沪教版七年级数学上册专题02整式的乘法与乘法公式(原卷版+解析)

这是一份沪教版七年级数学上册专题02整式的乘法与乘法公式(原卷版+解析)，共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列运算中，错误的个数是（ ）
（1）；（2）；（3）；（4）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．的计算结果是（ ）
A．B．C．D．
3．下列计算中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（ ）
A．-1B．1C．0.5D．-0.5
5．若，则mn＝（ ）
A．-4B．4C．-8D．8
6．若是完全平方式，则b的值为（ ）
A．3或－1B．－3或1C．D．
7．已知，，则（ ）
A．24B．48C．12D．2
8．图①是一个长为2m，宽为2n（m＞n）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图②那样拼成一个正方形，则中间空白部分的面积不能表示为（ ）
A．B．C．D．
9．若满足，则（ ）
A．0.25B．0.5C．1D．
10．已知，，，那么的值等于（ ）
A．6B．3C．2D．0
二、填空题
11．计算：____．
12．计算 =______．
13．已知2m＝8n＝4，则m＝_____，2m+3n＝_____．
14．计算：的结果是______．
15．计算：12342﹣1235×1233＝________．
16．小王和小明分别计算同一道整式乘法题：，小王由于抄错了一个多项式中的符号，得到的结果为，小红由于抄错了第二个多项式中的的系数，得到的结果为，则这道题的正确结果是_________．
17．的结果是______．
18．（1）已知实数、、满足，，，则______．
（2）已知实数、、满足，，，则______．
三、解答题
19．计算：
(1)；
(2)．
20．算一算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)已知，求的值；
(5)已知，求x的值．
21．先化简，再求值：，其中，．
22．运用整式乘法公式先化简，再求值．其中，a＝－2，b＝1．
23．已知，求和的值．
24．已知化简的结果中不含项和项．
(1)求，的值；
(2)若是一个完全平方式，求的值．
25．在比较和的大小时，我们可以这样来处理：
∵==，==，16＜27，
∴＜，即＜．
请比较以下两组数的大小：
(1)与；
(2)与．
26．通过学习，我们知道可以用图1的面积运算来解释公式，用图2的面积运算来解释多项式与多项式相乘的法则：（a+b）（p+q）＝ap+aq+bp+bq．
(1)请写出如图3所示的图形面积运算表示的等式．
(2)试画出一个几何图形，使它的面积运算能表示为．
(3)已知a+b+c＝11，ab+bc+ca＝38，请你利用（1）中的结论，求的值．
27．正方形中，点是边上一点（不与点，重合），以为边在正方形外作正方形，且，，三点在同一条直线上，设正方形和正方形的边长分别为和（）．
(1)求图1中阴影部分的面积（用含，的代数式表示）；
(2)当，时，求图1中阴影部分的面积的值；
(3)当，时，请直接写出图2中阴影部分的面积的值．
28．数学是研究现实世界的数量关系与空间形式的学科，同学们，我们就用数形结合思想来解决下面问题吧!
(1)将图①甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置，你根据两个图形的面积关系得到的数学公式是_________．
(2)将图②甲中阴影部分的一个小长方形变换到图乙位置，你根据两个图形的面积关系写出一个等式：（________）_______．
(3)图③甲是一个长为，宽为的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图③乙那样拼成一个正方形，则图③乙中间空余的部分的面积是__________．
(4)观察图③乙，请你写出三个代数式，，之间的等量关系是________．
(5)根据（4）中等量关系解决如下问题：若，，求的值．
专题02 整式的乘法与乘法公式
一、单选题
1．下列运算中，错误的个数是（ ）
（1）；（2）；（3）；（4）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【分析】利用同底数幂的乘法运算法则，合并同类项的法则对各式进行运算，即可得出结果．
【解析】解：（1），故（1）错误；
（2），故（2）错误；
（3），故（3）错误；
（4），故（4）错误，
综上所述，错误的个数为4个，
故选：D．
【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法运算法则、合并同类项运算等知识，解题的关键是对相应的运算法则的掌握．
2．的计算结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】直接根据幂的乘方与积的乘方的法则进行计算，即可得出答案．
【解析】解：=
故选D．
【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方，掌握幂的乘方与积的乘方的法则是解决问题的关键．
3．下列计算中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据平方差公式和多项式乘多项式运算法则进行计算，然后逐项进行判断即可．
【解析】解：A.，故A错误；
B.，故B错误；
C.，故C正确；
D.，故D错误．
【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式、平方差公式，熟练掌握平方差公式，是解题的关键．
4．（ ）
A．-1B．1C．0.5D．-0.5
【答案】C
【分析】逆用积的乘方公式和同底数幂的乘法公式计算即可．
【解析】
故选：C
【点睛】本题考查了同底数幂乘法与积的乘方，掌握同底数幂乘法与积的乘方的法则是解题的关键．
5．若，则mn＝（ ）
A．-4B．4C．-8D．8
【答案】D
【分析】已知等式左边利用多项式乘以多项式法则计算，利用多项式相等的条件求出m与n的值，即可确定出所求式子的值．
【解析】解：已知等式整理得：，
可得，，
解得：m＝−2，n＝−4，
则mn＝8．
故答案为：D．
【点睛】此题考查了多项式乘多项式，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
6．若是完全平方式，则b的值为（ ）
A．3或－1B．－3或1C．D．
【答案】A
【分析】根据完全平方公式直接配方求解即可．
【解析】解：若是完全平方式，则，
，
，解得或，
故选：A．
【点睛】本题考查完全平方公式，熟练运用配方法是解决问题的关键．
7．已知，，则（ ）
A．24B．48C．12D．2
【答案】C
【分析】根据题中条件，结合完全平方公式，先计算出2ab的值，然后再除以2即可求出答案．
【解析】解：（a+b）2＝a2+2ab+b2，将a2+b2＝25，（a+b）2＝49代入，可得
2ab+25＝49，
则2ab＝24，
∴ ab＝12，
故选：C．
【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，解题的关键是根据题中条件，变换形式即可．
8．图①是一个长为2m，宽为2n（m＞n）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图②那样拼成一个正方形，则中间空白部分的面积不能表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意可得图2正方形的边长为(m+n)，4个小长方形的长为a，宽为b，空白部分的面积为大正方的面积减去4个小长方形的面积，计算即可得出的答案．
【解析】解：根据题意可得，
图2正方形的边长为(m+n)，
空白部分的面积．
所以中间空白部分的面积可以表示的选项有：A，B，D．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式的几何背景计算方法进行求解是解决本题的关键．
9．若满足，则（ ）
A．0.25B．0.5C．1D．
【答案】B
【分析】将与看做整体，根据完全平方公式的变形即：，进行简便运算即可．
【解析】解：
，
故选：B．
【点睛】本题考查完全平方公式的变形，整体代入思想，能够熟练运用完全平方公式的变形是解决本题的关键．
10．已知，，，那么的值等于（ ）
A．6B．3C．2D．0
【答案】B
【分析】根据，，，分别求出、、的值，然后利用完全平方公式将题目中的式子变形，即可完成．
【解析】解：∵，，，
∴，
，
，
∴



，
故选：B．
【点睛】本题考查完全平方公式的应用，求出、、的值，然后利用完全平方公式将变形成是解题关键．
二、填空题
11．计算：____．
【答案】
【分析】先利用同底数幂的乘法法则计算，再根据积的乘方运算法则计算即可．
【解析】解：
故答案为：．
【点睛】本题考查同底数幂的乘法，积的乘方．解答的关键是熟记同底数幂的乘法法则：底数不变，指数相加．
12．计算 =______．
【答案】
【分析】利用积的乘方进行计算即可．
【解析】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查积的乘方运算，熟练掌握积的乘方的运算法则是解题的关键．
13．已知2m＝8n＝4，则m＝_____，2m+3n＝_____．
【答案】 2 16
【分析】先求得m，n的值，再代入代数式计算即可．
【解析】∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：2；16．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法和乘方，熟练掌握运算性质是解题的关键．
14．计算：的结果是______．
【答案】
【分析】先运用积的乘方与幂的乘方法则计算，再运用单项式乘以多项式法则计算即可．
【解析】解：原式=
=．
故答案为：．
【点睛】本题考查积的乘方与幂的乘方，单项式乘以多项式，熟练掌握乘方与幂的乘方的法则，单项式乘以多项式法则是解题的关键．
15．计算：12342﹣1235×1233＝________．
【答案】1
【分析】将1235×1233转化成（1234＋1）（1234−1），再利用平方差公式计算即可．
【解析】解：12342−1235×1233
＝12342−（1234＋1）（1234−1）
＝12342−（12342−1）
＝12342−12342＋1
＝1
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式并灵活运用，是解本题的关键．
16．小王和小明分别计算同一道整式乘法题：，小王由于抄错了一个多项式中的符号，得到的结果为，小红由于抄错了第二个多项式中的的系数，得到的结果为，则这道题的正确结果是_________．
【答案】
【分析】利用小王和小明的解法列出关于m，n的二元一次方程组，解方程组求出m，n的值，再将m，n的值代入原式计算即可．
【解析】解：由小王的解法可知=，
即=，
可知=；
由小红的结果可知小红将4抄成2，
故=，
即=，
可知=；
联立得，
解得，
将代入得=．
故答案为：．
【点睛】本题考查了多项式与多项式的乘法运算及解二元一次方程组，正确列出关于m，n的方程组是解答本题的关键．
17．的结果是______．
【答案】
【分析】将原式变形为，再利用平方差公式逐步计算即可．
【解析】解：
=
=
=
=
=
=
故答案为：．
【点睛】本题考查了平方差公式的应用，解题的关键是发现算式的规律，灵活构造平方差公式的形式．
18．（1）已知实数、、满足，，，则______．
（2）已知实数、、满足，，，则______．
【答案】 ##0.5
【分析】（1）根据，，，求出，从而求出，，根据代入数据求出结果即可；
（2）根据，，，得出，求出，，根据代入数据求出结果即可．
【解析】解：（1）∵，，，
∴
∴，
，
∴
故答案为：．
（2）∵，，，
∴
∴，
，
∴
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了代数式求值，完全平方公式的应用，解题的关键是灵活掌握的展开公式，并且灵活变形，难度较大．
三、解答题
19．计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先计算积的乘方，然后计算单项式乘以单项式即可；
（2）根据单项式乘以多项式的计算法则求解即可．
（1）
解：原式
；
（2）
解：原式．
【点睛】本题主要考查了积的乘方，单项式乘以单项式，单项式乘以多项式，熟知相关计算法则是解题的关键．
20．算一算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)已知，求的值；
(5)已知，求x的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)128
(5)6
【分析】）（1）运用同底数幂乘法公式和幂的乘方公式运算，再合并即可；
（2）运用幂的乘方和积的乘方公式运算即可；
（3）先确定符号，再用同底数幂乘法公式运算即可；
（4）逆用同底数幂乘法公式和幂的乘方公式，再整体代入即可；
（5）将等式两边转化成同底数幂，再让指数相等得到一个一元一次方程，解之即可．
（1）
解：原式；
（2）
原式；
（3）
原式；
（4）
∵，
∴；
（5）
∵，
即，
∴，
∴，
解得：．
【点睛】本题考查了同底数幂乘法公式，积的乘方公式，幂的乘方公式，灵活掌握这三个公式正逆用是解题的关键．
21．先化简，再求值：，其中，．
【答案】，0
【分析】根据完全平方和公式及平方差公式先化简，再代入求值即可．
【解析】解：
=
=
=．
当，时，
原式=
=
．
【点睛】本题考查整式的化简求值，涉及到完全平方和公式及平方差公式，熟练掌握相关公式是解决问题的关键．
22．运用整式乘法公式先化简，再求值．其中，a＝－2，b＝1．
【答案】，-15
【分析】先根据平方差公式去括号，再合并同类项，然后把a、b的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
【解析】解：
，
当a=-2，b＝1时，
原式．
【点睛】本题考查了整式的混合运算一化简求值，解题的关键是掌握平方差公式并准确熟练地进行计算．
23．已知，求和的值．
【答案】5；47．
【分析】把已知条件两边平方，利用完全平方公式展开，然后整理即可得到的值；与的值的过程同理可求的值．
【解析】，
∵，
∴，即，
∴．
【点睛】本题考查了完全平方公式，利用和互为倒数乘积是1是解题的关键，完全平方公式：．
24．已知化简的结果中不含项和项．
(1)求，的值；
(2)若是一个完全平方式，求的值．
【答案】(1)
(2)25
【分析】（1）先将原式化简，再根据结果中不含项和项可得 ，即可求解；
（2）先将原式化简，再根据原式是一个完全平方式，把化简后的结果中 作为一个整体，再变形为完全平方形式，即可求解．
(1)
解：

，
∵化简的结果中不含项和项，
∴ ，
解得：；
(2)
解：




∵是一个完全平方式，
∴，
∴ ，
解得： ．
【点睛】本题主要考查了整式乘法运算中的无关项题，完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式，不含某一项就是化简后该项的系数等于0是解题的关键．
25．在比较和的大小时，我们可以这样来处理：
∵==，==，16＜27，
∴＜，即＜．
请比较以下两组数的大小：
(1)与；
(2)与．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）直接利用已知将各数转化为次数相等的数进而比较得出即可；
（2）逆用幂的乘方的运算性质将它们的指数变得相同，然后根据底数较大的其幂也较大（都是正数时），得出结果．
（1）
解：∵，，
又∵16＜27，
∴，即；
（2）
解：∵，，，
又∵125＜243＜256，
∴，
即．
【点睛】本题主要考查了幂的大小比较的方法．一般说来，比较几个幂的大小，或者把它们的底数变得相同，或者把它们的指数变得相同，再分别比较它们的指数或底数．
26．通过学习，我们知道可以用图1的面积运算来解释公式，用图2的面积运算来解释多项式与多项式相乘的法则：（a+b）（p+q）＝ap+aq+bp+bq．
(1)请写出如图3所示的图形面积运算表示的等式．
(2)试画出一个几何图形，使它的面积运算能表示为．
(3)已知a+b+c＝11，ab+bc+ca＝38，请你利用（1）中的结论，求的值．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)45
【分析】（1）由面积不同的表示方法，可得等式；
（2）画一个长为a+b、宽为a+4b的矩形即可求解；
（3）由（1）的结论可求解．
（1）
解：由题意得：；
（2）
解：如图所示，即为所求；
（3）
解：∵a+b+c=11，
∴，
∵ab+bc+ca=38，
∴．
【点睛】本题主要考查了多项式乘以多项式与图形面积，利用长方形面积的不同表示方法建立等式是解题的关键．
27．正方形中，点是边上一点（不与点，重合），以为边在正方形外作正方形，且，，三点在同一条直线上，设正方形和正方形的边长分别为和（）．
(1)求图1中阴影部分的面积（用含，的代数式表示）；
(2)当，时，求图1中阴影部分的面积的值；
(3)当，时，请直接写出图2中阴影部分的面积的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用，根据正方形和直角三角形的面积公式将a，b代入即可；
（2）将a，b的值代入（1）中的式子计算即可得出结论；
（3）延长AD交EF的延长线于点H，利用，根据正方形和直角三角形的面积公式将a，b代入，最后将a＝5，b＝3代入运算即可．
（1）
解：∵，
∴
；
（2）
当a＝5，b＝3时，
；
（3）
，理由：
延长AD交EF的延长线于点H，如图，
则四边形CEHD为矩形，
∴DH＝CE＝b，HE＝CD＝a，
∴HF＝HE−EF＝a−b．
∵，
∴
，
当a＝5，b＝3时，
．
【点睛】本题主要考查了列代数式，求代数式的值，正方形，矩形的面积，三角形的面积，利用图形的面积的和差表示出阴影部分的面积是解题的关键．
28．数学是研究现实世界的数量关系与空间形式的学科，同学们，我们就用数形结合思想来解决下面问题吧!
(1)将图①甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置，你根据两个图形的面积关系得到的数学公式是_________．
(2)将图②甲中阴影部分的一个小长方形变换到图乙位置，你根据两个图形的面积关系写出一个等式：（________）_______．
(3)图③甲是一个长为，宽为的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图③乙那样拼成一个正方形，则图③乙中间空余的部分的面积是__________．
(4)观察图③乙，请你写出三个代数式，，之间的等量关系是________．
(5)根据（4）中等量关系解决如下问题：若，，求的值．
【答案】(1)
(2)；
(3)，（也可）
(4)（移项变式后答案皆可）
(5)
【分析】（1）分别表示出两个图形的面积即可得出结果；
（2）分别表示出图甲，图乙的面积即可；
（3）中间部分的四边形是正方形，表示出边长，则面积可以求得；
（4）根据阴影部分面积可得关于，，ab的等式；
（5）利用（4）中结论代入求解即可．
（1）
解：图甲：大矩形的面积可表示为：（a-b）（a+b）；
图乙：大正方形的边长为a，图形的面积可表示为：，
所以根据两个图形的面积关系，可得出的公式是，
故答案为：；
（2）
解：图甲的面积可表示为：（a-b）（a+2b），
图乙的面积可表示为：，
所以根据两个图形的面积关系，可得出的公式是（a-b）（a+2b）=，
故答案为：a+2b，；
（3）
解：中间部分的四边形是正方形，边长是a+b-2b=a-b，
则面积是．
故答案为：；
（4）
解：根据图形得出
（5）
解：根据阴影部分面积可得：，
∵，，
∴，
∴mn=6．
【点睛】本题考查了平方差公式的几何背景，完全平方公式的几何背景，数形结合、表示出图形阴影部分面积是解题的关键．