵，
∴设a＝3k，则b＝2k，
则原式＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查了比例的性质，根据，正确设出未知数是本题的关键．
8．计算：（﹣2）﹣4＝_____．
【答案】．
【分析】实数的运算法则同样适用于平面向量的计算．
【解析】（﹣2）﹣4＝﹣×2﹣4＝﹣7．
故答案是：﹣7．
【点睛】本题考查了平面向量的有关概念，是基础题．
9．如果两个相似三角形的面积比是1:4，那么它们的周长比是________．
【答案】1：2
【分析】根据相似三角形的性质：相似三角形面积的比等于相似比的平方，周长的比等于相似比，即可完成．
【解析】∵相似三角形面积的比等于相似比的平方
∴两个相似三角形的相似比为1：2
∵两个相似三角形周长的比等于相似比
∴两个三角形周长的比等于1：2
故答案为：1：2
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是关键．
10．在△ABC中，AB＝AC，sinB＝，则∠A＝____．
【答案】90°
【分析】根据三角函数值求出∠B，根据等腰三角形的等边对等角可得∠B=∠C=45°，根据三角形内角和公式计算即可．
【解析】解：∵sinB＝，
∴∠B=45°，
∵AB＝AC，
∴∠B=∠C=45°，
∴∠A=180°-∠B-∠C=180°-45°-45°=90°，
故答案为90°．
【点睛】本题考查三角函数值求角，等腰三角形性质，三角形内角和，熟练掌握特殊三角函数值，等腰三角形性质，三角形内角和是解题关键．
11．已知线段AB长是2，P是线段AB上的一点，且满足AP2＝AB•BP，则AP长为____．
【答案】
【分析】根据黄金分割点的定义，知是较长线段，得出，代入数据即可得出的长．
【解析】解：是线段上的一点，且满足，
∴，
为线段的黄金分割点，且是较长线段，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了黄金分割的概念：如果一个点把一条线段分成两条线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点；熟练掌握黄金分割点的定义以及黄金比为是解决本题的关键．
12．已知一个锐角的正切值比余切值大，且两者之和是，则这个锐角的正切值为________．
【答案】3
【分析】设这个锐角为α，根据题意和三角函数的性质可知：，解方程即可．
【解析】解：设这个锐角为α，
∴
由①，得③
将③代入②，得
解得：或
当时，
∴=3＞
∵α的正切值比余切值大
∴此时不符合题意，舍去；
当时，
=＜
∴此时符合题意．
故答案为：．
【点睛】此题考查的是锐角三角函数值的运算，掌握三角函数的性质是解题关键．
13．已知在△ABC中，∠C=90°，BC=8，AB=10，点G为重心，那么的值为____．
【答案】##0.75
【分析】连接CG并延长交AB于点D，根据重心的定义可知CD是Rt△ABC的中线，求出CD、BD的长度，过点D作DE⊥BC于点E，根据等腰三角形三线合一的性质及三角形中位线的性质可求得CE、DE 的长度，从而由正切的定义即可求得结果．
【解析】连接CG并延长交AB于点D，则由重心的定义可知CD是Rt△ABC的中线
∴点D是AB的中点
∵∠ACB=90゜
∴BD=CD
在Rt△ABC中，AB=10，BC=8，由勾股定理得：
过点D作DE⊥BC于点E，则E点是BC的中点
∴，DE是Rt△ABC的中位线
∴
在Rt△DE C中，
故答案为：
【点睛】本题考查了三角形的重心，锐角三角函数的定义，三角形的中位线定理等知识，掌握三角形的重心是三边中线的交点，并作出辅助线构造出直角三角形是关键．
14．如图，某兴趣小组用无人机对大楼进行测高，无人机从距离大楼30米（PB＝30米）垂直起飞，飞到A处悬停，测得大楼底部俯角α＝45°，大楼顶部仰角β＝60°，则大楼的楼高BC＝____米．（结果保留根号）
【答案】##
【分析】过A点作AD⊥BC交BC于D点，根据题意得到四边形APBD是正方形，求出DB的长度，然后根据仰角β＝60°的三角函数值和AD=30求出DC的长度，即可求出大楼的楼高BC的长度．
【解析】解：如图所示，过A点作AD⊥BC交BC于D点，
∵，，，
∴四边形APBD是矩形，
又∵，
∴，
∴，
∴四边形APBD是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】此题考查了解直角三角形，三角函数的应用，解题的关键是根据题意作出辅助线AD，根据三角函数值求解．
15．如图，在▱ABCD的对角线BD上取一点E，延长AE交BC于G，交DC的延长线于F，若DF＝2CF，则△CFG与△BEG的面积比是____．
【答案】
【分析】易证，则，由，可得出与的比例关系，由与同底不等高，则面积之比等于底边之比，由此可得与的面积比，即可得出结论
【解析】解：四边形是平行四边形
，
，
故答案为3∶1
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，以及三角形面积的求法和全等三角形的判定等知识．
16．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，CE是AB边上的中线，AD与CE交于点F，点G是△ACD的重心，AB＝10，AD＝8，则点F与点G的距离是____．
【答案】2
【分析】设直线AG与BC的交点为H，先由勾股定理和三线合一定理求得，再由重心的性质即可得到，从而可证明△FAG∽△DAH，得到，由此求解即可．
【解析】解：设直线AG与BC的交点为H，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴CD=BD，∠ADB=90°，D是BC的中点
∴，
∴，
∵CE是AB边的中线，AD是BC边的中线，AD与CE交于F,
∴F是△ABC的重心，
∴，
∴，
∵G为△ACD的重心，
∴
∴同理可得，，
∴，
又∵∠FAG=∠DAH，
∴△FAG∽△DAH，
∴，
∴，
故答案为：2
【点睛】本题主要考查了勾股定理，三线合一定理，重心的性质，相似三角形的性质与判定，解题的关键在于能熟练掌握重心的性质．
17．在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意一点，我们把点称为点A的“倒数点”．如图，矩形的顶点C为，顶点E在y轴上，函数的图象与交于点A．若点B是点A的“倒数点”，且点B在矩形的一边上，则的面积为_________．
【答案】或
【分析】根据题意，点B不可能在坐标轴上，可对点B进行讨论分析：①当点B在边DE上时；②当点B在边CD上时；分别求出点B的坐标，然后求出的面积即可．
【解析】解：根据题意，
∵点称为点的“倒数点”，
∴，，
∴点B不可能在坐标轴上；
∵点A在函数的图像上，
设点A为，则点B为，
∵点C为，
∴，
①当点B在边DE上时；
点A与点B都在边DE上，
∴点A与点B的纵坐标相同，
即，解得：，
经检验，是原分式方程的解；
∴点B为，
∴的面积为：；
②当点B在边CD上时；
点B与点C的横坐标相同，
∴，解得：，
经检验，是原分式方程的解；
∴点B为，
∴的面积为：；
故答案为：或．
【点睛】本题考查了反比例函数的图像和性质，矩形的性质，解分式方程，坐标与图形等知识，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质，运用分类讨论的思想进行分析．
18．如图1是一种利用镜面反射，放大微小变化的装置．木条BC上的点P处安装一平面镜，BC与刻度尺边MN的交点为D，从A点发出的光束经平面镜P反射后，在MN上形成一个光点E．已知，．
（1）ED的长为____________．
（2）将木条BC绕点B按顺时针方向旋转一定角度得到（如图2），点P的对应点为，与MN的交点为D′，从A点发出的光束经平面镜反射后，在MN上的光点为．若，则的长为____________．
【答案】 13
【分析】（1）由题意，证明△ABP∽△EDP，根据相似三角形的性质，即可求出ED的长度；
（2）过A作AH⊥BN交NB延长线于H，过E′作E′F⊥BN于F，设E′D=x,E′D′=5+x,在Rt△BDN中，由勾股定理D′B，可证△ABH∽△BD′D∽△E′D′F,，从A点发出的光束经平面镜P′反射后，在MN上形成一个光点E′．△AHP′∽△E′FP′，，解得x=1.5．
【解析】解：（1）由题意，
∵，
∴，
∵从A点发出的光束经平面镜P反射后，在MN上形成一个光点E．
∴，
∴△ABP∽△EDP，
∴，
即，
∴；
故答案为：13．
（2）过A作AH⊥BN交NB延长线于H，过E′作E′F⊥BN于F，设E′D=x,E′D′=5+x,
在Rt△BDN中，
∵BD=12，DD′=5，
由勾股定理D′B=，
∵∠AHB=∠ABD=∠E′FN=∠BDD′=90°，
∴∠ABH+∠DBD′=∠DBD′+∠DD′B=+∠E′D′F,
∴∠ABH=∠BD′D=∠E′D′F,
∴△ABH∽△BD′D∽△E′D′F,
∴，，
∴,，
∴，
∵从A点发出的光束经平面镜P′反射后，在MN上形成一个光点E′．
∴，
∴△AHP′∽△E′FP′，HP′=HB+BP=2.5+4=6.5，P′D′=BD′-BP′=13-4=9，
P′F= P′D′-FD′=9-，
∴即，
解得x=1.5，
经检验x=1.5是方程的解，
EE′=DE-DE′=13-1.5=11.5=．
故答案为．
【点睛】本题考查相似三角形性质与判定，勾股定理，光束经平面镜P性质，掌握相似三角形性质与判定，勾股定理，光束经平面镜P性质，利用相似三角形的性质构造方程是解题关键．
三、解答题
19．计算：．
【答案】
【分析】根据特殊角的三角函数值求解即可．
【解析】解：，，，
【点睛】此题考查了特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值．
20．如图，在△ABC中，点D是边AB的垂直平分线与边BC的交点，点E在边AB上，∠CAD＝∠BDE．
（1）求证：△ABC∽△EAD；
（2）如果AD＝x，AE＝2x﹣9，CD＝3，BE＝2，求AD的长．
【答案】（1）见解析，（2）
【分析】（1）证明∠B=∠EAD，∠C=∠ADE，利用两个角对应相等的两个三角形相似证明即可；
（2）由（1）列出比例式，计算求解即可．
【解析】（1）证明：∵点D是边AB的垂直平分线与边BC的交点，
∴BD=AD，
∴∠B=∠EAD，
∵∠BDA=∠C+∠CAD=∠ADE+∠BDE，∠CAD＝∠BDE,
∴∠C=∠ADE，
∴△ABC∽△EAD；
（2）∵AD＝x，AE＝2x﹣9，CD＝3，BE＝2，BD=AD，
∴AB＝2x﹣7， CB＝x+3，
∵△ABC∽△EAD，
∴，即，
解得，，
AD的长为．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题关键是熟练运用相似三角形的判定定理进行推理证明，列出比例式进行准确计算．
21．已知：如图，中，，，，点、分别在边、上，且，．
（1）求的正切值；
（2）如果设，，试用、的线性组合表示；
（3）求作在、方向上的分向量．
【答案】（1）；（2）；（3）画图见解析；
【分析】（1）因为，，所以．则．再根据平行线分线段正比例出、，根据即可解决问题；
（2）根据，只要求出、即可解决问题；
（3）构造四边形是平行四边形，可得，继而求得答案．
【解析】解：（1），，
，
又已知，
．即，
∴，
∴，
，
∴设，，则，
∴，
∴，，
∵，
∴，
，
，，
，，
，，
在中，，
即；
（2），
，
，，
，，
，
；
（3）如图，过点作，且截取，连接，
即，
∴四边形为平行四边形，
∴向量在、方向上的分向量为：，．
【点睛】
本题考查平面向量、平行四边形法则、锐角三角函数、平行线分线段成比例等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
22．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x＋m（m＞0）与x轴、y轴分别交于点A、B．过点A的直线y＝kx＋4（k＜0）与y轴交于点C，∠OCA＝∠OAB．
（1）求直线AB的表达式；
（2）点D是x轴上一动点，当△ABD与△ABC相似时，求点D坐标．
【答案】（1）y＝﹣x+1（2）（，0）或（0.5，0）
【分析】（1）直线y＝﹣x+m（m＞0）与与x轴、y轴分别交于点A（2m，0），B（0，m），由∠OCA＝∠OAB，推出△AOB∽△COA；求出点A，B的坐标即可．
（2）分类讨论，当△BDA∽△ABC时，当△DBA∽△ABC时，列出比例式求解即可．
【解析】解：解：（1）∵直线y＝﹣x+m（m＞0）与x轴、y轴分别交于点A（2m，0），B（0，m），
∴OA＝2m，OB＝m，
∵∠OCA＝∠OAB，∠AOC＝∠BOA，
∴△AOB∽△COA，
∴＝＝，
∵直线y＝kx＋4（k＜0）与y轴交于点C，故C（0，4），
∴OC＝4，
∴OA＝2，OB＝1，
A（2，0），B（0，1），代入y＝﹣x+m得，m=1，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+1．
（2）∵OA＝2，OB＝1，OC＝4，
∴，BC＝3，
当△BDA∽△ABC时，
，即，
解得，DA＝1.5，
点D坐标为（0.5，0）；
当△DBA∽△ABC时，
，即，
解得，DA＝，
点D坐标为（，0）；
综上，点D坐标为（，0）或（0.5，0）；
【点睛】本题考查了一次函数和相似三角形，解题关键是熟练运用相似三角形的判定证明相似，利用比例式求解．
23．已知：如图，△ABC中，AD平分∠BAC．过点B作AD的垂线，垂足为E．过点C作AD的垂线交AD的延长线于F．联结CE交FB的延长线于点P，联结AP．
(1)求证：AB•AF＝AC•AE；
(2)求证：CF∥AP．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）由是的角平分线，过点、分别作的垂线，可得，，根据有两角对应相等的三角形相似，可得，即可证明；
（2）由（1）有，利用，，证明出，得，证明出，，通过等量代换得，根据平行线分线段成比例定理即可求证．
（1）
解：证明：平分，
，
又，，
，
，
，
；
（2）
解：证明：由（1）有，
，，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，角平分线、以及平行线分线段成比例定理，解题的关键是数形结合思想的应用，注意仔细识图．
24．在学习锐角的三角比时，小明同学对“具有倍半关系的两个锐角的三角比具有怎样的关系”这个问题产生了浓厚的兴趣，并进行了一些研究．
（1）初步尝试：
我们知道：tan60°＝ ，tan30° ．
发现结论：tanA 2tan∠A（填“＝”或“≠”）；
（2）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，求tan∠BAC的值；
研究思路：小明想构造包含∠BAC的直角三角形；延长CA至D，使得DA＝AB，连接BD，所以得到∠D＝∠BAC，即转化为求∠D的正切值，那么，tan∠BAC＝ ．
（3）在△ABC中，∠A为锐角，tanA＝，∠B＝2∠A，AB＝3．求S△ABC的值．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）根据特殊角的锐角三角函数值直接填空即可；
（2）根据正切的定义，在中求∠D的正切值即可；
（3）作的垂直平分线，交于点，连接，过点作的延长线于点，根据（2）的方法先求得的值，过点作于点，进而求得的值，根据三角形的面积公式计算即可．
【解析】（1）
故答案为：
（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，
DA＝AB，
故答案为：
（3）如图，作的垂直平分线，交于点，连接，过点作的延长线于点，
，
，
在中，， AB＝3，
，
设，则，
解得
设，则，
在中
解得
如图，过点作于点，
设，则
解得
【点睛】本题考查了特殊角的锐角三角函数值，解直角三角形，掌握三角函数的定义和解直角三角形是解题的关键．
25．已知∠MAN是锐角，sinA＝，边AN上有一点B，AB＝9，∠PBQ从边BP与AN叠合的位置开始绕点B顺时针旋转，始终保持∠PBQ＝∠A，边BP交AM于C，边BQ交AM于D．边BP上有一点E，BE＝6，过点E作EF∥AN交AM于G，交BQ于F，设BF＝x．
（1）如图，当点E在∠MAN外部时，求证：；
（2）当点E在∠MAN外部时，设y＝，求y关于x的函数解析式并写出定义域；
（3）当△ABD为直角三角形时，求BF的值
【答案】（1）见解析，（2）（），（3）或
【分析】（1）利用两个角对应相等的两个三角形相似证△ABC∽△BEF即可；
（2）利用两个角对应相等的两个三角形相似证△ABD∽△BCD，列出比例式即可得出关系式，根据点E在∠MAN外部确定定义域即可；
（3）分类讨论，当∠ABD=90°和∠ADB=90°时，利用sinA＝，求出AC的值即可得出BF．
【解析】（1）证明：∵EF∥AN，
∴∠FEB=∠CBA，
∵∠PBQ＝∠A，
∴△FEB∽△CBA，
∴，
（2）作BG⊥AD于G，
∵sinA＝，AB＝9，
∴，解得，，
，
∵∠PBQ＝∠A，∠BDC＝∠ADB，
∴△BDC∽△ADB，
∴，即，
∵，
∴，，
解得，；
∵，BF＝x．
∴，，
，
；
当点E在AD上时，点E和点C重合，BC＝6，
，
，
作FM⊥BC，设FM为3n，BF为5n，则BM为4n，EM为6-4n，
，
解得，，，
，
故定义域为：；
（3）当∠ABD=90°时，
∠DBC+∠CBA=90°，∠DBC＝∠A，
∴∠A+∠CBA=90°，
∴∠ACB=90°，
由（2）可知，，；
当∠ADB=90°时，
由（2）可知，，，
∵∠DBC＝∠A，sinA＝，
设CD为3m，CB为5m，
，
解得，（负值舍去），
，
；
综上，BF的值为或
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形，解题关键是通过作辅助线，关键直角三角形，利用三角函数或相似三角形进行推理证明．
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