中考数学必考特色题型讲练(河南专用)【填空题】必考重点10解三角形(原卷版+解析)

这是一份中考数学必考特色题型讲练(河南专用)【填空题】必考重点10解三角形(原卷版+解析)，共51页。
解三角形是指已知三角形的部分边和角，求出三角形中其他未知的边和角。通常利用勾股定理、相似三角形的性质或者锐角三角函数的边角关系进行求解，是江苏省各地市中考的必考点，考查形式多样，既有选择题、填空题，也会考查解答题，选择和填空考查时，难度中等或者偏难，综合题考查时难度中等。接此类题目时，要善于运用勾股定理、相似三角形的对应边成比例的性质求三角形的边长，能够运用锐角三角函数的基本知识进行边角互化，从而解出三角形。
【2022·江苏南通·中考母题】如图，B为地面上一点，测得B到树底部C的距离为，在B处放置高的测角仪，测得树顶A的仰角为，则树高为___________m（结果保留根号）．
【考点分析】本题考查了解直角三角形，解直角三角形的应用—仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
【思路分析】在中，利用，求出，再加上1m即为AC的长．
【2022·江苏常州·中考母题】如图，在四边形中，，平分．若，，则______．
【考点分析】本题考查了锐角三角函数、矩形、等腰三角形形、勾股定理、平行线的性质，解题的关键是构造直角三角形求解．
【思路分析】过点作的垂线交于，证明出四边形为矩形，为等腰三角形，由勾股定理算出，，即可求解．
【2022·江苏南通·中考母题】如图，点O是正方形的中心，．中，过点D，分别交于点G，M，连接．若，则的周长为___________．
【考点分析】本题主要考查了正方形的性质，解直角三角形，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质以及三角形中位线定理，综合性较强，能够作出合适的辅助线，构造出全等三角形是解题的关键．
【思路分析】连接BD，则BD过正方形的中心点O，作FH⊥CD于点H，解直角三角形可得BG＝，AG＝AB，然后证明△ABG≌△HFD（AAS），可得DH＝AG＝AB＝CD，BC＝HF，进而可证△BCM≌△FHM（AAS），得到MH＝MC＝CD，BM＝FM，然后根据等腰三角形三线合一求出DF＝FM，则BG＝DF＝FM＝BM＝，再根据直角三角形斜边中线的性质和三角形中位线定理分别求出OM、EM和OE即可解决问题．
【2022·江苏无锡·中考母题】△ABC是边长为5的等边三角形，△DCE是边长为3的等边三角形，直线BD与直线AE交于点F．如图，若点D在△ABC内，∠DBC=20°，则∠BAF＝________°；现将△DCE绕点C旋转1周，在这个旋转过程中，线段AF长度的最小值是________．
【考点分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，圆周角定理，切线的性质，解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
【思路分析】利用SAS证明△BDC≌△AEC，得到∠DBC=∠EAC=20°，据此可求得∠BAF的度数；利用全等三角形的性质可求得∠AFB=60°，推出A、B、C、F四个点在同一个圆上，当BF是圆C的切线时，即当CD⊥BF时，∠FBC最大，则∠FBA最小，此时线段AF长度有最小值，据此求解即可．
1．（2022·江苏无锡·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，，若不改变矩形的形状和大小，当矩形顶点在轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点始终在轴的正半轴上随之上下移动，当点移动到某一位置时，点到点的距离有最大值，则此时点的横坐标为______ ．
2．（2022·江苏·阳山中学一模）在中，，有一个锐角为60°，AB＝4，若点P在线段AB上（不与点A、B重合），且，则CP的长为______．
3．（2022·江苏·无锡市天一实验学校三模）如图，平面内几条线段满足．AB、CD的交点为E，现测得，，，则CD的长度为___________．
4．（2022·江苏苏州·二模）如图，在中，，，．将绕点A旋转得，连接，B′B，则面积的最大值为________．
5．（2022·江苏镇江·二模）如图，在等腰直角△ABC中，，点D在△ABC内部，连接BD、CD，将△BDC绕点C逆时针旋转90°得到△AEC，点M在边AE上，若，，则线段BM的最小值为______．
6．（2022·江苏苏州·一模）如图，在中，，，，点是边上的一动点．，将绕点按逆时针方向旋转，点是边的中点，则长度的最小值为______．
7．（2022·江苏·宜兴市实验中学二模）如图，在中，，．矩形DEFG的顶点D、E、F分别在边BC、AC、AB上，若，则当EC＝______时，矩形DEFG面积的最大值＝______．
8．（2022·江苏南通·二模）某校航模小组打算制作模型飞机，设计了如图所示的模型飞机机翼图纸，图纸中，均与水平方向垂直．根据图中数据，机翼外缘CD的长为______cm．（结果取整数，参考，，）
9．（2022·江苏·靖江市教师发展中心二模）如图，，，点、分别是线段、射线上的动点，以为斜边向上作等腰，，连接，则的最小值为______．
10．（2022·江苏泰州·二模）如图，在等边外侧作直线AD，点C关于直线AD的对称点为M，连接CM，BM．其中BM交直线AD于点E．若，当，时，则等边的边长为______．
11．（2022·江苏·无锡市河埒中学二模）如图，已知正方形ABCD的边长为4，P是CD边上的一点，连接BP，以BP为一边在正方形内部作，过点A作，交BQ的延长线于点E，则______．
12．（2022·江苏宿迁·二模）如图，在中，，则的面积为_______．
13．（2022·江苏常州·二模）如图，在中，，．D是边BC的中点，点E在AB边上，将沿直线DE翻折，使点B落在同一平面内点F处，线段FD交边AB于点G，若时，则______．
14．（2022·江苏南京·一模）如图Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝4，点P为BC上任意一点，连接PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ的最小值为 _____．
15．（2022·江苏常州·模拟预测）如图，正方形的边长是3．，连接、交于点，并分别与边、交于点、，连接，下列到结论：①；②；③；④；⑤当时，，其中正确结论是：__．
16．（2022·江苏·无锡市天一实验学校二模）如图，将两块三角板OAB（∠OAB=45°）和三角板OCD（∠OCD=30°）放置在矩形BCEF中，直角顶点O重合，点A、D在EF边上，AB=6．
（1）若点O到BC的距离为，则点O到EF的距离为_________；
（2）若BC=3AD，则△OCD外接圆的半径为_________．
17．（2022·江苏·苏州草桥中学一模）如图，将绕斜边的中点旋转一定的角度得到，已知，，则________．
18．（2022·江苏徐州·二模）如图，在等边三角形中，，点，，分别是边，，边上的动点，则周长的最小值是______．
19．（2022·江苏南通·一模）如图，△ABC中，，，将△ABC绕顶点C逆时针旋转，得△DCE，点D，点E分别与点A，点B对应，边CE， DE与边AB相交，交点分别为点F，点G，若，则的值为_________．
20．（2022·江苏无锡·一模）如图，在四边形ABCD中，，，，点E在对角线BD上运动，⊙O为△DCE的外接圆，当⊙O与AD相切时，⊙O的半径为__________；当⊙O与四边形ABCD的其它边相切时，其半径为__________．
21．（2022·江苏无锡·一模）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，D是BC的中点，连接AD，过点C作CF⊥AD交AB于F，则△ABD的面积为______，BF＝______．
22．（2022·江苏无锡·一模）一个含30度角的三角板和一个含45度角的三角板按如图所示的方式拼接在一起，经测量发现，AC=CE=2，取AB中点O，连接OF.∠FCE在∠ACB内部绕点C任意转动(包括边界)，则CE在运动过程中扫过的面积为____；在旋转过程中，线段OF的长度最小时，两块三角板重叠部分的周长为____．
23．（2022·江苏·靖江市实验学校一模）在△ABC中，∠BAC＝120°，D为BC的中点，AE＝6，把AD绕点A逆时针旋转120°，得到AF，若CF＝7，∠ACF＝∠AEC，则AC＝________．
24．（2022·江苏连云港·一模）如图，在矩形和中，，将绕着点B顺时针旋转，连接，当最大时，的面积为___________．
25．（2022·江苏·常州市武进区前黄实验学校一模）如图，矩形中，，，点是矩形对角线上的动点，连接，过点作交所在直线与点，以、为边作矩形，当时，则长为______．
【填空题】必考重点10 解三角形
解三角形是指已知三角形的部分边和角，求出三角形中其他未知的边和角。通常利用勾股定理、相似三角形的性质或者锐角三角函数的边角关系进行求解，是江苏省各地市中考的必考点，考查形式多样，既有选择题、填空题，也会考查解答题，选择和填空考查时，难度中等或者偏难，综合题考查时难度中等。接此类题目时，要善于运用勾股定理、相似三角形的对应边成比例的性质求三角形的边长，能够运用锐角三角函数的基本知识进行边角互化，从而解出三角形。
【2022·江苏南通·中考母题】如图，B为地面上一点，测得B到树底部C的距离为，在B处放置高的测角仪，测得树顶A的仰角为，则树高为___________m（结果保留根号）．
【考点分析】本题考查了解直角三角形，解直角三角形的应用—仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
【思路分析】在中，利用，求出，再加上1m即为AC的长．
【答案】
【详解】解：过点D作交于点E，如图：
则四边形BCED是矩形，
∴BC=DE，BD=CE，
由题意可知：，，
在中，，
∴，
∴，
故答案为：
【2022·江苏常州·中考母题】如图，在四边形中，，平分．若，，则______．
【考点分析】本题考查了锐角三角函数、矩形、等腰三角形形、勾股定理、平行线的性质，解题的关键是构造直角三角形求解．
【思路分析】过点作的垂线交于，证明出四边形为矩形，为等腰三角形，由勾股定理算出，，即可求解．
【答案】
【详解】解：过点作的垂线交于，
，
四边形为矩形，
，
，
平分，
，
，
，
∴∠CDB=∠CBD
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【2022·江苏南通·中考母题】如图，点O是正方形的中心，．中，过点D，分别交于点G，M，连接．若，则的周长为___________．
【考点分析】本题主要考查了正方形的性质，解直角三角形，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质以及三角形中位线定理，综合性较强，能够作出合适的辅助线，构造出全等三角形是解题的关键．
【思路分析】连接BD，则BD过正方形的中心点O，作FH⊥CD于点H，解直角三角形可得BG＝，AG＝AB，然后证明△ABG≌△HFD（AAS），可得DH＝AG＝AB＝CD，BC＝HF，进而可证△BCM≌△FHM（AAS），得到MH＝MC＝CD，BM＝FM，然后根据等腰三角形三线合一求出DF＝FM，则BG＝DF＝FM＝BM＝，再根据直角三角形斜边中线的性质和三角形中位线定理分别求出OM、EM和OE即可解决问题．
【答案】
【详解】解：如图，连接BD，则BD过正方形的中心点O，作FH⊥CD于点H，
∵，，
∴
∴AG＝AB＝，
∴BG＝，
∵∠BEF＝90°，∠ADC＝90°，
∴∠EGD＋∠EDG＝90°，∠EDG＋∠HDF＝90°，
∴∠EGD＝∠HDF
∵∠AGB＝∠EGD，
∴∠AGB＝∠HDF，
在△ABG和△HFD中，，
∴△ABG≌△HFD（AAS），
∴AG＝DH，AB＝HF，
∵在正方形中，AB＝BC＝CD＝AD，∠C＝90°，
∴DH＝AG＝AB＝CD，BC＝HF，
在△BCM和△FHM中，，
∴△BCM≌△FHM（AAS），
∴MH＝MC＝CD，BM＝FM，
∴DH＝MH，
∵FH⊥CD，
∴DF＝FM，
∴BG＝DF＝FM＝BM＝，
∴BF＝，
∵M是BF中点，O是BD中点，△BEF是直角三角形，
∴OM＝，EM＝，
∵BD＝，△BED是直角三角形，
∴EO＝，
∴的周长＝EO＋OM＋EM＝3＋＋，
故答案为：．
【2022·江苏无锡·中考母题】△ABC是边长为5的等边三角形，△DCE是边长为3的等边三角形，直线BD与直线AE交于点F．如图，若点D在△ABC内，∠DBC=20°，则∠BAF＝________°；现将△DCE绕点C旋转1周，在这个旋转过程中，线段AF长度的最小值是________．
【考点分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，圆周角定理，切线的性质，解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
【思路分析】利用SAS证明△BDC≌△AEC，得到∠DBC=∠EAC=20°，据此可求得∠BAF的度数；利用全等三角形的性质可求得∠AFB=60°，推出A、B、C、F四个点在同一个圆上，当BF是圆C的切线时，即当CD⊥BF时，∠FBC最大，则∠FBA最小，此时线段AF长度有最小值，据此求解即可．
【答案】80
【详解】解：∵△ABC和△DCE都是等边三角形，
∴AC=BC，DC=EC，∠BAC=∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠DCB+∠ACD=∠ECA+∠ACD=60°，
即∠DCB =∠ECA，
在△BCD和△ACE中，，
∴△ACE≌△BCD（ SAS），
∴∠EAC=∠DBC，
∵∠DBC=20°，
∴∠EAC=20°，
∴∠BAF=∠BAC+∠EAC=80°；
设BF与AC相交于点H，如图：
∵△ACE≌△BCD
∴AE=BD，∠EAC=∠DBC，且∠AHF=∠BHC，
∴∠AFB=∠ACB=60°，
∴A、B、C、F四个点在同一个圆上，
∵点D在以C为圆心，3为半径的圆上，当BF是圆C的切线时，即当CD⊥BF时，∠FBC最大，则∠FBA最小，
∴此时线段AF长度有最小值，
在Rt△BCD中，BC=5，CD=3，
∴BD=4，即AE=4，
∴∠FDE=180°-90°-60°=30°，
∵∠AFB=60°，
∴∠FDE=∠FED=30°，
∴FD=FE，
过点F作FG⊥DE于点G，
∴DG=GE=，
∴FE=DF==，
∴AF=AE-FE=4-，
故答案为：80；4-．
1．（2022·江苏无锡·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，，若不改变矩形的形状和大小，当矩形顶点在轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点始终在轴的正半轴上随之上下移动，当点移动到某一位置时，点到点的距离有最大值，则此时点的横坐标为______ ．
【答案】
【思路分析】取AD的中点M，，连接OM，CM，利用垂线段最短，再利用三角函数建立等式即可求解．
【详解】解：如图1，取AD中点M，连接OM，CM，
∴，
∵矩形ABCD中，AB=4，BC=6，
∴DC=AB=4，AD=BC=6，∠CDM=90°，
∴，，
∴，
∴点C到点O的距离最大时，O、M、C三点共线，此时，
如图2，过O点作ON⊥AD于N，
∴，
∴即，即
∴，，
∴，
Rt△ONA中，，
∴A点横坐标为，
故答案为：．
2．（2022·江苏·阳山中学一模）在中，，有一个锐角为60°，AB＝4，若点P在线段AB上（不与点A、B重合），且，则CP的长为______．
【答案】或2
【思路分析】分∠ABC=60°、∠ABC=30°两种情况，利用数形结合的方法，分别求解即可．
【详解】解：①当∠ABC=60°时，则BC=AB=2，
当点P在线段AB上时，
∵∠PCB=30°，
∴CP⊥AB，
则PC=BCcs30°=2×=；
②当∠ABC=30°时，如图，
∵∠PCB=30°，∠ACB=90°，
∴∠ACP=60°，
∵∠BAC=60°，
∴△PAC为等边三角形．
∴PC=AC，
∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，
∴AC=AB=2．
∴PC=2．
综上，PC的长为：2或．
故答案为：2或．
3．（2022·江苏·无锡市天一实验学校三模）如图，平面内几条线段满足．AB、CD的交点为E，现测得，，，则CD的长度为___________．
【答案】
【思路分析】延长交于，过作交于，根据“字形”可知，得到相似比，设，在中，根据勾股定理得，结合条件得出，再利用相似比即可求出的长度．
【详解】解：延长交于，过作交于，如图所示：
，
，
，
，
，
,
,
,
,,
,
设，则，
在中，根据勾股定理得,
，解得，
，解得，
故答案为：．
4．（2022·江苏苏州·二模）如图，在中，，，．将绕点A旋转得，连接，B′B，则面积的最大值为________．
【答案】16
【思路分析】根据B′点轨迹求得B′到直线BC的最大距离为B′A+AC，再由勾股定理求得AC即可解答；
【详解】解：如图，B′的轨迹在以A为圆心，AB为半径的圆上，点D、A、C三点共线，
∠ACB=90°，则DC⊥BC，
当B′与点A、C不共线时，B′C＜B′A+AC，
∵B′C与BC不垂直，
由垂线段的性质可得：B′到直线BC的距离小于B′C，
∴B到直线BC的距离小于B′A+AC，
当B′与点D重合时，B′到直线BC的距离= B′A+AC，
∴B′到直线BC的最大距离为B′A+AC，
∴当B′与点D重合时，△B′CB的面积最大，
Rt△ABC中，AC=，
∴△B′CB面积最大值为DC•BC=（5+3）×4=16，
故答案为：16；
5．（2022·江苏镇江·二模）如图，在等腰直角△ABC中，，点D在△ABC内部，连接BD、CD，将△BDC绕点C逆时针旋转90°得到△AEC，点M在边AE上，若，，则线段BM的最小值为______．
【答案】
【思路分析】点D在以BC为直径的圆O上，根据垂线段最短，延长BD交AE于点F，证明BF⊥AE，四边形DCEF是正方形，用勾股定理计算BD，BF=BD+DF计算即可．
【详解】∵，
∴点D在以BC为直径的圆O上，
延长BD交AE于点F，
∴∠EDF=90°，
根据旋转的性质，得
∠AEC=∠ACB=90°，∠ECD=90°，CD=CE，
∴∠DFE=90°，
∴BF⊥AE，
∴BF最短，
∴当M与点F重合时，BM最小，
∵ AC=2CD=BC=4，
∴DF=CD=2，BD=，
∴BF=BD+DF=，
故答案为：．
6．（2022·江苏苏州·一模）如图，在中，，，，点是边上的一动点．，将绕点按逆时针方向旋转，点是边的中点，则长度的最小值为______．
【答案】
【思路分析】过C作CD⊥AB于D，根据30°直角三角形性质求出AB，利用勾股定理求BC，然后利用面积桥求出CD，根据点E为A′C中点求出CE，当点P运动到点D时，C、E、D三点共线时EP最短即可求解．
【详解】解： 过C作CD⊥AB于D，
∵，，，
∴AB=2AC=4，BC=，
∴，
∴，
∵点E是A′C的中点，A′C=AC=2，
∴CE=，
当点P运动到点D时，C、E、D三点共线时EP最短，
EP最短=CD-CE=．
故答案为：．
7．（2022·江苏·宜兴市实验中学二模）如图，在中，，．矩形DEFG的顶点D、E、F分别在边BC、AC、AB上，若，则当EC＝______时，矩形DEFG面积的最大值＝______．
【答案】 2
【思路分析】设ED=x，EF=y，过F作FH⊥AC于H，根据求出，HE，勾股定理求出FH，根据AC=AH+HE+EC得到，进而得到关于矩形DEFG面积的解析式，利用二次函数的性质得到面积的最大值．
【详解】解：设ED=x，EF=y，过F作FH⊥AC于H，
在Rt△ECD中，
∵，
∴，
∴，
∵∠FEH+∠CED=90°，
∴∠EFH=∠DEC，
∴，
∴FH=，
∵△AHF是等腰直角三角形，
∴AH=FH=，
∵AC=AH+HE+EC=，
∴=4，
∴，
∴矩形DEFG面积=xy==，
∴当时，矩形EDGF面积有最大值，最大值为，
∴=2，
故答案为：2，．
8．（2022·江苏南通·二模）某校航模小组打算制作模型飞机，设计了如图所示的模型飞机机翼图纸，图纸中，均与水平方向垂直．根据图中数据，机翼外缘CD的长为______cm．（结果取整数，参考，，）
【答案】5
【思路分析】过点A作DC的垂线，交DC的延长线于点E．过点D作AB的垂线，交AB的延长线于点F．易证四边形AFDE是矩形，那么AE=FD=30cm，DE=AF．解Rt△AEC，求出EC=AE=30cm．再解Rt△BFD，根据正切函数定义可得BF=FD•tan27°≈15.3cm．最后根据CD=DE-CE=AF-CE=AB+BF-CE，代入数据即可求得CD的长．
【详解】解：过点A作DC的垂线，交DC的延长线于点E． 过点D作AB的垂线，交AB的延长线于点F．
在四边形AFDE 中，∵AB∥CD，∠AED=90°，
∴∠FAE=90°．
又∠AFD=90°，
∴四边形AFDE是矩形，
∴AE=FD=30cm，DE=AF．
在Rt△AEC中，∵∠AEC=90°，∠CAE=45°，AE=30cm，
∴EC=AE=30cm．
在Rt△BFD中，∵∠BFD=90°，∠BDF=27°，FD=30cm，
∴tan27°=，
∴BF=FD•tan27°≈15.3cm．
∴CD=DE-CE=AF-CE=AB+BF-CE≈5cm．
故机翼外缘CD的长度约为5cm．
故答案为：5
9．（2022·江苏·靖江市教师发展中心二模）如图，，，点、分别是线段、射线上的动点，以为斜边向上作等腰，，连接，则的最小值为______．
【答案】
【思路分析】作射线BD，根据△DEF为等腰直角三角形，得出DE=DF，再判断四点D、E、B、F共圆，得出∠DEF=∠DFE=45°，得出BD平分∠ABC，可得当AD⊥BD时，AD最短，然后利用AD=ABsin∠ABD=即可．
【详解】解：作射线BD，
∵△DEF为等腰直角三角形，
∴DE=DF，
∵∠EDF=∠EBF=90°，
∴四点D、E、B、F共圆，
∴∠DEF=∠DFE=45°，
∴BD平分∠ABC，
∴当AD⊥BD时，AD最短，
∵AB=5
∴AD=ABsin∠ABD=．
故答案为．
10．（2022·江苏泰州·二模）如图，在等边外侧作直线AD，点C关于直线AD的对称点为M，连接CM，BM．其中BM交直线AD于点E．若，当，时，则等边的边长为______．
【答案】
【思路分析】设DE交CM于点F，连接AM，CE，过点B作于N，由对称的性质及等边三角形的性质可证，再由三角形外角的知识点求得，通过解直角三角形可得BN、CN的长，再利用勾股定理计算即可．
【详解】
设DE交CM于点F，连接AM，CE，过点B作于N，
点C关于直线AD的对称点为M，
，，，
，
，
为等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
在中，由勾股定理得，
故答案为：．
11．（2022·江苏·无锡市河埒中学二模）如图，已知正方形ABCD的边长为4，P是CD边上的一点，连接BP，以BP为一边在正方形内部作，过点A作，交BQ的延长线于点E，则______．
【答案】
【思路分析】连接AP，作EM⊥.PB于M，根据S△PBE= S△ABP=S正方形ABCD= 8即可解决问题．
【详解】解：如图，连接AP，作EM⊥PB于M，
AE//PB，
S△PBE= S△ABP=S正方形ABCD=，
，
∠EBM = 45°，∠EMB = 90°.
EM=BE，
，
，
故答案为．
12．（2022·江苏宿迁·二模）如图，在中，，则的面积为_______．
【答案】
【思路分析】过B点作BD⊥AC，交AC的延长线于点D，过C点作CN⊥AB于N点，在AN上取一点M，使得MN=NB，设CN=a，先求出∠DCB=45°，即在Rt△DCB中，DC=DB=BC，再解含有特殊角的直角三角形即可得到BC=CM=AM=2a， MN=NB=a，根据三角形的面积即可求出a的值，则问题得解．
【详解】过B点作BD⊥AC，交AC的延长线于点D，过C点作CN⊥AB于N点，在AN上取一点M，使得MN=NB，设CN=a，如图，
∵BD⊥AC，CN⊥AB，
∴∠D=90°=∠CNM=∠CNB，
∵∠A=15°，∠ABC=30°，
∴∠DCB=45°，
∴在Rt△DCB中，DC=DB=BC，
∵∠ABC=30°，
∴在Rt△CNB中，2CN=BC=2a，BN=CN=a，
∴DC=DB=×2a=a，
∵ CN⊥AB，MN=NB=a，
∴有△CMB是等腰三角形，CM=CB=2a，
∴∠CMB=∠CBM=30°，
∵∠A=15°，
∴∠ACM=∠A=15°，
∴AM=CM=BC=2a，
∴AB=AM+MN+BN=2a+2a，
∴△ABC的面积为：，
∴，
解得，
∴△ABC的面积为：，
故答案为：．
13．（2022·江苏常州·二模）如图，在中，，．D是边BC的中点，点E在AB边上，将沿直线DE翻折，使点B落在同一平面内点F处，线段FD交边AB于点G，若时，则______．
【答案】4
【思路分析】如图，过点作交的延长线于，如图，利用正弦的定义得到，则设，，所以，再根据折叠的性质和平行线的性质得到，所以，接着根据平行线分线段成比例定理得到，则，然后证明，利用相似比得到，最后计算的值．
【详解】解：如图，过点作交的延长线于，如图，
，
，
，
设，，
，
沿直线翻折得到，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
，即，
，
，
．
故答案为：4．
14．（2022·江苏南京·一模）如图Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝4，点P为BC上任意一点，连接PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ的最小值为 _____．
【答案】
【思路分析】设PQ与AC交点为O，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，由平行四边形的性质可知O是AC中点，PQ最短也就是PO最短，所以应该过O作BC的垂线，然后根据和△ABC相似，利用相似三角形的性质即可求出，得到PQ的最小值．
【详解】解：设PQ与AC交点为O，
∵∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝4，
∴BC＝＝2，
∵四边形APCQ是平行四边形，
∴PO＝QO，CO＝AO，
∵PQ最短也就是PO最短，
∴过O作BC的垂线，
∵，，
∴△CAB∽△，
∴，
∴，
∴＝，
∴则PQ的最小值为2＝，
故答案为：．
15．（2022·江苏常州·模拟预测）如图，正方形的边长是3．，连接、交于点，并分别与边、交于点、，连接，下列到结论：①；②；③；④；⑤当时，，其中正确结论是：__．
【答案】①③⑤
【思路分析】由正方形的性质得出条件，先判定△DAP≌△ABQ（SAS），再判定△CQF≌△BPE（ASA）及△ADF≌△DCE（SAS），则可判断①②③是否正确；由勾股定理可判断④是否正确；分别判定△PBE∽△PAD，△PAD∽△QOE，从而可得比例式，求得OE和OA的值，则可判断⑤是否正确．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB＝BC＝CD，∠DAB＝∠ABC＝90°，
∵BP＝CQ，
∴AP＝BQ，
在△DAP和△ABQ中，
，
∴△DAP≌△ABQ（SAS），
∴∠P＝∠Q，
∵∠Q+∠QAB＝90°，
∴∠P+∠QAB＝90°，
∴∠AOP＝90°，
∴∠DAO+∠ADO＝∠ADO+∠FDO＝90°，
∴∠DAO＝∠FDO，
∴△DAO∽△FDO，
∴，
∴OD2＝OA•OF，
∵OD不一定等于OQ，
故②不正确；
在△CQF和△BPE中，
，
∴△CQF≌△BPE（ASA），
∴CF＝BE，
∴DF＝CE，
故①正确；
在△ADF和△DCE中，
，
∴△ADF≌△DCE（SAS），
∴S△ADF﹣S△DOF＝S△DCE﹣S△DOF，
即S△AOD＝S四边形OECF，
故③正确；
∵AQ⊥DP，
∴AO2+OE2＝AE2，
∵AE＞AB＝BC，
∴AO2+OE2＞BC2，
故④错误；
∵BP＝1，AB＝3，
∴AP＝4，
∵正方形ABCD中，BC∥AD，
∴△PBE∽△PAD，
∴，
∴BE，
∴QE，
∵∠P＝∠Q，∠PAD＝∠QOE＝90°，
∴△PAD∽△QOE，
∴，
∴OQ，OE，
∴AO＝5﹣OQ，
∴tan∠OAE，
故⑤正确．
综上，正确的有①③⑤．
故答案为：①③⑤．
16．（2022·江苏·无锡市天一实验学校二模）如图，将两块三角板OAB（∠OAB=45°）和三角板OCD（∠OCD=30°）放置在矩形BCEF中，直角顶点O重合，点A、D在EF边上，AB=6．
（1）若点O到BC的距离为，则点O到EF的距离为_________；
（2）若BC=3AD，则△OCD外接圆的半径为_________．
【答案】 6
【思路分析】（1）根据题意可得∠AOB=∠DOC=90°，AO=BO，CD=2DO，过点O作OG⊥BC于点G，延长GO交EF于点H，证明△OAH≌△BOG（AAS），可得OH=BG，AH=OG=，然后根据勾股定理即可解决问题；
（2）根据题意证明△HOD∽△GCO，可得，由tan∠OCD=tan30°=，设BG=OH=x，可得CG=x，设HD=k，可得OG=k，根据BC=3AD可得，k=x，然后利用勾股定理可得DO=6，进而可以解决问题．
【详解】解：（1）∵两块三角板OAB（∠OAB=45°）和三角板OCD（∠OCD=30°）放置在矩形BCEF中，
∴∠AOB=∠DOC=90°，AO=BO，CD=2DO，
如图，过点O作OG⊥BC于点G，延长GO交EF于点H，
∵四边形BCEF是矩形，
∴BC∥EF，
∴OH⊥EF，
∴∠OHA=∠AOB=90°，
∴∠AOH+∠OAH=∠AOH+∠BOG=90°，
∴∠OAH=∠BOG，
在△OAH和△BOG中，
，
∴△OAH≌△BOG（AAS），
∴OH=BG，AH=OG=，
∵AB=6．
∴AO=BO=AB=3，
∴BG=2，
∴OH=2，
则点O到EF的距离为2，
故答案为：2；
（2）∵∠OGC=∠DHO=∠DOC=90°，
∴∠HOD+∠COG=∠GCO+∠COG=90°，
∴∠HOD=∠GCO，
∴△HOD∽△GCO，
∴，
∵∠OCD=30°，
∴tan∠OCD=tan30°=，
∴，
由（1）知：OH=BG，AH=OG，
设BG=OH=x，
∴CG=x，
设HD=k，
∴OG=k，
∴AH=OG=k，
∴AD=AH+DH=（+1）k，
∵BC=3AD，BC=BG+CG=OH+CG=（+1）x，
∴（+1）x=3（+1）k，
∴k=x，
∴AH=OG=k=x，
在Rt△AHO中，根据勾股定理得：
OH2+AH2=AO2，
∴x2+（x）2=（3）2，
解得x=3，
∴HD=k=x=，BG=OH=x=3，
在Rt△DHO中，根据勾股定理得：
DH2+OH2=DO2，
∴（）2+（3）2=DO2，
∴DO=6，
∴△OCD外接圆的半径为6．
故答案为：6．
17．（2022·江苏·苏州草桥中学一模）如图，将绕斜边的中点旋转一定的角度得到，已知，，则________．
【答案】
【思路分析】如图，连接，，作于，于．先证，根据勾股定理求出AB，利用旋转求出EF，然后证明四边形OMCH为矩形，求出即可解决问题．
【详解】解：如图，连接，，作于，于．
由题意：，
，，，，共圆，
，
，，
，
，
∵，，，
，
，
，
∵△ABC绕点O旋转到△FEH，
∴AE=CB，FE=AB=，
∴，
∴∠BAC=∠ACE，
∴，
∴于，于．
∴∠DMC=∠DHC=∠HCM=90°，
∴四边形是矩形，
，
∵OE=,
，
故答案为．
18．（2022·江苏徐州·二模）如图，在等边三角形中，，点，，分别是边，，边上的动点，则周长的最小值是______．
【答案】3
【思路分析】作点D关于AB的对称点G，作点D关于AC的对称点H，连接GH，GA，GE，GB，HA，HF，HC，过点A作AI⊥BC于I，过点A作AJ⊥GH于J．根据轴对称的性质，两点之间，线段最短确定△DEF周长的最小值是GH，根据等边三角形的性质，等腰三角形三线合一的性质和直角三角形的边角关系确定，再根据垂线段最短确定当AD⊥BC时，△DEF周长取得最小值为，最后根据等边三角形的性质和直角三角形的边角关系即可求解．
【详解】解：如下图所示，作点D关于AB的对称点G，作点D关于AC的对称点H，连接GH，GA，GE，GB，HA，HF，HC，过点A作AI⊥BC于I，过点A作AJ⊥GH于J．
∴GE=DE，HF=DF，AG=AD，AH=AD，∠GAB=∠DAB，∠HAC=∠DAC．
∴AG=AH，．
∴，△DEF周长的最小值是GH．
∵三角形ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠ABC=60°．
∴∠DAB+∠DAC=60°．
∴∠GAB+∠HAC=60°．
∴∠GAH=∠GAB+∠DAB+∠DAC+∠HAC=120°．
∴．
∴，．
∴．
∴当AD取得最小值时，GH取得最小值，即△DEF周长取得最小值．
∴当AD⊥BC时，即点D与点I重合时，△DEF周长取得最小值为．
∵AB=2，
∴．
∴．
∴△DEF周长的最小值是3．
故答案为：3．
19．（2022·江苏南通·一模）如图，△ABC中，，，将△ABC绕顶点C逆时针旋转，得△DCE，点D，点E分别与点A，点B对应，边CE， DE与边AB相交，交点分别为点F，点G，若，则的值为_________．
【答案】
【思路分析】过F作FH⊥BC于H，设AB=5k则AF=3k，BF=2k，解Rt△ABC，Rt△BFH和Rt△CHF求得CF的长，再由△GFE∽△CFB即可解答；
【详解】解：如图，过F作FH⊥BC于H，
设AB=5k，则AF=3k，BF=2k，
，则Rt△ABC中，AC=3k，BC==4k，
Rt△BFH中，FH=k，BH==k，
∴CH=BC-BH=4k-k=k，
Rt△CHF中，CF==k，
∵CE=CB，∴EF=CE-CF=4k-k，
∴EF∶BF=（4k-k）∶2k=，
∵∠E=∠B，∠GFE=∠CFB，
∴△GFE∽△CFB，∴=，
故答案为：；
20．（2022·江苏无锡·一模）如图，在四边形ABCD中，，，，点E在对角线BD上运动，⊙O为△DCE的外接圆，当⊙O与AD相切时，⊙O的半径为__________；当⊙O与四边形ABCD的其它边相切时，其半径为__________．
【答案】 2 或
【思路分析】由题意易得，则有，．连接OD，过点O作OM⊥CD于点M，由与⊙O相切，则有OD⊥AD，即∠ADO=90°，，即有∠ODM=∠ADC-∠ADO=30°，则可求出，问题得解；
②可分为⊙O与四边形的边相切和⊙O与四边形的边相切两种情况，进而根据切线的性质可进行求解．当⊙O与四边形的边相切于点G时，作OF⊥CD于点F，并延长，交AD的延长线于点P，交AB于点N，利用，，即可求出和其度数，即可求出和其度数，即可求出、，进而求出、、NF，设，则可表示出、，在Rt△DFO中，利用勾股定理得可得到关于r的方程，解方程即可求出r；当⊙O与四边形的边相切时，则切点即为点C，为⊙O的直径，⊙O的半径为．
【详解】解：∵在四边形中，，，，
∴，
∴，，
连接OD，过点O作OM⊥CD于点M，
如图所示：
∵与⊙O相切，
∴OD⊥AD，即∠ADO=90°，，
∴∠ODM=∠ADC-∠ADO=30°，
∴，
即⊙O的半径为2；
②分两种情况讨论
第一种情况：当⊙O与四边形的边相切于点G时，作OF⊥CD于点F，并延长，交AD的延长线于点P，交AB于点N，如图所示：
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴NF=5，
设，则有，
∴，
在Rt△DFO中，由勾股定理得：，整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去）；
第二种情况：当⊙O与四边形的边相切时，则切点即为点C，
∴为⊙O的直径，
∴⊙O的半径为；
综上所述：当⊙O与四边形的一边相切时，其半径为2或或；
故答案：2；或．
21．（2022·江苏无锡·一模）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，D是BC的中点，连接AD，过点C作CF⊥AD交AB于F，则△ABD的面积为______，BF＝______．
【答案】 3
【思路分析】过D作DG⊥AB于G，利用勾股定理和三角函数解Rt△ABC，Rt△DBG，Rt△ACD，Rt△ACE，Rt△ADG，Rt△AEF，求得AF即可解答；
【详解】解：过D作DG⊥AB于G，
∵DB=DC，AC⊥BC，∴S△BDA=S△CDA=S△ABC=；
Rt△ABC中由勾股定理得：AB=，
∴cs∠B==，sin∠B==，
Rt△DBG中，BD=2，则BG=2×cs∠B=，DG=2×sin∠B=，
Rt△ACD中，AC=3，CD=2，则AD=，
∴cs∠CAD=，
Rt△ACE中，AC=3，则AE=3×cs∠CAE=，
Rt△ADG中，AG=AB-BG=5-=，AD=，则cs∠DAG=，
Rt△AEF中，AE=，则AF=，
∴BF=AB-AF=5-=，
故答案为：3，；
22．（2022·江苏无锡·一模）一个含30度角的三角板和一个含45度角的三角板按如图所示的方式拼接在一起，经测量发现，AC=CE=2，取AB中点O，连接OF.∠FCE在∠ACB内部绕点C任意转动(包括边界)，则CE在运动过程中扫过的面积为____；在旋转过程中，线段OF的长度最小时，两块三角板重叠部分的周长为____．
【答案】
【思路分析】利用扇形面积公式，两点之间线段最短即可解决问题．
【详解】解：连接．在中，
，，，
，
，
，
，
在中，，，
，
在运动过程中扫过的面积，
，
，
当CF过O点时，如图，的最小值为．
过G点做，
∵，，
∴，，，，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
两块三角板重叠部分的周长为，
故答案为，．
23．（2022·江苏·靖江市实验学校一模）在△ABC中，∠BAC＝120°，D为BC的中点，AE＝6，把AD绕点A逆时针旋转120°，得到AF，若CF＝7，∠ACF＝∠AEC，则AC＝________．
【答案】10
【思路分析】过D作DM平行EC，交AB于M，过E作EN垂直CA延长线于点N，根据旋转的性质求得△AMD≌△ACF（AAS），再利用三角形中位线的性质求得CE的长；解Rt△ENA得出EN和NA的长，在Rt△ENC中由勾股定理便可解答；
【详解】解：如图，过D作DM平行EC，交AB于M，过E作EN垂直CA延长线于点N，
DM∥CE，则∠DMA=∠CEA，∵∠ACF=∠AEC，∴∠ACF=∠DMA，
∵∠BAC=∠DAF=120°，∴∠BAD=∠∠CAF，
由旋转可知AD=AF，∴△AMD≌△ACF（AAS），∴MD=CF=7，
D是BC中点，DM∥CE，∴DM是△BCE的中位线，∴CE=2DM=14，
Rt△ENA中，∠EAN=180°-120°=60°，∴EN=AEsin∠EAN=，NA=3，
Rt△ENC中，CE2=EN2+CN2，即196=27+（AC+3）2，
解得：AC=10，或AC=-16（舍去），
故答案为：10；
24．（2022·江苏连云港·一模）如图，在矩形和中，，将绕着点B顺时针旋转，连接，当最大时，的面积为___________．
【答案】
【思路分析】构造以点B为圆心，4为半径的圆，由图可知，当CE与⊙B相切时，最大，再求出此时的面积即可．
【详解】解：∵绕着点B顺时针旋转，
∴点E在以点B为圆心，4为半径的圆上运动，如图所示，由图可知，当CE与⊙B相切时，最大，下面求的面积，
∵ CE与⊙B相切
∴∠BEC＝90°
在Rt△BCE中，∠BEC＝90°，BE＝4，BC＝5，
由勾股定理得

∴
∴sin∠CBE＝
过点F作FH⊥AB交AB的延长线于点H，
∴∠BHF＝90°
∵四边形ABCD是矩形
∴∠ABC＝90°
∴∠CBH＝180°－∠ABC＝90°
∴∠CBE＋∠EBH＝90°
∵是直角三角形
∴∠EBF＝90°
∴∠FBH＋∠EBH＝90°
∴∠CBE＝∠FBH
∴
∴FH＝
∴的面积为×AB×FH＝×6×＝
由圆的对称性可知，当点E旋转到BC的左侧的点时，当C与⊙B相切时，最大，的面积仍然是
故答案为：．
25．（2022·江苏·常州市武进区前黄实验学校一模）如图，矩形中，，，点是矩形对角线上的动点，连接，过点作交所在直线与点，以、为边作矩形，当时，则长为______．
【答案】或
【思路分析】作于点，交于点，设，先根据勾股定理求出的长，再证明∽，可求得，则，可推导出，再用含的代数式表示、，而，推导出，再根据列方程求出的值即可．
【详解】解：如图，作于点，交于点，设，
四边形是矩形，
，，，
，
，
四边形是矩形，
，，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
， ，
，，
，
，
，
，
，
整理得，
解得，，
当时，如图，
当时，如图，
故答案为：或．