中考数学必考特色题型讲练(河南专用)【填空题】必考重点09相似三角形的判定与性质(原卷版+解析)

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相似三角形的判定与性质一直是江苏省各地市考查的重点，难度中等或较难，常作为压轴题考查。在解相似三角形的判定与性质的有关题目时，首先要求考生掌握证明三角形相似的条件和方法，相似三角形的对应边成比例、对应角相等，对应角平分线、中线、高的比等于相似比，相似三角形的周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方。其次要能够运用相似三角形的性质，列出方程，求出相应线段的长度或者探索各线段之间的数量关系。
【2022·江苏苏州·中考母题】如图，在平行四边形ABCD中，，，，分别以A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，过M，N两点作直线，与BC交于点E，与AD交于点F，连接AE，CF，则四边形AECF的周长为______．
【考点分析】本题考查了垂直平分线的性质，菱形的性质与判定，勾股定理，平行线分线段成比例，平行四边形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键．
【思路分析】根据作图可得，且平分，设与的交点为，证明四边形为菱形，根据平行线分线段成比例可得为的中线，然后勾股定理求得，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半可得的长，进而根据菱形的性质即可求解．
【2022·江苏常州·中考母题】如图，在中，，，．在中，，，．用一条始终绷直的弹性染色线连接，从起始位置（点与点重合）平移至终止位置（点与点重合），且斜边始终在线段上，则的外部被染色的区域面积是______．
【考点分析】本题考查了直角三角形，相似三角形的判定及性质、勾股定理、平行四边形的判定及性质，解题的关键是把问题转化为求梯形的面积．
【思路分析】过点作的垂线交于，同时在图上标出如图，需要知道的是的被染色的区域面积是，所以需要利用勾股定理，相似三角形、平行四边形的判定及性质，求出相应边长，即可求解．
【2022·江苏宿迁·中考母题】如图，在矩形中，=6，=8，点、分别是边、的中点，某一时刻，动点从点出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度向点匀速运动；同时，动点从点出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度向点匀速运动，其中一点运动到矩形顶点时，两点同时停止运动，连接，过点作的垂线，垂足为．在这一运动过程中，点所经过的路径长是_____．
【考点分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，圆周角定理，以及弧长等知识，判断出点H运动的路径长为长是解答本题的关键．
【思路分析】根据题意知EF在运动中始终与MN交于点Q，且 点H在以BQ为直径的上运动，运动路径长为的长，求出BQ及的圆角，运用弧长公式进行计算即可得到结果．
【2021·江苏镇江·中考母题】如图，点D，E分别在△ABC的边AC，AB上，△ADE∽△ABC，M，N分别是DE，BC的中点，若＝，则＝__．
【考点分析】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方、相似三角形对应中线的比等于相似比是解题的关键．
【思路分析】根据相似三角形对应中线的比等于相似比求出，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可．
1．（2022·江苏淮安·一模）如图，在正方形ABCD中，，点H在AD上，且，点E绕着点B旋转，且，在AE的上方作正方形AEFG，则线段FH的最小值是______．
2．（2022·江苏苏州·二模）如图，在中，，，，则________．
3．（2022·江苏泰州·二模）定义：如果三角形中有两个角的差为90°，则称这个三角形为互融三角形，在 Rt△ABC 中，∠BAC= 90°，AB = 4 ，BC = 5 ，点D 是 BC 延长线上一点．若 △ABD 是“互融三角形”，则 CD 的长为________．
4．（2022·江苏泰州·二模）如图1，在中，，，D为AB的中点，P为线段AC上一动点，设，，图2是y关于x的函数图像，且最低点E的横坐标是，则AB＝______．
5．（2022·江苏淮安·一模）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，四边形ABCD和四边形CGFE的顶点均在格点上，则两个四边形重叠部分（阴影部分）的面积为__________．
6．（2022·江苏泰州·一模）如图，直线l与圆O相交于A、B两点，AC是圆O的弦，OC∥AB，半径OC的长为10，弦AB的长为12，动点P从点A出发以每秒1个单位的速度沿射线AB方向运动．当△APC是直角三角形时，动点P运动的时间t为 _____秒．
7．（2022·江苏南京·一模）如图，在中，，点是上一点，过点作交于点，交于点．若，，则四边形的面积为______．
8．（2022·江苏苏州·一模）如图，矩形ABCD中，点E在边CD上，AC与BE交于点F，过点F作于点G，若，则的值为______．
9．（2022·江苏南京·模拟预测）图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AF平分∠BAC，交BD于点E，交BC于点F，若BE＝BF＝2，则AD＝_____．
10．（2022·江苏扬州·一模）如图，在正方形中，，连接、交于点H，连接并延长交于点G，若，则__________．
11．（2022·江苏无锡·一模）如图，在ΔABC中放置5个大小相等的正方形，若BC=12，则每个小正方形的边长为____．
12．（2022·江苏苏州·二模）如图，在矩形中，，．①以点为圆心，以不大于长为半径作弧，分别交边，于点，，再分别以点，为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线分别交，于点，；②分别以点，为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点，，作直线交于点，则长为______．
13．（2022·江苏泰州·二模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点E是△ABC内部一点（不包括三条边），点F、G分别在AC、AB边上，且EF⊥AC，EG⊥AB，垂足分别为F、G．点D是AB边的中点，连接ED，若EF＜EG，则ED长的取值范围是_________．
14．（2022·江苏常州·二模）如图，正六边形中，G是边上的点，，连接，将绕点C顺时针旋转得交于点H，则线段的长为__________．
15．（2022·江苏扬州·二模）如图，在锐角三角形ABC中，，，于点N，于点M，连接MN，则△AMN面积的最大值是______．
16．（2022·江苏南通·二模）如图，正方形ABCD的边长为5，E为AD的中点，P为CE上一动点，则的最小值为______．
17．（2022·江苏扬州·二模）定义：等腰三角形底边与腰的比叫做顶角的正对（）．例如，在中，，顶角A的正对．当时，______________．（结果保留根号）
18．（2022·江苏盐城·一模）如图，DE是△ABC的中位线，F为DE中点，连接AF并延长交BC于点G，若，则___________．
19．（2022·江苏无锡·一模）如图，点为线段上一点，，，过点作任意一直线，点关于直线的对称点为，将点绕点顺时针旋转到点，连接、、、，则线段长度的最大值为________．
20．（2022·江苏盐城·一模）如图，在中，为斜边的中线，过点D作于点E，延长至点F，使，连接，点G在线段上，连接，且．下列结论：①；②四边形是平行四边形；③；④．其中正确结论的是______．（填序号）
21．（2022·江苏连云港·一模）如图，以为直径的半圆内有一条弦，是弦上一个动点，连接，并延长交半圆于点．若，，则的最大值是________．
22．（2022·江苏·扬州市邗江区梅苑双语学校一模）如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是边AB，AD的中点，BF，CE交于点M，若三角形BEM的面积为1，则四边形AEMF的面积为________．
23．（2022·江苏南京·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，E是BC的中点，AE与BD交于点F，连接CF．若AE⊥BD，则CF的长为 _____．
24．（2022·江苏苏州·模拟预测）如图，矩形中，，，在边上运动，、在对角线上运动，且，连接、，则的最小值为______．
25．（2022·江苏·连云港市新海初级中学一模）如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=6，点E在边BC上，且BE∶EC=2∶1，动点P从点C出发，沿CD运动到点D停止，过点E作EF⊥PE交矩形ABCD的边于F，若线段EF的中点为M，则点P从C运动到D的过程中，点M运动的路线长为_______．
【填空题】必考重点09 相似三角形的判定与性质
相似三角形的判定与性质一直是江苏省各地市考查的重点，难度中等或较难，常作为压轴题考查。在解相似三角形的判定与性质的有关题目时，首先要求考生掌握证明三角形相似的条件和方法，相似三角形的对应边成比例、对应角相等，对应角平分线、中线、高的比等于相似比，相似三角形的周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方。其次要能够运用相似三角形的性质，列出方程，求出相应线段的长度或者探索各线段之间的数量关系。
【2022·江苏苏州·中考母题】如图，在平行四边形ABCD中，，，，分别以A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，过M，N两点作直线，与BC交于点E，与AD交于点F，连接AE，CF，则四边形AECF的周长为______．
【考点分析】本题考查了垂直平分线的性质，菱形的性质与判定，勾股定理，平行线分线段成比例，平行四边形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键．
【思路分析】根据作图可得，且平分，设与的交点为，证明四边形为菱形，根据平行线分线段成比例可得为的中线，然后勾股定理求得，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半可得的长，进而根据菱形的性质即可求解．
【答案】10
【详解】解：如图，设与的交点为，
根据作图可得，且平分，
，
四边形是平行四边形，
，
，
又， ，
，
，
，
四边形是平行四边形，
垂直平分，
，
四边形是菱形，
，，
，
，
为的中点，
中， ，，
，
，
四边形AECF的周长为．
故答案为：．
【2022·江苏常州·中考母题】如图，在中，，，．在中，，，．用一条始终绷直的弹性染色线连接，从起始位置（点与点重合）平移至终止位置（点与点重合），且斜边始终在线段上，则的外部被染色的区域面积是______．
【考点分析】本题考查了直角三角形，相似三角形的判定及性质、勾股定理、平行四边形的判定及性质，解题的关键是把问题转化为求梯形的面积．
【思路分析】过点作的垂线交于，同时在图上标出如图，需要知道的是的被染色的区域面积是，所以需要利用勾股定理，相似三角形、平行四边形的判定及性质，求出相应边长，即可求解．
【答案】21
【详解】解：过点作的垂线交于，同时在图上标出如下图：
，，，
，
在中，，，．
，
，
，
四边形为平行四边形，
，
，
解得：，
，
，
，
，
，
，
同理可证：，
，
，
，
的外部被染色的区域面积为，
故答案为：21．
【2022·江苏宿迁·中考母题】如图，在矩形中，=6，=8，点、分别是边、的中点，某一时刻，动点从点出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度向点匀速运动；同时，动点从点出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度向点匀速运动，其中一点运动到矩形顶点时，两点同时停止运动，连接，过点作的垂线，垂足为．在这一运动过程中，点所经过的路径长是_____．
【考点分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，圆周角定理，以及弧长等知识，判断出点H运动的路径长为长是解答本题的关键．
【思路分析】根据题意知EF在运动中始终与MN交于点Q，且 点H在以BQ为直径的上运动，运动路径长为的长，求出BQ及的圆角，运用弧长公式进行计算即可得到结果．
【答案】
【详解】解：∵点、分别是边、的中点，
连接MN，则四边形ABNM是矩形，
∴MN=AB=6，AM=BN=AD==4，
根据题意知EF在运动中始终与MN交于点Q，如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，
∴
∴
∴
当点E与点A重合时，则NF=，
∴BF=BN+NF=4+2=6，
∴AB=BF=6
∴是等腰直角三角形，
∴
∵BP⊥AF，
∴
由题意得，点H在以BQ为直径的上运动，运动路径长为长，取BQ中点O，连接PO，NO，
∴∠PON=90°，
又
∴，
∴，
∴的长为=
故答案为：
【2021·江苏镇江·中考母题】如图，点D，E分别在△ABC的边AC，AB上，△ADE∽△ABC，M，N分别是DE，BC的中点，若＝，则＝__．
【考点分析】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方、相似三角形对应中线的比等于相似比是解题的关键．
【思路分析】根据相似三角形对应中线的比等于相似比求出，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可．
【答案】
【详解】解：∵M，N分别是DE，BC的中点，
∴AM、AN分别为△ADE、△ABC的中线，
∵△ADE∽△ABC，
∴＝＝，
∴＝()2＝，
故答案为： ．
1．（2022·江苏淮安·一模）如图，在正方形ABCD中，，点H在AD上，且，点E绕着点B旋转，且，在AE的上方作正方形AEFG，则线段FH的最小值是______．
【答案】
【思路分析】连接CA、AF、CH，根据正方形的性质可证得△BAE∽△CAF，从而得到，进而得到点F在以A为圆心，为半径的圆上运动，则有当A、C、F三点共线时，FH最小，求出CH，即可求解．
【详解】解：连接CA、AF、CH，
在正方形ABCD和AEFG中，
∠BCA=∠ECF=45°，△ABC和△AEF均为等腰直角三角形，AD=AB=CD=8，
∴，∠BAE=∠CAF，
∴△BAE∽△CAF，
∴，
∵，
∴，
∴点F在以A为圆心，为半径的圆上运动，
当A、C、F三点共线时，FH最小，
∴，
∵AH=2，
∴DH=6，
在Rt△CDH中，CD=8，DH=6，
∴CH=10，
∴FH=．
故答案为：
2．（2022·江苏苏州·二模）如图，在中，，，，则________．
【答案】
【思路分析】由题意易得△CAB是等腰三角形，且△CAB∽△ABD，由相似三角形的性质可得关于AD的方程，解方程即可．
【详解】∵AB=AD，，
∴．
∵AD=CD，
∴，
∴∠CAB=∠BAD+∠CAD=72°=∠ABD．
∴BC=AC=2CA．
∵∠ABD=∠ADB=∠CAB=∠ABD=72°，
∴△CAB∽△ABD．
∴即．
∵AB=AD，，
∴．
解得：或（舍去）．
∴．
故答案为：．
3．（2022·江苏泰州·二模）定义：如果三角形中有两个角的差为90°，则称这个三角形为互融三角形，在 Rt△ABC 中，∠BAC= 90°，AB = 4 ，BC = 5 ，点D 是 BC 延长线上一点．若 △ABD 是“互融三角形”，则 CD 的长为________．
【答案】3或
【思路分析】根据互融三角形的概念，分两种情况进行讨论：①；②，其中第一种情况证明，从而运用相似三角形的性质求得CD长，第二种情况证明是等腰三角形，从而求得CD的长．
【详解】解：由题意可作图如下：
∵△ABD 是“互融三角形”，
∴分以下两种情况进行讨论：
当时，
即，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴,
∵∠BAC= 90°，AB = 4 ，BC = 5 ，
∴，
∴，
设，，
∵，
∴，即，
化简得，，
解得，．
时，
∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：3或．
4．（2022·江苏泰州·二模）如图1，在中，，，D为AB的中点，P为线段AC上一动点，设，，图2是y关于x的函数图像，且最低点E的横坐标是，则AB＝______．
【答案】3
【思路分析】过点B作关于AC的对称点E，连接AE、CE、PE，连接BE交AC于点O，先证明四边形ABCE是正方形，设，，已知最低点E的横坐标是，即当最小时，，故当D、P、E三点共线时，最小，即最小，通过证明，根据相似三角形的性质进行求解即可．
【详解】
过点B作关于AC的对称点E，连接AE、CE、PE，连接BE交AC于点O，
，
，
，
，
，
四边形ABCE是正方形，
设AB=2t，
设，，
，
已知最低点E的横坐标是，
即当最小时，，
故当D、P、E三点共线时，最小，即最小，
D为AB的中点，
，
，
，
，
，
，即，
解得，
，
在中，，
即，
解得或（舍去），
，
故答案为：3．
5．（2022·江苏淮安·一模）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，四边形ABCD和四边形CGFE的顶点均在格点上，则两个四边形重叠部分（阴影部分）的面积为__________．
【答案】
【思路分析】根据题意，由网格的特点可知，，可得，，根据相似三角形的性质与判定分别求得，即可求解．
【详解】解：标注字母如图，
根据网格的特点可知，
，
， ，
，，则，
两个四边形重叠部分（阴影部分）的面积为
6．（2022·江苏泰州·一模）如图，直线l与圆O相交于A、B两点，AC是圆O的弦，OC∥AB，半径OC的长为10，弦AB的长为12，动点P从点A出发以每秒1个单位的速度沿射线AB方向运动．当△APC是直角三角形时，动点P运动的时间t为 _____秒．
【答案】16或20
【思路分析】利用分类讨论的方法分两种情况解答：①当∠时，连接过点作于点利用垂径定理和矩形的判定定理解答即可；②当∠时，连接过点作于点过点作于点，同①方法，再利用相似三角形的判定与性质解答即可．
【详解】解：①当∠时，连接过点作于点如图，
∵，
∴
∴，
∵
∴四边形为矩形，
∴
∴
∵点以每秒1个单位的速度前进，
∴；
②当∠时，连接过点作于点过点作于点，如图，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴四边形为矩形，
∴，，
∴
∵∠，，
∴△
∴，
∴，
∴，
∴
∵点以每秒1个单位的速度前进，
∴，
综上，当△是直角三角形时，动点P运动的时间t为16秒或20秒，
故答案为：16或20．
7．（2022·江苏南京·一模）如图，在中，，点是上一点，过点作交于点，交于点．若，，则四边形的面积为______．
【答案】10
【思路分析】利用△AED和△DFC相似和30°所对的直角边等于斜边的一半即可以解决．
【详解】过点E做EG⊥BC于点G，
∵DE∥BC，DF∥AB，
∴∠AED=∠B=∠DFC=30°，∠FDC=∠A，
∴△AED∽△DFC，
∴，
∴，
∴，
在△BEG中，
∴S=．
8．（2022·江苏苏州·一模）如图，矩形ABCD中，点E在边CD上，AC与BE交于点F，过点F作于点G，若，则的值为______．
【答案】
【思路分析】先根据AB∥CD，利用两角相等求证△FAB∽△FCE，利用相似比得出的比值，再通过求证△FGC∽△ABC即可推出的值．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠FAB=∠FCE，∠FBA=∠FEC，
∴△FAB∽△FCE，
又∵＝
∴＝=，
又∵FG⊥BC，AB⊥BC，
∴FG∥AB，
∴△FGC∽△ABC，
∴，
∵＝，
∴=，
即=，
故答案为：．
9．（2022·江苏南京·模拟预测）图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AF平分∠BAC，交BD于点E，交BC于点F，若BE＝BF＝2，则AD＝_____．
【答案】
【思路分析】根据平行四边形的性质及等腰三角形的性质可得AD＝DE，设∠BEF＝∠AED＝∠DAF＝x，又AF平分∠BAC，得∠BAF＝∠CAF，设∠BAF＝∠CAF＝y，则∠DAC＝∠DAF﹣∠CAF＝x﹣y，然后利用相似三角形的判定与性质可得答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠DAF＝∠BFE，
∵BE＝BF＝2，
∴∠BEF＝∠BFE，
∴∠BEF＝∠AED＝∠BFE＝∠DAF，
∴AD＝DE，
设∠BEF＝∠AED＝∠DAF＝x，
又∵AF平分∠BAC，
∴∠BAF＝∠CAF，
设∠BAF＝∠CAF＝y，则∠DAC＝∠DAF﹣∠CAF＝x﹣y，
∵∠ABD＝∠AED﹣∠BAF＝x﹣y，，
∴∠DBA＝∠DAO，
又∵∠ADO＝∠BDA，
∴△ADO∽△BDA，
设AD＝DE＝m，
∴，
∴BD＝BE+DE＝2+m，
∴DO＝BD＝（2+m），
∴，
∴2m2＝（2+m）2＝m2+4m+4，
∴m1＝2+2，m2＝2﹣2＜0（舍），
经检验m＝2+2是分式方程的解，
∴AD＝2+2，
故答案为：．
10．（2022·江苏扬州·一模）如图，在正方形中，，连接、交于点H，连接并延长交于点G，若，则__________．
【答案】
【思路分析】先证△ABE≌△BCF（SAS），得AE=BF，∠BAE=∠CBF，从而得∠AHB=90°，又因为，所以∠BAH=30°，AH=3，所以∠CBF=∠BAH=30°，则BE=2HE，在Rt△BHE中，由勾股定理，求得HE=1，从而得BE=2HE=2，再证△ADH∽△EGH,得，即，解得EG=，则由BG=BE-EG可求解．
【详解】解：∵正方形，
∴AB=BC=AD，∠ABE=∠BCF=90°，
∵BE=CF，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴AE=BF，∠BAE=∠CBF，
∵∠CBF+∠ABH=∠ABC=90°，
∴∠BAE+∠ABH=90°
∴∠AHB=90°，
∵，
∴BH=，
∴∠BAH=30°，AH=，
∴∠CBF=∠BAH=30°，
∴BE=2HE，
在Rt△BHE中，由勾股定理，得
HE2=BE2-BH2=（2HE）2-（）2，
∴HE=1，
∴BE=2HE=2，
∵正方形，
∴ADBC，即ADEG，
∴△ADH∽△EGH,
∴，
∴，
∴EG=,
∴BG=BE-EG=2-=．
故答案为：
11．（2022·江苏无锡·一模）如图，在ΔABC中放置5个大小相等的正方形，若BC=12，则每个小正方形的边长为____．
【答案】3
【思路分析】如图，设正方形的边长为x，根据相似三角形的高之比等于相似比，列方程，即可求解．
【详解】解：过点A作，交BC于点F，交DE于点G，交MN于点P，如图，
由题可知，，
，，
，，
设正方形的边长为x，则，，，，
，，
，
，
化简得，
将代入，得，
解得．
正方形的边长为3．
故答案为3．
12．（2022·江苏苏州·二模）如图，在矩形中，，．①以点为圆心，以不大于长为半径作弧，分别交边，于点，，再分别以点，为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线分别交，于点，；②分别以点，为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点，，作直线交于点，则长为______．
【答案】
【思路分析】由作图步骤可知AG是的角平分线，MN是CQ的垂直平分线，则BQ=AB=1，利用勾股定理可得AQ=QG=，因为AD∥BQ，所以，则，即，解得OQ=，所以OG=OQ+QG=．
【详解】由题意可知：AG是的角平分线，MN是CQ的垂直平分线，
=45°，
BQ=AB=1，
在中，，
AD∥BQ，

，即，解得OQ=，
OG=OQ+QG=．
13．（2022·江苏泰州·二模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点E是△ABC内部一点（不包括三条边），点F、G分别在AC、AB边上，且EF⊥AC，EG⊥AB，垂足分别为F、G．点D是AB边的中点，连接ED，若EF＜EG，则ED长的取值范围是_________．
【答案】
【思路分析】根据题设条件，当E点与C点重合时，DE的值是最大的．当点E在的平分线上且时，DE的值是最小的．通过分别计算以上两种情况下，DE的长度，得到DE的取值范围．
【详解】解：如图1，当E点与C点重合时，DE的值是最大的．
∵在中，
∠C=90°，AC=6，BC=8，
∴．
∵点D是AB边的中点，
∴，
∵点E是△ABC内部一点（不包括三条边），
∴．
如图2，当点E在的平分线上且时，DE的值是最小的．
此时，设AE延长线交BC于点H，过点H作于点M，
∵AH平分，∠C=90°，，
∴，，，
∴，
∴，．
∵，，
∴．
∵BC=8，，
∴，
在中，
∵，
∴，
∴，
解得．
在中，
∵，，，
∴．
又∵在和中，
∵，
∴，
∴，
∴．
又∵EF＜EG，
∴点E在AH上方，
∴，
综上所述，．
14．（2022·江苏常州·二模）如图，正六边形中，G是边上的点，，连接，将绕点C顺时针旋转得交于点H，则线段的长为__________．
【答案】
【思路分析】连接AC根据正六边形求出AC和AG的长，进而求出CG的长，过G作GM∥AB交BC于M，过A作AN∥BC交GM于N，可得平行四边形ABMN和等边三角形ANG，求出MG的长，再证明求出CH的长，最后根据求值即可．
【详解】连接AC，过G作GM∥AB交BC于M，过A作AN∥BC交GM于N，
则四边形ABMN是平行四边形
∴
∵正六边形中，G是边上的点，，
∴，
∴
∴,
∴
∵GM∥AB
∴
∵AN∥BC
∴
∴△ANG是等边三角形
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴．
故答案为：．
15．（2022·江苏扬州·二模）如图，在锐角三角形ABC中，，，于点N，于点M，连接MN，则△AMN面积的最大值是______．
【答案】
【思路分析】先解直角三角形可得，再根据圆内接四边形的性质可得，然后根据相似三角形的判定证出，根据相似三角形的性质可得，设，则，在中，利用勾股定理可得，利用可得，从而可得，最后利用三角形的面积公式即可得出答案．
【详解】解：，
，
，
点在以为直径的圆上，
，
在和中，，
，
，即，
设，则，
，
，
，即，
，即，
，
解得，
，
则面积的最大值是，
故答案为：．
16．（2022·江苏南通·二模）如图，正方形ABCD的边长为5，E为AD的中点，P为CE上一动点，则的最小值为______．
【答案】
【思路分析】建立平面直角坐标系，作点B关于CE的对称点F，BF交CE于点H，连接AF交CE于点P，过点F作FG⊥x轴于点G，证明和，根据相似三角形对应边成比例可得出点F的坐标，再根据两点间距离公式可得出结论．
【详解】建立平面直角坐标系如图所示，
作点B关于CE的对称点F，BF交CE于点H，连接AF交CE于点P，过点F作FG⊥x轴于点G，
∴BP=FP
根据“两点之间，线段最短”可知，的最小值为AF的长，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA=5，
∴ A（0，5）
∵点E为AB的贵点，
∴,
由勾股定理得，
又，
∴
∴
∴
∴
∴
∵,
∴，
∴,
∴
∴F（8，4）
又A（0，5）
∴,
∴的最小值为，
故答案为
17．（2022·江苏扬州·二模）定义：等腰三角形底边与腰的比叫做顶角的正对（）．例如，在中，，顶角A的正对．当时，______________．（结果保留根号）
【答案】
【思路分析】过点B作BD平分∠ABC交AC于D，设BC=x，AB=y；由三角形内角和定理及等腰三角形的判定和性质求得DA=DB=BC=x，则CD= y-x；由△BCD∽△ACB求得；令t=，解关于t的方程即可解答；
【详解】解：由题意作图如下：过点B作BD平分∠ABC交AC于D，
设BC=x，AB=y，
△ABC中：∠A=36°，AB=AC，则∠ABC=∠ACB=（180°-36°）=72°，
BD平分∠ABC，则∠CBD=∠DBA=∠ABC=36°，
△BCD中：∠BDC=180°-∠CBD-∠DCB=72°=∠BCD，
∴BC=BD=x，
∴△DAB中：∠DAB=∠DBA=36°，
∴DA=DB=x，
∴CD=AC-AD=y-x，
△BCD和△ACB中：∠CBD=∠CAB，∠BCD=∠ACB，
∴△BCD∽△ACB，
∴，
∴，
令t=，则，解得：t=，
经检验t=符合题意；
∴，
故答案为：；
18．（2022·江苏盐城·一模）如图，DE是△ABC的中位线，F为DE中点，连接AF并延长交BC于点G，若，则___________．
【答案】48
【思路分析】取的中点，连接，根据证，得出，根据等高关系求出的面积为4，根据相似三角形的性质可得：和边和高的比例关系得出，从而得出梯形的面积为12，进而得出的面积为12，同理可得，即可得出的面积．
【详解】解： 是的中位线，
、分别为、的中点，
如图过作交于点，
，
，
点为的中点，
，
在和中，
，
，
，，，
点为的中点，且，
，
，
，
，
，
为的中位线，
，
，
，
，
是的中位线，
，
，
，
故答案为：48．
19．（2022·江苏无锡·一模）如图，点为线段上一点，，，过点作任意一直线，点关于直线的对称点为，将点绕点顺时针旋转到点，连接、、、，则线段长度的最大值为________．
【答案】
【思路分析】先证明点Q是在以点B为圆心，半径为1的圆上，连接PR,再证明△PQR是等腰直角三角形，过点B作BC⊥AB于点且BC＝BP＝1，连接PC，BQ，CR，得到，再证得△BPQ∽△CPR，CR＝，证得点R是在以点C为圆心，为半径的圆上，故当点A、C、R三点共线时，如图2所示，线段长度取最大值，再求出此时的长即可．
【详解】解：∵点关于直线的对称点为，
∴l垂直平分PQ
∴BQ＝BP＝1
∵直线是过点作的任意直线
∴点Q是在以点B为圆心，半径为1的圆上
如图1，连接PR，BQ，
∵点绕点顺时针旋转到点，
∴PQ＝RQ，∠PQR＝90°
∴△PQR是等腰直角三角形
∴∠RPQ＝∠PRQ＝45°，PR＝
如图1，过点B作BC⊥AB交圆于点长C，于点且BC＝BP＝1，连接PC，CR，
∴∠ABC＝90°，△PBC是等腰直角三角形
∴∠CPB＝∠RPQ＝45°，CP＝
∴
∵∠QPB＝∠CPB－∠CPQ，∠RPC＝∠RPQ－∠CPQ，
∴∠QPB＝∠RPC
∴ △BPQ∽△CPR
∴
∴CR＝
∴点R是在以点C为圆心，为半径的圆上，
故当点A、C、R三点共线时，如图2所示，线段长度取最大值，
在Rt△ABC中，BC＝1，AB＝3，∠ABC＝90°
∴AC＝
∵CR＝
∴AR＝AC＋CR＝＋
∴线段长度取最大值为＋．
故答案为：＋．
20．（2022·江苏盐城·一模）如图，在中，为斜边的中线，过点D作于点E，延长至点F，使，连接，点G在线段上，连接，且．下列结论：①；②四边形是平行四边形；③；④．其中正确结论的是______．（填序号）
【答案】①②③④
【思路分析】根据题意先证DE是△ABC的中位线，则DE=BC；①正确；证出DF=BC，则四边形DBCF是平行四边形；②正确；由直角三角形斜边上的中线性质得出CD=AB=BD，则CF=CD，得出∠CFE=∠CDE，证∠CDE=∠EGF，则∠CFE=∠EGF，得出EF=EG，③正确；作EH⊥FG于H，由等腰三角形的性质得出FH=GH=FG=1，证△EFH∽△CEH，则，求出EH=2，由勾股定理的EF=，进而得出BC=2，④正确．
【详解】解；∵CD为斜边AB的中线，
∴AD=BD，
∵∠ACB=90°，
∴BC⊥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE∥BC，
∴DE是△ABC的中位线，
∴AE=CE，DE=BC；①正确；
∵EF=DE，
∴DF=BC，
∴四边形DBCF是平行四边形；②正确；
∴CF∥BD，CF=BD，
∵∠ACB=90°，CD为斜边AB的中线，
∴CD=AB=BD，
∴CF=CD，
∴∠CFE=∠CDE，
∵∠CDE+∠EGC=180°，∠EGF+∠EGC=180°，
∴∠CDE=∠EGF，
∴∠CFE=∠EGF，
∴EF=EG，③正确；
作EH⊥FG于H，如图所示：
则∠EHF=∠CHE=90°，∠HEF+∠EFH=∠HEF+∠CEH=90°，FH=GH=FG=1，
∴∠EFH=∠CEH，CH=GC+GH=3+1=4，
∴△EFH∽△CEH，
∴，
∴EH2=CH×FH=4×1=4，
∴EH=2，
∴EF=，
∴BC=2DE=2EF=2，④正确.
故答案为：①②③④．
21．（2022·江苏连云港·一模）如图，以为直径的半圆内有一条弦，是弦上一个动点，连接，并延长交半圆于点．若，，则的最大值是________．
【答案】
【思路分析】过点D作于点E，连接BC，此时易证得： ，又由勾股定理可求得 ，由对应线段比值相等可知只需求出DE最大值即可，由圆的相关性质可知： 时，DE取最大值，即可求解．
【详解】解：过点D作于点E，连接BC，
是圆的直径，

，


，

当DE取最大值是时，值最大，
当时，此时DE取最大值，
此时由垂径定理可知：



的最大值为 ．
故答案为： ．
22．（2022·江苏·扬州市邗江区梅苑双语学校一模）如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是边AB，AD的中点，BF，CE交于点M，若三角形BEM的面积为1，则四边形AEMF的面积为________．
【答案】4
【思路分析】连接BD，延长BF、CD交于N，根据已知条件求出DF＝AF，AE＝BE＝＝，根据平行四边形的性质得出AB＝CD，AB∥CD，根据平行线的性质推出∠N＝∠ABF，根据全等三角形的判定得出△DNF≌△ABF，根据全等三角形的性质得出DN＝AB，求出BE＝AB＝CN，根据相似三角形的判定得出△BEM∽△NCM，根据相似三角形的性质求出，求出，求出△BCM的面积即可．
【详解】解：连接BD，延长BF、CD交于N，
∵E，F分别是边AB，AD的中点，
∴AE＝BE＝＝，DF＝AF，
∴S△ABF＝S△DFB＝S△ABD＝S平行四边形ABCD，
同理S△BCE＝S平行四边形ABCD，
∴S△ABF＝S△BCE，
∴S△ABF﹣S△BEM＝S△BCE﹣S△BEM，
∴S四边形AEMF＝S△BCM，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC，AB∥CD，
∴∠N＝∠ABF，
在△DNF和△ABF中，
，
∴△DNF≌△ABF（AAS），
∴DN＝AB＝DC，
∴BE＝AB＝CN，
∵AB∥CD，
∴△BEM∽△NCM，
∴，
∴，
∵△BEM的面积为1，
∴△BCM的面积是4，
即四边形AEMF的面积是4，
故答案为：4．
23．（2022·江苏南京·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，E是BC的中点，AE与BD交于点F，连接CF．若AE⊥BD，则CF的长为 _____．
【答案】6
【思路分析】如图，过点F，做，FM交BC于点M，根据矩形的性质，得，；根据相似三角形的性质，通过证明，得，通过求解分式方程，从而计算得，根据勾股定理的性质计算得，；再通过证明，结合勾股定理的性质计算，即可得到答案．
【详解】如图，过点F，做，FM交BC于点M
∵矩形ABCD
∴，
∵AE⊥BD
∴
∴
∴
∴
∵E是BC的中点
∴
∴
∴
∴
经检验，，是原方程的解
∴
∴，
∴
∵，
∴
∴
∴
∴
∴
∴
故答案为：6．
24．（2022·江苏苏州·模拟预测）如图，矩形中，，，在边上运动，、在对角线上运动，且，连接、，则的最小值为______．
【答案】
【思路分析】作点C关于BD的对称点C′，连结CC′，连结C′M，过E′作EF⊥BC于F，过E作EE′∥NM，过M作ME′∥NE，交点为E′，则四边形MNEE′为平行四边形，求出EE′=MN=，当C′、M、E′、F四点在同一直线时最短， 由勾股定理，由面积求CC′=，可证△BDC∽△C′CF，解得，可证△EFE′∽△BCD，求E′F=1即可 ．
【详解】解：作点C关于BD的对称点C′，连结CC′，连结C′M，过E′作EF⊥BC于F，过E作EE′∥NM，过M作ME′∥NE，交点为E′，
则四边形MNEE′为平行四边形，
∴EE′=MN=，
∴当C′、M、E′、F四点在同一直线时最短，此时C′F⊥BC，
CM+EN =C′F-E′F，
∵BC=4，CD=2，
由勾股定理，
∴，
∴，
∴CC′=，
∵CC′⊥BD，CF⊥BC，∠C′FC=∠DCB=90°，
∴∠C′+= ∠DBC+∠BCG=90°，
∴∠C′=∠DBC，
∴△BDC∽△C′CF，
∴即，
解得，
∵EE′∥BD，
∴∠E′EF=∠DBF，∠E′FE=∠DCB=90°，
∴△EFE′∽△BCD，
∴即，
∴E′F=1，
∴．
故答案为：．
25．（2022·江苏·连云港市新海初级中学一模）如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=6，点E在边BC上，且BE∶EC=2∶1，动点P从点C出发，沿CD运动到点D停止，过点E作EF⊥PE交矩形ABCD的边于F，若线段EF的中点为M，则点P从C运动到D的过程中，点M运动的路线长为_______．
【答案】3
【思路分析】分两种情况考虑：点F可能在AD边上，也可能在AB边上。画出三个临界位置的图形即可解决问题。当P与C重合时；当点F与A重合时；当点P与D重合时．分别找出三种位置时点M的位置，运用相似三角形的知识和中位线定理即可求得.
【详解】解：如图，点F可能在AD边上，也可能在AB边上，
（1）点F在AD边上时，
当P与C重合时，点F与G重合，此时点M在K处，当点P与Q重合时，点F与A重合，点M在H处，点M的运动轨迹是线段HK．
可求得DG=CE=2，AG=4，
∴HK=AG=2，
（2）点F在AB边上时，
当P与D重合时，点F与O重合，此时点M在N处，点M的运动轨迹是线段HN．
∵△OBE∽△CED，
∴,
∴OB=2，
∴OA=2，
∴HN=AO=1，
∴点M的运动路径的长=HK+HN=2+1=3．
故答案为3．